資源簡介

《實際問題與二次函數》教學設計
北京市中關村中學　楊愛青
一、內容和內容解析
1．內容
建立二次函數模型，解決“利潤最大”問題．
2．內容解析
商品銷售問題廣泛存在于我們的日常生活中．一類由商品價格調整引起的銷量和銷售利潤變化的問題，其變量之間的關系可以用二次函數模型來刻畫，因此可以利用二次函數的圖象和性質研究這類問題．
在探究 “最大面積”問題的基礎上繼續探究“最大利潤”問題，使學生再次經歷“設變量，建立變量之間的函數關系，解決函數問題，得到實際問題的解”這種利用函數模型解決問題的過程，認識如何利用二次函數的有關知識解決實際問題，進一步體會二次函數與實際的聯系．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）會建立二次函數模型，解決“利潤最大”問題；
（2）通過對“利潤最大”問題的探究，體會函數模型的價值．
2．目標解析
（1）能用二次函數表示問題中變量之間的關系，掌握利用頂點坐標解決最大（小）值問題的方法；
（2）通過運用函數模型解決“利潤最大”問題，體會數學的實際價值，學會用函數的觀點認識問題，解決問題．
三、教學問題診斷分析
與學習函數的相關知識比較，在用函數的觀點認識問題、解決問題時，學生會遇到更多的困難，學生更習慣于解 “數學化的應用題”，面對問題情境與實際情況比較貼近，數量關系更復雜的實際問題，學生的主要困難是：（1）不會審題，不能正確找到變量之間的數量關系；（2）不能用適當的方法表示問題中的數量關系，難以建立函數模型．這也是本節課的教學難點．教學中，加強對實際問題的分析，引導學生審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系，有助于突破難點，順利解決實際問題．
四、教學過程設計
1．創設情境，提出問題
買東西時，我們總是希望少花錢，多辦事．而對于商家來說，追求利潤的最大化就是他們的目標．商品的價格是影響利潤的重要因素之一．應用數學的知識和方法進行計算分析，可以幫助我們對商品進行合理定價使利潤最大．
問題1　如何應用數學的知識和方法進行計算分析，對商品進行合理定價使利潤最大呢？請看下面的問題（教材50頁探究2）：
某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？
師生活動　教師提出問題，學生思考．
【設計意圖】讓學生體會現實中“最大利潤”問題普遍存在，對商品價格運用數學方法進行分析，并在此基礎上進行合理定價，具有重要的現實意義．
2．分析問題，建立模型
調整價格包括漲價和降價兩種情況．我們先看漲價的情況．
問題2　題中涉及到哪些量，哪些是變量，它們之間存在怎樣的關系？
師生活動　學生獨立思考并回答問題．由于題目中涉及的量較多，教師可以引導學生通過列表格的方法梳理各種數量關系．
題中涉及到的量有：銷售單價，成本單價，銷售量，總利潤，其中除成本單價外，均為變量．它們之間的基本關系為： ，或總利潤=．設每件漲價元，每星期售出商品的利潤為元．
方法一：用“”列函數關系式：
?
銷售單價（元）
銷售量（件）
總銷售額（元）
總成本額（元）
總利潤（元）
現在
60
300
漲價后
，即．
方法二：用“” 列函數關系式：
?
銷售單價（元）
單件利潤（元）
銷售量（件）
總利潤（元）
現在
60
20
300
漲價后
，即．
【設計意圖】引導學生審清題意，弄清題中涉及的量，以及量與量之間的基本關系，突破難點，建立函數模型．
問題3　漲價有沒有限制？若有，如何確定其取值范圍？
師生活動　學生思考并回答問題．這里要讓學生充分表達自己的觀點，在獨立思考的基礎上與同學交流，體會題目的實際意義．
依題意可得：
?
解不等式組，得．
【設計意圖】根據實際意義求出自變量的取值范圍．
問題4　你能仿照漲價的情況討論降價的情況嗎？
師生活動　學生仿照漲價的情況求出降價相應的函數關系式和自變量取值范圍．
【設計意圖】熟悉銷售問題中的基本數量關系．
3．應用模型，解決問題
問題5　你能應用二次函數的圖象和性質解決探究2中的問題嗎？
師生活動　學生用公式法或配方法找到拋物線的頂點坐標，綜合漲價與降價兩種情況及現在的銷售情況找到利潤的最大值．
【設計意圖】應用函數知識得到函數模型的解．
4．鞏固練習，學以致用
教科書習題22.3第2題．
師生活動? 教師提出問題，學生思考、回答．學生展示解答過程，教師點評．
【設計意圖】在完成“探究2”之后，通過類似問題讓學生剛剛獲取的經驗得到鞏固和深化，進一步熟悉解決問題的方法和過程，從而提高分析問題和解決問題的能力．
5．歸納小結，反思提高
問題6?? 請帶著下列問題回顧探究2的解決過程，談談自己的感悟：
（1）說說你所知道的“銷售問題”中的基本數量關系；
（2）解決探究2的問題時，你遇到了哪些困難，是如何解決的？
師生活動　學生自主發言，相互交流，教師適時引導．
【設計意圖】讓學生帶著問題回顧解決實際問題的過程，可以提高反思過程的針對性，突出解決問題的關鍵節點．
6．布置作業
教科書習題22.3第5，8題．
五、目標檢測設計
某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少買10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲元（為整數），每個月的銷售利潤為元．
（1）求與的函數關系式并寫出自變量取值范圍．
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲最大利潤？最大月利潤是多少元？
（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？
【設計意圖】考查學生用二次函數解決“最大利潤”問題．
《實際問題與二次函數》同步試題
北京市第一零一中學　李愛民
一、選擇題
1．心理學家研究發現，某年齡段的學生，30min內對概念的接受能力與提出概念所用時間之間滿足函數關系．則學生接受概念的能力最強的時間是（?? ）．
A．13 min????　? ??? B．26 min????? ?　?? C．43 min????　 D．59.9 min
考查目的：考查拋物線頂點坐標的計算．
答案：A ．
解析：配方得，也可以利用公式求出頂點坐標，所以時間min時學生接受概念的能力最強,故答案應選擇A．
2．煙花廠為煙花三月旅游節特別設計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度（m）與飛行時間（s）的關系式是．若這種禮炮在點火升空到最高點時引爆，則從點火到引爆需要的時間為（?? ）．
A．3s????? 　　?B．4s???　　　 C．5s??　　　? D．6s
考查目的：考查拋物線頂點坐標的計算和對實際問題的分析能力．
答案：B．
解析：配方得．
∵，∴這個二次函數圖象開口向下．
?
∴當時，升到最高點．故答案應選擇B．
3．將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元一個售出時，每天能賣出20個，若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤則應降價（??? ）．
A．20元??????　??? B．15元??????　??? C．10元????　?????? D．5元
考查目的：考查利用二次函數的有關知識解決實際問題．
答案：D．
解析：設減價元，利潤為元．
．
當時，獲利最大，為625元．故答案應選擇D．
二、填空題
4．某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結600個橘子． 現在準備多種一些橘子樹以提高產量，但是多種橘子樹，那么樹之間的距離減少，受到的陽光會減少． 根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子． 設果園增種棵橘子樹，果園橘子總個數為個，則果園增種??????? 棵橘子樹，橘子的總個數最多．
考查目的：考查二次函數的應用．
答案：10．
解析：設增種棵橘子樹，則果園共有棵橘子樹．
∵每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子，
∴增種棵橘子樹，平均每棵樹就會少結個橘子，平均每棵樹結個橘子．
果園橘子總個數為．
所以當取10，也就是110棵橙子樹時，產量最高為60500個．
5．某種商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件；如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元），設每件商品的售價上漲元（為正整數），每個月的銷售利潤為元． 則與的函數關系式為???????? ，自變量的取值范圍是?? ?????????．
考查目的：考查用二次函數解決簡單的實際問題．
答案：， ．
解析：設每件商品的售價上漲元(為正整數)， 則每件商品的利潤為元， 總銷量為件，
商品利潤為．
∵原售價為每件60元，每件售價不能高于72元， ∴．
6．某商場購進一批單價為16元的日用品，若按每件20元的價格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價格銷售，每月能賣210件，假定每月銷售件數（件）與每件的銷售價格（元/件）之間滿足一次函數．在商品不積壓且不考慮其他因素的條件下，銷售價格定為??????? 元時，才能使每月的毛利潤W最大，每月的最大毛利潤是為??????? 元．
考查目的：考查用二次函數的有關知識解決實際問題．
答案：24，1920．
解析：設一次函數為，把，和，代入，解得：，則．每月獲得利潤．所以當時，有最大值，最大值為1920．
三、解答題
7．某商店經營一種小商品，進價為2.5元，據市場調查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售價每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假設每件商品降價元，商店每天銷售這種小商品的利潤是元，請寫出與間的函數關系式，并說明的取值范圍；
（2）每件小商品銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？（注：銷售利潤=銷售收入購進成本）
考查目的：考查二次函數的應用．
答案：（1）．（2）銷售單價為10.5元時利潤最大，最大利潤為6 400元．
解析：（1）設降價元．
依題意：
整理得：
（2）由（1）配方得：．
∵，
∴當時取最大值，最大值是6400，即降價3元時利潤最大，
∴銷售單價為10.5元時，最大利潤6400元．
8．據氣象中心觀察和預測：發生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度（km/h）與時間（h）的函數圖象如圖所示，過線段上一點作橫軸的垂線，梯形在直線左側部分的面積即為（h）內沙塵暴所經過的路程（km）．　　（1）當時，求s的值；
　　（2）將隨變化的規律用數學關系式表示出來；　　（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．
考查目的：考查用一次函數、二次函數解決綜合問題．
答案：（1）24；（2）；；；（3）會，30 h．
?
解析：設直線交與的函數圖象于點．
（1）由圖象知，點的坐標為（10，30），故直線的解析式為v=3t，　　當時，點坐標為（4，12），　　∴，．　　∴（km）；
（2）當時，此時，（如圖1），
∴=．
?
當時，此時，，（如圖2），
∴．
?
當時，∵的坐標分別為，，
∴直線的解析式為．
∴點坐標為．
∴，（如圖3）．
∴．
?
（3）∵當時，（km），
當時，（km），而，
所以N城會受到侵襲，且侵襲時間應在沙塵暴發生后20 h至35 h之間，
由，解得或（不合題意，舍去）．
所以在沙塵暴發生后30 h它將侵襲到N城．

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