資源簡介

《圓的有關性質》教學設計
北京市海淀實驗中學　吳　波
一、內容和內容解析
（一）內容
圓的定義 ，圓中一些相關概念．
（二）內容解析
圓的定義和圓中一些相關概念，是研究圓的性質的基礎．圓的性質是進一步研究圓與其他圖形位置和數量關系的主要依據，是全章的基礎．
本節課的教學重點是理解圓的描述性定義和集合定義．學生通過動手畫圓，觀察畫圓的過程，體會圓的概念形成的過程，歸納出圓的概念，確定圓的兩個要素，即圓心和半徑，圓心定位置，半徑定大小．在此基礎上，教師引導學生思考從圓的角度，從點的集合的角度兩方面來定義圓，得出圓的集合定義．圓中半徑、直徑、弧、半圓、等圓、等弧的概念，應根據圖形明確其概念以及異同．
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1．理解圓的描述性定義和圓的集合定義．?
2．了解弦，弧，半圓，優弧，劣弧，同心圓，等圓，等弧等與圓有關的概念，理解概念之間的區別和聯系．
3．經歷圓的描述性定義的形成過程，經歷探索圓的集合定義的過程，培養學生觀察、思考、歸納的良好思維習慣，提升思維能力．
（二）目標解析
1．學生通過動手畫圓，觀察畫圓的過程，體會圓的概念形成的過程，歸納出圓的概念，歸納出確定一個圓的要素．
2．通過動手畫圓的過程，引導學生首先感知到圓是一個點的集合．并進一步從兩個方面去理解這個點集合的含義，即：從圓的角度看，圓上各點到定點的距離都相等；從點的角度來看，到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．
3．教師作為課堂思維活動的組織者和引導者，組織學生經歷觀察、思考、歸納的思維過程，引導學生從不同角度深入思考問題，從而提升思維能力．
三、教學問題診斷分析
學生雖然在小學學習過圓，但是對圓的概念停留在直觀感受上，所以在本節課的教學過程中，學生對圓的集合定義的理解會有困難．這就需要通過圓規畫圓的過程，與學生的已有經驗和直觀感受聯系起來，在此基礎上，教師要做必要的引導，引導學生從圓和點的角度來觀察和思考，歸納出圓的集合定義．并通過問題和習題的設置來加深學生對圓的集合定義的理解．
本課的教學重點是圓的概念的形成過程，以及對概念的理解．在引導學生對概念進行探索和思考的過程上要下功夫．
本課的教學難點是圓的集合定義的理解．
四、教學過程設計
（一）創設情境?? 引入新知
教師展示教科書圖24．1－1，并提出：
問題1　生活中還有哪些物體給我們以圓的形象？為什么圓給我們美麗的形象呢？
師生活動：學生回答．師生共同感受圓是美麗而常見的幾何圖形，圓形物體在生活中隨處可見．圓給我們美麗形象的原因之一在于它具有獨特的對稱性，無論從哪個角度看，它都具有同一形狀．
【設計意圖】和學生的生活經驗相聯系，學生感受圓是常見的美麗的幾何圖形，從直觀感受上體會圓獨特的對稱性．為今后研究圓的性質作鋪墊．
問題2　在小學，學過哪些圓的相關知識呢？你對圓的知識有哪些了解呢？
師生活動：學生回答，教師給予評價．引導學生回憶畫圓的方法．
【設計意圖】和學生的已有知識和經驗相聯系，回憶畫圓的方法．為后面圓的定義的引出作鋪墊，也可幫助學生更好的了解和圓中的相關概念．
問題3　根據小學學過的知識，你能給出圓的定義嗎？
師生活動：學生思考并嘗試回答，教師給予引導．
【設計意圖】設置疑問，給出要思考并解決的問題．為后面的觀察探索歸納活動作鋪墊．
（二）觀察感知 探究概念
活動1　用圓規畫圓，觀察畫圓的過程，思考圓是如何畫出來的．
師生活動：學生動手操作，感受圓的形成過程，歸納圓的描述性定義．教師引導學生根據定義區分圓和圓面這兩個容易混淆的概念
【設計意圖】經歷圓的描述性定義的形成過程，通過觀察和思考，歸納出概念，獲得成功的體驗．
問題4　我們知道兩點確定一條直線；不共線的三點確定一個三角形．那么如何確定一個圓呢？
師生活動：學生思考并歸納確定圓的要素——圓心和半徑．教師引導學生思考，圓心定的是什么，半徑定的是什么？圓心相同，半徑不同的一組圓有什么特點？（同心圓）半徑相同，圓心不同的一組圓有什么特點？（等圓）
【設計意圖】引導學生思考圖形的確定性問題，擴大思考的深度和維度．
問題5　（1）五個小朋友站成一個圓圈，做一個搶紅旗的游戲，把這只小紅旗放在什么位置，才能使這個游戲比較公平？為什么？”
（2）圖上各點到定點（圓心O）的距離有什么規律？
師生活動：學生思考并歸納， 圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長(半徑r)
【設計意圖】通過生活游戲實例引入問題，可以讓學生對問題先有比較具體和直觀的感受，再引發學生進一步延伸到對幾何圖形的思考，
問題6　（1）已知A 為定點， 點B到點A的距離是3cm，你能確定點B的位置嗎? 你能畫出到A的距離是3cm的所有的點嗎?距離是5cm的點呢?
（2）到定點的距離等于定長的點在位置上有什么特點？
師生活動：學生通過作圖和思考，歸納出: 到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．教師引導學生通過畫圓感受圓是點的集合．
【設計意圖】圓的集合定義是本節課的難點，先通過一個具體的問題，引發思考，給學生更直觀、更具體的感受，感受圓是點的集合，到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．再從特殊到一般，從具體到抽象，為后面歸納出圓的集合定義做鋪墊？．
問題7 （1）回憶角平分線的性質定理和逆定理，思考角平分線可以看作是滿足什么條?????? 件的點的集合？
（2）回憶線段垂直平分線的性質定理和逆定理，思考線段垂直平分線上的點可以看作是滿足什么條件的點的集合？
（3）圓可以看作是滿足某些條件的點的集合嗎？要滿足什么條件呢？
師生活動 學生回憶并思考，得出角平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的點地集合；線段垂直平分線可以看作是到線段兩個端點距離相等的點的集合．教師引導學生類比歸納出圓的集合定義：圓可以看成是到定點的距離等于定長的點的集合．
教師追問：（1）圓的內部可以看成是滿足什么條件的點的集合？
（2）圓的外部可以看成是滿足什么條件的點的集合？
【設計意圖】把幾何圖形看成滿足某種條件的點的集合的思想，學生前面已經有這樣的經驗．圓的集合定義是本節教學的難點，將要解決的問題和學生已有的經驗聯系起來，通過類比的方法得出圓的集合定義，有利于突破這一難點．最后引導學生嘗試用點的集合來定義圓的內部、圓的外部，學生會對用點的集合來定義概念有進一步理解，并為后面“點和圓的位置關系”的學習做鋪墊．
例1　求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一圓上
師生活動：教師引導學生思考證明幾個點共圓的方法，學生歸納出，證明幾個點共圓，只要證明出這幾個點到圓心距離是定長即可，理論依據是圓的集合定義．
【設計意圖】進一步體會圓的集合的定義，得出證明幾點共圓的理論依據和常用辦法．
（三）圓中一些相關概念
1．弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．
直徑：經過圓心的弦叫做直徑．
2圓弧：圓上任意兩點間的部分，也可簡稱為“弧
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，其中每一條弧都叫半圓．
優弧：大于半圓的弧叫優弧．
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧．
等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．
等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧．
師生活動：教師給出圓中有關的概念，學生結合圖形認識這些概念，教師引導學生了解有些概念之間的異同．
【設計意圖】了解圓的相關概念，為后面圓的學習作準備．
例2 判斷對錯：
（1)弦是直徑;
（2)直徑是弦;
（3)半圓是弧;
（4)圓心相同，半徑相等的兩個圓是同心圓;
（5)半圓所對的弦是直徑?
（6)過圓心的線段是直徑???
（7)直徑相等的兩個圓是等圓
（8)一條弦把圓分成兩條弧，一條是優弧， 一條是劣弧
師生活動：學生思考并回答，教師評價．
【設計意圖】鞏固圓的相關概念，辨析異同．
（四）歸納小結，反思提高
教師和學生共同回顧本節課的內容，并請學生回答以下問題：
1．本節課你學到了什么？還有哪些困惑?
2．圓的定義是什么？
3．證明幾個點共圓的方法是什么?
（五）布置作業：
教科書81頁練習第1，2，3題．
五、目標檢測設計
1．下列說法錯誤的是(???????? )．
A．半圓是弧
B．半徑相等的圓是等圓
C．過圓心的線段是直徑
D．比半圓長的弧是優弧
【設計意圖】鞏固圓的相關概念，辨析異同
2．設AB=3cm，畫圖說明具有下列性質的點的集合是怎樣的圖形．
?(1)和點A的距離等于2cm的點的集合；
?(2)和點B的距離等于4cm的點的集合．
【設計意圖】鞏固圓的集合定義的知識．
3．求證：菱形各邊的中點在同一個圓上．
【設計意圖】鞏固證明幾個點共圓的方法．
《圓的有關性質》同步試題
北京市海淀實驗中學　吳　波
一、選擇題
1．下列說法錯誤的是(???????? )
A．直徑是弦
B．弦是直徑
C．過圓心的線段是直徑
D．比半圓長的弧是優弧
考查目的：考查對圓中相關概念的理解．
答案：B．
解析：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．
2．下列說法正確的有(???????? )個
（1)半圓是弧；
（2)圓心相同的兩個圓是同心圓；
（3)半圓所對的弦是直徑；
（4)直徑相等的兩個圓是等圓．
A．1?? 　　　B．2? 　　　 C．3 　　?? D．4
考查目的：考查對圓中相關概念的理解．
答案：D．
解析：圓上任意兩點間的部分，也可簡稱為“弧”．
圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，其中每一條弧都叫半圓．
直徑相等則半徑相等，能夠互相重合，是等圓．
3．在以AB=6㎝為直徑的圓上，到AB的距離為3㎝的點有（???）???
A．無數個????????B．1個??????????C．2個???????D．4
考查目的：圓的對稱性．
答案：C．
解析：與AB垂直的直徑與圓的兩個交點為符合要求的點．
二、填空題
4．如圖，圖中有?????? 條直徑，??????? 條非直徑的弦，圓中以A為一個端點的優弧有?? 條，劣弧有? ??條．
考查目的：考查對圓中相關概念的理解．
答案：一，二，四，四．
解析：利用弦，直徑，優弧，劣弧的概念可得出答案．
5．如圖若∠A=40°，則∠ABO=______，∠AOB=______.
考查目的：圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長(半徑r)
答案：40°，100°．
解析：圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長(半徑r)，由半徑相等可以得到等腰三角形，從而進行角度間的計算．
6．如圖，CD是⊙O的直徑，E為⊙O上一點，∠EOD=48°，A為DC延長線上一點，AE交⊙O于B，且AB=OC，則∠A的度數為______．
考查目的：圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長(半徑r)，利用性質進行角度間的計算．
答案：16°．
解析：連結OB，所以AB=OC=OB，得出∠BOA=∠A，利用外角定理，得出∠EBO=2∠A，因為OE=OB，得出∠OEB=∠EBO=2∠A，再利用外角定理，得出∠EOD=3∠A，所以∠A=16°
三、解答題
7．設AB=3cm，作圖說明滿足下列要求的圖形：到點A和點B的距離都小于2cm的所有點組成的圖形．
考查目的：對圓的集合定義的理解．
答案：．
解析: 圓可以看成是到定點的距離等于定長的點的集合．
8．如圖在△ABC中，∠C=90°，AB的中點O．
（1）求證：A，B，C三點在以O為圓心的圓上．
（2）若∠ADB=90°，求證A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．
考查目的：圓的集合定義的運用，考查證明幾點共圓的方法．
答案 （1）連結OC，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上．
（2）連結OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上．
解析:因為到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．所以證明幾個點共圓，只需要證明這幾個點到某個定點的距離相等即可．

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