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《正多邊形和圓》教學(xué)設(shè)計(jì)
北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)　楊愛青
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
正多邊形的畫法．
2．內(nèi)容解析
實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇到畫正多邊形的問題，比如畫一個(gè)六角螺帽的平面圖，畫一個(gè)五角星等．畫正多邊形的關(guān)鍵是等分圓周，教科書以正六邊形為例，介紹了兩種等分圓周的方法，即用量角器等分圓周和用尺規(guī)等分圓周．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．教學(xué)目標(biāo)
（1）了解正多邊形與圓的關(guān)系，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法．
（2）體會(huì)數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用．
2．目標(biāo)解析
（1）了解只要把圓分成相等的一些弧，就可以畫出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這是畫正多邊形的理論依據(jù)．會(huì)用量角器等分圓心角的方法等分圓周畫正多邊形，會(huì)利用基本作圖作圓的內(nèi)接正三角形、正方形和正六邊形．
（2）了解實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到畫正多邊形的問題，并能舉出一些具體的例子．
三、教學(xué)問題診斷分析
用量角器等分圓周是一種簡(jiǎn)單而常用的方法，在七年級(jí)時(shí)學(xué)生曾經(jīng)用這種方法畫過五角星，因此比較熟悉，教學(xué)中可以充分利用信息技術(shù)工具，比如幾何畫板，展示用量角器等分圓周的過程，尤其對(duì)于邊數(shù)較大的正多邊形的畫圖．同時(shí)還可以通過幾何畫板演示，讓學(xué)生直觀地感受隨著正n邊形的邊數(shù)n的增大，正n邊形的周長(zhǎng)和面積越來越接近圓的周長(zhǎng)和面積．用尺規(guī)只能完成一些特殊的正多邊形的作圖，教科書只對(duì)正四邊形和正六邊形的情況進(jìn)行了研究．教學(xué)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)介紹它們的作法依據(jù)，然后讓學(xué)生自己練習(xí)．
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
1．復(fù)習(xí)引入
問題1　如何做出一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形？
師生活動(dòng)：教師提出問題并引導(dǎo)學(xué)生回憶“等分圓周得到正多邊形”的方法．教師可根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行追問．
追問1：怎么等分圓周？
由于同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圓心角就可以等分圓周，從而得到相應(yīng)的正多邊形．
追問2：通過等分圓心角等分圓周，進(jìn)而做出正多邊形的方法，可以畫出任意的正n邊形嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】在明確“等分圓周，并順次連接各分點(diǎn)就可得到正多邊形”的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用前面所學(xué)的圓的知識(shí)解決問題．
2．應(yīng)用畫圖
問題2　畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形，你有什么辦法？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立畫圖．教師請(qǐng)一位同學(xué)到前面用實(shí)物投影展示自己所做的正六邊形，并引導(dǎo)學(xué)生說明正六邊形的畫圖方法．
以2 cm為半徑作一個(gè)⊙O，用量角器畫一個(gè)等于=60度的圓心角，它對(duì)著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的6個(gè)等分點(diǎn)，順次連接各分點(diǎn)，即可得到邊長(zhǎng)為2 cm的正六邊形．
追問：你能用圓規(guī)和直尺作出邊長(zhǎng)為2 cm的正六邊形嗎？
教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，所以在半徑為2 cm的圓上依次截取等于2 cm的弦，就可以將圓六等分，順次連結(jié)各分點(diǎn)即可得到半徑為2 cm的正六邊形．
【設(shè)計(jì)意圖】理解并掌握兩種等分圓周做正六邊形的方法．
問題3　除了正六邊形，用圓規(guī)和直尺還可以作哪些正多邊形？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考、作圖．教師可根據(jù)學(xué)生具體情況進(jìn)一步追問．
追問：在用圓規(guī)和直尺作出正方形和正六邊形的基礎(chǔ)上，你還能作出哪些正多邊形？
在作出⊙O的內(nèi)接正方形的基礎(chǔ)上，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即可以作出圓內(nèi)接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形、……；在作出⊙O的內(nèi)接正六邊形的基礎(chǔ)上，即可以作出圓內(nèi)接正十二邊形，照此方法依次可作正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形……
【設(shè)計(jì)意圖】理解并掌握兩種等分圓周做正多邊形的方法，并使學(xué)生明確用圓規(guī)和直尺只能作出一些特殊的正多邊形．
3．設(shè)計(jì)圖案
問題4　你能用等分圓周的方法畫出下列圖案嗎？
圖1???????????? 圖2?????????????? 圖3
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生觀察圖案，通過分析明確圖案的構(gòu)成和畫法．
圖1：以圓的三等分點(diǎn)為圓心，圓的半徑為半徑作三條弧，可以用圓規(guī)、直尺完成．
圖2：以正六邊形的中點(diǎn)為圓心，正六邊形的邊長(zhǎng)為直徑向圓外畫半圓，可以用圓規(guī)、直尺完成．
圖3：作圓的內(nèi)接正五邊形，再以正五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫10條弧，這個(gè)畫圖需要借助量角器，不能用圓規(guī)、直尺完成．
【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)鞏固兩種畫正多邊形的方法，發(fā)展學(xué)生畫圖的能力，對(duì)學(xué)生進(jìn)行美的教育．
4．小結(jié)
問題5　通過這節(jié)課，你學(xué)會(huì)了什么？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生自主總結(jié)，交流，相互補(bǔ)充．
通過這節(jié)課，知道了兩種等分圓周的方法，即用量角器等分圓周和用尺規(guī)等分圓周，并且明確了用量角器等分圓周的方法可以畫任意正多邊形，而用尺規(guī)等分圓周只能畫一些特殊的正多邊形．
【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自我小結(jié)，明確了本節(jié)課的目標(biāo)，同時(shí)又實(shí)現(xiàn)了自我反饋，從而建構(gòu)起自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，形成自己的見解．
5．鞏固應(yīng)用
教科書P108練習(xí)題第1題．
6．布置作業(yè)
教科書習(xí)題24．3第8，9題．
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
分別用兩種等分圓周的方法畫正八邊形．
【設(shè)計(jì)意圖】考查正多邊形的畫法．
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《正多邊形和圓》同步試題
北京市一零一中學(xué)　李愛民
一、選擇題
1．下列正多邊形不能用尺規(guī)作圖畫出的是（? ???）．
A．正三角形????? B．正方形??? ??C．正五邊形???? D．正六邊形
考查目的：考查尺規(guī)作圖法作圓內(nèi)接正多邊形．
答案：C．
解析：尺規(guī)作圖法不能作圓內(nèi)接正五邊形，故答案應(yīng)選擇C．
2．用尺規(guī)作圖法作出正三角形后，還能繼續(xù)用尺規(guī)作圖法作出的正多邊形是（???? ）．
A．正方形 ?????? B．正六邊形 ?????? C．正九邊形?????? D．正十邊形?
考查目的：考查正多邊形的尺規(guī)作圖法．
答案：B．
解析：作出圓內(nèi)接正三角形后，再過圓心作各邊的垂線與⊙O 相交，或作各中心角的角平分線與⊙O 相交，即可以作出圓內(nèi)接正六邊形，照此方法依次可作正十二邊形、正二十四邊形……故答案應(yīng)選擇B．
3．下列⊙O的內(nèi)接正多邊形中，最接近圓的面積的是（???? ）．
A．正六邊形????? B．正八邊形????? C．正十邊形????? D．正十二邊形
考查目的：考查正多邊形的面積的與圓的面積的關(guān)系．
答案：D．
解析：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，面積越接近圓的面積，故答案應(yīng)選擇D．
二、填空題
4．正八邊形的中心角的度數(shù)為_______°，每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為_______°，每一個(gè)外角度數(shù)為_______°．
考查目的：考查正多邊形中心角、內(nèi)角、外角的概念．
答案：45；135；45．
解析：中心角的度數(shù)為360°÷8=45°；每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為（8-2）180°÷8=135°；每一個(gè)外角度數(shù)為360°÷8=45°．
5．周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積分別記作S3、S4、S6，則它們之間的大小關(guān)系是_____．（用“>”連接）
考查目的：考查正多邊形的周長(zhǎng)與面積的關(guān)系．
答案：S6>S4>S3．
解析：在周長(zhǎng)相等的條件下, 邊數(shù)越多，面積越大．
6．下列命題：①各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；②正多邊形的任意兩個(gè)角的平分線如果相交，則交點(diǎn)為正多邊形的中心；③正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交，則交點(diǎn)是正多邊形的中心；④圓內(nèi)接正多邊形各邊所對(duì)的弧相等．其中假命題是_______（填序號(hào)）．
考查目的：考查正多邊形的有關(guān)知識(shí)．
答案：④．
解析：①圓內(nèi)接多邊形各邊相等，所對(duì)的劣弧所對(duì)的圓周角相等，所以是正多邊形；②正多邊形的內(nèi)角平分線必過中心，所以任意兩個(gè)角的平分線如果相交，則交點(diǎn)為正多邊形的中心；③正多邊形每邊的中垂線是對(duì)稱軸，必過中心，所以，任意兩條邊的中垂線如果相交，則交點(diǎn)是正多邊形的中心；④圓內(nèi)接正多邊形各邊所對(duì)的弧分為優(yōu)弧和劣弧，不一定相等．所以①②③正確，④錯(cuò)誤．
三、解答題
7．已知，如圖，在⊙O中用尺規(guī)作圖法畫圓內(nèi)接正方形．
考查目的：考查尺規(guī)作圖法作圓內(nèi)接正方形．
答案：圖略．
解析：在⊙O中作兩條互相垂直的直徑，垂足為O，就可以把圓四等分，順次連接四等分點(diǎn)，從而作出圓內(nèi)接正方形．
8．已知，如圖，畫圖把⊙O十等分．
考查目的：考查用度量法等分圓周．
答案：畫圖略．
解析：把360°的圓心角用量角器十等分，每一份36°，角的邊與圓的交點(diǎn)即為各十等分點(diǎn)．
9．已知，如圖，在⊙O中用不同的方法畫圓的內(nèi)接正三角形．
考查目的：考查用度量法、尺規(guī)作圖作正多邊形．
答案：如圖．
??
圖1??????????????????? 圖2??????????????????? 圖3
解析：度量法①：如圖1，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
度量法②：如圖2，用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
尺規(guī)作圖法：如圖3，用圓規(guī)在⊙O上順次截取6條長(zhǎng)度等于半徑的弦，間隔一點(diǎn)順次連接其中的AB、BC、CA即可．
?

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