資源簡介

《弧長和扇形的面積》教學設計
北京市十一學校　李鵬飛
一、內容和內容解析
（一）內容
弧長和扇形的面積．
（二）內容解析
“弧長和扇形面積”作為圓這一章中的重要組成部分，是在研究了圓的有關性質，了解與圓有關的位置關系等之后，進一步研究的圓中有關弧、扇形、圓心角、圓等之間的數量關系．弧長公式是在是在圓周長公式的基礎上，借助部分與整體之間的聯系推導出來的．運用相同的研究方法，可以在圓面積公式的基礎上推導出扇形面積公式，進而通過弧長公式表示扇形面積．應用這兩個公式公式，可以計算一些與圓有關的簡單組合圖形的周長和面積．同時，學習這兩個公式也為圓錐側面積公式的推導打下了基礎．
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1．理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長、扇形的面積．
2．在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受轉化、類比的數學思想．
（二）目標解析
達成目標1的標志是：學生能夠理解1°的圓心角所對的弧長等于圓周長的，所對的扇形面積等于圓面積的；能夠發現n°的圓心角所對的弧長和扇形面積都是1°的圓心角所對的弧長和扇形面積的n倍；能利用弧長表示扇形面積．并能利用公式計算簡單組合圖形的弧長和面積．
達成目標2的標志是：在弧長和扇形面積公式的推導過程中，發現弧長與圓周長、扇形面積與圓面積都是部分與整體之間的關系，從而將計算弧長和扇形面積的問題轉化為求圓周長和圓面積的一部分來解決，體會轉化、類比的數學思想．
三、教學問題診斷分析
圓的周長和面積公式都是學生已經掌握的內容，學生能夠感知到弧長和扇形面積分別與圓周長和面積有關，但是對于公式推導過程中圓心角的作用不易理解．教師可以利用特殊情況進行引導：先知道360°的圓心角所對的弧長即圓的周長，在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧長相等，越大的圓心角所對的弧越長等等，然后求180°的圓心角（半圓）所對的弧長，再通過求90°，60°的圓心角所對的弧長，逐漸認識弧長，再求1°的圓心角所對的弧長，再通過求2°，15°等等圓心角所對的弧長，最后探索n°的圓心角所對的弧長，通過n°圓心角與1°圓心角的倍數關系得出弧長公式．通過類比的方法得到扇形的面積公式．
本節課的教學難點是：推導弧長和扇形面積公式的過程．
四、教學過程設計
1．推導并應用弧長公式
問題1　制造彎形管道時，經常要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖1中所示的管道的展直長度L（結果取整數）．
師生活動：
（1）先給時間讓學生分析題中條件：管道由三個圖形組成（兩條線段和一段弧），要求展直長度L，需要知道兩條線段長和弧長；其中線段長已知，問題的關鍵是求弧長．
（2）如何求100°的圓心角所對的弧長呢？（學生活動：分小組討論求解方案）
（3）老師引導：
①圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧長？
②180°的圓心角所對的弧長（半圓）是多少？
③90°的圓心角所對的弧長（半圓）是多少？
④在同圓或等圓中，每一個1°的圓心角所對的弧長有怎樣的關系？
⑤1°的圓心角所對的弧長是多少？
⑥n°的圓心角所對的弧長是多少？
由此引導學生逐步得出結論：
n°的圓心角所對的弧長是1°的圓心角所對弧長的n倍，半徑為R的圓周長為2πR，利用1°圓心角所對的弧長，再乘以n，就可以得到n°的圓心角所對的弧長為．（此時教師還要強調公式中n的意義，n表示1°的圓心角的倍數，它是不帶單位的，公式中，180也是不帶單位的．）
（4）根據弧長公式，計算100°的圓心角所對的弧長，并完成問題解答．
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【設計意圖】引導學生發現問題、分析問題和解決問題．首先拋出一個學生還不能解決（沒學過）的問題：100°的圓心角所對的弧長如何計算？激起學生的求知欲望，引導學生自己去發現和探索未知的領域．然后搭臺階，通過一系列小問題，讓學生逐步由已知領域（圓的周長），逐步探索、發現、認識未知的領域n°的圓心角所對的弧長計算公式，讓學生學會思考，學會分析問題和解決問題，并從其中獲得成功的體驗．
2．推導扇形面積公式
問題2 同學們已經學習過扇形了，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．如何計算扇形面積？你能否類比研究弧長公式的方法推導出扇形面積的公式？
師生活動：學生獨立思考并討論．類比弧長公式的研究過程（從求360°的圓心角所對的扇形面積出發，先研究180°、90°的圓心角所對的扇形面積，再研究1°的圓心角所對的扇形面積，再研究n°的圓心角所對的扇形面積），可以發現在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以1°的圓心角所對的扇形面積是圓面積的，即，則n°的圓心角所對的扇形面積為．
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【設計意圖】類比弧長公式的發現過程，由學生獨立思考、歸納出扇形面積公式．
問題3 比較扇形面積公式和弧長公式，你能用弧長表示扇形面積嗎？
師生活動：學生獨立思考并討論．通過觀察可以發現扇形面積公式中，分子含有因式，則分子可寫成；分母360可寫成180×2．所以弧長可以來表示扇形面積，，所以．其中l為扇形的弧長，R為半徑．
此時教師可以引導學生，扇形面積的另一個計算公式與三角形的面積公式類似，只要把扇形看作是一個曲邊三角形，把弧長l看成是底，半徑R看成是高就可以了．
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設計意圖：通過對比弧長和扇形面積公式，讓學生發現可以通過弧長表示扇形面積，為圓錐側面積公式的推導做準備．
3．練習、鞏固弧長和扇形面積公式
例2　如圖2，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0．6m，其中水面高0．3m，求截面上有水部分的面積（結果保留小數點后兩位）．
老師引導：
（1）你能否在圖中標出截面半徑0．6m和水高0．3m？（線段AB和線段CD）
（2）分析截面上有水部分圖形的形狀，如何求它的面積？（扇形面積－三角形面積）
師生活動：（1）給時間讓學生獨立思考，并完成解題過程（老師巡視、個別指導）；
（2）小組交流，并由小組推薦一名學生板書過程；
（3）師生共同分析板書學生的解題過程．
【設計意圖】結合具體例子研究弓形的面積的求法．加深學生對扇形面積公式的理解和運用．同時小結不規則圖形的解法：若圖形為不規則圖形時，要把它轉化為規則圖形來解決．
練習　教科書第113頁練習第1，2，3題．
師生活動：兩名學生分別板書2,3題，其他學生在練習本上完成，教師巡視，指導．然后小組交流，并評價．
【設計意圖】練習1是對弧長公式進行辨析，半徑和圓心角的大小都對弧長的大小有影響．練習2是鞏固弧長公式．練習3是鞏固扇形的面積公式．
4．小結
教師與學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
（1）弧長和扇形面積公式是什么？你是如何得到這兩個公式的？如何運用？
（2）弧長與圓周長、扇形面積與圓面積之間有什么聯系？
【設計意圖】通過小結，使學生梳理本節課所學內容，把握本節課的核心——弧長和扇形面積公式，并體會部分與整體之間的聯系和類比、轉化的數學思想．
5．布置作業
教科書習題24．4，2，4，6，8題．
五、目標檢測設計
1．已知扇形的圓心角為70°，半徑為1，則這個扇形的弧長是______．
【設計意圖】考查學生對弧長公式的掌握．
2．已知扇形的圓心角為50°，半徑為4cm，則扇形的面積是________cm2．
【設計意圖】考查學生對扇形面積公式的掌握．
3．如圖，正△ABC內接于⊙O，邊長為4 cm，求圖中陰影部分的面積．
【設計意圖】考查學生對扇形面積公式的掌握．
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《弧長和扇形的面積》同步試題
北京市十一學校　李鵬飛
一、選擇題
1．已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的弧長為（　 　）
A．??? ??????????B．π??? ????????C．?? ????????????D．
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考查目的：考查弧長公式．
答案:D．
解析：根據弧長公式知：扇形的弧長為．故選D．
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2．圓心角為120°，弧長為的扇形半徑為（ ????）
A．6?????? ?????????B．9???? ??????C．18????? ??????????D．36
考查目的：考查弧長的計算．
答案: C．
解析：設該扇形的半徑是，
∵n=120°，，∴，∴．故選C．
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3．如圖，在正方形ABCD中，對角線BD的長為．若將BD繞點B旋轉后，點D落在BC延長線上的點D′處，點D經過的路徑為弧DD′，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A．??????? B．?????? C．?????? D．
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考查目的：正方形的性質、旋轉的性質、扇形面積的計算．
答案: C．
解析：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBD′=45°，BC=CD，
∵BD的長為，
∴BC=CD=1，
∴S扇形BDD′=，
S△CBD=×1×1=，
∴陰影部分的面積：，故選C．
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二、填空題
4．半徑為4cm，圓心角為60°的扇形的面積為??????? cm2．
考查目的：考查扇形公式．
答案: ．
解析：半徑為4cm，圓心角為60°的扇形的面積為：（cm2）．
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5．若扇形的圓心角為60°，弧長為，則扇形的半徑為　 ????　．
考查目的：考查弧長公式．
答案: 6．
解析：∵扇形的圓心角為60°，弧長為，∴，則扇形的半徑．
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6．如圖，在中，，，，分別以點和為圓心的兩個等圓外切，則圖中陰影部分面積為　 　（結果保留）．
考查目的：考查扇形面積的計算、勾股定理、相切兩圓的性質等．
答案: ．
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解析：根據題意設兩圓的半徑為，在中，
∵，，，
∴，即,
∴．
∵，
∴，
∴陰影部分的面積是．
故答案是．
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三、解答題
7．如圖，它是由兩條直線和中間半圓形彎道組成的．若內外兩條跑道的終點在一直線上，則外跑道起點往前移，才能使兩跑道有相同的長度，如果跑道寬1.22米，則外跑道的起點應前移多少米？(π取3.14，結果精確到0．01米)
考查目的：考查弧長的計算．
答案: 3.83米．
解析：本題是一個實際應用題，應將其轉變為幾何圖形．事實上，外跑道中間的彎道比內跑道的彎道長的長度，即為外跑道的起點應前移的長度．理解題意，求出兩彎道的長度差即可．
解：因彎道為半圓形，所以外彎道比內彎道長的距離為
?(米)，
?
所以外跑道的起點應前移3.83米．
8．如圖，Rt的斜邊，是的中點，以為圓心的半圓分別與兩直角邊相切于點、，求圖中陰影部分的面積．
考查目的：考查扇形面積的計算．
答案: ．
?
解析：陰影部分面積可以看成是一個小直角三角形與一個扇形面積的差的2倍；或者是大直角三角形與半圓面積的差．
解法一：由題意知，，連接，則．
∵，∴．
又∵，∴．
∴．
解法二：由對稱性知，，
∴．

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