資源簡介

《用列表法求概率》教學設計
北京市第二十中學　王云松
一、內容和內容解析
1．內容
用列表法求簡單隨機事件的概率．
2．內容解析
學生在前幾節的學習中，已經了解了概率的意義及通過直接列舉試驗結果的方法，求簡單隨機事件發生的概率．這種求概率的方法，是建立在一次實驗中，如果可能出現的結果只有有限個，且各種結果出現的可能性大小相等．但是當每次試驗涉及兩個因素（或兩步實施）而每一因素又有多種情況時，用直接列舉的方法不夠方便．為了不重不漏的列出所有結果，教科書給出了用表格進行列舉的方法——列表法．
列表法是依據試驗涉及的兩個因素（或是兩個步驟），將它們分別作為表格的橫縱表頭，而將實驗的所有結果寫在表格之中，從而實現不重不漏地列舉出所有結果．這種有序分步地進行問題分析的方法，將在接下來的列樹狀圖求概率及高中階段排列組合的學習中繼續運用．另外，學習本節課將進一步培養學生的隨機觀念，加深對概率意義的理解．
基于以上分析，確定本節課的教學重點是：用列表法求隨機事件發生的概率．
二、目標和目標解析
1．教學目標
（1）理解列表法的適用條件；
（2）能用列表法求隨機事件發生的概率．
2．目標解析
達成目標（1）的標志是：學生能理解一次試驗“包含兩步，并且每一步的結果為有限多個情形”的意義；理解列表法相對于直接列舉，體現了有序分步思考較復雜問題時所起的作用．
達成目標（2）的標志是：列表法每一步的結果為有限多個情形，這樣的試驗出現的所有等可能結果，并會利用古典概率的定義對指定的隨機事件求出其發生的概率.
三、教學問題診斷分析
本節是在上一節的基礎上，繼續研究用列舉的方法求概率．相比上一節，這一節中的問題相對復雜些，試驗中每一種結果都包含兩個子結果（這時試驗往往是分兩步實施，或涉及兩種因素等）．當試驗結果比較復雜時，采用一些特殊形式幫助梳理列舉的條理，往往有利于不重不漏的列舉試驗的結果．因此，教科書在通過設計擲骰子的例子介紹了借助列表格列舉試驗結果的方法．學生針對兩步操作的問題，往往還是愿意使用直接列舉的方法，甚至有時直接將每個因素所出現的結果進行相加，而作為所有出現的結果，說明學生還沒有真正理解列表的含義．
基于以上分析，本節課的教學難點是：能根據試驗的分步實施或涉及因素準確列表．
四、教學過程設計
1．創設情境，引入新知
問題1 ?小聰、小明和小慧設計了一個游戲：同時擲兩枚硬幣，如果都是正面朝上，小聰羸；如果都是反面朝上，小明贏；如果是一正一反，小慧贏．你來判斷一下，這個游戲公平嗎？
師生活動：學生展開討論，發表自己的意見．學生能說出游戲是否公平取決于三人獲勝概率的是否相等．如果學生認為游戲公平，則其把“兩正”、“兩反”、“一正一反”當作了是三種等可能性的情況. 教師針對這學生出現的問題，要向學生闡明：事實上我們可以將兩個硬幣分開來看，可以為其標出序號1，2，這樣可以將所有情況一一列舉出來：正1正2（記為事件A）；正1反2；反1正2；反1反2（記為事件B），顯然這四種情況出現的可能性相等．因而P(A)=，P(B)=，而一正一反（記為事件C）的結果共有2種．
所以P(C)=．由于三種事件的概率不同，因而這個游戲是不公平的．
【設計意圖】創設現實情境，由學生感興趣的游戲入手，引入課題，調動學生的學習積極性．通過學生的計算，既回顧了上節課直接列舉所有等可能情況下，求隨機事件發生概率的方法，又向學生展示了涉及兩個因素試驗隨機事件發生概率的求解，所以本題起著承上啟下的作用．
教師追問1　“同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣”與“先后兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”，這兩種試驗的所有可能結果一樣嗎？
師生活動：教師引導學生進行思考、討論，明確“同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣”與“先后兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣”，沒有本質的區別．當同時拋擲兩枚硬幣時，由于每枚硬幣相對獨立，其所出現的結果不受另一枚硬幣的影響，這與先后拋擲一枚硬幣道理一樣．兩種情形下，都會出現“正正”，“正反，“反正”，“反反”四種等可能性的結果．這說明，當一次試驗的結果涉及兩個因素時，可以采用分步思考的方法對兩個因素按序分析．
【設計意圖】通過追問，引發學生思考，并明確當試驗中涉及兩個因素時，等價于分兩步實施，體現思考的有序性和分類思想．
2．探究新知，明確方法
問題2 ?同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，兩枚骰子的點數會出現多少可能的結果？它們出現的可能性是否相等？
師生活動：教師提出問題，引發學生思考：如果用直接列舉的方法方便嗎？師生共同分析，在這個問題中也是涉及到了兩個因素（第一枚骰子和第二枚骰子），而每個因素的取值個數較多，達到6種，如果直接列舉會比較復雜，而且可能會出現重復或遺漏．怎樣才能做到不重不漏呢？師生交流后達成共識相，可以采用列表格的形式，將第一枚骰子的所有可能結果作為表頭的縱列，將第二枚骰子的所有結果作為表頭的橫行，并按序將兩枚骰子共同組成的所有可能結果填入表中．學生動手畫出如下表格：
學生通過表格發現共有36種結果，而且它們的可能性相等．這樣就比較直觀地將涉及兩個因素的所有可能出現的結果不重不漏的體現出來，相對于直接列舉優勢明顯．教師指出，通過列表格的方法將試驗的所有可能出現的結果列舉出來的方法，叫列表法．今后，當一次試驗涉及到兩個因素（或兩步實施）時，可以選用列表法．
【設計意圖】明確列表法的適用條件及列表的一般方法．
3．例題示范，學會應用
例　同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，計算下列事件的概率：
(1) 兩個骰子的點數相同；
(2) 兩個骰子的點數的和是9；
(3) 至少有一個骰子的點數為2．
問題３　例題中的試驗涉及幾個因素？你能用列表法計算這三個事件發生的概率嗎？
師生活動：教師提出問題，學生思考回答這個試驗涉及到了兩個因素（兩枚骰子），因而可以用列表法．通過剛才的列表，我們已經知道試驗共有36種可能的結果，并且它們發生的可能性相同．所以，弄清在問題中的三個事件中，各自包含多少種可能的結果是解題的關鍵．學生觀察表格可以看出：
（1）滿足兩個骰子的點數相同（記為事件A）的結果有6個（滿足條件的結果在表格的對角線上），即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)；
（2）滿足兩個骰子的點數的和是9（記為事件B）的結果有4個（滿足條件的結果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上），即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)；
（3）至少有一個骰子的點數為2（記為事件C）的結果有11個（滿足條件的結果在數字2所在的行和2所在的列上），所以P(C)．
師生共同歸納，運用列表法求概率的步驟如下：
①列表；
②通過表格計數，確定公式P(A)中 m和n的值；
③利用公式P(A)計算事件的概率．
【設計意圖】運用列表法求概率，鞏固概率求法的一般步驟．
教師追問2　“同時拋擲兩枚質地均勻的骰子”與“先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子”，得到的結果有變化嗎？為什么？
師生活動：學生分析回答，與剛才游戲中拋擲硬幣的道理一樣，同時擲兩枚與先后擲同一枚并不能影響結果的可能性的大小．從而得出結論：如果試驗只涉及兩個因素，并且每個因素取值數為有限多個的情形，就可以用列表法求概率，如果實驗只涉及一個因素，但要分兩步進行時時，也可以用列表法．
【設計意圖】明確試驗涉及到兩個因素時，其本質就是進行分步分析，有序思考．
4．反饋練習，鞏固方法
練習：在一個口袋中有5個完全相同的小球，把它們分別標號1，2，3，4，5，隨機地摸出一個小球后，記下標號放回，再隨機地摸出一個小球，用列表法求下列事件的概率：
（1）兩次取的小球的標號相同；
（2）兩次取的小球的標號的和等于5.
師生活動：學生運用剛才學習的列表法進行分析計算，教師巡視指導．通過列表，可知共有25種可能的結果，且這些結果的可能性相同．兩次取的小球的標號相同（記為事件A）的結果共有5個，所以P(A)；兩次取的小球的標號的和等于5（記為事件B）的結果共有4個，所以P(B)．
【設計意圖】 復習鞏固用列表法求概率的方法，滲透隨機觀念和建模思想.
變式：在一個口袋中有5個完全相同的小球，把它們分別標號1，2，3，4，5，隨機地摸出一個小球后，不放回，再隨機地摸出一個小球，用列表法求下列事件的概率：
（1）兩次取的小球的標號相同；
（2）兩次取的小球的標號的和等于5.
師生活動：教師指導學生列出表格，與剛才的表格對比，少了五種可能性. 這是因為當第一次取了某個標號的小球后而不放回，所以表格中不會出現標號相同的小球．這樣所有等可能性的結果是20個，標號相同的結果為0個，所以（1）中事件發生的概率為0；（2）中標號和為5的結果仍然是4個，所以其概率為．
【設計意圖】通過變式練習，加深學生對列表法求概率的理解和應用，明確試驗中有放回與無放回時對試驗結果存在影響.
5．歸納小結，反思提高
師生共同回顧本節課所學內容，并請學生回答以下問題：
(1)列表法求概率的適用條件是什么？
(2)列表法求概率的一般步驟是什么？
(3)使用列表法要注意哪些問題？
【設計意圖】通過小結，使學生梳理本節課所學內容，把握本節課的核心——列表法求概率，明確其方法和一般步驟．
6．布置作業
教科書P138頁練習；習題25．2第3題．
五、目標檢測設計
1．連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，兩次正面都朝上的概率是（? ??）
A．? ??B．? ?? ???C．? ? ???D．
【設計意圖】考查學生對擲硬幣模型的理解．
2．小杰與小龍玩一次“石頭、剪刀、布”游戲，則小杰贏的概率是　　　　　　　；　　　
小龍贏的概率是　　　　　　　．這個游戲是否公平？
【設計意圖】考查學生在實際情境中運用列表法解決問題的能力．??
3．如圖有2個轉盤，分別分成5個和4個相同的扇形，顏色分別為紅、綠、黃三種顏色，指針的位置固定，同時轉動2個轉盤后任其自由停止，（指針指向兩個扇形的分界線時，則重轉一次），用列表法求下列事件的概率：
（1）兩個指針同時指向紅色；
（2）指針一個指向紅色，另一個指向綠色.
?
【設計意圖】考查學生在實際情境中運用列表法解決問題的能力．
《用列表法求概率》同步試題
北京市第二十中學　王云松
一、選擇題
1．連擲兩次質地均勻的硬幣，兩次均為正面朝上的概率是（??? ）
A．????? ?????? B．?????????? C．????? ??? ????D．0
考查目的：考查兩枚硬幣模型的理解應用．
答案：A．
解析：通過列表或直接列舉，共有4種等可能性結果，而兩次均正面朝上的只有一種，故選A．
2．同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，朝上的面的點數中，一個點數能被另一個點數整除的概率是（??? ）
A．????? ?????????B．????????????? C．????????????? D．
考查目的：考查列表法求概率的應用．
答案：C．
解析：通過列表可以看出，在36種等可能性中，一個點數能被另一個點數整除的結果共有22個，故選C．
3．甲盒裝有3個小球，分別標號為1，2，3；乙盒裝有2個小球，分別標號為1，2．現分別從每個盒中隨機地取出1個球，則取出的兩球標號之和為4的概率是（??? ）
A．1?????????????? B．????????????? C． ?????????????D．
考查目的：考查列表法求概率的應用．
答案：C．
解析：通過列表可以看出，在6種等可能性中，兩球標號之和為4的結果共有2個，所以P（兩球標號之和為4）=，故選C．
二、填空題
4．一個布袋中裝有1枚白色圍棋棋子，1枚黑色棋子，現從袋中有放回地摸棋子兩次，摸到兩個白子的概率為?????? ，先摸到白子，再摸到黑子的概率為????? ．
考查目的：考查兩枚硬幣模型的理解應用．
答案：；．
解析：通過列表可以看出，因為有放回,所以等同于同時投擲兩枚硬幣模型，在4種等可能性中，摸到兩個白子的可能性只占1種，先摸到白子，再摸到黑子的可能性也是1種，故兩個事件發生的概率均為．
5．如圖所示是兩個各自分割均勻的轉盤，同時轉動兩個轉盤，轉盤停止時（若指針恰好停在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區域為止），兩個指針所指區域的數字和為偶數的概率是 ????????．
考查目的：列表法求概率在實際問題中的應用．
答案：．
解析：通過列表可以看出，在15種等可能性中，兩個指針所指區域的數字和為偶數的結果共有7種，故該事件發生的概率為．
6．小明與小軍在一起下棋時,需要確定下棋的先后順序，他們約定用“錘子、剪刀、布”的方式確定，請問在一個回合中兩個人都出“布”的概率是? ??????????．
考查目的：考查列表法求概率在實際問題中的應用．
答案：．
解析：通過列表可知共有9種等可能性結果，而兩人同時出“布”的結果只有1種，所以概率為．
三、解答題
7．一家醫院某天出生了2個嬰兒，假設生男生女的機會相同，那么這2個嬰兒中，出現1個男嬰、1個女嬰的概率是多少？
考查目的：考查對兩枚硬幣模型的應用．
答案：．
解析：通過列表或直接列舉可知共有“男男”、“男女”、“女男”、“女女”4種結果，而它們出現的可能性是相等的，其中“一男，一女”的結果有2個，所以出現1個男嬰、1個女嬰的概率為．
8．如圖所示的甲乙兩個轉盤中，指針固定，轉盤可以自由轉動．現轉動兩個轉盤，轉盤停止后，指針各指向一個數字，用所指的兩個數字作乘積(若指針停在扇形的分界線上,則約定指向分界線的右側數字)．
（1）請用列表法列舉所有可能得到的數字之積；
（2）請求出數字之積為奇數的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　
考查目的：考查列表法求概率在實際問題中的應用．
答案：（1）24種；（2）．
解析：由列表可知，兩數之積的情況有24種，它們的可能性相等,而數字之積為奇數的共有6種,所以P(數字之積為奇數)=．

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