資源簡介

《用頻率估計概率
》教學(xué)設(shè)計
北京市中關(guān)村中學(xué)　楊愛青
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
從統(tǒng)計試驗(yàn)結(jié)果的角度研究概率．
2．內(nèi)容解析
前面兩節(jié)，教科書給出了概率的古典定義，并利用列舉法求一些簡單隨機(jī)事件的概率．本節(jié)課是從統(tǒng)計試驗(yàn)結(jié)果的角度研究概率，即通過頻率研究概率．教科書通過設(shè)置一個可以用概率的古典定義求得概率的投硬幣試驗(yàn)，一方面讓學(xué)生經(jīng)歷隨機(jī)試驗(yàn)獲得事件發(fā)生頻率，用頻率的穩(wěn)定趨勢估計概率的過程，另一方面讓學(xué)生體會用頻率估計的概率可以和前兩節(jié)學(xué)習(xí)的概率的古典定義統(tǒng)一，兩種不同方法求得的是同一個概率，且用頻率估計概率比古典定義更具有一般性．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．教學(xué)目標(biāo)
（1）理解概率的意義，知道如何用頻率估計概率；
（2）體會頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．
2．目標(biāo)解析
（1）能夠通過隨機(jī)試驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計概率；
（2）知道頻率與概率是兩個不同的概念，頻率與試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)，而頻率的穩(wěn)定性又說明了概率是一個客觀存在的數(shù)，是隨機(jī)事件自身的一個屬性，它與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率．
三、教學(xué)問題診斷分析
本節(jié)課是在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上，從統(tǒng)計試驗(yàn)結(jié)果的角度研究概率．理解概率的意義，體會頻率與概率之間的區(qū)別與聯(lián)系是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，同時也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)．教學(xué)中，要明確用頻率估計概率的條件及方法，即當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率．利用頻率估計概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個數(shù)值P附近擺動，這個穩(wěn)定值P，叫做隨機(jī)事件A的概率，并記為P(A)=P．教學(xué)中應(yīng)該鼓勵學(xué)生使用現(xiàn)代信息技術(shù)，采用模擬方法進(jìn)行試驗(yàn)． 通過親自參與試驗(yàn)，使學(xué)生體會隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的隨機(jī)性以及大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)而促進(jìn)對概率意義的理解與掌握，領(lǐng)會頻率與概率之間的辯證關(guān)系．
四、教學(xué)過程設(shè)計
1．復(fù)習(xí)引入
問題1　用列舉法求概率的條件是什么？方法是怎樣的？
師生活動：教師提出問題，學(xué)生回答問題．
一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率．
?
【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)概率的古典定義，為引出概率的統(tǒng)計定義做準(zhǔn)備．
問題2　天氣預(yù)報中說的“降水概率70%”能用列舉法算出來的嗎？
師生活動　教師提出問題，學(xué)生思考并回答問題．
【設(shè)計意圖】生活實(shí)際中存在大量的不符合“試驗(yàn)結(jié)果個數(shù)有限和等可能”條件限制的概率問題，不能用古典定義求概率，從而引出本節(jié)課的課題“用頻率估計概率”．
2．試驗(yàn)探究
用列舉法可以求一些事件的概率，我們還可以利用多次重復(fù)試驗(yàn)，通過統(tǒng)計試驗(yàn)結(jié)果去估計概率．
問題3　拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有兩個 “正面向上”和“反面向上”，并且它們發(fā)生的可能性相等，因此我們可以用概率的古典定義求得“正面向上”這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率是0.5．這是否意味著拋擲一枚硬幣100次時，就會有50次“正面向上”呢？
師生活動：教師提出問題，并組織學(xué)生用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)．全班同學(xué)分成10組．每組同學(xué)擲一枚硬幣50次，由課代表整理同學(xué)們獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并記錄在表25—3中．第1組的數(shù)據(jù)填在第1列，第2組的數(shù)據(jù)之和填在第2列，…，第10組的數(shù)據(jù)之和填在第10列．如果在拋擲硬幣n次時，出現(xiàn)m次“正面向上”，則稱比值為“正面向上”的頻率．
追問1：觀察試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？
學(xué)生觀察分析表25—3中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率在0.5左右波動．如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)頻率的分布規(guī)律，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表25—3中的數(shù)據(jù)，在圖25．3—1中標(biāo)注出對應(yīng)的點(diǎn)．
接下來，我們增加試驗(yàn)的次數(shù)，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)？
歷史上有許多數(shù)學(xué)家為了弄清其中的規(guī)律，曾堅(jiān)持不懈地做了成千上萬次的擲硬幣試驗(yàn)．閱讀教材第143頁表25—4，并觀察折線圖：
追問2：請同學(xué)們觀察一下，這個折線圖與25．3—1的折線圖反映的規(guī)律有什么不同？出現(xiàn)的規(guī)律與試驗(yàn)次數(shù)有何關(guān)系？
學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在重復(fù)拋擲一枚硬幣時，“正面向上”的頻率在0.5附近擺動．
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：隨著拋擲次數(shù)的增加，頻率呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性：在0.5附近擺動的幅度會越來越小．這時，我們說“正面向上”的頻率穩(wěn)定于0.5．它與前面用列舉法得出的“正面向上”的概率是同一個數(shù)值．因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計它的概率．
追問3：拋擲一枚硬幣100次時，一定會有50次“正面向上”和50次“反面向上”嗎？
【設(shè)計意圖】初步體會頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．讓學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計意識，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律．
3．小結(jié)
問題4　通過這節(jié)課，你對求隨機(jī)事件的概率有什么新的認(rèn)識？
師生活動：教師提出問題，并引導(dǎo)學(xué)生回答下列問題：
（1）在什么條件下適合用計算事件的概率？
?
（2）事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的頻率有什么聯(lián)系和區(qū)別？
（3）用頻率估計概率的一般方法是什么？
【設(shè)計意圖】設(shè)置這個問題，是想引導(dǎo)學(xué)生對兩種求概率的方法進(jìn)行總結(jié)，再一次明確它們適用的條件及具體的操作方法；進(jìn)一步加深對頻率、概率這兩個概念的認(rèn)識，領(lǐng)會它們之間的辯證關(guān)系．
4．鞏固應(yīng)用
教科書第144頁練習(xí)第1題．
師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考、回答．選學(xué)生展示解答過程，教師點(diǎn)評．
【設(shè)計意圖】在“投硬幣試驗(yàn)”之后，安排一道用頻率估計概率的小題，是想鞏固用頻率估計概率的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)頻率的穩(wěn)定趨勢估計概率的能力．
5．布置作業(yè)
教科書第148頁習(xí)題25．3第4題．
五、目標(biāo)檢測設(shè)計
1．某校男生中，若隨機(jī)抽取若干名同學(xué)做“是否喜歡足球”的問卷調(diào)查，抽到喜歡足球的同學(xué)的概率是，這個的含義是（??? ）．
A．只發(fā)出5份調(diào)查卷，其中三份是喜歡足球的答卷
B．在答卷中，喜歡足球的答卷與總問卷的比為3∶8
C．在答卷中，喜歡足球的答卷占總答卷的
?
D．在答卷中，每抽出100份問卷，恰有60份答卷是不喜歡足球
【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對“概率意義”的理解．
2．小穎有20張大小相同的卡片，上面寫有1~20這20個數(shù)字，她把卡片放在一個盒子中，每次從盒中抽出一張卡片，然后放回再攪勻，記錄結(jié)果如下：
實(shí)驗(yàn)次數(shù)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3的倍數(shù)的頻數(shù)
5
13
17
26
32
36
39
49
55
61
3的倍數(shù)的頻率
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（1）完成上表；
（2）頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，穩(wěn)定于什么值左右？
（3）從試驗(yàn)數(shù)據(jù)看，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率估計是多少？
（4）根據(jù)推理計算可知，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率應(yīng)該是多少？
【設(shè)計意圖】鞏固用頻率估計概率的一般方法．
《用頻率估計概率
》同步試題
北京市一零一中學(xué)　李愛民
一、選擇題
1．本市氣象局預(yù)報稱：明天本市的降水概率為70%，這句話指的是（??? ）
A．明天本市70%的時間下雨，30%的時間不下雨?????????
B．明天本市70%的地區(qū)下雨，30%的地區(qū)不下雨?
C．明天本市一定下雨??????
D．明天本市下雨的可能性是70%
考查目的：概率與可能性大小的關(guān)系．
答案：D．
解析：降水概率指的是下雨的可能性的大小，故答案應(yīng)選擇D．
2．下列說法中正確的是（???? ）
A．某種彩票中獎概率1%，則購買100張彩票必然中獎??????????
B．連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子5次都不是1點(diǎn)，擲第6次骰子肯定是1點(diǎn)
C．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1000次，點(diǎn)數(shù)之和是7的頻率接近
D．連續(xù)擲硬幣100次，正面朝上的次數(shù)等于50次
考查目的：隨機(jī)現(xiàn)象的理解．
答案：C．
解析：選項(xiàng)A可能購買100張彩票沒有一張中獎；選項(xiàng)B擲1點(diǎn)的概率是，不代表擲6次骰子肯定有一次是1點(diǎn)；選項(xiàng)C擲的次數(shù)越多，點(diǎn)數(shù)之和是7的頻率就越接近概率；選項(xiàng)D擲硬幣，正面朝上的概率是50%，但擲100次不一定有50次正面向上．故答案應(yīng)選擇C．
3．將三粒均勻的分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正六面體骰子同時擲出1000次，出現(xiàn)的數(shù)字分別為，則正好是直角三角形三邊長的頻率接近（??? ）
A．???????????? B．??????? ???????C．?????????????? D．
考查目的：頻率與概率的關(guān)系．
答案：B．
解析：三邊長是3，4，5時構(gòu)成直角三角形，共有6種情況，所有等可能的情況有6×6×6=216種，通過計算可知，正好是直角三角形三邊長的概率為6÷216=，所以試驗(yàn)1000次的頻率更接近，故答案應(yīng)選擇B．
二、填空題
4．有四張不透明的卡片為除正面的數(shù)不同外，其余都相同．將它們背面朝上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張卡片500次，抽到寫有無理數(shù)卡片的頻率約為?? ?．
考查目的：考查頻率與概率的關(guān)系．
答案：．
解析：和是無理數(shù)，從四張不透明的卡片中抽到寫有無理數(shù)卡片的概率為，隨機(jī)抽取一張卡片500次，則頻率更接近概率．
5．某車間生產(chǎn)的零件不合格的概率為，從它們生產(chǎn)的零件中每天任取10個做檢驗(yàn)，平均來說，?????????? 天會查到一個次品．
考查目的：考查概率與頻率的關(guān)系．
答案：100．
解析：由題意可知，概率為的意義為1000個零件中可有一個次品，每天任取10個，100天任取1000個，重復(fù)下去，多次試驗(yàn)，頻率越來越接近概率．
6．外科大夫甲和乙手術(shù)不成功的概率分別為1%和2%，甲大夫已連續(xù)成功做了99例手術(shù)，乙大夫已連續(xù)做了99例手術(shù)，但有兩次失敗，那么下一次選擇???? 大夫做手術(shù)更好．（填甲或乙）
考查目的：考查概率的定義．
答案：甲．
解析：根據(jù)概率的定義，甲大夫做手術(shù)的成功率較高．
三、解答題
7．設(shè)計一個實(shí)驗(yàn)，估算6個人中有兩個人同一個月過生日的概率大約是多少．
考查目的：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法估算概率．
答案：約為0.78．
解析：方法1：設(shè)計一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，分成12個面積相等的扇形，標(biāo)上12個月，自由轉(zhuǎn)動6次，記錄結(jié)果．重復(fù)多次；方法2：取撲克牌中1—12共12張牌，每次充分洗勻后抽一張牌，抽6次為一組，記錄結(jié)果．重復(fù)多次．
8．省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時”寫入課表．為了響應(yīng)這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項(xiàng)目是什么？（只寫一項(xiàng)）”的問題，對在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù)．圖1是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的條形統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖回答下列問題：
（1）該校對多少名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查？
（2）本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比是多少？
（3）若該校九年級共有200名學(xué)生，圖2是根據(jù)各年級學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計圖，請你估計全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為多少？
考查目的：用頻率估計總體．
答案：（1）50名；（2）18人，；（3）160人．
解析：（1）由圖1知：（名）．
答：該校對50名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查．
（2）本次調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有18人． ．
最喜歡籃球活動的有18人，最喜歡籃球活動的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的．
（3），（人），
（人）．
答：估計全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為160人．

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