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4.2.2等差數列的前項和公式（第二課時）
書讀百遍
要點1 等差數列的前項和的性質
等差數列的前項和可以寫成，故也是 數列.
等差數列的依次每項之和組成公差為 的等差數列.
若等差數列的項數為.
，則
；
證明如下：
若等差數列的項數為
；則
，
（5）設兩個等差數列的前項和分別為
證明如下：
即
要點2 等差數列的前項和的最值
在等差數列中，
當時，有最 值，使取得最值的的值可由不等式組 確定；
當時，有最 值，使取得最值的的值可由不等式組 確定；
，若時，則從二次函數的角度看：
當時，有最 值； 當時，有最 值；
當取最接近二次函數圖象的對稱軸的正整數時，取到最值.
題型一 等差數列的前項和的性質
例1
一個等差數列的前12項的和為354，前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32：27，則該數列的公差為 ；
項數為奇數的等差數列，奇數項之和為44，偶數項之和為33，求此數列的項數與中間項.
練習：有一項數為的等差數列，求它的奇數項之和與偶數項之和的比.
例2
等差數列的前項和為30，前項之和為100，則數列的前項的和
；
設是等差數列的前項和.若則 ；
設設是等差數列的前項和， .
歸納：已知等差數列的前項和，可以構造出新的等差數列，常見的構造方法有：
是等差數列，公差是數列公差的倍；
數列是等差數列，公差是數列公差的.
練習：一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，則該數列的前110項的和為 .
題型二 等差數列的前項和的最值問題
例3 已知等差數列的前和為，若公差則是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.
歸納：求等差數列前項和的最大值（小）值的常用方法：
通項公式法：利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項；
二次函數法：在等差數列中，由于，則可用求二次函數最值的方法來前項和的最值，其中的值可由及二次函數圖象的對稱軸來確定.
練習：
在等差數列中，若，則數列的前 項的和最大.
在等差數列中，公差前項和為，當且僅當時取得最大值，則
的取值范圍是 ；
等差數列中，若，公差，則前項和取得最大值時正整數 ；
設等差數列的前項和為，已知.
①求公差的取值范圍；
②指出中哪一個值最大，并說明理由.

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