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期末總復習
班級：_____________姓名：__________________組號：_________
新定義專題
一、知識梳理
1．定義新運算“＊”如下：當a≥b時，a＊b=ab+b；當a＜b時，a＊b=ab-A．若（2x-1）＊(x+2)=0，則x=_____________。
2．若ab=4，則稱a與b是關于2的“比例數”。
（1）2關于2的比例數是_____________；5與-2與_____________是關于2的比例數；
（2）若X1、X2是方程x +（m-4）x+m +3=0的兩根，且X1、X2是關于2的比例數，試求m的值。
3．如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=xy，那么稱點P為和諧點。請寫出一個和諧點的坐標：_________。
4．定義[，，]為函數＝2+的特征數，下面給出特征數為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數的四個結論：
①當m＝﹣3時，函數圖象的頂點坐標是（）；②當m＞0時，函數圖象截軸所得的線段長度大于；
③當m＜0時，函數在＞時，隨的增大而減小；④當m≠0時，函數圖象經過同一個點。
其中正確的結論有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④
二、綜合運用
5．（1）①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離。②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB CD+BC DA=AC BD．此為托勒密定理。
（2）知識遷移：
①請你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點。求證：PB+PC=PA；
②根據（2）①的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A．∠B．∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在弧BC上任取一點P′，連接P′A．P′B．P′C．P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+_________；
第三步：請你根據（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段的長度即為△ABC的費馬距離。
三、課堂檢測
1．在平面直角坐標系中。過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點。例如。圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線。與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點。
（1）判斷點M（l，2），N（4，4）是否為和諧點，并說明理由；
（2）若和諧點P（a，3）在直線y=﹣x+b（b為常數）上，求a，b的值。
2．通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）。如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA。容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的。根據上述角的正對
定義，解下列問題：
（1）sad60°=_________。
（2）對于0°（3）如圖②，已知sina，其中∠A為銳角，試求sadA的值。
四、課堂小結
五、拓展延伸
閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點A（x1，0），B（x2，0）的距離記作AB=|x1-x2|是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求AB間的距離，如圖，過A，B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1-x2|，BQ=|y1-y2|，∴AB2=AQ2+BQ2=|x1-x2|2+|y1-y2|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，由此得到平面直角坐標系內任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式為：AB=____________________________________。
（1）直接應用平面內兩點間距離公式計算點A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為AB=___________________________；
（2）利用上面公式，在平面直角坐標系中的兩點A（0，3），B（4，1），P為x軸上任一點，則PA+PB的最小值和此時P點的坐標；
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【答案】
【知識梳理】
1．
2．（1）2；4
（2）∵X1、X2是方程x +（m-4）x+m +3=0的兩根，X1、X2是關于2的比例數，
∴X1.X2=m +3=4，解得：m=1（根的判別式小于0舍去）或m=-1，
3．（2，2）
4．B
【綜合運用】
5．解：（1）①證明：由托勒密定理可知PB AC+PC AB=PA BC
∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC=BC，∴PB+PC=PA，
②P′D、AD，
（2）如圖，以BC為邊長在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD，則知線段AD的長即為△ABC的費馬距離。
∵△BCD為等邊三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，
∵AB=3，BD=4，
∴AD===5（km），
∴從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度的最小值為5km
【課堂檢測】
1．解；（1）
點不是和諧點，點是和諧點。
（2）由題意得，當時，
，點在直線上，代入得；
當時，。
，點在直線上，代入得。
2．（1）1
（2）0（3）解；設AB=5a，BC=3a，則AC=4a
如圖，在AC延長線上取點D使AD=AB=5a，連接BD．
則CD=a
BD
∴sadA
【課堂小結】
略
【拓展延伸】
（1）
（2）如圖，作點B關于x軸對稱的點B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點即為所求的點P。
①∵B（4，1），∴B′（4，-1）。
又∵A（1，3），∴直線AB的解析式為：y=-x+1=
當y=0時，x=，即P（，0）；
②PA+PB=PA+PB′=AB′=，即PA+PB的最小值為5
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