資源簡介

6.2 指數函數
知識梳理
一、指數函數的概念
1、定義：一般地，函數（且）叫做指數函數，
其中指數x是自變量，定義域是R，a是指數函數的底數．
2、注意事項：指數函數的底數規定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，當
（2）如果，如，當時，在實數范圍內函數值不存在．
（3）如果，是一個常量，對它就沒有研究的必要．
為了避免上述各種情況，所以規定且．
二、指數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域
值域
過定點
單調性 在上是增函數 在上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
三、比較指數冪的大小
比較冪的大小的常用方法：
（1）對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；
（2）對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；
（3）對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．
四、簡單指數不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的單調性求解；
2、形如的不等式，可將化為為底數的指數冪的形式，再借助的單調性求解；
3、形如的不等式，可借助兩函數，的圖象求解。
常考題型
題型一 指數函數定義的判斷
【例1】（2023·高一課時練習）下列函數中，屬于指數函數的是 ．（填序號）
①﹔②；③；④（a為常數，，）；
⑤；⑥﹔⑦．
【答案】③④
【解析】對①：指數式的系數為2，不是1，故不是指數函數；
對②：其指數為，不是，故不是指數函數；
對③④：滿足指數函數的定義，故都是指數函數；
對⑤：是冪函數，不是指數函數；
對⑥：指數式的系數為，不是1，故不是指數函數；
對⑦：指數的底數為，不滿足底數大于零且不為1的要求，故不是；
綜上，是指數函數的只有③④.
【變式1-1】下列函數：①；②；③；④．其中為指數函數的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】指數函數解析式為且，
對于①②④，、和不符合指數函數解析式特征，①②④錯誤；
對于③，符合指數函數解析式特征，③正確.故選：B.
【變式1-2】（多選）下列函數中，是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由指數函數形式為且，顯然A、D不符合，C符合；
對于B，且，故符合.故選：BC
【變式1-3】（2022上·江蘇常州·高三統考階段練習）若p：函數是指數函數，，則q是p的（ ）條件
A．充要條件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】命題p真，則，解得或2，
又，∴；q為真，則或2，
∴q是p的必要不充分條件.故選：C．
題型二 利用指數函數的概念求參
【例2】（2022全國高一課時練習）若函數是指數函數，則等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數是指數函數，
所以.故選：C
【變式2-1】（2022全國高一課時練習）若函數為指數函數，則（ ）
A．或 B．且 C． D．
【答案】C
【解析】因為函數為指數函數，
則，且，解得，故選：C
【變式2-2】（2023·高一課時練習）已知函數和都是指數函數，求a＋b的值．
【答案】1
【解析】因為函數是指數函數，所以．
由是指數函數，得．所以．
【變式2-3】（2023·高一課時練習）已知函數是指數函數，求實數a的值．
【答案】4
【解析】因為函數是指數函數，
所以，解得，即實數a的值為4.
題型三 求指數函數的解析式
【例3】（2023·浙江寧波·高一校考期中）若指數函數的圖象過點，則的解析式為 ．
【答案】
【解析】設（且），故，解得，故.
【變式3-1】（2022全國高一課時練習）（多選）已知指數函數滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】設指數函數（且），于是，即，因此，
函數，A正確，B錯誤；
顯然，C正確；
又，因此D正確.故選：ACD
【變式3-2】（2022全國高一課時練習）已知函數(，且)，若函數的圖像過點，求實數的值．
【答案】
【解析】將點代入，得，即，
所以或，
又因為，且，所以．
【變式3-3】（2022全國高一課時練習）下列函數中，滿足的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確.故選：D.
題型四 指數型函數過定點問題
【例4】（2023重慶高三月考）已知函數（，）恒過定點，則函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵，∴恒過定點，
∴，，∴，其圖象不經過第四象限，故選：D.
【變式4-1】（2023·陜西·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）冪函數在上單調遞增，則的圖象所過定點的坐標為 .
【答案】
【解析】由題意可知或，
又時，在上單調遞減，不符合題意；
而時，符合題意；
所以，當時，，即函數過定點.
【變式4-2】（2023·上?！じ咭恢旒医侵袑W?？计谥校┮阎登?，假設無論為何值，函數的圖像恒經過一定點，則這個點的坐標為 .
【答案】
【解析】因為當時，即時，，
即恒過點.
【變式4-3】（2022全國高一課時練習）函數且所過的定點坐標為 ．
【答案】
【解析】令，即，則，
所過定點坐標為.
題型五 指數函數的圖象問題
【例5】（2023·高一課時練習）函數（，且）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A，B選項中，，于是，
所以圖象與y軸的交點的縱坐標應在之間，顯然A，B的圖象均不正確；
C，D選項中，，于是，
圖象與y軸的交點的縱坐標應在小于，所以D項符合.故選：D
【變式5-1】（2022全國高一課時練習）指數函數與的圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數的圖象是下降的，所以；
又因為函數的圖象是上升的，所以.故選：C.
【變式5-2】（2023·陜西西安·高一統考期末）若函數的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【解析】如圖所示，圖象與軸的交點在軸的負半軸上（縱截距小于零），
即，且，，且．故選：．
【變式5-3】（2023全國高一課時練習）函數①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【解析】直線與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，
而，
所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.
題型六 比較指數冪的大小
【例6】（2023·湖北·高一荊州中學?？计谥校┤?，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據指數函數的單調性知，，
而，故，故選：D
【變式6-1】（2023·河南·高一校聯考期中）設，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因為函數在R上是增函數，所以，即．
又，而在上單調遞增，
所以，所以，因此．故選：C．
【變式6-2】（2023·廣東深圳·高一校考期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是上的增函數，，即；
又是R上的減函數，，即；
.故選：A.
【變式6-3】（2023·江蘇無錫·高一?？计谥校┮阎瑒t的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，則在單調遞增，所以，
設，則在單調遞增，所以，
因為，，所以，所以.故選：B.
題型七 解指數型不等式
【例7】（2022·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┤?，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由指數函數在定義域上為單調遞減函數，
因為，可得，解得，
即實數的取值范圍是.故選：A.
【變式7-1】（2023·廣東廣州·高一南沙一中校考期中）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】不等式即，
因為函數為單調遞增函數，所以，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
【變式7-2】（2022江蘇高一專題練習）不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】，
因為函數是實數集上的增函數，
所以由，
因此原不等式的解集為，
故答案為：
【變式7-3】（2023廣東深圳高一上期中）已知函數，則不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】當時，，解得，則；
當時，，即，解得，則，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：
題型八 指數型函數的單調性問題
【例8】（2023·廣東廣州·高一廣東實驗中學?？计谥校┖瘮档膯握{遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數的定義域為R，
函數在上單調遞減，在單調遞增，
而函數在R上單調遞減，
因此函數在上單調遞增，在單調遞減，
所以函數的單調遞增區間是.故選：A
【變式8-1】（2023廣東高一期末）函數的單調遞增區間為 .
【答案】
【解析】設，則，
對稱軸為，當，即，即，即時，為減函數，
函數為增函數，則為減函數，
即函數單調減區間為；
當，即，即，即時，為減函數，
函數為減函數，則為增函數，
即函數單調增區間為.
故答案為：
【變式8-2】（2023安徽滁州高三月考）已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，
因為外層函數為上的減函數，
函數在區間上單調遞減，
所以，函數在上為增函數，所以，，解得.故選：A.
【變式8-3】（2023·河南·高一校聯考期中）已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當時，單調遞減，，且最小值為，
當時，當時，單調遞增，不符題意，
又注意到是上的減函數，
故只能拋物線的開口向下即，其對稱軸為，
則由題意有，解得．故選：A.
【變式8-4】（2023·安徽·高一馬鞍山第二十二中學?？茧A段練習）已知點在指數函數的圖像上
（1）求，的值；
（2）判定函數在上的單調性并證明．
【答案】（1），；（2）單調遞增，證明見解析.
【解析】（1）由已知得，為指數函數，，解得，
故點在指數函數的圖像上，得，解得，
，得到.
（2），因為為單調增函數，且也為單調遞增函數，
故在上為單調遞增函數，證明如下：
設，且，有，得
，
故在上為單調遞增函數.
題型九 指數型函數的奇偶性問題
【例9】（2022江西贛州高三上月考）已知函數是奇函數，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因為為定義在上的奇函數，所以，所以，
經驗證，，故.故選：B.
【變式9-1】（2022山東濰坊高三二模）已知函數，則（ ）
A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數
C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數
【答案】C
【解析】函數的定義域為R，
因為，所以函數為奇函數，
又因為函數在R上都是減函數，
所以函數在R上是減函數.故選：C.
【變式9-2】（2023湖南邵陽高一下開學考）（多選）已知偶函數和奇函數的定義域均為，且，則（ ）
A． B． C．的最小值為2 D．是減函數
【答案】BC
【解析】由，得，兩式相加得，
則，所以，，A錯誤，B正確．
因為，所以
（當且僅當時，等號成立），
因為均是上的增函數，是上的增函數，
C正確，D錯誤．故選：BC
【變式9-3】（2022上·甘肅定西·高三校考期末）已知函數是指數函數.
（1）求實數的值；
（2）判斷的奇偶性，并加以證明.
【答案】（1）；（2）是偶函數，證明見解析
【解析】（1）由函數是指數函數可得，解得
（2）是偶函數，
證明：由（1）可得，所以，定義域為
∵，
∴是偶函數.
題型十 指數型函數的值域問題
【例10】（2023全國高一課時練習）函數，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數，是由和，復合而成，
因為對稱軸為，開口向上，
所以在單調遞減，在單調遞增，
所以時，，時，，所以，
因為在上單調遞增，所以，
所以函數，的值域是.故選：C.
【變式10-1】（2023·福建·高一廈門市松柏中學?？计谥校┮阎笖岛瘮担ㄇ遥┑膱D象過點．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數在上的值域
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為函數（且）的圖象過點，
則，解得，因此，．
（2），令，
因為，則，
令，
當時，函數單調遞減，此時，，
當時，函數單調遞增，此時，，
故當時，，
又因為，故，
所以，函數在上的值域為．
【變式10-2】（2023安徽高二開學考）已知函數．
（1）若為奇函數，求的值；
（2）在（1）的條件下，求的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為為奇函數，所以，
即，所以.
（2）,
令，則 ，
因為，所以，
所以的值域．
【變式10-3】（2023·河南·高一濟源高中校聯考期中）已知函數，且．
（1）求的值；
（2）證明：在上單調遞增；
（3）求在上的最小值．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）答案見解析
【解析】（1）依題意，，兩邊平方并化簡得，
所以.
（2）任取，
，
由于在上單調遞增，所以，
所以，
所以在上單調遞增.
（3），
令，由于在上單調遞增，
所以，即，則，
當時，，
當時，，
當時，.
綜上所述，時，最小值為；
時，最小值為；時，最小值為.6.2 指數函數
一、指數函數的概念
1、定義：一般地，函數（且）叫做指數函數，
其中指數x是自變量，定義域是R，a是指數函數的底數．
2、注意事項：指數函數的底數規定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，當
（2）如果，如，當時，在實數范圍內函數值不存在．
（3）如果，是一個常量，對它就沒有研究的必要．
為了避免上述各種情況，所以規定且．
二、指數函數的圖象與性質
圖象
性質 定義域
值域
過定點
單調性 在上是增函數 在上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
三、比較指數冪的大小
比較冪的大小的常用方法：
（1）對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；
（2）對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；
（3）對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．
四、簡單指數不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的單調性求解；
2、形如的不等式，可將化為為底數的指數冪的形式，再借助的單調性求解；
3、形如的不等式，可借助兩函數，的圖象求解。
題型一 指數函數定義的判斷
【例1】（2023·高一課時練習）下列函數中，屬于指數函數的是 ．（填序號）
①﹔②；③；④（a為常數，，）；
⑤；⑥﹔⑦．
【變式1-1】下列函數：①；②；③；④．其中為指數函數的個數是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（多選）下列函數中，是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022上·江蘇常州·高三統考階段練習）若p：函數是指數函數，，則q是p的（ ）條件
A．充要條件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
題型二 利用指數函數的概念求參
【例2】（2022全國高一課時練習）若函數是指數函數，則等于（ ）
A．或 B． C． D．
【變式2-1】（2022全國高一課時練習）若函數為指數函數，則（ ）
A．或 B．且 C． D．
【變式2-2】（2023·高一課時練習）已知函數和都是指數函數，求a＋b的值．
【變式2-3】（2023·高一課時練習）已知函數是指數函數，求實數a的值．
題型三 求指數函數的解析式
【例3】（2023·浙江寧波·高一?？计谥校┤糁笖岛瘮档膱D象過點，則的解析式為 ．
【變式3-1】（2022全國高一課時練習）（多選）已知指數函數滿足，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022全國高一課時練習）已知函數(，且)，若函數的圖像過點，求實數的值．
【變式3-3】（2022全國高一課時練習）下列函數中，滿足的是（ ）
A． B． C． D．
題型四 指數型函數過定點問題
【例4】（2023重慶高三月考）已知函數（，）恒過定點，則函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式4-1】（2023·陜西·高一咸陽市實驗中學?？茧A段練習）冪函數在上單調遞增，則的圖象所過定點的坐標為 .
【變式4-2】（2023·上海·高一朱家角中學校考期中）已知常數且，假設無論為何值，函數的圖像恒經過一定點，則這個點的坐標為 .
【變式4-3】（2022全國高一課時練習）函數且所過的定點坐標為 ．
題型五 指數函數的圖象問題
【例5】（2023·高一課時練習）函數（，且）的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022全國高一課時練習）指數函數與的圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·陜西西安·高一統考期末）若函數的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【變式5-3】（2023全國高一課時練習）函數①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
題型六 比較指數冪的大小
【例6】（2023·湖北·高一荊州中學?？计谥校┤?，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·河南·高一校聯考期中）設，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎瑒t（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·江蘇無錫·高一?？计谥校┮阎?，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
題型七 解指數型不等式
【例7】（2022·新疆烏魯木齊·高一校考期末）若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2023·廣東廣州·高一南沙一中?？计谥校┎坏仁降慕饧癁? .
【變式7-2】（2022江蘇高一專題練習）不等式的解集為 ．
【變式7-3】（2023廣東深圳高一上期中）已知函數，則不等式的解集為 ．
題型八 指數型函數的單調性問題
【例8】（2023·廣東廣州·高一廣東實驗中學?？计谥校┖瘮档膯握{遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023廣東高一期末）函數的單調遞增區間為 .
【變式8-2】（2023安徽滁州高三月考）已知函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023·河南·高一校聯考期中）已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-4】（2023·安徽·高一馬鞍山第二十二中學?？茧A段練習）已知點在指數函數的圖像上
（1）求，的值；
（2）判定函數在上的單調性并證明．
題型九 指數型函數的奇偶性問題
【例9】（2022江西贛州高三上月考）已知函數是奇函數，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【變式9-1】（2022山東濰坊高三二模）已知函數，則（ ）
A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數
C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數
【變式9-2】（2023湖南邵陽高一下開學考）（多選）已知偶函數和奇函數的定義域均為，且，則（ ）
A． B． C．的最小值為2 D．是減函數
【變式9-3】（2022上·甘肅定西·高三?？计谀┮阎瘮凳侵笖岛瘮?
（1）求實數的值；
（2）判斷的奇偶性，并加以證明.
題型十 指數型函數的值域問題
【例10】（2023全國高一課時練習）函數，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2023·福建·高一廈門市松柏中學?？计谥校┮阎笖岛瘮担ㄇ遥┑膱D象過點．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數在上的值域
【變式10-2】（2023安徽高二開學考）已知函數．
（1）若為奇函數，求的值；
（2）在（1）的條件下，求的值域．
【變式10-3】（2023·河南·高一濟源高中校聯考期中）已知函數，且．
（1）求的值；
（2）證明：在上單調遞增；
（3）求在上的最小值．

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