資源簡介

3.2.2 雙曲線的幾何性質
一、雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性質 圖形
性質 范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：；虛軸：線段B1B2，長：； 半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
二、等軸雙曲線
在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質有：
1、離心率：等軸雙曲線的離心率為：；
2、漸近線：（1）等軸雙曲線的漸近線為：；
（2）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°.
三、直線與雙曲線的位置關系判斷
將雙曲線方程與直線方程聯立消去
得到關于的一元二次方程，
1、當，即時，直線 與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；
2、當，即時，設該一元二次方程的判別式為，
若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；
若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；
若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；
注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切.
四、弦長公式
若直線與雙曲線（，）交于，兩點，
則或（）．
題型一 由雙曲線的方程研究幾何性質
【例1】（2023·江蘇·高二南京大學附屬中學校考期末）（多選）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：，則（ ）
A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為
C．C的實軸長為2 D．C的右焦點到漸近線的距離為
【答案】ABD
【解析】由雙曲線C：可得，所以，
故離心率為長軸長為，故A正確，C錯誤，
漸近線方程為，故B正確，
右焦點為，到漸近線的距離為，故D正確，
故選：ABD
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）下列有關雙曲線與的說法正確的是（ ）
A．有公共頂點 B．有公共漸近線 C．有公共焦點 D．離心率相等
【答案】B
【解析】對于雙曲線，頂點坐標為，
漸近線方程為，焦點坐標為，離心率為，
對于雙曲線，頂點坐標為，
漸近線方程為，焦點坐標為，離心率為，
因此，這兩個雙曲線有相同的漸近線，故選：B.
【變式1-2】（2023秋·山東棗莊·高二校考期末）已知雙曲線，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．若的頂點坐標為，則
C．的焦點坐標為 D．若，則的漸近線方程為
【答案】D
【解析】對于A項：因為方程表示雙曲線，
所以，解得或，A錯誤；
對于B項：因為的頂點坐標為，所以，解得，B錯誤；
對于C項：當時，，
當時，，C錯誤；
對于D項：當時，雙曲線的標準方程為，
則漸近線方程為，D正確.故選：D
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（ ）
A．焦距 B．頂點坐標 C．離心率 D．漸近線方程
【答案】CD
【解析】由方程，則該雙曲線的標準方程為，
即，，
則焦距為，頂點坐標為，
離心率，漸近線方程為.故選：CD.
題型二 由雙曲線幾何性質求標準方程
【例2】（2023·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學校聯考期中）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為雙曲線C的漸近線方程為，
所以可設C的方程為，
把點的坐標代入得，
所以C的方程為，即.故選：B.
【變式2-1】（2022秋·江西景德鎮·高二統考期中）中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為雙曲線實軸在上且焦點在直線上，
故令得，即.
又因為且，所以，
所以雙曲線方程為，即.故選：B
【變式2-2】（2023·河南·高二校聯考期中）橢圓與雙曲線有相同的焦點，則雙曲線方程是 .
【答案】
【解析】由方程表示雙曲線可知，則焦點在軸上，
由橢圓與雙曲線有相同的焦點，
則橢圓焦點也在軸上，且焦距相同，設它們的半焦距為，
故，解得（舍），或，
故雙曲線方程為.
【變式2-3】（2023·河北滄州·高二校聯考期中）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）雙曲線C的漸近線方程為，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；
（2）雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經過點.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知雙曲線C的焦點在y軸上，
所以可設C的標準方程為，
又C的漸近線方程為，所以，即，
由C的兩頂點之間的距離為4，得，所以.
故雙曲線C的標準方程為.
（2）因為E與雙曲線有共同的漸近線，
所以可設E為，
因為E過點，則，解得，
故雙曲線E的標準方程為.
題型三 與雙曲線漸近線有關的問題
【例3】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期中）已知雙曲線（，）的離心率為，則的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由雙曲線離心率為可得，即可得，
又，即可得；
由題意可得雙曲線的漸近線方程為.故選：C
【變式3-1】（2023春·上海·高二校考期末）已知，雙曲線的兩個焦點為，，若橢圓的兩個焦點是線段的三等分點，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【解析】由題意可知，雙曲線的焦距是橢圓焦距的3倍，
則有，化簡得，則有，
所以該雙曲線的漸近線方程為.
【變式3-2】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為C的右支上一點．若，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設雙曲線C的半焦距為．由題可知，，
則，所以，
所以，所以C的漸近線方程為．故選：C
【變式3-3】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知雙曲線的左焦點為.若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點，，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，不妨設在第四象限，與漸近線垂直，的斜率為，
所以直線方程為，
由，得，
設，由知：，即，
所以，，在雙曲線上，
所以，化簡得，則，
所以，故漸近線方程是．故選：C
題型四 求雙曲線離心率的值或范圍
【例4】（2023·山東德州·高二統考期中）中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】由已知設雙曲線方程為：，雙曲線漸近線方程為，
結合雙曲線的一條漸近線方程為，有，即，
雙曲線中有，將代入中，
得，，所以.故選：B
【變式4-1】（2023·江蘇南京·高二統考期中）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，為等邊三角形，
，，
又，
，，，
，，
，解得：（舍）或，
雙曲線的離心率為.故選：C.
【變式4-2】（2023·遼寧·高二校聯考期中）已知雙曲線，O為坐標原點，，為其左、右焦點，若左支上存在一點P，使得的中點M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為分別為的中點，所以.
又雙曲線上的點到焦點的最小距離為，
所以，解得，
因此雙曲線的離心率e的取值范圍是．
【變式4-3】（2023·江蘇常州·高二常州市第一中學校考期中）分別為雙曲線左右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【解析】是左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，
所以，代入，
得，
當且僅當時取等號，即，
又點是雙曲線左支上任意一點，所以，
即：.
【變式4-4】（2023·福建·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，記為雙曲線：的左焦點，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且線段與交于點，若，則的離心率的取值范圍為
【答案】
【解析】由為雙曲線：的左焦點，
以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且線段與交于點，
可得，，，
記雙曲線的右焦點為，，
在中，，
為直角三角形，
，，化簡得，
線段與交于點，且，，即，
，即，
，.
題型五 直線與雙曲線的位置關系
【例5】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的交點個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】方法一：聯立直線與雙曲線的方程，
，得，方程組無解，說明直線與雙曲線沒有交點.
方法二：由，得，所以雙曲線的漸近線方程為，
因為直線是雙曲線的一條漸近線，因此交點個數為0.故選：A
【變式5-1】（2023春·福建泉州·高二校考階段練習）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數條
【答案】A
【解析】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點是雙曲線的頂點.
①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時，直線與雙曲線只有一個公共點，合乎題意；
②若直線的斜率存在，則當直線平行于漸近線時，
直線與雙曲線只有一個公共點.
若直線的斜率為，則直線的方程為，
此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.
綜上所述，過點與雙曲線只有一個公共點的直線共有條.故選：A.
【變式5-2】（2023春·湖北武漢·高二校聯考期中）已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】直線方程與雙曲線方程聯立：得：,
當時，即時，直線與漸近線平行，有一個公共點，舍去；
當時，<0，即或，無公共點.
綜上所述：或.
故答案為：
【變式5-3】（2023上·高二課時練習）已知雙曲線，直線，試確定實數k的取值范圍，使：
（1）直線l與雙曲線有兩個公共點；
（2）直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
（3）直線l與雙曲線沒有公共點．
【答案】（1）或或；（2）或；
（3）或
【解析】（1）聯立，
消整理得，（*）
因為直線l與雙曲線C有兩個公共點，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）當即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，
方程（*）化為，故方程（*）有唯一實數解，
即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點，滿足題意．
當時， 因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點，
則，解得；
綜上，或.
（3）因為直線l與雙曲線C沒有公共點，
所以，解得： 或.
題型六 直線與雙曲線相交弦長問題
【例6】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，若直線和曲線相交于、兩點，求．
【答案】
【解析】設點、，
將直線的方程與雙曲線的方程聯立得可得。
，由韋達定理可得，，
所以由弦長公式得：.
【變式6-1】（2022秋·湖北襄陽·高二校考階段練習）過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于，兩點，使得，若這樣的直線有且只有兩條，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，在同一支上，當時為雙曲線的通經，即有；
若，不在同一支上，則．
因為與不可能同時等于6，
所以或，解得或故選：B
【變式6-2】（2023秋·江蘇南京·高二校考階段練習）已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為，且離心率為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線與雙曲線交于兩點，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由雙曲線方程知：漸近線方程為，設焦點坐標為，
焦點到漸近線的距離，
又離心率，，解得：，
雙曲線的方程為：.
（2）由得：，
則，解得：且，
設，則，，
，
即，解得：或，均滿足且，
或.
【變式6-3】（2023上·遼寧·高二校聯考期末）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線方程為：，
又雙曲線過點，
雙曲線的方程為：
（2）設，，聯立，化為．
∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點，
∴，化為．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．
由弦長公式可得
題型七 雙曲線的中點弦與點差法
【例7】（2023·重慶·高二育才中學校考期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】若直線軸，則的中點在軸上，不合乎題意，
設點、，因為若弦的中點為，則，
因為，可得，即，
所以，，
因此，直線的方程為，即.
聯立可得，，
所以，直線與雙曲線有兩個交點，合乎題意，
因此，直線的方程為.
【變式7-1】（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為( )
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】設，
則有，
化簡得，即.故選：B
【變式7-2】（2023·江西贛州·高二校聯考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關于直線：對稱，則線段中點的坐標為 .
【答案】
【解析】由題意可知：直線：的斜率為，
可知直線的斜率，
設，則線段中點的坐標，
可得，，
因為A，B為雙曲線C：上的兩點，則，
兩式相減整理得，即，
解得，即直線，
聯立方程，解得，
可知線段中點的坐標為.
【變式7-3】（2023·江蘇·高二鹽城市新豐中學校聯考期中）雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
（1）求的方程；
（2）是否存在直線，經過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）令，所以，
又由題意可知雙曲線的焦點到漸近線的距離
，
所以雙曲線的標準方程為：；
（2）假設存在，由題意知：該直線的斜率存在，
設，，直線的斜率為，
則，，
又有，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
聯立直線與雙曲線方程
得：，
即直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，
所以存在直線，其方程為.
題型八 雙曲線的綜合問題
【例8】（2023上·江蘇·高二海安市曲塘中學校考期中）已知橢圓的左、右頂點為、，與y軸平行的直線交橢圓于兩點、，直線與直線的交點為P．
（1）求點P的軌跡方程Γ；
（2）若曲線Γ上的點Q滿足，求的面積．
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1），設,
則，且①，
直線的方程為：②，
直線的方程為：③，
②×③得，由①得，
，即，
故點P的軌跡方程Γ為：.
（2）設，則，即，
設，
，
，
在中，，，
由余弦定理得，即，
即，
∵，，∴，
∴上式兩邊平方整理得，
，
∴（舍）或，
∴，
∴的面積.
【變式8-1】（2023·云南·高二校聯考期中）已知雙曲線：經過點，，為左右頂點，且.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）依題意，，
由雙曲線過點，得，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）依題意，直線不垂直于y軸，設直線方程為，
由消去x并整理得：，
顯然，設，
于是，則，
因此，
所以為定值.
【變式8-2】（2023·湖南長沙·高二雅禮中學校考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上．
（1）求的方程；
（2）過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點和，兩點，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設雙曲線，
則，解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）根據題意，直線，的斜率都存在且不為0，
設直線，，其中，
雙曲線的漸近線為，
因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，
將的方程與聯立，可得，
設，則，，
所以
，
用替換，可得，
所以．
令，所以，
則，
當，即時，等號成立，
故四邊形面積的最小值為．
【變式8-3】（2023·江西撫州·高二臨川一中校考期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，點A是C的左頂點，直線與只有一個公共點.
（1）求C的方程；
（2）直線l與C交于M，N兩點（M，N異于雙曲線C的左、右頂點），若以為直徑的圓經過點A，求證：直線l恒過定點.
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）因為直線過曲線的右頂點，
又與曲線只有一個公共點，所以平行于漸近線，
所以，所以雙曲線方程為.
（2）證明：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，
聯立得.
由得,
所以，
.
因為以為直徑的圓經過點，所以，
即
整理得，所以或.
當時，直線l的方程為，
所以直線l過左頂點，不符合題意；
當時，直線l的方程為，所以直線l恒過定點.
當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為，
代入，得，
所以.
因為，
整理得，解得（舍去），
此時直線l的方程為，直線l也過點.綜上所述，直線l恒過定點.3.2.2 雙曲線的幾何性質
一、雙曲線的幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性質 圖形
性質 范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：；虛軸：線段B1B2，長：； 半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
二、等軸雙曲線
在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質有：
1、離心率：等軸雙曲線的離心率為：；
2、漸近線：（1）等軸雙曲線的漸近線為：；
（2）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°.
三、直線與雙曲線的位置關系判斷
將雙曲線方程與直線方程聯立消去
得到關于的一元二次方程，
1、當，即時，直線 與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；
2、當，即時，設該一元二次方程的判別式為，
若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；
若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；
若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；
注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切.
四、弦長公式
若直線與雙曲線（，）交于，兩點，
則或（）．
題型一 由雙曲線的方程研究幾何性質
【例1】（2023·江蘇·高二南京大學附屬中學校考期末）（多選）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：，則（ ）
A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為
C．C的實軸長為2 D．C的右焦點到漸近線的距離為
【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習）下列有關雙曲線與的說法正確的是（ ）
A．有公共頂點 B．有公共漸近線 C．有公共焦點 D．離心率相等
【變式1-2】（2023秋·山東棗莊·高二校考期末）已知雙曲線，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．若的頂點坐標為，則
C．的焦點坐標為 D．若，則的漸近線方程為
【變式1-3】（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（ ）
A．焦距 B．頂點坐標 C．離心率 D．漸近線方程
題型二 由雙曲線幾何性質求標準方程
【例2】（2023·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學校聯考期中）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022秋·江西景德鎮·高二統考期中）中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·河南·高二校聯考期中）橢圓與雙曲線有相同的焦點，則雙曲線方程是 .
【變式2-3】（2023·河北滄州·高二校聯考期中）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
（1）雙曲線C的漸近線方程為，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；
（2）雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經過點.
題型三 與雙曲線漸近線有關的問題
【例3】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期中）已知雙曲線（，）的離心率為，則的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023春·上海·高二校考期末）已知，雙曲線的兩個焦點為，，若橢圓的兩個焦點是線段的三等分點，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【變式3-2】（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為C的右支上一點．若，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知雙曲線的左焦點為.若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點，，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
題型四 求雙曲線離心率的值或范圍
【例4】（2023·山東德州·高二統考期中）中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式4-1】（2023·江蘇南京·高二統考期中）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·遼寧·高二校聯考期中）已知雙曲線，O為坐標原點，，為其左、右焦點，若左支上存在一點P，使得的中點M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是 ．
【變式4-3】（2023·江蘇常州·高二常州市第一中學校考期中）分別為雙曲線左右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【變式4-4】（2023·福建·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，為坐標原點，記為雙曲線：的左焦點，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且線段與交于點，若，則的離心率的取值范圍為
題型五 直線與雙曲線的位置關系
【例5】（2023·全國·高二專題練習）直線與雙曲線的交點個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式5-1】（2023春·福建泉州·高二校考階段練習）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數條
【變式5-2】（2023春·湖北武漢·高二校聯考期中）已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍為 .
【變式5-3】（2023上·高二課時練習）已知雙曲線，直線，試確定實數k的取值范圍，使：
（1）直線l與雙曲線有兩個公共點；
（2）直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
（3）直線l與雙曲線沒有公共點．
題型六 直線與雙曲線相交弦長問題
【例6】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，若直線和曲線相交于、兩點，求．
【變式6-1】（2022秋·湖北襄陽·高二校考階段練習）過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于，兩點，使得，若這樣的直線有且只有兩條，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023秋·江蘇南京·高二校考階段練習）已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為，且離心率為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線與雙曲線交于兩點，若，求的值．
【變式6-3】（2023上·遼寧·高二校聯考期末）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
題型七 雙曲線的中點弦與點差法
【例7】（2023·重慶·高二育才中學校考期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為 .
【變式7-1】（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為( )
A．3 B．6 C．8 D．12
【變式7-2】（2023·江西贛州·高二校聯考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關于直線：對稱，則線段中點的坐標為 .
【變式7-3】（2023·江蘇·高二鹽城市新豐中學校聯考期中）雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
（1）求的方程；
（2）是否存在直線，經過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.
題型八 雙曲線的綜合問題
【例8】（2023上·江蘇·高二海安市曲塘中學校考期中）已知橢圓的左、右頂點為、，與y軸平行的直線交橢圓于兩點、，直線與直線的交點為P．
（1）求點P的軌跡方程Γ；
（2）若曲線Γ上的點Q滿足，求的面積．
【變式8-1】（2023·云南·高二校聯考期中）已知雙曲線：經過點，，為左右頂點，且.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設過的直線與雙曲線交于，兩點（不與重合），記直線，的斜率為，，證明：為定值.
【變式8-2】（2023·湖南長沙·高二雅禮中學校考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上．
（1）求的方程；
（2）過作兩條相互垂直的直線和，與的右支分別交，兩點和，兩點，求四邊形面積的最小值．
【變式8-3】（2023·江西撫州·高二臨川一中校考期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，點A是C的左頂點，直線與只有一個公共點.
（1）求C的方程；
（2）直線l與C交于M，N兩點（M，N異于雙曲線C的左、右頂點），若以為直徑的圓經過點A，求證：直線l恒過定點.

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