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2015北京高考數學二輪復習高考改革背景下的高中數學教學與高考復習策略
北京陳經綸中學 丁益祥
一、高考模式改革的簡單回顧
我國恢復高考以來，高考幾經變革．
1977年是恢復高考的第一年。
縱觀恢復高考以來的近38年間我國高考發展的軌跡，高考命題走過了由缺乏統一標準的分省命題模式到單一的全國統一命題模式再到2001年開始逐步推行的全國統一命題與統一標準下的分省命題相結合的雙軌模式．
隨著高校招生考試制度改革的逐步深入，2014年國務院頒布了《關于深化考試招生制度改革的實施意見》的國發【2014】35號文件，吹響了新一輪高考改革的號角。文件指出：2014年啟動考試招生制度改革試點，2017年全面推進，到2020年基本建立中國特色現代教育考試招生制度，形成分類考試、綜合評價、多元錄取的考試招生模式．
二、高考改革背景下的高中數學教學
新一輪高考改革，就數學科考試而言，高考改革主要表現為兩個方面：一是全國統一命題的逐步回歸，二是不分文理而引發的教學內容的完全統一．基于這樣的實際情況，高中數學教學應注意如下幾點：
1．注意課標的落實
高中數學課程標準對高中階段各年級學生就各部分知識應達到的水平都有著明確的要求．因此，高中數學教學必須依據高中數學課程標準．既不要降低要求，也不要盲目拔高；既要講清知識的內容要點，又要講清知識的來龍去脈；既要闡明知識的內涵外延，又要揭示知識的本質屬性．
2．注意難度的調控
2014年秋季，上海、浙江兩省市入學的高一新生已不分文理，全國其他省、市、自治區最遲2017年入學的高一新生將不再分文理，這說明，到2020年全國所有省、市、自治區高考數學都不再分文理．
數學教師在教學中必須依據課程標準，有效調控教學難度．
3．注意信心的樹立
面對不分文理科，同一個班級的學生數學學習成績參差不齊的狀況不會因此而改變．對此，作為數學教師，首先自己要有提高每一個學生數學成績的信心，其次要幫助數學基礎薄弱的學生（其中大多可能是原本學習文科的那些數學基礎薄弱學生）樹立學好數學的信心，鼓舞他們克服困難的勇氣，培養他們良好的學習習慣，既注意智力因素的開發，又注意非智力因素的作用．
4．注意問題的生成
數學是一門思維科學，這里的思維主要指理性思維．而要使學生的理性思維有所發展，必須努力激發學生的問題意識，既要注意問題解決，又要注意問題生成，既要有來自于教師的問題，也要有來自于學生的問題．
三、高考改革背景下的高考數學復習
1．關注兩綱學習
2．加強試題研究
近年來，全國卷試題和廣東卷試題有如下主要特點：
特點1 考查雙基，突出重點
試題1（2010全國課標卷 理8）設偶函數滿足，
則（ ）．
(A) (B)
(C) (D)
（2011廣東 理4） 設函數和分別是上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是
Ａ．是偶函數　　　　　　　Ｂ．是奇函數
Ｃ．是偶函數　　　　　　　Ｄ．是奇函數
試題2（2010全國Ⅰ卷 文、理4）已知各項均為正數的等比數列{}，=5，=10，則（ ）．
(A) (B) 7 (C) 6 (D)

（2014廣東 理13）若等比數列的各項均為正數，且，
則 ．
（2014廣東 文13）等比數列的各項均為正數，且，則 ________.
試題3 (2009全國Ⅰ卷 理4，文5) 設雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于( C )
（A） （B）2 （C） （D）
（2013廣東 理10）若曲線在點處的切線平行于軸，則______.
（2013廣東 文12）若曲線在點處的切線平行于軸，則 ．
特點2 注重交匯，考查能力
試題4（2014全國Ⅰ卷 理20）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)設過點的直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程.
（2012廣東 理20）在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為；
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及相對應的的面積；若不存在，請說明理由．
特點3 加強實踐，強化應用
試題5 （2013全國課標Ⅰ卷 文18）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為藥，藥）的療效，隨機地選取位患者服用藥，位患者服用藥，這位患者服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間（單位：），試驗的觀測結果如下：
服用藥的位患者日平均增加的睡眠時間：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用藥的位患者日平均增加的睡眠時間：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？
（Ⅱ）根據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？
A藥
B藥
0．
1．
2．
3．
（2014廣東 文17） 某車間20名工人年齡數據如下表：
（Ⅰ）求這20名工人年齡的眾數與極差；
年齡（歲）
工人數（人）
19
28
29
30
31
32
40
1
3
3
5
4
3
1
合計
20
（Ⅱ）以這十位數為莖，個位數為葉，作出這
20名工人年齡的莖葉圖；
（Ⅲ）求這20名工人年齡的方差．
試題6（2014全國課標Ⅰ卷 文18） 從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量表得如下頻數分布表：
質量指標值分組
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
頻數
6
26
38
22
8
（Ⅰ）在答題卡上作出這些數據的頻率分布直方圖：
（Ⅱ）估計這種產品質量指標值的平均數及方差（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（Ⅲ）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規定？
（2014廣東 理17） 隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數（單位：件），獲得數據如下：
．
根據上述數據得到樣本的頻率分布表如下：
分組
頻數
頻率

（Ⅰ）確定樣本頻率分布表中和的值；
（Ⅱ）根據上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；
（Ⅲ）根據樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取人，至少有人的日加工零件數落在區間的概率．
特點4 適度創新，開發潛能
試題7（2014全國課標Ⅰ卷 理14）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過三個城市時，
甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過城市；
乙說：我沒去過城市；
丙說：我們三人去過同一個城市．
由此可判斷乙去過的城市為 ．
（2012廣東 理8）對任意兩個非零的平面向量和，定義；若平面向量滿足，與的夾角，且都在集合中，則( )．
A． B．1 C． D．
(注：文科第10題將“”改成了“”)
（2011廣東 理8）設是整數集的非空子集，如果有，則稱關于數的乘法是封閉的. 若是的兩個不相交的非空子集，，且有有，則下列結論恒成立的是（ ）．
A. 中至少有一個關于乘法是封閉的
B. 中至多有一個關于乘法是封閉的
C. 中有且只有一個關于乘法是封閉的
D. 中每一個關于乘法都是封閉的
3．重視本質分析
問題8（2008江蘇15）如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊的兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于兩點．已知兩點的橫坐標分別是和．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
試題9（2012北京 文、理17）近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應分垃圾箱．為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）：
“廚余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
廚余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤額概率；
（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為，其中a＞0，=600．當數據的方差最大時，寫出的值（結論不要求證明），并求此時的值．
（注：，其中為數據的平均數）
4．瞄準核心考點
試題10（2014廣東 理18）如圖，四邊形為正方形，平面，，于點，，交于點.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
試題11 （2007全國甲卷 理22）已知函數．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．
5．注意思想提煉
試題12 （2013全國課標Ⅰ卷 文9）函數在的圖象大致為（ ）．
試題13（2012山東 理9，文10）函數的圖象大致為（ ）．
6．突出能力培養
試題14（2013廣東理19） 設數列的前項和為，已知，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數，有.
試題15（2011全國大綱卷 理22）
（Ⅰ）設函數，證明：當＞0時，＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為.證明：.
試題16（2010湖南 理15）若數列滿足：對任意的，只有有限個正整數使得 成立，記這樣的的個數為，則得到一個新數列．例如，若數列是，則數列是…．已知對任意的，，則 __________ ， ．

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