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5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（二）
班級 姓名
學習目標
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值．
2．掌握y＝sin x，y＝cos x的單調性，并能利用單調性比較大小．
3．會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點　正弦函數、余弦函數的圖象和性質解析式y(tǒng)＝sin xy＝cos x圖象定義域值域奇偶性周期性單調性在 上單調遞增，在 上單調遞減在 上單調遞增，在 上單調遞減最值x＝ 時，ymax＝ ；x＝ 時，ymin＝ .x＝ 時，ymax＝ ；x＝ 時，ymin＝ .對稱性對稱軸 對稱軸 對稱中心 對稱中心 【即時訓練】(1)函數y＝2－sinx的最大值及取最大值時x的值分別為(　　)A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)(2)下列函數在上是增函數的是(　　)A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin2x D．y＝cos2x
三角函數的最值與值域 例1、求下列函數的最大和最小值，并寫出相應的x的取值集合.(1) (2)例2、求下列函數的值域：(1)y＝cos，x∈； (2)y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.小結：三角函數最值問題的2種常見類型及求解方法(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sinx，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據定義域來確定．
三角函數的單調性 例3、(1)求函數y＝2sin的單調區(qū)間； (2)求函數y＝sin的單調遞增區(qū)間．變式1、(1)函數y＝sin，x∈的單調遞減區(qū)間為________．(2)已知函數y＝cos，則它的單調遞減區(qū)間為________．
比較大小 例4、比較下列各組數的大小：(1)sin 220°與sin 230°； (2)cos 與cos ； (3)sin與cos.
課后作業(yè)
一、基礎訓練題
1．函數y＝－cos x在區(qū)間上是(　　)
A．增函數 B．減函數 C．先減后增函數 D．先增后減函數
2．函數f(x)＝2sin x在區(qū)間上的最大值為(　　)
A．0 B．－ C． D．2
3．對于函數f(x)＝sin 2x，下列選項中正確的是(　　)
A．f(x)在上單調遞增 B．f(x)的圖象關于原點對稱
C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2
4．(多選題)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．cos 400°>cos
C．sin 3>sin 2 D．sin >cos
5．函數y＝2sin(ω>0)的周期為π，則其單調遞增區(qū)間為(　　)
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
6．函數y＝sin2x＋sin x－1的值域為(　　)
A．[－1,1] B．
C． D．
7．函數y＝cos x在區(qū)間[－π，a]上為增函數，則a的取值范圍是________．
8．將cos 150°，sin 470°，cos 760°按從小到大排列為___________________________．
9．若y＝asin x＋b的最大值為3，最小值為1，則ab＝________.
10．已知函數f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x值．
11．設函數f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
(2)求函數f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時x的值．
二、綜合訓練題
12．(多選題)設函數f(x)＝cos，則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)的一個周期為2π
B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱
C．f(x)的一個零點為x＝
D．f(x)在上單調遞減
13．函數f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，當x＝________時，f(x)最小且最小值為________．
三、能力提升題
14．函數y＝sin x的定義域為[a，b]，值域為，則b－a的最大值與最小值之和為________．
15．若函數f(x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω等于________，f(x)在上的值域為________．
16．已知函數y＝sin在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數t的最小值是________．
5.4.2正弦函數、余弦函數的性質（二）
參考答案
1、【答案】C　
【解析】因為y＝cos x在區(qū)間上先增后減，所以y＝－cos x在區(qū)間上先減后增．
2、【答案】D【解析】∵x∈，∴0≤sin x≤1，∴f(x)＝2sin x∈[0,2]．故選D.
3、【答案】B 【解析】因為函數y＝sin x在上單調遞減，所以f(x)＝sin 2x在上單調遞減，故A錯誤；因為f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，故B正確；f(x)的最小正周期為π，故C錯誤；f(x)的最大值為1，故D錯誤．
4、【答案】BD【解析】y＝sin x在上單調遞增，又－<－，∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上單調遞減，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立．
sin ＝－sin ， cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .
∵0<<<，且y＝sin x在上單調遞增．∴sin cos ，故D成立．
5、【答案】C
【解析】∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2. ∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
6、【答案】C　
【解析】令sin x＝t，則t∈[－1,1]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，
∴當t＝－時，f(t)min＝－；當t＝1時，f(t)max＝1.
7、【答案】(－π，0]　　
【解析】因為y＝cos x在[－π，0]上是增函數，在[0，π]上是減函數，
所以只有－π＜a≤0時滿足條件，故a∈(－π，0]．
8、【答案】cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　
【解析】[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，
所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.
9、【答案】±2
【解析】當a>0時，得所以ab＝2.
當a<0時，得所以ab＝－2，綜上所述ab＝±2.
10、解　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)．
(2)當3x＋＝2kπ－π(k∈Z)時，f(x)取得最小值－2. 即x＝－(k∈Z)時，f(x)取得最小值－2.
11、解　(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，則由≤x≤可得0≤t≤，
所以當t＝，即x＝時，ymin＝×＝－1，當t＝，即x＝時，ymax＝×1＝.
12【答案】ABC
【解析】A顯然正確．f(x)的對稱軸方程為x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z，當k＝3時，x＝，故B正確．
令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝為f(x)的一個零點，故C正確．
令t＝x＋，當x∈時，t∈，
由y＝cos t的圖象知y＝cos t在上單調遞減，在上單調遞增，故D不正確．
13、【答案】　－
【解析】令t＝cos x，x∈，∴t∈，y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上單調遞減，∴當t＝，即x＝時，ymin＝3×2－4×＋1＝－.
14、【答案】2π
【解析】作出函數y＝sin x的圖象，如圖所示．由圖可知，
b－a的最大值為－＝， b－a的最小值為－＝.
所以最大值與最小值之和為＋＝2π.
15、【答案】　[0,1]　
【解析】根據題意知f(x)在x＝處取得最大值1，∴sin＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋，k∈Z.又0＜ω＜2，∴ω＝.
又f(x)＝sin x，x∈∴x∈，∴當x＝，即x＝時，f(x)max＝1.
當x＝0，即x＝0時，f(x)min＝0，∴f(x)在上的值域為[0,1]．
16、【答案】8　
【解析】因為T＝＝6.所以在[0，＋∞)第一次出現(xiàn)最大值x＝＝，
第二次出現(xiàn)最大值x＝，所以t≥.又因為t∈Z，所以t的最小值為8.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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