資源簡介

矩形
【學習目標】
一、知識與技能：探索并掌握矩形的有關性質，領會矩形的內涵。
二、過程與方法：經歷探索矩形有關性質的過程，在直觀操作活動中學會簡單說理，發展初步的合情推理能力和主動探究習慣，逐步掌握說理的基本方法。
三、情感態度與價值觀：形成良好的幾何感知，體會幾何學的邏輯內涵，發展思維。
【學習難點】
理解和掌握矩形的性質，發展合情推理能力和主動探究習慣。
【學習過程】
一、回顧
1．平行四邊形有哪些特征？
2．有幾種方法可以識別四邊形是平行四邊形？
3．平行四邊形是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心是什么樣的點？平行四邊形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是怎樣的直線？如果不是，請說明理由。
二、創設問題情境，引入新課
1．教師出示教具“一個活動的平行四邊形木框”，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上。拉動一對不相鄰的頂點A．C，立即改變平行四邊形的形狀，如圖所示。
學生思考如下問題：
（1）無論∠α如何變化，四邊形ABCD還是平行四邊形嗎？
（2）隨著∠α的變化，兩條對角線長度有沒有變化？
學生憑直覺可以很快地回答上述問題。
隨著∠α由銳角變成鈍角時，過∠α頂角的對角線由長變短，而另一條對角線由短變長。
當∠α是銳角時，學生可以用刻度尺量出兩條對角線的長度，你可判別它們數量之間的關系嗎？
當∠α是鈍角時，學生也可以用同樣辦法，得到兩對角線的數量關系。
（3）當∠α為直角時，這個時候平行四邊形就變成一個特殊的平行四邊形──矩形。
這就是你們以前學過的長方形。
教師根據學生的回答。板書：矩形。
這就是我們今天著手研究的一個課題。
（4）那怎樣的平行四邊形是矩形呢？
2．同學回答，老師板書：有一個內角為直角的平行四邊形是矩形？
如果人家問怎樣的四邊形是矩形呢？
那就要說四個內角都是直角（或三個內角是直角）的四邊形是矩形。
大家想一想矩形是平行四邊形嗎？９是）
那么矩形就具有平行四邊形的一切特征。
即矩形是中心對稱圖形；對邊分別平行；兩組對邊分別相等；兩組對角分別相等；對角線互相平分。
3．矩形除了以上特征外，還有它的特有的性質嗎？
學生思考以下問題：
（1）上面的活動架當∠α為直角時，它們的對角線有何關系？
（2）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是怎樣的直線？如果不是請說明理由。
（3）說出日常生活中的矩形圖象。
4．讓我們一起來歸納矩形的性質，并板書：
（1）矩形具有平行四邊形的一切性質。
（2）矩形是軸對稱圖形。
（3）矩形的對角線相等。
（4）矩形的四個角都是直角。
三、講解例題
例1 矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形周長的和為86cm，對角線長為13cm，那么矩形的周長是多少？
學生思考交流后。
師生共同分析：要求矩形ABCD的周長，就必要求出AB．BC．CD．AD的長度，由于AB=DC，AD=BC，那么只要求出AB．BC或CD．AD即可。
而矩形的對角線相等且互相平分，又對角線AC=13cm，所以OA=OB=OC=OD=cm=6．5cm。
這樣通過四個小三角形的周長和得到答案。
點撥：上面從求AB．BC．CD．AD的長度來考慮是一種常見的方法，這里是很難實現的與上次講述的從整體考慮也是一種好方法，即求AB+BC+CD+AD的值，本題應該從這方面入手。
解：因為△AOB．△BOC．△COD．△AOD的周長的和為86cm，四邊形ABCD是矩形，
所以AC=BD=13cm，AO=OB=OC=OD
則AO+OB+AB+BO+OC+BC+CO+CD+OD+AO+OD+AD=86（cm）
即AB+BC+CD+AD=86-2AC-2BD=86-2×13-2×13=34（cm）
所以矩形ABCD的周長為34cm。
練一練
1．矩形的定義中有兩個條件：一是____________，二是_________________。
2．有一個角是直角的四邊形是矩形。（ ）
3．矩形的對角線互相平分。（ ）
4．下列性質中，矩形不一定具有的是（ ）
A．對角線相等 B． 四個角都相等
C．對角線垂直 D．是軸對稱圖形
5．矩形具有而平行四邊形不具有的性質是（ ）
A． 兩組對邊分別平行 B． 對角相等
C． 對角線互相平分 D． 對角線相等
例2 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3， BC ＝ 4， BE⊥AC于E。試求出AC．BE的長。
(
A
B
D
C
E
)
練習
如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上的一點。試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系。
(
E
A
B
D
C
)
【達標檢測】
一、判斷題
1．矩形是軸對稱圖形，對角線是它的對稱軸。（ ）
2．平行四邊形也是軸對稱圖形其對稱軸也是對角線。（ ）
3．AD是直角三角形ABC的中線，那么AD就等于它斜邊BC的一半。（ ）
二、選擇題
4．矩形ABCD的長為5，寬為3，點E、F將AC三等分，則△BEF的面積為（ ）。
A． D．5
5．已知矩形ABCD的AB=2BC，在CD上取點E，使AE=EB，那么∠EBC等于（ ）。
A．60° B．45° C．30° D．15°
6．已知E、F分別是矩形ABCD的對邊BC和AD上的點，且BE=BC，AF=AD，連結AC．EF，那么（ ）。
A．AC平分EF，但EF不平分AC B．AC與EF互相平分
C．EF平分AC，但AC不平分EF D．AC與EF不會互相平分
7．如果矩形ABCD的對角線AC和BD所成的銳角是60°，那么（ ）。
A．AC+BD=AB+BC+CD+DA B．BD=2AB C．AC+BD=AB+BC D．以上都不對
8．一個矩形和一個平行四邊形的邊分別相等，若矩形面積為這個平行四邊形的面積的2倍，則平行四邊形的銳角的度數為（ ）。
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．過四邊形各頂點分別作對角線的平行線，若這四條平行線圍成一個矩形，則原四邊形一定是（ ）。
A．對角線相等的四邊形 B．對角線垂直的四邊形
C．對角線互相平分且相等的四邊形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形
10．E為矩形ABCD的邊CD上的一點，AB=AE=4，BC=2，則∠BEC是（ ）。
A．15° B．30° C．60° D．75°
11．如圖1所示，矩形ABCD的對角線交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，則∠1的度數為（ ）。
A．22．5° B．45° C．30° D．60°
（1） （2） （3） （4）
12．下列敘述錯誤的是（ ）。
A．平行四邊形的對角線互相平分 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．矩形的對角線相等 D．對角線相等的四邊形是矩形
13．下列性質矩形不一定具備的是（ ）。
A．對角線相等 B．四個內角都相等 C．對角線互相平分D．對角線互相垂直
三、填空題
14．如圖2所示，O為矩形ABCD的對角線交點，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15°，則∠COF=______。
15．矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F、G是AD的四等分點，則△BEF的面積是_____。
16．若矩形兩鄰邊之比為3：4，周長為28cm，則它的邊長為______。
17．已知矩形的對角線與較長邊所夾的角等于30°，那么較短邊與兩對角線所圍成的三角形是________三角形。
18．矩形ABCD的周長為40cm，O是它的對角線交點，△AOB比△AOD周長多4cm，則它的各邊長之比為________。
19．如圖3所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，則∠BAE=_____，∠EAD=_____，∠EAC=_____。
20.矩形ABCD中，M為AD的中點，MB⊥MC，矩形的周長為24，則AB=_____，BC=_______。
21．O為矩形ABCD的對角線交點，∠AOB=2∠BOC，對角線AC=12，則CB=_______。
22．如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取點E，使AE=AB，則∠EAB=_____，∠BEC=________。
23．M為矩形ABCD的BC上一點，DN⊥AM于N，AB=3，BC=7，AM=5，則DN=______。
四、解答題
24．如圖所示，矩形ABCD中，AC．BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°的度數，求∠BOE的度數。
25．如圖所示，矩形ABCD中，對角線AC．BD交于O點，CE⊥BD于E，OF⊥AB于F，BE：DE=1：3，OF=2cm，求AC的長。
26．如圖所示，矩形ABCD中，長為7，寬為6，點E、F將BD三等分，求△AEF的面積。
27．如圖所示，矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊長的點F處，如果∠BAE=60°，求∠DAE的度數。

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