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4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一、反函數(shù)的概念
如果在函數(shù)中，給定值域中任意一個的值，只有唯一的與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)，這個函數(shù)稱為的反函數(shù)，此時稱存在反函數(shù)，而且函數(shù)的自變量仍用表示，因變量仍用表示，函數(shù)的反函數(shù)記作.
二、反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
一般地，函數(shù)的反函數(shù)記作，則
1、的定義域與的值域相同，的值域與的定義域相同；
2、與的圖像關(guān)于直線對稱；
3、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)一定存在，且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同.
【注意】由性質(zhì)2可知，若函數(shù)的圖像上有一點，則點一定在其反函數(shù)的圖像上；反之，若點在的反函數(shù)圖像上，則點必在函數(shù)的圖像上.
三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
當(dāng)且時，有，列表如下.
名稱 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)
一般形式
定義域 R
值域 R
定點
單調(diào)性 時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù) 時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況 （1）當(dāng)時，若，則； 若，則. （2）當(dāng)時，若，則； 若，則. （1）當(dāng)時，若，則； 若，則. （2）當(dāng)時，若，則； 若，則.
對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)
四、判斷函數(shù)是否存在反函數(shù)的方法
并非任意一個函數(shù)都有反函數(shù)，只有定義域和值域都滿足“一 一對應(yīng)”的函數(shù)才有反函數(shù).
1、逐一考查值域中函數(shù)值對應(yīng)的自變量的取值，如果都是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在；
2、確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，如果函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)存在；
3、利用原函數(shù)的解析式，解出自變量，如果是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在。
五、求反函數(shù)的步驟
1、由，解出；
2、交換、，得；
3、根據(jù)的值域，寫出的定義域。
題型一 反函數(shù)存在的條件
【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列各圖象表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)反函數(shù)的定義，存在反函數(shù)的函數(shù)應(yīng)滿足一個y至多對應(yīng)一個x.
對于A，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，A錯；
對于B，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，B錯；
對于C，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，C錯；
對于D，滿足反函數(shù)的定義，D對.故選：D
【變式1-1】（2022·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在上存在反函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若函數(shù)在上存在反函數(shù)，
則函數(shù)在上單調(diào)即可，
又因為函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，所以.故選：B.
【變式1-2】（2021·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，存在反函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】函數(shù)，存在反函數(shù)，
即函數(shù)在上是一一映射，
只需函數(shù)在上單調(diào)即可，
因為函數(shù)的對稱軸為，
故當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)，
即函數(shù)，存在反函數(shù).故選：A.
【變式1-3】（2022·上海·統(tǒng)考三模）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在反函數(shù)，則的取值范圍是 ．
【答案】或.
【解析】當(dāng)時，，，是定義在上的奇函數(shù)，
所以，即時，，
所以，
若存在反函數(shù)，則在每段單調(diào)且各段值域無重合，
當(dāng)，，；
所以或
所以或.
【變式1-4】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）當(dāng)時，判斷此函數(shù)有沒有反函數(shù)，并說明理由；
（2）當(dāng)為何值時，此函數(shù)存在反函數(shù) 并求出此函數(shù)的反函數(shù)．
【答案】（1）沒有反函數(shù)，理由見解析；（2）答案見解析
【解析】（1）當(dāng)時，則的對稱軸為，
若時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
即函數(shù)不單調(diào)，所以在區(qū)間沒有反函數(shù).
（2）若函數(shù)存在反函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．
的對稱軸為，
若函數(shù)存在反函數(shù)，則有
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，且，
即，
由，解得，
故，；
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，且，
即，
由，解得，
故，；
綜上所述：當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，.
題型二 反函數(shù)解析式的求法
【例2】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)（）的反函數(shù)為 ．
【答案】（）
【解析】∵，∴，反函數(shù)即．
在原函數(shù)中由知．
【變式2-1】（2023·上海·高一復(fù)旦附中校考期末）函數(shù)的反函數(shù)為 .
【答案】
【解析】由題意可得在上遞減，故，
則，
故函數(shù)的反函數(shù)為.
【變式2-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則其反函數(shù)為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，，
所以此時的反函數(shù)為，
當(dāng)時，，，
所以此時的反函數(shù)為，
故答案為:.
【變式2-3】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)是其反函數(shù)，則 ．
【答案】
【解析】由題意，
在中，，
互換得，，
∴
【變式2-4】（2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以其反函數(shù)為，即，
所以，故選：D.
題型三 根據(jù)反函數(shù)求參數(shù)
【例3】（2023·天津·高二耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】因為直線與直線關(guān)于直線對稱，顯然，
所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
又因為的反函數(shù)為，
所以，即，故選：A
【變式3-1】（2023·湖北荊州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)常數(shù)，若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ．
【答案】2
【解析】由題意得的圖象過，
所以，解得．
【變式3-2】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的表達(dá)式為，其圖像過點，它的反函數(shù)的圖像過點，求a、b的值．
【答案】
【解析】由題意可知：點和點均在的圖像上，
則，解得或（舍去），
故.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為
【答案】1
【解析】由得，
即，即的反函數(shù)為，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
故與為同一函數(shù)，故.
【變式3-4】（2023·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）“”是“函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時，函數(shù)與互為反函數(shù)，
故函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，充分性成立；
若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則均可，必要性不成立；
故“”是“函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件.
故選：A.
題型四 反函數(shù)的性質(zhì)特征
【例4】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若且，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．R C． D．
【答案】C
【解析】∵當(dāng)時，，
∴函數(shù)，的值域為，
又與互為反函數(shù)互為反函數(shù)，
故的定義域為.故選：C.
【變式4-1】（2022·海南海口·高一海口一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)過點，若的反函數(shù)為，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)過點，則，解得，
∴，的反函數(shù)為，得，
由，∴的定義域為，
當(dāng)，有，則的值域為.故選：D
【變式4-2】（2023·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考期末）函數(shù)的反函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴函數(shù)的值域為．
∵的定義域即函數(shù)的值域
∴的定義域為．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則的根有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，則.
①當(dāng)時，，令，解得；
②當(dāng)時，，令，解得.
因此，方程的根有個.故選：D.
【變式4-4】（2022·河北·高一承德第一中學(xué)校考期末）（多選）已知函數(shù)和，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．它們互為反函數(shù) B．它們的定義域與值域正好互換
C．它們的單調(diào)性相反 D．它們的圖像關(guān)于直線對稱
【答案】ABD
【解析】A選項，注意到，則其與函數(shù)互為反函數(shù)，故A正確；
B選項，函數(shù)定義域為，值域為R.
函數(shù)定義域為R，值域為.故B正確；
C選項，當(dāng)時，兩函數(shù)均在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.
當(dāng)時，兩函數(shù)均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.故C錯誤；
D選項，兩函數(shù)互為反函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：ABD.
題型五 反函數(shù)的圖像特征
【例5】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知函數(shù)，則它的反函數(shù)的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，函數(shù)的反函數(shù)是，
這是一個在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，
所以只有選項C的圖像符合.故選：C.
【變式5-1】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、第三象限，則的圖像經(jīng)過（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】C
【解析】∵的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，
若函數(shù)的圖像經(jīng)過第二象限，
即的圖像上的任意點滿足，
則關(guān)于直線的對稱點在第四象限，
且在的圖像上，
∴的圖像經(jīng)過第四象限；
同理可得：若函數(shù)的圖像經(jīng)過第三象限，
則的圖像經(jīng)過第三象限；
故的圖像經(jīng)過第三、第四象限.故選：C.
【變式5-2】（2023·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）若點在函數(shù)的圖像上，點在的反函數(shù)圖像上，則 ．
【答案】
【解析】因為點在函數(shù)的圖像上，
所以,計算得，
又且，所以，所以，
所以的反函數(shù)為，
又因為點在圖像上，
所以，得.
【變式5-3】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的圖像一定過點 ．
【答案】
【解析】∵函數(shù)的圖像過點，則，解得，
即函數(shù)的圖像過點，
則，即的圖像過點，
∴，則函數(shù)的圖像一定過點.
【變式5-4】（2022·山東·高一棗莊八中校考期中）已知且，且，函數(shù)的圖象過定點A，A在函數(shù)的圖象上，且函數(shù)的反函數(shù)過點，則 .
【答案】8
【解析】函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移2各單位長度，
再向上平移3個單位長度得到，故點A坐標(biāo)為，
又的反函數(shù)過點，
所以函數(shù)過點，
所以，解得，所以.
題型六 反函數(shù)與零點問題結(jié)合
【例6】（2022·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則 .
【答案】
【解析】，則，得：；
令，得：；
所以，分別為和與的圖像交點的橫坐標(biāo)，如圖所示：
因為和互為反函數(shù)，
所以和的圖像關(guān)于對稱，
所以、兩點關(guān)于對稱.
又、兩點均在的圖像上，所以，所以.
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是方程的一個根，方程的一個根，則 .
【答案】
【解析】將已知的兩個方程變形得，.
令：，，，畫出它們的圖像，如圖，
記函數(shù)與的交點為，
與的圖像的交點為，
由于與互為反函數(shù)，且直線與直線垂直，
所以與兩點關(guān)于直線對稱，
由，解得，，則.
【變式6-2】（2023·高一單元測試）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）求其反函數(shù);
（2）求函數(shù)的零點．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）由題知,
,
,,,
因此;
（2）由（1）知,
故,
設(shè),則,
令,可得或(舍)，,即,
所以函數(shù)的零點為1.
【變式6-3】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知分別是函數(shù)和的零點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因為，分別是函數(shù)，的零點，
所以，，
那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)，
如圖，點,,分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點，
所以，因為函數(shù)和互為反函數(shù)，
所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對稱，的圖像也關(guān)于的圖像對稱，
所以點和關(guān)于點對稱，
，，故AB正確；
由反函數(shù)的性質(zhì)可得，因為單調(diào)遞增，，
所以，所以，故C錯；
當(dāng)時，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，
因為，所以，
所以的范圍為，那么，
而，所以，故D正確.故選：ABD.4.3 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一、反函數(shù)的概念
如果在函數(shù)中，給定值域中任意一個的值，只有唯一的與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)，這個函數(shù)稱為的反函數(shù)，此時稱存在反函數(shù)，而且函數(shù)的自變量仍用表示，因變量仍用表示，函數(shù)的反函數(shù)記作.
二、反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
一般地，函數(shù)的反函數(shù)記作，則
1、的定義域與的值域相同，的值域與的定義域相同；
2、與的圖像關(guān)于直線對稱；
3、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)一定存在，且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同.
【注意】由性質(zhì)2可知，若函數(shù)的圖像上有一點，則點一定在其反函數(shù)的圖像上；反之，若點在的反函數(shù)圖像上，則點必在函數(shù)的圖像上.
三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系
當(dāng)且時，有，列表如下.
名稱 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)
一般形式
定義域 R
值域 R
定點
單調(diào)性 時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù) 時，為增函數(shù)；時，為減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況 （1）當(dāng)時，若，則； 若，則. （2）當(dāng)時，若，則； 若，則. （1）當(dāng)時，若，則； 若，則. （2）當(dāng)時，若，則； 若，則.
對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)
四、判斷函數(shù)是否存在反函數(shù)的方法
并非任意一個函數(shù)都有反函數(shù)，只有定義域和值域都滿足“一 一對應(yīng)”的函數(shù)才有反函數(shù).
1、逐一考查值域中函數(shù)值對應(yīng)的自變量的取值，如果都是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在；
2、確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，如果函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)的反函數(shù)存在；
3、利用原函數(shù)的解析式，解出自變量，如果是唯一的，則函數(shù)的反函數(shù)存在。
五、求反函數(shù)的步驟
1、由，解出；
2、交換、，得；
3、根據(jù)的值域，寫出的定義域。
題型一 反函數(shù)存在的條件
【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列各圖象表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在上存在反函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2021·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，存在反函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【變式1-3】（2022·上海·統(tǒng)考三模）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在反函數(shù)，則的取值范圍是 ．
【變式1-4】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）當(dāng)時，判斷此函數(shù)有沒有反函數(shù)，并說明理由；
（2）當(dāng)為何值時，此函數(shù)存在反函數(shù) 并求出此函數(shù)的反函數(shù)．
題型二 反函數(shù)解析式的求法
【例2】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)（）的反函數(shù)為 ．
【變式2-1】（2023·上海·高一復(fù)旦附中校考期末）函數(shù)的反函數(shù)為 .
【變式2-2】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則其反函數(shù)為 ．
【變式2-3】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)是其反函數(shù)，則 ．
【變式2-4】（2023·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
題型三 根據(jù)反函數(shù)求參數(shù)
【例3】（2023·天津·高二耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式3-1】（2023·湖北荊州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)常數(shù)，若函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則 ．
【變式3-2】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的表達(dá)式為，其圖像過點，它的反函數(shù)的圖像過點，求a、b的值．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為
【變式3-4】（2023·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）“”是“函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型四 反函數(shù)的性質(zhì)特征
【例4】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若且，則函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．R C． D．
【變式4-1】（2022·海南海口·高一海口一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)過點，若的反函數(shù)為，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·甘肅蘭州·高一蘭州一中校考期末）函數(shù)的反函數(shù)的定義域為 ．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則的根有（ ）個
A． B． C． D．
【變式4-4】（2022·河北·高一承德第一中學(xué)校考期末）（多選）已知函數(shù)和，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．它們互為反函數(shù) B．它們的定義域與值域正好互換
C．它們的單調(diào)性相反 D．它們的圖像關(guān)于直線對稱
題型五 反函數(shù)的圖像特征
【例5】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知函數(shù)，則它的反函數(shù)的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、第三象限，則的圖像經(jīng)過（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【變式5-2】（2023·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）若點在函數(shù)的圖像上，點在的反函數(shù)圖像上，則 ．
【變式5-3】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的圖像一定過點 ．
【變式5-4】（2022·山東·高一棗莊八中校考期中）已知且，且，函數(shù)的圖象過定點A，A在函數(shù)的圖象上，且函數(shù)的反函數(shù)過點，則 .
題型六 反函數(shù)與零點問題結(jié)合
【例6】（2022·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則 .
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是方程的一個根，方程的一個根，則 .
【變式6-2】（2023·高一單元測試）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為．
（1）求其反函數(shù);
（2）求函數(shù)的零點．
【變式6-3】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知分別是函數(shù)和的零點，則（ ）
A． B． C． D．

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