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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題三十六 二項式定理
知識歸納
一、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題
1、二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，
2、二項式的展開式的特點：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；
④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系
數(shù)）．
3、兩個常用的二項展開式：
①（）
②
4、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
二、二項式展開式中的最值問題
1、二項式系數(shù)的性質(zhì)
①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．
④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
2、系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
三、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
1、設(shè)，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
2、若，則
①常數(shù)項：令，得．
②各項系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和
（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
方法技巧與總結(jié)
1、求二項展開式的特定項問題,實質(zhì)是考查通項的特點,一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍（）.
（1）第項：：此時k+1=m,直接代入通項.
（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程.
（3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.
2、解題技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令
x＝1即可．
（2）對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，
奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
典例分析
題型一、求二項展開式中的參數(shù)
【例1-1】展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【例1-2】已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【例1-3】若的展開式中項的系數(shù)為160，則正整數(shù)n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例1-4】展開式中的系數(shù)為，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【方法技巧與總結(jié)】
在形如的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求，則．
題型二、求二項展開式中的常數(shù)項
【例2-1】的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B．60 C．64 D．120
【例2-2】二項式的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2-3】二項式的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
題型三、求二項展開式中的有理項
【例3-1】在二項式 的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_____.
【例3-2】已知的展開式中有且僅有兩項的系數(shù)為有理數(shù)，試寫出符合題意的一個的值______．
【例3-3】在的展開式中有___________項為有理數(shù)．
題型四、求二項展開式中的特定項系數(shù)
【例4-1】在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．1 C． D．4
【例4-2】在的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是（ ）
A．20 B． C．15 D．
【例4-3】若的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【例4-4】在的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．7
【例4-5】的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
題型五、求三項展開式中的指定項
【例5-1】的展開式中，項的系數(shù)為___________．
【例5-2】的展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字填寫正確答案）
【例5-3】的展開式合并前的項數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】的展開式的常數(shù)項為
A． B． C． D．
【例5-5】在的展開式中，項的系數(shù)為（　　）
A． B． C．30 D．50
【例5-6】的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
【例5-7】在的展開式中含和含的項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．1485
【方法技巧與總結(jié)】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數(shù)．
題型六、求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)
【例6-1】的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【例6-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．160 B． C．148 D．
【例6-3】已知的展開式中常數(shù)項為，則（ ）
A． B．
C． D．
【例6-4】(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N*)的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f (m，n),若f (0，1)＋f (1，0)＝8，則a的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例6-5】在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
題型七、求二項式系數(shù)最值
【例7-1】在（）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例7-2】展開式中二項式系數(shù)最大的項是（ ）
A． B． C．和 D．和
【例7-3】設(shè)為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例7-4】的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【例7-5】在的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
題型八、求項的系數(shù)最值
【例8-1】已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項為___________．
【例8-2】若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為_______．
【例8-3】假如的二項展開式中項的系數(shù)是，則二項展開式中系數(shù)最小的項是__________.
題型九、求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和
【例9-1】已知，若，則自然數(shù)n等于_____．
【例9-2】已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．90 B．10 C．10 D．90
【例9-3】若，則_________.（用數(shù)字作答）
【例9-4】若的展開式中各項系數(shù)的和為256，則該展開式中含字母且的次數(shù)為1的項的系數(shù)為___________.
【例9-5】設(shè)，若則非零實數(shù)a的值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1
【例9-6】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【例9-7】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【例9-8】在①只有第5項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128；這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【例9-9】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(5)求展開式二項式系數(shù)最大的項是第幾項？
(6).
題型十、求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和
【例10-1】在的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】已知多項式，則_______，________．
【例10-3】若的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為______．
【例10-4】已知，若，則_____________.
【例10-5】在展開式中，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，則_____________．
【例10-6】若，且，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
題型十一、整數(shù)和余數(shù)問題
【例11-1】711除以6的余數(shù)是___________．
【例11-2】已知能夠被15整除，則的一個可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【例11-3】除以78的余數(shù)是（ ）
A． B．1 C． D．87
【例11-4】中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【例11-5】若，則被8整除的余數(shù)為___________.
題型十二、近似計算問題
【例12-1】的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是_________．
【例12-2】某同學(xué)在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是________.
【例12-3】的計算結(jié)果精確到個位的近似值為
A．106 B．107 C．108 D．109
題型十三、證明組合恒等式
【例13-1】（多選題）下列關(guān)系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
【例13-2】（多選題）設(shè)，下列恒等式正確的為（ ）
A．
B．
C．
D．
【例13-3】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．
案例：考查恒等式左右兩邊的系數(shù)．
因為右邊，
所以，右邊的系數(shù)為，
而左邊的系數(shù)為，
所以＝．
（2）求證：．
題型十四、二項式定理與數(shù)列求和
【例14-1】偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級數(shù)”難題．當(dāng)時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（ ）
A． B． C． D．
【例14-2】已知數(shù)列是等比數(shù)列，，公比是的展開式的第二項（按的降冪排列）．
(1)求數(shù)列的通項與前項和；
(2)若，求．
題型十五、楊輝三角
【例15-1】楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．某校數(shù)學(xué)興趣小組模仿楊輝三角制作了如下數(shù)表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
該數(shù)表的第一行是數(shù)列，從第二行起每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和，則這個數(shù)表中第4行的第5個數(shù)為______，各行的第一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列1，3，8，…，則該數(shù)列的前n項和______．
【例15-2】“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．如圖所示，第行的數(shù)字之和為__________，去除所有1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,則此數(shù)列的前28項和為_____________．
【例15-3】（多選題）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前n項和為 C． D．
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專題三十六 二項式定理
知識歸納
一、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題
1、二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，
2、二項式的展開式的特點：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；
④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系
數(shù)）．
3、兩個常用的二項展開式：
①（）
②
4、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
二、二項式展開式中的最值問題
1、二項式系數(shù)的性質(zhì)
①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．
③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．
④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．
2、系數(shù)的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．
三、二項式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題
常用賦值舉例：
1、設(shè)，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
2、若，則
①常數(shù)項：令，得．
②各項系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和
（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；
偶數(shù)項的系數(shù)和為．
（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
方法技巧與總結(jié)
1、求二項展開式的特定項問題,實質(zhì)是考查通項的特點,一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍（）.
（1）第項：：此時k+1=m,直接代入通項.
（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程.
（3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程.
2、解題技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令
x＝1即可．
（2）對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，
奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
典例分析
題型一、求二項展開式中的參數(shù)
【例1-1】展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【解析】的展開式通項為，
∴令，解得，
∴的展開式的常數(shù)項為，
∴∴.
【例1-2】已知二項式的展開式中，項的系數(shù)為40，則（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由，令，解得，
所以項的系數(shù)為，解得．
【例1-3】若的展開式中項的系數(shù)為160，則正整數(shù)n的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由二項式定理知：含項為 ，
由題意 ， ，解得 .
【例1-4】展開式中的系數(shù)為，則（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】A
【解析】的展開式通項公式為，故，記得.
【方法技巧與總結(jié)】
在形如的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項求，則．
題型二、求二項展開式中的常數(shù)項
【例2-1】的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B．60 C．64 D．120
【答案】B
【解析】展開式的通項為，令解得，所以常數(shù)項.
【例2-2】二項式的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】二項式的展開式為，
令，，則，
因為，所以當(dāng)時，取得最小值3.
【例2-3】二項式的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
【答案】A
【解析】二項式的展開式的通項為，
令可得，所以常數(shù)項為.
題型三、求二項展開式中的有理項
【例3-1】在二項式 的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_____.
【答案】6
【解析】二項展開式的通項公式為，
第項的系數(shù)為，當(dāng)即時，系數(shù)為有理數(shù)，
這樣的項的個數(shù)為6.
【例3-2】已知的展開式中有且僅有兩項的系數(shù)為有理數(shù)，試寫出符合題意的一個的值______．
【答案】取6，8，9，10，11中任意一個值均可．
【解析】的展開式的通項為，，．
若系數(shù)為有理數(shù)，則，且．當(dāng)時，；
時； 時； 時，6； 時無解； 時，8；
時，6； 時，10； 時，8， 時，6，12．
所以可取6，8，9，10，11中的任意一個值．
故答案為：取6，8，9，10，11中任意一個值均可．
【例3-3】在的展開式中有__項為有理數(shù)．
【答案】9．
【解析】通項公式：．
當(dāng)與都為整數(shù)且為整數(shù)時，為有理數(shù)，則．
∴展開式中有9項為有理數(shù)．
題型四、求二項展開式中的特定項系數(shù)
【例4-1】在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】的展開式的通項公式為，
令，則，故的系數(shù)為.
【例4-2】在的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是（ ）
A．20 B． C．15 D．
【答案】A
【解析】第4項的二項式系數(shù)為.
【例4-3】若的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由題意，二項式的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)分別為，，
可得，解得.
【例4-4】在的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．7
【答案】D
【解析】二項式展開式的通項為，
令，解得，所以，故展開式中的系數(shù)為.
【例4-5】的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
【答案】C
【解析】的展開式中，含項的系數(shù)為．
題型五、求三項展開式中的指定項
【例5-1】的展開式中，項的系數(shù)為___________．
【答案】210
【解析】因為
所以含有項的為.
所以的展開式中，含項的系數(shù)為210.
【例5-2】的展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字填寫正確答案）
【答案】481
【解析】的通項公式為，，
對于，它的通項公式為，，
令，可得，或，或．
故的展開式中的常數(shù)項為．
【例5-3】的展開式合并前的項數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】從個因式中，每一次都要選一個、、、相乘，
∴展開式中共有項.
【例5-4】的展開式的常數(shù)項為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴的展開式中的常數(shù)項為.
【例5-5】在的展開式中，項的系數(shù)為（　　）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【解析】表示5個因式的乘積，在這5個因式中，
有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；
或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，
故項的系數(shù)為．
【例5-6】的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
【答案】A
【解析】，展開式的第項為，
令，可得第3項為，的展開式的第項為，令，
可得第3項為，所以的展開式中，的系數(shù)是．
【例5-7】在的展開式中含和含的項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．1485
【答案】A
【解析】，則的系數(shù)為1，
的系數(shù)為，
所以在的展開式中含和含的項的系數(shù)之和為．
【方法技巧與總結(jié)】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數(shù)．
題型六、求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)
【例6-1】的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【答案】D
【解析】的展開式的通項為，
令，得，則的展開式中的常數(shù)項為，
令，得，則的展開式中含的項的系數(shù)為，
所以的展開式中的常數(shù)項為.
【例6-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．160 B． C．148 D．
【答案】C
【解析】的展開式中的系數(shù)為．
【例6-3】已知的展開式中常數(shù)項為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】展開式中第項
當(dāng)時，，時，，
所以的展開式中常數(shù)項為，所以，得.
【例6-4】(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N*)的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f (m，n),若f (0，1)＋f (1，0)＝8，則a的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】展開式中含的項為，含的項為，
，∴.
【例6-5】在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因為的展開式為，
的展開式為和的和，
；，
所以在中令，即可得到的項的系數(shù)，是.
題型七、求二項式系數(shù)最值
【例7-1】在（）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】當(dāng)時，的展開式有8項，的展開式中二項式系數(shù)最大，
即第四項和第五項的二項式系數(shù)最大；
當(dāng)時，的展開式有9項，的展開式中二項式系數(shù)最大，
即第五項的二項式系數(shù)最大；
當(dāng)時，的展開式有10項，的展開式中二項式系數(shù)最大，
即第五項和第六項的二項式系數(shù)最大.
當(dāng)時，的展開式有11項，的展開式中二項式系數(shù)最大，
即第六項的二項式系數(shù)最大.
【例7-2】展開式中二項式系數(shù)最大的項是（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【解析】展開式的通項公式為，
因為展開式共有8項，所以第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，
所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為和，
即為和.
【例7-3】設(shè)為正整數(shù)，的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為.若，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】的展開式中二項式系數(shù)的最大值為，故，的展開式中的二項式系數(shù)的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.
【例7-4】的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】因為的展開式的通項公式為，令，即時，x的系數(shù)為，而二項式系數(shù)最大值為，所以，即．
【例7-5】在的展開式中，只有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，第五項二項式系數(shù)最大，一共是9項，所以n=8，
二項式展開項的通項公式為： ， ，
∴ 的系數(shù)為.
題型八、求項的系數(shù)最值
【例8-1】已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中系數(shù)最大的項為___________．
【答案】
【解析】令，則的展開式各項系數(shù)之和為，則；
由的展開式通項公式知二項展開式的系數(shù)最大項在奇數(shù)項，
設(shè)二項展開式中第項的系數(shù)最大，
則，化簡可得：經(jīng)驗證可得，
則該展開式中系數(shù)最大的項為.
【例8-2】若n展開式中前三項的系數(shù)和為163，則展開式中系數(shù)最大的項為_______．
【答案】5376
【解析】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，
設(shè)展開式中項的系數(shù)最大，則解得，
又∵，∴，故展開式中系數(shù)最大的項為.
【例8-3】假如的二項展開式中項的系數(shù)是，則二項展開式中系數(shù)最小的項是__________.
【答案】
【解析】由二項式知：，而項的系數(shù)是，
∴時，有且為奇數(shù)，又由，
∴可得.∴，要使系數(shù)最小，為奇數(shù)，由對稱性知：，
∴.
題型九、求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和
【例9-1】已知，若，則自然數(shù)n等于_____．
【答案】4
【解析】令，則，所以．
【例9-2】已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．90 B．10 C．10 D．90
【答案】A
【解析】因為（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，
所以，得，所以，
則其展開式的通項公式為，
令，得，所以該展開式中的常數(shù)項為.
【例9-3】若，則_________.（用數(shù)字作答）
【答案】127
【解析】因為，
所以奇次方系數(shù)為負(fù)，偶次方系數(shù)為正，
所以，
對于，
令，得，
令，得，
兩式相減，得，
即.
【例9-4】若的展開式中各項系數(shù)的和為256，則該展開式中含字母且的次數(shù)為1的項的系數(shù)為___________.
【答案】
【解析】取，則的展開式中各項系數(shù)的和為：.
故，則，
的展開式：；的展開式：
取得到：，取得到系數(shù)為；
取得到：，取得到系數(shù)為；
綜上所述：該展開式中含字母且的次數(shù)為1的項的系數(shù)為。
【例9-5】設(shè)，若則非零實數(shù)a的值為（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】∵，對其兩邊求導(dǎo)數(shù)，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得．
【例9-6】已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，當(dāng)時，，
于是得
.
【例9-7】若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時，，故A對；
，B對；
令，則，∴，故C錯；
對等式兩邊求導(dǎo)，
即
令，則，∴，故D對．
【例9-8】在①只有第5項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128；這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【解析】（1）若選①：因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有9項，即，得，
若選②：因為第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，所以，
若選③：因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，所以，解得.
因為，
令，則有，即有，
令，得，所以；
綜上所述：；
（2）由(1)可知：無論選①，②，③都有，
，
兩邊求導(dǎo)得，
令，則有，
所以.
【例9-9】.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(5)求展開式二項式系數(shù)最大的項是第幾項？
(6).
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相當(dāng)于求展開式的系數(shù)和，
令，得.
（4）展開式中二項式系數(shù)和是.
展開式中偶數(shù)項的二項系數(shù)和是.
（5）展開式有2023項，中間項是第1012項，
所以展開式二項式系數(shù)最大的項是第1012項.
（6）兩邊分別求導(dǎo)得：
，
令，得.
題型十、求奇數(shù)項或偶數(shù)項系數(shù)和
【例10-1】在的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的展開式通項為，
因此，展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)和為.
【例10-2】已知多項式，則_______，________．
【答案】
【解析】因為，
令可得①；
令可得②，
兩式相減，整理可得．
對兩邊求導(dǎo)可得，，
令，可得．
【例10-3】若的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為______．
【答案】
【解析】設(shè).
令，得①；
令，得②.
②＋①得．
又因為，所以，解得．
【例10-4】已知，若，則_____________.
【答案】8
【解析】，所以，所以，
所以，
即，解得：
【例10-5】在展開式中，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，則_____________．
【答案】
【解析】設(shè)
令得：①，
令得：②，
兩式相減得：，
因為，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，
所以，解得：.
【例10-6】若，且，則實數(shù)的值可以為（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
【答案】A
【解析】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，或．
題型十一、整數(shù)和余數(shù)問題
【例11-1】711除以6的余數(shù)是___________．
【答案】1
【解析】∵
根據(jù)二項展開式不妨設(shè)：
顯然可被6整除且
711除以6的余數(shù)是．
【例11-2】已知能夠被15整除，則的一個可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】,
75能夠被15整除，要使原式能夠被15整除，則需要能被15整除，將選項逐個檢驗可知的一個可能取值是，其他選項均不符合題意.
【例11-3】除以78的余數(shù)是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【解析】因為
所以，除了第一項之外，其余每一項都含有的倍數(shù)，所以原式除以的余數(shù)為1.
【例11-4】中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】B
【解析】因為
,
四個選項中，只有時，除以10余數(shù)是1．
【例11-5】若，則被8整除的余數(shù)為___________.
【答案】5
【解析】在已知等式中，取得，
取得，
兩式相減得，
即，
因為
因為能被8整除，
所以被8整除的余數(shù)為5，
即被8整除的余數(shù)為5.
題型十二、近似計算問題
【例12-1】的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是_________．
【答案】1.34
【解析】
【例12-2】某同學(xué)在一個物理問題計算過程中遇到了對數(shù)據(jù)的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是________.
【答案】
【解析】根據(jù)二項式定理可得：.
【例12-3】的計算結(jié)果精確到個位的近似值為
A．106 B．107 C．108 D．109
【答案】B
【解析】∵，∴.
題型十三、證明組合恒等式
【例13-1】（多選題）下列關(guān)系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
【答案】ABD
【解析】＋2＋22＋23＋…＋2n，A正確；
設(shè)，
當(dāng)時，①，
當(dāng)時，②
由①+②得
由①-②得
2＋＋2＋＋…＋＋2，B正確；
，
·12＋·22＋·32＋…＋n2，
令，
兩邊同乘得，
兩邊同時求導(dǎo)得，
令得
則·12＋·22＋·32＋…＋n2＝，C錯誤；
令，
則
，
比較等式兩邊的系數(shù)可知，
又，，D正確.
【例13-2】（多選題）設(shè)，下列恒等式正確的為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由二項式定理可得，令可得
，所以，A不正確；
對二項式定理式子兩邊求導(dǎo)可得，
令可得，故B正確；
由B知，兩邊同乘可得
，兩邊求導(dǎo)可得
，
令可得，C正確；
由C可得，兩邊同乘可得,
，兩邊求導(dǎo)可得，
，令可得
，D不正確.
【例13-3】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡．
案例：考查恒等式左右兩邊的系數(shù)．
因為右邊，
所以，右邊的系數(shù)為，
而左邊的系數(shù)為，
所以＝．
（2）求證：．
【解析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右兩邊x3的系數(shù)，
因為右邊（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），
所以，右邊x3的系數(shù)為＝
而左邊x3的系數(shù)為：，所以．
（2）∵，
．
考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右兩邊xn的系數(shù)．
因為右邊xn的系數(shù)為＝，而左邊的xn的系數(shù)為．
所以，同理可求得
考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右兩邊xn﹣1的系數(shù)，
因為右邊（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），
所以，右邊的xn﹣1的系數(shù)為＝，
而左邊的xn﹣1的系數(shù)為，所以＝，
﹣＝+2n+﹣
＝2n+＝n（+）+＝n（+）+
＝n+＝（n+1）．
題型十四、二項式定理與數(shù)列求和
【例14-1】偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級數(shù)”難題．當(dāng)時，，又根據(jù)泰勒展開式可以得到，根據(jù)以上兩式可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，兩邊同時除以x，
得，又
展開式中的系數(shù)為，所以，
所以．
【例14-2】已知數(shù)列是等比數(shù)列，，公比是的展開式的第二項（按的降冪排列）．
(1)求數(shù)列的通項與前項和；
(2)若，求．
【解析】（1）展開式通項公式為：，
，又，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
綜上所述：
（2）①當(dāng)時，；
，，
令得：，即；
②當(dāng)時，；
綜上所述：.
題型十五、楊輝三角
【例15-1】楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．某校數(shù)學(xué)興趣小組模仿楊輝三角制作了如下數(shù)表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
該數(shù)表的第一行是數(shù)列，從第二行起每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和，則這個數(shù)表中第4行的第5個數(shù)為______，各行的第一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列1，3，8，…，則該數(shù)列的前n項和______．
【答案】 52
【解析】由數(shù)表規(guī)律可知，第4行的第1個數(shù)為，第行是公差為的等差數(shù)列，
所以第4行的公差，則第4行的第5個數(shù)為52；
記各行的第一個數(shù)組成的數(shù)列為，則，，
兩邊同除以，得，
故是首項為，公差為的等差數(shù)列，
則，則，
則，，
兩式相減得
，
所以．
【例15-2】“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．如圖所示，第行的數(shù)字之和為__________，去除所有1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,則此數(shù)列的前28項和為_____________．
【答案】 494
【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)得：第n行的數(shù)字之和為，
去除所有1的項后所得三角數(shù)陣的第n行有n個數(shù)字，其和為，而，
所以數(shù)列的前28項和.
【例15-3】（多選題）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前n項和為 C． D．
【答案】ABD
【解析】從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)的二項式系數(shù)，所以，
為等比數(shù)列，，所以，故A正確；
，
所以的前n項和為
，故B正確；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項數(shù)分別為0，1，2，3……構(gòu)成一個等差數(shù)列，項數(shù)之和為，的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在中去掉，取的就是第12行的第2項，，故C錯誤；
，這11行中共去掉了22個1，
所以，故D正確.
故選：ABD.
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