資源簡(jiǎn)介 高中數(shù)學(xué)恒成立問題的類型及求解策略 恒成立問題,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,有利于考查學(xué)生的綜合解題能力,也為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。本文將高中數(shù)學(xué)中常見的恒成立問題進(jìn)行歸類和探討。一次函數(shù)型:給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成同理,若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0,則有對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析:在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母:x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量,另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量,則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2,2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,設(shè)f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:即解得:∴x<-1或x>3.二次函數(shù)型若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,則有若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題,還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。例2.定義在上的減函數(shù),如果不等式組對(duì)任何都成立,求的取值范圍。解 因?yàn)闉槎x在上的減函數(shù),所以,令,,則和在上恒成立。故有,解得。因?yàn)閮珊瘮?shù)開口均向上,作出函數(shù)的草圖,可知恒成立;函數(shù)的對(duì)稱軸為,可知當(dāng)時(shí),恒成立。當(dāng)時(shí),,即與軸無交點(diǎn),恒成立。所以,的取值范圍是。 例3.關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范圍。分析:題目中出現(xiàn)了3x及9x,故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。解法1(利用韋達(dá)定理):設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a-8.解法2(利用根與系數(shù)的分布知識(shí)):即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即(4+a)2-16=0,∴a=0或a=-8.a=0時(shí),f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0,不合題意;a=-8時(shí),f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合題意?!郺=-8.20. >0,即a<-8或a>0時(shí),∵f(0)=4>0,故只需對(duì)稱軸,即a<-4.∴a<-8綜合可得a-8.變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量,其中一個(gè)變量的范圍已知,另一個(gè)變量的范圍為所求,且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊,則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。已知當(dāng)xR時(shí),不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析:在不等式中含有兩個(gè)變量a及x,其中x的范圍已知(xR),另一變量a的范圍即為所求,故可考慮將a及x分離。解:原不等式即:4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立,只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值,故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2上式等價(jià)于或解得a<8.注:注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解:a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,則t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+>0,( t[-1,1])恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1, f(x)在[-1,1]內(nèi)單調(diào)遞減。 只需f(1)>0,即>a-2.(下同)例5.若不等式>對(duì)于大于1的一切自然數(shù)n都成立, 求自然數(shù)m的最大值, 并證明所得結(jié)論。解:要使原命題成立,只要使左邊的最小值>。記f(n)= ,則f(n+1)= f(n+1)- f(n)= >=0f(n+1)>f(n),即f(n)是關(guān)于n的增函數(shù),f(n)min=f(2)=,直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后,能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象,則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例6、當(dāng)x(1,2)時(shí),不等式(x-1)2分析:若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù),則左邊為二次函數(shù),圖象是拋物線,右邊為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,故可以通過圖象求解。解:設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線,要使對(duì)一切x(1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,a>1,1例7、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析:方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x-6a-3,則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解:令y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,則如圖所示,y1的圖象為一個(gè)定拋物線,y2的圖象是一條斜率為定值8,而截距不定的直線,要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn),則直線必須位于l1和l2之間。(包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時(shí),直線過點(diǎn)(-20,0)此時(shí)縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時(shí),直線過點(diǎn)(0,0),縱截距為-6a-3=0,a=∴a的范圍為[,)。五.根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)命題3 若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù),則對(duì)一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立;若函數(shù)y=f(x)的周期為T,則對(duì)一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立;若函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸為x=a,則對(duì)一切定義域中的x,f(x+a)=f(-x+a)恒成立。例8 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù),求的值。分析:告訴我們偶函數(shù)的條件,即相當(dāng)于告訴我們一個(gè)恒成立問題。解:由題得f(-x)=f(x)對(duì)一切xR恒成立,sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-), sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-),2sinx·cos=-2sinx·sin,即sinx(sin+cos)=0對(duì)一切xR恒成立只需也必須sin+cos=0。=k。(kZ) 展開更多...... 收起↑ 資源預(yù)覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫