資源簡介

空間向量運用-空間角（或距離）
【考綱解讀】
理解并掌握空間向量的定義與性質，掌握空間向量坐標運算的法則和基本方法；
理解異面直線所成角，直線與平面所成角，平面與平面所成角的定義，能夠運用空間向量的坐標運算求異面直線所成角的余弦值，直線與平面所成角的正弦值，平面與平面所成角的余弦值；
理解異面直線之間的距離，點到平面的距離，平行直線到平面的距離，兩個平行平面之間距離的定義，能夠運用空間向量的坐標運算求面直線之間的距離，點到平面的距離，平行直線到平面的距離，兩個平行平面之間的距離。
【知識精講】
一、空間角：
（一）異面直線所成的角：
1、異面直線所成角的意義：
（1）異面直線所成角的定義：設a、b是異面直線，在空間任取一點O，過O作∥a,
∥b,則與所成的角，稱為異面直線a與b所成的角（或稱為異面直線a與b的夾角）；
（2）異面直線所成角的取值范圍：如果是異面直線a與b所成的角，則（0，]；
（3）兩條異面直線垂直的定義：如果兩異面直線a與b所成的角=，則稱異面直線a、b互相垂直，記作ab；
2、求異面直線所成角余弦值的基本方法：
（1）異面直線所成角的確定：
設a、b是異面直線，由異面直線所成角的定義，
確定異面直線所成的角時，可以在空間任取一點 a
O，過點O分別作∥a, ∥b,則與所成
的角就是異面直線a、b所成的角，在處理實際問題時 b
為使問題簡便，所取空間的任意點O可以在直線a O
(或b)上取一特殊點，過這一點作另一直線的平行
線，則所得的角為所求。
（2）運用空間向量求異面直線所成角的余弦值的基本方法： ①建立空間直角坐標系；②分別在異面直線與上取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點）并確定各點的坐標；③分別求出異面直線與的方向向量與（注意兩點的順序）；④運用公式cos=||求出異面直線與所成角的余弦值。
(二)直線與平面所成的角：
1、直線與平面所成角的定義：
（1）直線與平面所成角的定義：直線與平面斜交時，直線和它在平面內射影所成的銳角，叫做直線和平面所成的角；
（2）理解直線與平面所成角定義時應該注意的問題：①平面的斜線和它在平面內的射影所成的角是這條斜線和這個平面內任意一條直線所成角中的最小角；②直線與平面所成角是斜線與它在平面射影所銳成角；
（3）直線與平面所成角的特例：①如果直線垂直于平面，則直線和平面所成的角是直角；②如果直線在平面內，則直線和平面所成的角為角；
（4）直線與平面所成角的取值范圍：如果設直線與平面所成的角為，則[0，]。
2、求直線與平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直線與平面的位置關系；
（2）直線與平面所成角的確定：在確定直線與平面斜交時， P
如圖在斜線上任意取一點P，過P作平面的垂線PA，A為垂
足，設斜線與平面相交于點B，連接AB，則是直線與
平面所成的角； A B
（3）運用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空間直角坐標系；②在平面內找兩條相交的直線與，分別在斜線l和直線，各取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④運用公式sin=||求出直線與平面所成角的正弦值。
(三)平面與平面所成的角（二面角）：
1、平面與平面所成角的定義：
（1）半平面的定義：平面內一條直線把平面分成兩部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面與平面所成角的定義：兩個平面的交線與這兩個平面各自的一個半平面所組成的圖形，叫做平面與平面所成的角，也稱為二面角；
（3）平面與平面所成角的表示：設平面∩平面=l，則平面與平面所成的角可以表示為-l-；
（4）平面與平面所成角的特例：①兩個平面互相垂直時，平面與平面所成的角為；②兩個平面重合（或平行）時，平面與平面所成的角為；
（5）平面與平面所成角的取值范圍：設平面與平面所成的角為，則[0，）；
2、求平面與平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如圖在兩個平面的交線上任意
取一點O，過O分別向兩個半平面作垂線OA、OB,則 B
為二面角的平面角； O A
（2）運用空間向量求平面與平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在兩個平面內找兩條相交直線，，，；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，，（注意兩點的順序）；④根據求平面法向量的基本方法分別求出兩個平面的法向量，；⑤運用公式cos=求出平面與平面所成角的余弦值。
二、空間距離：
（一）異面直線的距離：
1、異面直線距離的定義：
（1）異面直線距離的定義：兩條異面直線的公垂線段的長，稱為兩條異面直線的距離；
（2）理解定義時應該注意的問題：①定義中異面直線的距離是公垂線段的長，而不是公垂線段，②注意分辨公垂線段的長和公垂線段的不同含義，公垂線段是一個幾何圖形，公垂線段的長為線段的度量，是一個數。
2、異面直線距離的求法：
（1）確定兩條異面直線公垂線段：利用證明直線垂直直線的方法，在圖像中找出兩條異面直線的公垂線段；
（2）運用空間向量求異面直線距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據空間向量證明直線垂直直線的基本方法，確定異面直線的公垂線段；③運用兩點之間的距離公式求出異面直線的距離。
（二）點到平面的距離： P
1、點到平面距離的定義：
（1）點到平面的距離的定義：從平面外一點引平面
的一條垂線，這個點與垂足之間的距離，稱為點到 A B
平面的距離；
(2)理解定義應注意的問題：①平面外一點到平面的正射影是過該點向平面作垂線的垂足；②點到平面的距離實際上是過該點的平面的垂線段的長。
2、求點到平面的距離的基本方法：
（1）確定點在平面內的正射影：過該點作平面的垂線的垂足就是點在平面內的正射影；
（2）運用空間向量求點到平面距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在平面內取一點和兩條相交的直線與；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出直線與的方向向量與（注意兩點的順序），并求出給定點與所取點的方向向量；④根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤運用公式d=求出點到平面的距離。
（三）直線到平行平面的距離：
1、直線到平行平面距離的定義：
（1）直線到平行平面距離的定義：直線上任意一點到平行平面的距離，稱為直線到平行平面的距離；
（2）理解定義時應注意的問題：①當直線平行平面時，直線上的點到平面的距離是相等；②求直線到平行平面的距離時，只需在直線上任意取一點，求這一點到平面的距離就是直線到平行平面的距離。
2、直線到平行平面距離的基本方法：
（1）求直線到平行平面距離的基本思路：在直線上找一個特殊的點，把問題轉化為求點到平面的距離的問題；
（2）運用空間向量求直線到平行平面距離的基本方法是：①在直線找一個特殊點；②運用求點到平面距離的基本方法，求出所取點到平面的距離就可求出直線到平行平面的距離。
(四)兩個平行平面的距離：
1、兩個平行平面距離的定義：
（1）兩個平行平面距離的定義：在其中一個平面上任取一點，該點到另一個平面的距離，稱為兩個平行平面的距離；
（2）理解定義時應注意的問題：①兩個平行平面之間的距離是相等；②在其中一個平面內任意取一點，求這點到另一個平面的距離，就可求出兩個平行平面的距離。
2、求兩個平行平面距離的基本方法：
（1）求兩個平行平面距離的基本思路：在其中一個平面上取一個特殊點，把問題轉化為求點到平面距離的問題；
（2）運用空間向量求兩個平行平面距離的基本方法是：①在其中一個平面內取一個特殊點；②運用求點到平面距離的基本方法，求出所取點到平面的距離，就可求出兩個平行平面之間的距離。
【探導考點】
考點1求空間角的余弦值（或正弦值）：熱點①求異面直線所成角的余弦值；熱點②求直線與平面所成角的正弦值；熱點③求平面與平面所成角（或二面角）的余弦值；
考點2求空間距離：熱點①求異面直線之間的距離；熱點②求點到平面的距離。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點分別為P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，則AC和BD所成的角為（ ）
A B C D
2、如圖在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，則異面直線AC，B所成角的余弦值為（ ）
A B C D
3、如圖在直三棱柱ABC---中，，點、分別是、的中點，BC=CA=C，求直線B與A所成角的余弦值；
如圖在三棱錐D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
『思考問題1』
【典例1】是運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解異面直線所成角的定義，掌握運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空間直角坐標系；②分別在異面直線與上取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點）并確定各點的坐標；③分別求出異面直線與的方向向量與（注意兩點的順序）；④運用公式cos=||求出異面直線與所成角的余弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、正方體ABCD—中，BD與C所成的角是（ ）
A B C D
如圖所示，正方體ABCD—中，①AC和D所成的角是 度；②AC和所成的角是 度；③AC和所成的角是 度；④AC和B所成的角是 度；⑤O為的中點，AC和BO所成的角是 度。
3、如圖正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求異面直線B與A所成角的余弦值。
4、如圖在三棱錐P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求異面直線AB和PC所成角的余弦值。
【典例2】解答下列問題：
1、若平面外的直線a與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若將ABD沿BD所在直線翻折，使得二面角A—BD—C的大小為，則AD與平面BCD所成角的正弦值為（ ）
A B C D
3、如圖所示，長方體ABCD—中，
AB=，BC=A=1，則B與平面 D C
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的大小為 。 A B
4、如圖所示，在正方體ABCD—中， D C
直線D與平面CD所成的角為 。 A B
5、如圖正方體ABCD—中，E、F
分別是A、BA.的中點。
求：直線EF與平面AC所成角的正弦值；
E D C
A F B
『思考問題2』
（1）【典例2】是運用空間向量求直線與平面所成角正弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解直線與平面所成角的定義，掌握運用空間向量求直線與平面所成角正弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求直線與平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①確定直線與平面 的角，②運用解三角形的知識求直線與平面所成角的 值；
（3）運用空間向量求直線與平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在平面內找兩條相交的直線與，分別在斜線l和直線，各取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④運用公式sin=||求出直線與平面所成角的正弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習2〕解答下列問題： P
1、如圖所示，已知ABC為等腰直角三角形，P為
空間一點，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中點為M，則PM與平面ABC所成的角 M
為 。 A
2、如圖所示在長方體ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，則B與平面BD所成角的正弦值
為（ ） D C
A B C D A B
3、如圖所示，在三棱柱ABC—中，各棱長都
相等，側棱垂直于底面，點D是側面BC的中心， A D C
則AD與平面BC所成角的大小是 。 B
4、已知平面的一條斜線和它在平面內的射影的夾角為，平面內一條直線和斜線在平面內的射影的夾角為。求平面的斜線和平面內的這條直線所成的角。
【典例3】解答下列問題：
1、二面角是指（ ）
A 一個平面繞這個平面內的一條直線旋轉所組成的圖形 B一個半平面與另一個半平面組成的圖形 C從一條直線出發的兩個半平面組成的圖形 D兩個相交的平行四邊形組成的圖形
2、下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直；則a，b所成的角與這個二面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上位置沒有關系，其中正確的是（ ）
A ①③ B ②④ C ③④ D ①②
3、在一個銳二面角的一個面內有一點，它到棱的距離等于到另一個面的距離的2倍，則二面角的大小為（ ）
A B C D
4、如圖所示，四邊形ABCD是正方形，PA P
平面ABCD，且PA=AB，則二面角B—PA—C
的大小為 ； D C
5、如圖已知在長方體ABCD----中 A B
AB=2，BC=B=1，E為的中點。 求二面角E—BD—C的正切值。
6、如圖在棱長為1的正方體ABCD----中，P是AD的中點。求二面角A--B--P的余弦值。
7、如圖底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中點。
（1）求證：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
8、如圖已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中點，D⊥BD.
（1）證明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值（2012全國高考新課標卷）
『思考問題3』
（1）【典例3】是運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解平面與平面所成角的定義，掌握運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在兩個平面內找兩條相交直線，，，；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，，（注意兩點的順序）；④根據求平面法向量的基本方法分別求出兩個平面的法向量，；⑤運用公式cos=求出平面與平面所成角的余弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、正方體ABCD—中，截面BD與底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）
A B C D
2、如圖所示，三棱錐P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，則二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
直三棱柱ABC---中，AC⊥BC， B
AC=BC=C，E，F分別是B、的
中點。 F
（1）求證：EF∥平面AC； E
（2）求證：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值； A P B
4、如圖在三棱錐P—ABC中，，
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直線AB和直線PC所成角余弦值；
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； A B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 C
【典例4】解答下列問題：
1、點P是等腰三角形ABC所在平面外一點，PA平面ABC，PA=8，底邊BC=6，AB=5，則點P到BC的距離為（ ）
A 4 B C 3 D 2
2、如圖在正方體ABCD---中，棱
長為1。
求：（1）異面直線AB與C之間的距離；
（2）異面直線AB與之間的距離；
（3）異面直線A與C之間的距離。 D C
A B
3、如圖在正方體ABCD---中，棱
長為a。
求：（1）異面直線AB與C之間的距離；
（2）異面直線AB與D之間的距離。
D C
A B
4、如圖已知正方體ABCD---的棱長為
a，M是棱A的中點，點O是對角線B的
中點。
（1）證明OM是異面直線A和B的共垂線；
（2）求異面直線A和B的距離。 M O
D C
A B
『思考問題4』
（1）【典例4】是運用空間向量求異面直線直角距離的問題，解答這類問題需要理解異面直線之間距離的定義，掌握運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法；
（2）運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，確定兩條異面直線的公垂線段；③運用兩點之間的距離公式，求出公垂線段的長就可求出異面直線之間的距離。
〔練習4〕解答下列問題：
1、如圖在長方體ABCD---中，
底面正方形的邊長是a，高為b。
（1）求異面直線A和的距離；
（2）求異面直線AB和的距離。
D C
A B
2、如圖在正方體ABCD---中，棱
長為a，M、N分別是AB、BC的中點。
求：（1）異面直線D與MN所成角的大小；
（2）異面直線B與MN之間的距離。
D C
N
【典例5】解答下列問題： A M B
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E為C的中點，則直線A與平面BED的距離為（ ）
A 2 B C D 1
2、已知直二面角—l—，點A，ACl，C為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（ ）
A B C D 1
3、如圖在四棱錐P—ABCD中，底面四邊形 P
ABCD是邊長為14的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交點，
OE⊥PC于E。 A E D
求：（2）點P到CD的距離； O
（3）異面直線PC、BD之間的距離； B C
（3）點B到平面PCD的距離； B
4、如圖設是平面的單位法向量，AB是
平面的一條斜線，其中A∈。
（1）求AB與平面所成的角； A
（2）求點B到平面的距離；
5、如圖已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的 P
高分別為1，2，AB=4。
（1）證明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值；
（3）求點P到平面QAD的距離（2012廣東中山二模）
A B
Q
6、如圖在棱長為2的正方體ABCD--中 ，
G是A的中點。 G
求：BD到平面G的距離； D C
A B
7、如圖斜三棱柱ABC--的側面AC與
底面ABC垂直，，BC=2，AC=2。
求：側棱B到側面AC的距離。
A C
B
8、如圖在長方體ABCD--中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。
（1）求證：平面B∥平面AC； D C
（2）求：平面B與平面AC的距離； A B
9、如圖在正方體ABCD--中 ，M，N，
P分別是C，，的中點。
（1）求證：AP⊥MN； M
（2）求證：平面MNP∥平面BD； D P N C
（3）求平面MNP與平面BD的距離。 A B
『思考問題5』
（1）【典例5】是運用空間向量求點到平面距離的問題，解答這類問題需要理解點到平面距離的定義，掌握運用空間向量求點到平面距離的基本方法；
（2）運用空間向量求點到平面的距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在平面內取一點和兩條相交的直線與；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出直線與的方向向量與（注意兩點的順序），并求出給定點與所取點的方向向量；④根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤運用公式d=求出點到平面的距離。
〔練習5〕解答下列問題： P
1、如圖所示，平面內有Rt，，
P是平面外一點，且PA=PB=PC，P到平面
EMBED Equation.DSMT4 的距離為40cm，AC=18cm，求點P到邊BC A B
的距離。（答案：點P到BC的距離為41cm）
2、如圖已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F C G
分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且
GC=2.
求：點B到平面EFG的距離。 D C
F
A E B
3、如圖在長方體ABCD—中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。 D C
求：直線BD到平面A的距離。 A B
4、如圖斜三棱柱ABC--的側面AC與
底面ABC垂直， AC=，A=2。 A C
求直線到底面ABC的距離。 B
5、如圖在三棱柱ABC-- 中，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，側棱的長為1，
求平面ABC到平面的距離。 A B
【雷區警示】 C
【典例6】解答下列問題：
如圖所示，在空間直角坐標系中，有直三棱錐 B z
ABC-，AC=C=2BC，則直線B與 C y
A夾角的余弦值是 。 x A
正方體ABCD--的棱長為a ，求異面直線和B之間的距離。
『思考問題6』
【典例6】是解答運用空間向量求空間角的余弦值（或正弦值）和求空間距離問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視空間角的取值范圍，導致解答問題出現錯誤；②忽視異面直線之間距離的定義，導致解答問題出現錯誤；
（2）解答運用空間向量求空間角的余弦值（或正弦值）和求空間距離問題時，為避免忽視空間角的取值范圍的雷區，需要正確理解空間角的定義，注意個空間角的取值范圍；
（3）解答運用空間向量求空間角的余弦值（或正弦值）和求空間距離問題時，為避免忽視異面直線之間距離的定義的雷區，需要正確理解異面直線之間距離的定義，注意公垂線段和公垂線段長的不同含義。
〔練習6〕解答下列問題：
1、如圖在正方體ABCD—中，點M，N分別
是棱A 和B的中點。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
2、如圖在長方體ABCD---中，
底面正方形的邊長是a，高為b。
（1）求異面直線A和的距離；
（2）求異面直線AB和的距離。
D C
A B
【追蹤考試】
【典例7】解答下列問題：
1、在長方體ABCD—中，已知D與平面ABCD和平面AB所成的角均為，則（ ）（2022全國高考甲卷）
A AB=2AD B AB與平面AD所成的角為
C AC=C D D與平面BC所成的角為
2、已知正方體ABCD—，則（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A 直線B與D所成的角為 B 直線B與C所成的角為
C 直線B與平面BD所成的角為 D 直線B與平面ABCD所成的角為
3、在正方體ABCD—中，P為的中點，則直線PB與A所成的角為（ ）（2021全國高考乙卷）
A B C D
4、已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點，F為棱AB上異于A，B的動點，有下列結論：①線段MN的長為1；②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線；③MFN的余弦值的取值范圍為［0，）；④FMN周長的最小值為+1.其中正確結論的個數為（ ）（2021成都市高三二診）
A 1 B 2 C 3 D 4
5、（理）在正方體ABCD-中，點P，Q分別為AB，AD的中點，過點D作平面使
P//平面，Q//平面，若直線平面=M，則的值為（）
A B C D
（文）如圖，已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BC平面PAB，PAAB，M為PB的中點，PA=AD=2，AB=1，則點A到平面MBC的距離為（）（2020成都市高三二診）
A B C D
（理科圖）（文科圖）
6、如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=AD=，ABAC，ABAD，CAE
=，則cosFCB= （2020全國高考新課標I）
7、日 是中國古代用來測量時間的儀器，利用與 面垂直的 針投射到 面的影子來測定時間，把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的維度上指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日 ，若 面與赤道所在平面平行，點A處的維度為北緯，則 針與點A處的水平面所成角為（ ）（2020全國高考新高考I）
A B C D
『思考問題7』
（1）【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高二期末調研考試）試卷中與空間角（或空間距離）相關的問題，歸結起來主要包括：①異面直線所成的角；②直線與平面所成的角；③平面與平面所成的角；④異面直線之間的距離；⑤直線到平行平面的距離；⑥平面到平行平面的距離等幾種類型；
（2）解答空間角（或空間距離）問題的基本方法是：①根據問題結構特征，判斷問題所屬類型；②運用解答該類問題的解題思路和解答問題的基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習7〕解答下列問題：
1、如圖，已知正方體ABCD—的棱長為2，點E，F，G，H，I分別為線段，
，B，BC，的中點，連接C，，C，DE，BF，CI，EH，則下列正確結論的序號是 。①點E，F，G，H在同一個平面上；②直線DE，BF，CI相交于同一點；③直線BF與直線C所成角的余弦值為；④該正方體過EH的截面的面積最大值為3（成都市高2021級201-2022高一下期期末名校聯盟考試）
2、（理）如圖，—MN—為，OMN，A，B，BON=AOM=，OA=OB=，則AB=（ ）
A B 2 C D
（文）將正方形ABCD沿對角線BD折疊成一個四面體ABCD，當該四面體的體積最大時，直線AB與CD所成的角為（ ）（成都市高2019級2018-2019成都市高一下期期末考試）
A B C D
3、（理）三棱柱ABC---底面是邊長為1的正三角形，高A=1，在AB上取一點P，設P與底面的二面角為，P與底面的二面角為，則tan(+)的最小值為（ ）
A - B - C - D -
（文）在棱長為a的正方體ABCD----內有一個內切球O，過正方體中兩條互為異面直線的A，BC的中點P，Q作直線，該直線被球面截在球內的線段長為（ ）（成都市高2019級2018-2019成都市高一下期期末考試）
4、已知ACB=，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到ACB兩邊的距離均為，那么P到平面ABC的距離為 （2019全國高考新課標I）
5、在長方體ABCD—中，已知底面ABCD為正方形，P為的中點，AD=2，A=，點Q是正方形ABCD所在平面內的一個動點，且QC=QP，則線段BQ的長度的最大值為 （2018成都市高三一診）
空間向量運用-空間角（或距離）
【考綱解讀】
理解并掌握空間向量的定義與性質，掌握空間向量坐標運算的法則和基本方法；
理解異面直線所成角，直線與平面所成角，平面與平面所成角的定義，能夠運用空間向量的坐標運算求異面直線所成角的余弦值，直線與平面所成角的正弦值，平面與平面所成角的余弦值；
理解異面直線之間的距離，點到平面的距離，平行直線到平面的距離，兩個平行平面之間距離的定義，能夠運用空間向量的坐標運算求面直線之間的距離，點到平面的距離，平行直線到平面的距離，兩個平行平面之間的距離。
【知識精講】
一、空間角：
（一）異面直線所成的角：
1、異面直線所成角的意義：
（1）異面直線所成角的定義：設a、b是異面直線，在空間任取一點O，過O作∥a,
∥b,則與所成的角，稱為異面直線a與b所成的角（或稱為異面直線a與b的夾角）；
（2）異面直線所成角的取值范圍：如果是異面直線a與b所成的角，則（0，]；
（3）兩條異面直線垂直的定義：如果兩異面直線a與b所成的角=，則稱異面直線a、b互相垂直，記作ab；
2、求異面直線所成角余弦值的基本方法：
（1）異面直線所成角的確定：
設a、b是異面直線，由異面直線所成角的定義，
確定異面直線所成的角時，可以在空間任取一點 a
O，過點O分別作∥a, ∥b,則與所成
的角就是異面直線a、b所成的角，在處理實際問題時 b
為使問題簡便，所取空間的任意點O可以在直線a O
(或b)上取一特殊點，過這一點作另一直線的平行
線，則所得的角為所求。
（2）運用空間向量求異面直線所成角的余弦值的基本方法： ①建立空間直角坐標系；②分別在異面直線與上取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點）并確定各點的坐標；③分別求出異面直線與的方向向量與（注意兩點的順序）；④運用公式cos=||求出異面直線與所成角的余弦值。
(二)直線與平面所成的角：
1、直線與平面所成角的定義：
（1）直線與平面所成角的定義：直線與平面斜交時，直線和它在平面內射影所成的銳角，叫做直線和平面所成的角；
（2）理解直線與平面所成角定義時應該注意的問題：①平面的斜線和它在平面內的射影所成的角是這條斜線和這個平面內任意一條直線所成角中的最小角；②直線與平面所成角是斜線與它在平面射影所銳成角；
（3）直線與平面所成角的特例：①如果直線垂直于平面，則直線和平面所成的角是直角；②如果直線在平面內，則直線和平面所成的角為角；
（4）直線與平面所成角的取值范圍：如果設直線與平面所成的角為，則[0，]。
2、求直線與平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直線與平面的位置關系；
（2）直線與平面所成角的確定：在確定直線與平面斜交時， P
如圖在斜線上任意取一點P，過P作平面的垂線PA，A為垂
足，設斜線與平面相交于點B，連接AB，則是直線與
平面所成的角； A B
（3）運用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空間直角坐標系；②在平面內找兩條相交的直線與，分別在斜線l和直線，各取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④運用公式sin=||求出直線與平面所成角的正弦值。
(三)平面與平面所成的角（二面角）：
1、平面與平面所成角的定義：
（1）半平面的定義：平面內一條直線把平面分成兩部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面與平面所成角的定義：兩個平面的交線與這兩個平面各自的一個半平面所組成的圖形，叫做平面與平面所成的角，也稱為二面角；
（3）平面與平面所成角的表示：設平面∩平面=l，則平面與平面所成的角可以表示為-l-；
（4）平面與平面所成角的特例：①兩個平面互相垂直時，平面與平面所成的角為；②兩個平面重合（或平行）時，平面與平面所成的角為；
（5）平面與平面所成角的取值范圍：設平面與平面所成的角為，則[0，）；
2、求平面與平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如圖在兩個平面的交線上任意
取一點O，過O分別向兩個半平面作垂線OA、OB,則 B
為二面角的平面角； O A
（2）運用空間向量求平面與平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在兩個平面內找兩條相交直線，，，；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，，（注意兩點的順序）；④根據求平面法向量的基本方法分別求出兩個平面的法向量，；⑤運用公式cos=求出平面與平面所成角的余弦值。
二、空間距離：
（一）異面直線的距離：
1、異面直線距離的定義：
（1）異面直線距離的定義：兩條異面直線的公垂線段的長，稱為兩條異面直線的距離；
（2）理解定義時應該注意的問題：①定義中異面直線的距離是公垂線段的長，而不是公垂線段，②注意分辨公垂線段的長和公垂線段的不同含義，公垂線段是一個幾何圖形，公垂線段的長為線段的度量，是一個數。
2、異面直線距離的求法：
（1）確定兩條異面直線公垂線段：利用證明直線垂直直線的方法，在圖像中找出兩條異面直線的公垂線段；
（2）運用空間向量求異面直線距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據空間向量證明直線垂直直線的基本方法，確定異面直線的公垂線段；③運用兩點之間的距離公式求出異面直線的距離。
（二）點到平面的距離： P
1、點到平面距離的定義：
（1）點到平面的距離的定義：從平面外一點引平面
的一條垂線，這個點與垂足之間的距離，稱為點到 A B
平面的距離；
(2)理解定義應注意的問題：①平面外一點到平面的正射影是過該點向平面作垂線的垂足；②點到平面的距離實際上是過該點的平面的垂線段的長。
2、求點到平面的距離的基本方法：
（1）確定點在平面內的正射影：過該點作平面的垂線的垂足就是點在平面內的正射影；
（2）運用空間向量求點到平面距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在平面內取一點和兩條相交的直線與；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出直線與的方向向量與（注意兩點的順序），并求出給定點與所取點的方向向量；④根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤運用公式d=求出點到平面的距離。
（三）直線到平行平面的距離：
1、直線到平行平面距離的定義：
（1）直線到平行平面距離的定義：直線上任意一點到平行平面的距離，稱為直線到平行平面的距離；
（2）理解定義時應注意的問題：①當直線平行平面時，直線上的點到平面的距離是相等；②求直線到平行平面的距離時，只需在直線上任意取一點，求這一點到平面的距離就是直線到平行平面的距離。
2、直線到平行平面距離的基本方法：
（1）求直線到平行平面距離的基本思路：在直線上找一個特殊的點，把問題轉化為求點到平面的距離的問題；
（2）運用空間向量求直線到平行平面距離的基本方法是：①在直線找一個特殊點；②運用求點到平面距離的基本方法，求出所取點到平面的距離就可求出直線到平行平面的距離。
(四)兩個平行平面的距離：
1、兩個平行平面距離的定義：
（1）兩個平行平面距離的定義：在其中一個平面上任取一點，該點到另一個平面的距離，稱為兩個平行平面的距離；
（2）理解定義時應注意的問題：①兩個平行平面之間的距離是相等；②在其中一個平面內任意取一點，求這點到另一個平面的距離，就可求出兩個平行平面的距離。
2、求兩個平行平面距離的基本方法：
（1）求兩個平行平面距離的基本思路：在其中一個平面上取一個特殊點，把問題轉化為求點到平面距離的問題；
（2）運用空間向量求兩個平行平面距離的基本方法是：①在其中一個平面內取一個特殊點；②運用求點到平面距離的基本方法，求出所取點到平面的距離，就可求出兩個平行平面之間的距離。
【探導考點】
考點1求空間角的余弦值（或正弦值）：熱點①求異面直線所成角的余弦值；熱點②求直線與平面所成角的正弦值；熱點③求平面與平面所成角（或二面角）的余弦值；
考點2求空間距離：熱點①求異面直線之間的距離；熱點②求點到平面的距離。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、如圖在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，則異面直線AC，B所成角的余弦值為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①正棱柱定義與性質；②異面直線所成角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間
向量求異面直線所成角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，根據正棱柱的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DB，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，C，的坐標，求出向量，，運用空間向量求求異面直線所成角余弦值的基本方法,就可求出求異面直線AC與B所成角的余弦值。
【詳細解答】如圖，設AB=AD=1，ABCD----是底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A=2AB，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，2）， =（-1，1，0），=（0，1，-2），異面直線AC與B所成角的余弦值為==，A正確，選A。
2、空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD的中點分別為P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，則AC和BD所成的角為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①空間四邊形定義與性質；②異面直線所成角定義與性質；③求異面直線所成角大小的基本方法。
【解題思路】根據空間四邊形和異面直線所成角的性質，運用求異面直線所成角大小的基本方法，結合問題條件就可求出異面直線AC與BD所成角的大小，就可得出選項。
【詳細解答】如圖，連接PQ，QR，PR，
AB，BC，CD的中點分別為P，Q，R，且AC
=4，BD=2，PQ//AC，PQ=AC=2，QR
//BD，QR=BD=，PQR是異面直線AC與BD所成的角，PR=3，cosPQR
==0，PQR=，異面直線AC與BD所成的角為，A正確，選A。
如圖在直三棱柱ABC---中，，點，分別是，的中點，BC=CA=C，求直線B與A所成角的余弦值；
【解析】
【知識點】①直三棱柱定義與性質；②異面直線所成角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間
向量求異面直線所成角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，根據,直三棱柱的性質，結合問題條件得到C⊥CA，C⊥CB，AC⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，得到點A，B，，,的坐標，從而得到點、的坐標，求出向量，，運用空間向量求求異面直線所成角余弦值的基本方法,就可求出求異面直線B與A所成角余弦值。
【詳細解答】如圖，設BC=CA=C=1，ABC---是直三棱柱，C⊥CA，C⊥CB，， AC⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz， A（1，0，0），B（0，1，0），（1，0，1），（0，1，1）,（0，0，1），點，分別是，的中點，（，，1），（，0，1）， =（-，0，1），=（，-，1），異面直線B與A所成角的余弦值為==。
4、如圖在三棱錐D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
【解析】
【知識點】①異面直線所成角定義與性質；②求異面直線所成角余弦值的基本方法。
【解題思路】根據異面直線所成角的性質，運用求異面直線所成角余弦值的基本方法，結合問題條件就可求出異面直線AB與CD所成角的余弦值。
【詳細解答】如圖，分別取DA，AC，DB的中點E，F，G，連接EF，EG，FG，設AC=BC=1，E，F，G分別是DA，AC，DB的中點，EG//AB，EF//DC，GEF是異面直線AB與CD所成的角，DA⊥平面ABC，，，AB==，DA==，EG=，EF=DC=，FG==，cosGEF
==，異面直線AB與CD所成角的余弦值為。
『思考問題1』
【典例1】是運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解異面直線所成角的定義，掌握運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求異面直線所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空間直角坐標系；②分別在異面直線與上取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點）并確定各點的坐標；③分別求出異面直線與的方向向量與（注意兩點的順序）；④運用公式cos=||求出異面直線與所成角的余弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、正方體ABCD—中，BD與C所成的角是（ ）（答案：C）
A B C D
2、如圖所示，正方體ABCD—中，①AC和D所成角的余弦值是 ；②AC和所成角的余弦值是 ；③AC和所成角的余弦值是 ；④AC和B所成角的余弦值是 ；⑤O為的中點，AC和BO所成角的余弦值是 。（答案：①AC和D所成角的余弦值是0；AC和所成角的余弦值是；AC和所成角的余弦值是0；④AC和B所成角的余弦值是-；⑤AC和BO所成角的余弦值是0）
3、如圖正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求異面直線B與A所成角的余弦值。（答案：異面直線AB和PC所成角的余弦值為-）
4、如圖在三棱錐P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求異面直線AB和PC所成角的余弦值。（答案：異面直線AB和PC所成角的余弦值為）
【典例2】解答下列問題：
1、若平面外的直線a與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
【解析】
【知識點】①直線與平面所成角定義與性質；②確定直線與平面所成角大小的基本方法。
【解題思路】根據直線與平面所成角的性質，運用確定直線與平面所成角大小的基本方法，結合問題條件求出直線a與平面所成角的取值范圍，就可得出選項。
【詳細解答】當直線a與平面平行時，直線a與平面所成角為0；當直線a與平面垂直時，直線a與平面所成角為；當直線a與平面斜交時，直線a與平面所成角為大于0嗎，小于，綜上所述，若平面外的直線a與平面所成的角為，則的取值范圍是［0，］，D正確，選D。
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若將ABD沿BD所在直線翻折，使得二面角A—BD—C的大小為，則AD與平面BCD所成角的正弦值為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①矩形定義與性質；②直線與平面所成角定義與性質；③二面角定義與性質。
【解題思路】如圖，根據矩形和二面角的性質，結合問題條件，求出點A到平面BCD的距離，從而求出AD與平面BCD所成角的正弦值就可得出選項。 A
【詳細解答】如圖，過點A作AE平面BCD于點E，
過點E作EFBD于點F，連接AF，AEBD， B F D
EFBD，EF，AE平面AEF，AEEF=E， E
BD平面AEF，BDAF，AFE=， B
矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，=，AF==，
AE=AF=，AD與平面BCD所成角的正弦值為=，A正確，選A。
如圖所示，長方體ABCD—中， z
AB=，BC=A=1，則B與平面
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值為 。 D Cy
【解析】 x A B
【知識點】①長方體定義與性質；②直線與平面所成角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間
向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面的法向量=（x，y，z），根據,長方體的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點B，，,，的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法求出平面的法向量，利用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直線B與平面所成角的正弦值。
【詳細解答】如圖，設平面的法向量=（x，y，z），ABCD—是長方體， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，AB=，BC=A=1，B（1，，0），（1，0，1），（1，，1），（0，，1），（0，0，1），=（0，，0），=（-1，0，0），=（-1，-，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+0+0=0②，聯立①②解得：x=0，y=0，z=1，=（0，0，1），直線B與平面所成角的正弦值為==。
4、如圖所示，在正方體ABCD—中， z
直線D與平面CD所成角的正弦值為 。
【解析】 D Cy
【知識點】①正方體定義與性質；②直線與平面 A x B
所成角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面CD的法向量=（x，y，z），正方體ABCD—的棱長為1，根據,正方體的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點C，D，,的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法求出平面CD的法向量，利用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直線D與平面CD所成角的正弦值。
【詳細解答】如圖，設平面CD的法向量=（x，y，z），正方體ABCD—的棱長為1，ABCD—是正方體， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，C（0，1，0），D（0，0，0），（1，1，1），（0，1，1），=（0，1，0），=（1，1，1），=（0，1，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+y+z=0②，聯立①②解得：x=-1，y=0，z=1，=（-1，0，1），直線D與平面CD所成角的正弦值為==。
5、如圖正方體ABCD—中，E，F z
分別是A，BA.的中點。
求：直線EF與平面AC所成角的正弦值；
【解析】 E D Cy
【知識點】①正方體定義與性質；②直線與平面
所成角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基
本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標 xA F B
運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面AC的法向量=（x，y，z），正方體ABCD—的棱長為1，根據正方體的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，C，的坐標，從而得到點E，F的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法求出平面AC的法向量，利用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直線EF與平面AC所成角的正弦值。
【詳細解答】如圖，設平面AC的法向量=（x，y，z），正方體ABCD—的棱長為1，ABCD—是正方體， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），E，F 分別是A，BA.的中點，E（1，0，），F（1，，0），=（-1，1，0），=（0，0，1），=（0，，-），，且，.=-x+y+0=0①，. =-0+0+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），直線EF與平面AC所成角的正弦值為==。
『思考問題2』
（1）【典例2】是運用空間向量求直線與平面所成角正弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解直線與平面所成角的定義，掌握運用空間向量求直線與平面所成角正弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求直線與平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①確定直線與平面 的角，②運用解三角形的知識求直線與平面所成角的 值；
（3）運用空間向量求直線與平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在平面內找兩條相交的直線與，分別在斜線l和直線，各取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④運用公式sin=||求出直線與平面所成角的正弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習2〕解答下列問題： P
1、如圖所示，已知ABC為等腰直角三角形，P為
空間一點，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中點為M，則PM與平面ABC所成的角 M
為 。（答案：PM與平面ABC所成的角為） A
2、如圖所示在長方體ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，則B與平面BD所成角的正弦值
為（ ） （答案：D） D C
A B C D A B
3、如圖所示，在三棱柱ABC—中，各棱長都
相等，側棱垂直于底面，點D是側面BC的中心， A D C
則AD與平面BC所成角的大小是 。（答案：AD與平面 B
BC所成角的大小是）
4、已知平面的一條斜線和它在平面內的射影的夾角為，平面內一條直線和斜線在平面內的射影的夾角為。求平面的斜線和平面內的這條直線所成的角。（答案：平面的斜線和平面內的這條直線所成的角為）
【典例3】解答下列問題：
1、在一個銳二面角的一個面內有一點，它到棱的距離等于到另一個面的距離的2倍，則二面角的大小為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①二面角定義與性質；②確定二面角的基本方法；③求二面角大小的基本方法。
【解題思路】根據二面角的性質，運用確定二面角和求二面角大小的基本方法，結合問題條件，求出銳二面角的大小就可得出選項。
【詳細解答】如圖，設A為平面內一點，過點A作 B
AB平面于點B，ACl(l為平面與平面的交 C A
線）于點C，連接BC，AB平面于點B，ACl于點C，ACl，ACB是
二面角-l-的平面角，在RtABC中，AC=2AB，ACB=，即二面角的大小為，A正確，選A。
2、如圖所示，四邊形ABCD是正方形，PA P z
平面ABCD，且PA=AB，則二面角B—PA—C
的大小為 ； A Dy
【解析】 B x C
【知識點】①正方形定義與性質；②二面角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，根據正方形和直線垂直平面的性質，結合問題條件得到PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，以A為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，得到點A，B，C，P的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法分別求出平面ABP，平面ACP的法向量，利用空間向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角B—PA—C的余弦值，就可求出二面角B—PA—C的大小。
【詳細解答】如圖，設平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，四邊形ABCD是正方形，PA 平面ABCD， PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD，以A為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（1，0，0），=（0，0，1），=（1，1，0），，且，.=x+0+0=0①，
. =-0+0+z=0②，聯立①②解得：x=0，y=1，z=0，=（0，1，0），，且，.=-0+0+=0③，. =++0=0④，聯立③④解得：=-1，=1，=0，=（-1，1，0），二面角E--BD--C的余弦值為=
=，二面角E--BD--C的大小為。
3、如圖已知在長方體ABCD----中，AB=2，BC=B=1，E為的中點。 求二面角E—BD—C的正切值。
【解析】
【知識點】①長方體定義與性質；②二面角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），根據長方體的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點B，D，,，E的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法分別求出平面AB，平面PB的法向量，利用空間向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角E—BD—C的余弦值，從而求出二面角E—BD—C的正切值。
【詳細解答】如圖，設平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），ABCD----是長方體， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向
量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向 z E
建立空間直角坐標系D-xyz，AB=2，BC=B=1，
B（1，2，0），D（0，0，0），C（0，1，0），（0， D Cy
2，1)，（0，0，1），E是的中點，E（0，1， A x B
1），=（0，1，1），=（1，1，0），=（0，1，0），，且，
.=0+y+z=0①，. =-x+y+0=0②，聯立①②解得：x=1，y=--1，z=1，=（1，-1，1），，且，.=-++0=0③，. =-0++0=0④，聯立③④解得：=0，=-0，=1，=（0，0，1），二面角E--BD--C的余弦值為
==，二面角E--BD--C的正弦值為 =，二面角E--BD--C的正切值為=。
如圖在棱長為1的正方體ABCD----中，P是AD的中點。求二面角A--B
-P的余弦值。
【解析】
【知識點】①正方體定義與性質；②二面角定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】如圖，設平面AB的法向量=（x，y，z），平面PB的法向量=（，，），根據正方體的性質，結合問題條件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，D，，P的坐標，求出向量，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法分別求出平面AB，平面PB的法向量，利用空間向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—B—P的余弦值。 z
【詳細解答】如圖，設平面AB的法向量=（x，y，z），平
面PB的法向量=（，，），ABCD----是 P D Cy
棱長為1的正方體， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D為 x A B
原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），（0，0，1），P是AD的中點，P（，0，0），=（0，1，0），=（-1，-1，1），=（-，-1，0），，且，.=0+y+0=0①，. =-x-y+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=-0，z=1，=（1，0，1），，且，.=--+=0③，. =--+0=0④，聯立③④解得：=2，=-1，=1，=（2，-1，1），二面角A--B--P的余弦值為
== 。
5、如圖底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中點。
（1）求證：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
【解析】
【知識點】①直三棱柱定義與性質；②等腰直角三角形定義與性質；③二面角定義與性質；
④建立空間直角坐標系的基本方法；⑤空間向量定義與性質；⑥空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑦運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑧運用空間向量證明平面垂直平面的基本方法；⑨運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，根據直三棱柱和等腰直角三角形的性質，結合問題條件得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，得到點A，B，C，，，D的坐標，求出向量，，，，運用空間向量求平面法向量的基本方法分別求出平面AD，平面AB的法向量，利用空間向量證明平面垂直平面的基本方法，就可證明平面AD⊥平面AB；（2）設平面BD的法向量=（x，y，z），根據（1）求出向量，運用平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，利用空間向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—D—A的余弦值。
【詳細解答】（1）如圖，設平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，ABC---是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，，
D 是C的中點，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，1，1），（,0，0，1），D（0，0，），=（1，0，-），
=（0，1，），=（1，-1，0），=（0，0，1），，且，.=-x+0-z=0①，. =0+y+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），，且，.=--+0=0③，. =0+0+=0④，聯立③④解得：=1，=1，=0，=（1，1，0），.=1-1+0=0，平面AD⊥平面AB；（2）設平面BD的法向量=（x，y，z），=（0，1，-），，且，.=0+y-z=0①，. =0+y+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0），二面角B—D—A的余弦值為==。
6、如圖，直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中點，D⊥BD.
（1）證明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值。
【解析】
【知識點】①直三棱柱定義與性質；②直線垂直平面判定定理及運用；③直線垂直平面性質定理及運用；④二面角定義與性質；⑤建立空間直角坐標系的基本方法；⑥空間向量定義與性質；⑦空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑧運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑨運用空間向量求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據直三棱柱的性質，結合問題條件得到D⊥DC，運用直線垂直平面的判定定理證明D⊥平面BCD，利用直線垂直平面性質定理就可證明D⊥BC；（2）設平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），根據直線垂直平面判定定理，得到BC⊥平面AC，從而得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，得到點A，B，C，，D，的坐標，求出向量|，，，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法與球平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，平面BD的法向量，利用空間向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角—BD—的余弦值。
【詳細解答】（1）直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中點，D+DC=C，D⊥DC，D⊥BD，DC，BD平面BCD，DCBD=D，D⊥平面BCD，BC平面BCD，D⊥BC；（2）設平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），AC=BC=1，C⊥BC,C，D平面AC，CD=，BC⊥平面AC，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（1，0，2），D（1，0，1），（,0，0，2），
=（-1，1，-1），=（0，0，1），=（-1，0，1），，且，.=-x+y-z=0①，. =0+0+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），，且，.=-+-=0③，. =--+0+=0④，聯立③④解得：=1，=2，=1，=（1，2，1），二面角—BD—的余弦值為
==。
『思考問題3』
（1）【典例3】是運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的問題，解答這類問題需要理解平面與平面所成角的定義，掌握運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的問題的基本方法；
（2）運用空間向量求平面與平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在兩個平面內找兩條相交直線，，，；③在各條直線分別取兩點（圖中有線段，一般取線段的兩個端點），求出各自的方向向量，，，（注意兩點的順序）；④根據求平面法向量的基本方法分別求出兩個平面的法向量，；⑤運用公式cos=求出平面與平面所成角的余弦值（若問題是求所成角的大小，根據求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函數值求出角的大小）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、正方體ABCD—中，截面BD與底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）（答案：B）
A B C D
2、如圖所示，三棱錐P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，則二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
（答案：二面角B—PA—C的大小等于） B
3、直三棱柱ABC---中，AC⊥BC，
AC=BC=C，E、F分別是B、的 F
中點。
（1）求證：EF∥平面AC； E
（2）求證：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值。 A B
（答案：（1）提示：以C為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系C-xyz，證明向量與平面AC法向量的數量積為0；（2）提示：證明向量與平面BC法向量平行；（3）二面角A--B—C的余弦值為）
4、如圖在三棱錐P—ABC中，， P
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直線AB和直線PC所成角余弦值； A C
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 （答案：（1）直線AB和直線PC所成角余 弦值為-；（2）PC和平面ABC所成角的正弦值為；3）二面角A—PC—B的余弦值為）
【典例4】解答下列問題：
1、點P是等腰三角形ABC所在平面外一點，PA平面ABC，PA=8，底邊BC=6，AB=5，則點P到BC的距離為（ ）
A 4 B C 3 D 2
【解析】
【知識點】①三棱錐定義與性質；②點到直線距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量求點到直線距離的基本方法。
【解題思路】如圖，取BC的中點D，連接PD，過點A作AEAB與點A，根據直線垂直平面的性質，得到PAAB，PAAE，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，得到點A，B，C，P的坐標，從而得到點D的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，由空間向量證明直線垂直直線的基本方法，得到PDBC，求出||的值，求出點P到BC的距離，就可得出選項。 P z
【詳細解答】如圖，取BC的中點D，連接PD，
過點A作AEAB與點A，PA平面ABC，
AE，AC平面ABC，PAAB，PAAE， A D Cy
以A為原點，向量，，分別為 E x B
x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，三角形ABC是等腰三角形，，PA=8，底邊BC=6，AB=5，P（0，0，8），C（0，5，0），B（，，0），D（，，0），=（-，，0），=（，，-8），.=-++0=0，
PDBC，點P到BC的距離為||== 4，A正確，選A。
2、如圖在正方體ABCD---中，棱 z
長為1。
求：（1）異面直線AB與C之間的距離；
（2）異面直線AB與之間的距離；
（3）異面直線A與C之間的距離。 D Cy
【解析】
【知識點】①正方體定義與性質；②異面直線之 A x B
間距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據正方體的性質，建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，C，的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，由空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明ABBC，CBC，得到BC是異面直線AB和C的共垂線段，求出||的值，就可求出異面直線AB與C之間的距離；（2）如圖，根據（1）得到點的坐標，求出向量，，運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明ABA，A，得到A是異面直線AB和的共垂線段，求出||的值，就可求出異面直線AB與之間的距離；（3）
如圖，根據（1）得到點D，，的坐標，求出向量，，， 運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明ADC，CDC，得到DC是異面直線A與C的共垂線段，求出||的值，就可求出異面直線A與C之間的距離。
【詳細解答】（1）如圖，ABCD---是棱長為1的正方體，ADDC，DDC，DDA，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，0），=（0，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABBC，CBC，BC是異面直線AB和C的共垂線段，異面直線AB與C之間的距離為||==1；（2）如圖，（1，0，1）， =（0，0，1），=（-1，1，0）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABA，A，A是異面直線AB和的共垂線段，異面直線AB與之間的距離為||==1；（2）如圖，D（0，0，0），（0，0，1），（1，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，1），=（1，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ADC，CDC，DC是異面直線A和C的共垂線段，異面直線A與C之間的距離為||==1。 z
3、如圖在正方體ABCD---中，棱
長為a。 E
求：（1）異面直線AB與C之間的距離； F
（2）異面直線AC與D之間的距離。 D C y
【解析】 A x O B
【知識點】①正方體定義與性質；②異面直線之間距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，連接B交C于點E，根據正方體的性質，建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，C，，的坐標，從而得到E的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，由空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明BEAB，BEC，得到BE是異面直線AB和C的共垂線段，求出||的值，就可求出異面直線AB與C之間的距離；（2）如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，過點C作CFD于點F，連接OF，設F（，，），根據（1）得到點D的坐標，從而得到點O，F的坐標，求出向量，，，運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明OFAC，OFD，得到OF是異面直線AC和D的共垂線段，求出||的值，就可求出異面直線AC與D之間的距離。
【詳細解答】（1）如圖，連接B交C于點E，ABCD---是棱長為a的正方體，ADDC，DDC，DDA，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），（a，a，a），（0，a，a），E是棱B的中點， E（a，a，a），=（0，a，0），=（a，0，a），=（-a，0，a）， . = 0+0+0=0， . =- +0+=0， BEAB，BEC，BE是異面直線AB和C的共垂線段，異面直線AB與C之間的距離為||==a；（2）如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，過點C作CFD于點F，連接OF，設F（，，），D（0，0，0），=（-a，a，0），=（a，a，a），=（，，）=（ta，ta，ta），=（ta，ta-a，ta），CFD，.=t+t-+t=0，t=，F=（a，a，a），點O是AC的中點，O（a，a，0），=（-a，-a，a）， . = - +0=0， . =- -+
=0， OFAC，OFD，OF是異面直線AC和D的共垂線段，異面直線AC與D之間的距離為||==a。
4、如圖已知正方體ABCD---的棱長為a，M是棱A的中點，點O是對角線B的中點。 z
（1）證明OM是異面直線A和B的共垂線；
（2）求異面直線A和B的距離。
【解析】 M O
【知識點】①正方體定義與性質；②異面直線
之間距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的 D C y
基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐 A x B
標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據正方體的性質，建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，D，，的坐標，從而得到M，O的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，由空間向量證明直線垂直直線的基本方法，分別證明OMA
，OMB，就可證明OM是異面直線A和B的共垂線；（2）根據（1）得到線段OM是異面直線A和B的共垂線段，運用空間向量求點到平面距離的基本方法，求出||的值，就可求出異面直線A和B的距離。
【詳細解答】（1）如圖，ABCD---是棱長為a的正方體，ADDC，DDC，DDA，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），D（0，0，0），（a，0，a），（0，0，a），M是棱A的中點，點O是對角線B的中點， M（a，0，a），O （a，a，a），=（0，0，a），=（-a，-a，a），=（a，-a，0），
. = 0+0+0=0， . =- ++0=0， OMA，OMB
， 即 OM是異面直線A和B的共垂線；（2）由（1）知 OM是異面直線A和B的共垂線段， 異面直線A和B的距離為|| ==a。
『思考問題4』
（1）【典例4】是運用空間向量求異面直線直角距離的問題，解答這類問題需要理解異面直線之間距離的定義，掌握運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法；
（2）運用空間向量求異面直線之間距離的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，確定兩條異面直線的公垂線段；③運用兩點之間的距離公式，求出公垂線段的長就可求出異面直線之間的距離。
〔練習4〕解答下列問題：
如圖在長方體ABCD---中，
底面正方形的邊長是a，高為b。
（1）求異面直線A和的距離；
（2）求異面直線AB和的距離。 D C
（答案：1）異面直線A和的距
離為a；（2）求異面直線AB和的距 A B
離為b。）
2、如圖在正方體ABCD---中，棱
長為a，M、N分別是AB、BC的中點。
求：（1）異面直線D與MN所成角的大小；
（2）異面直線B與MN之間的距離。
（答案：（1）異面直線D與MN所成角的大 D C
小為；（2）異面直線B與MN之間的距 A M B N
離為a）
【典例5】解答下列問題：
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E為C的中點，則直線A與平面BED的距離為（ ）
A 2 B C D 1
【解析】 A B
【知識點】①正方體定義與性質；②直線到平面距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，連接OE，根據正方體的性質，建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，C，D的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，由空間向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空間向量求點到平面距離的基本方法，求出點D到平面ABC的距離，就可得出選項。
【詳細解答】如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，連接OE，設平面BED的法向量=（x，y，z），ABCD—是正四棱柱，ADDC，DDC，DDA，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角 坐標系D-xyz，E為C的中點，OE//A， z
EMBED Equation.DSMT4 OE平面BED，A平面BED，A
∥平面BED，直線A與平面BED的距離， E
點A到平面BED的距離，AB=2，C=2，
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， D O Cy
D（0，0，0），E（0，2，），=（2， Ax B
2，0），=（0，2，），=（0，2，0），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y+z=0②，聯立①②解得：x=，y=-，z=1，=（，-，1）， 點A到平面BED的距離為||==1，D正確，選D。
2、已知直二面角—l—，點A，ACl，C為垂足，點B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（ ）
A B C D 1
【解析】 A B
【知識點】①直二面角定義與性質；②點到平面距離定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】如圖，過點C在平面內作EC//BD，根據直二面角的性質，建立空間直角坐標系C-xyz，得到點A，B，C，D的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，由空間向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空間向量求點到平面距離的基本方法，求出點D到平面ABC的距離，就可得出選項。
【詳細解答】如圖，過點C在平面內作EC//BD，
設平面ABC的法向量=（x，y，z），BDl， Az
二面角—l—為直二面角，CEl，以C為 C D y
原點，向量，，分別為x軸，y軸，z x B
軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，AB=2，
AC=BD=1，A（0，0，1），B（1，，0），C（0，0，0），D（0，，0），=（1，，-1），=（0，0，-1），=（0，，-1），，且，.=x+y-z=0①，. =0+0-z=0②，聯立①②解得：x=-，y=1，z=0，=（-，1，0），D到平面ABC的距離為==，C正確，選C。
3、如圖在四棱錐P—ABCD中，底面四邊形 P z
ABCD是邊長為4的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交點， H
OE⊥PC于E。 A E Dy
求：（1）點P到CD的距離； O F
（2）異面直線PC，BD之間的距離； B x C
（3）點B到平面PCD的距離；
【解析】
【知識點】①四棱錐定義與性質；②菱形定義與性質；③點到直線距離定義與性質；④異面直線之間距離定義與性質；⑤點到平面距離定義與性質；⑥建立空間直角坐標系的基本方法；⑦空間向量定義與性質；⑧空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑨運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑩運用空間向量求空間距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，過點A作AG⊥AD于點A，交BC于點G，取CD的中點F，連接PF，AF，根據直線垂直平面和菱形的性質，結合問題條件得到PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，PC=PD，從而得到PF⊥CD，以A為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，得到點P，B，C，D，F的坐標，求出|PF|就可求出點P到CD的距離；（2）根據（1）得到BO⊥平面PAC，從而得到BO⊥OE，OE是異面直線PC，BD的公垂線段，求出|OE|就可求出求出異面直線PC，BD之間的距離；（3）過點A作AH⊥PC與點H，得到AH⊥CD，從而得到AH⊥平面PCD，運用空間這類證明直線平行平面的基本方法，得到AB//平面PCD，求出點A到平面PCD的距離，就可求出點B到平面PCD的距離。
【詳細解答】（1）如圖，過點A作AG⊥AD于點A，交BC于點G，取CD的中點F，連接PF，AF，PA⊥底面ABCD，AG，AD，AC平面ABCD，PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，以A為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz，
PA=3，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，并且，ABC=，AC=AD，PACPAD，PC=PD，PF⊥CD，點P到CD的距離為線段PF的長，P（0，0，
3），D（0，4，0），C（2，2，0），F（，3，0），點P到CD的距離為|PF|
==；（2）設E（x,y,z）,BD⊥AC，BD⊥PA，PA，AC平面PCD，PAAC=A，BD⊥平面PAC，BD⊥OE，OE⊥PC，OE是異面直線BD，PC的公垂線段，異面直線PC，BD之間的距離為|OE|，=（2，2，-3），=（x,y,z-3）,點E在PC上，E（2t，2t，3-3t），O（，1，0），=（2t-，2t-1，3-3t），OE⊥PC，
12t-6+4t-2-9+9t=25t-17=0，t=，E（，，），異面直線PC，BD之間的距離為|OE|==；（3）過點A作AH⊥PC與點H，設平面PCD的法向量=（x，y，z），H（，，），AB//CD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB//平面PCD，點B到平面PCD的距離，點A到平面PCD的距離，CD⊥PF，CD⊥AF，PF，AF平面PAF，PFAF=F，CD⊥平面PAF，CD⊥AH，CD，PC平面PCD，CDPC=C，AH⊥平面PCD，點A到平面PCD的距離為|AH|，=（2，2，-3），=（0,4,-3）,，且，.=2x+2y-3z=0①，. =0+4y-3z=0②，聯立①②解得：x=，y=，z=1，=（，，1），點H在PC上，AH⊥PC，H（，，），=（，，），點A到平面PCD的距離為
==，即點B到平面PCD的距離為。
4、如圖設是平面的單位法向量，AB是 B
平面的一條斜線，其中A∈。
（1）求AB與平面所成角的正弦值；
（2）求點B到平面的距離； A
【解析】
【知識點】①平面法向量定義與性質；②直線與平面所成角定義與性質；③點到平面距離定義與性質；④運用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法；⑤運用空間向量求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據平面法向量和直線與平面所成角的性質，運用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法，就可求出AB與平面所成角的正弦值；（2）根據點到平面距離的性質，運用空間向量求點到平面距離的基本方法，就可求出點B到平面的距離。
【詳細解答】（1）如圖，平面的法向量為，AB是平面的一條斜線，其中A∈，AB與平面所成角的正弦值為||；（2）如圖，平面的法向量為，AB是平面的一條斜線，其中A∈，點B到平面的距離為||。
5、如圖已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的 P z
高分別為1，2，AB=4。
（1）證明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值；
（3）求點P到平面QAD的距離 。 O
【解析】 x A B y
【知識點】①正四棱錐定義與性質；②點到平面
平面之間距離定義與性質；③建立空間直角坐系 Q
的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量求異面直線所成角余弦值的基本方法；⑧運用空間向量求平面法向量的基本方法；；⑨運用空間向量求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，根據正四棱錐的性質，建立空間直角坐標系O-xyz，得到點A，B，C，D，P，Q的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法，得到PQ⊥AC，PQ⊥BD，就可證明PQ⊥平面ABCD；（2）根據（1）求出向量，，運用空間向量求異面直線所成角余弦值的基本方法，就可求出異面直線AQ與PB所成角的余弦值；（3）根據（1）求出向量，，運用空間向量求平面法向量的基本方法，求出平面QAD的法向量，利用空間向量求點到平面距離的基本方法，就可求出點P到平面QAD的距離。
【詳細解答】如圖，連接AC，BD，AC，BD相交于點O，四棱錐P—ABCD與Q—ABCD均為正四棱錐，點O在PQ上，ACBD，以O為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高分別為1，2，AB=4，A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，1），Q（0，0，-2），=（-4，0，0），=（0，-4，0），=（0，0，-3），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
AC，BD平面ABCD，ACBD=O，PQ⊥平面ABCD；（2）由（1）得：=（-2，0，-2)，=（0，2，-1），異面直線AQ與PB所成角的余弦值為||
==；
設平面QAD的法向量=（x，y，z），由（1）得：=（2，2，0)，
=（0，2，-2），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y-2z=0②，聯立①②解得：x=1，y=-1，z=-，=（1，-1，-），
=（0，0，-3），點P到平面QAD的距離為||==。
z
6、如圖在棱長為2的正方體ABCD--中 ，
G是A的中點。 G
求：BD到平面G的距離； D C y
【解析】 xA B
【知識點】①長方體定義與性質；②直線與平面之間距離定義與性質；③建立空間直角坐標
系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量證明平面平行平面的基本方法；⑧運用空間向量求點到平面距離的基本方法。
【解題思路】如圖，根據正方體的性質，建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，D，，，的坐標，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，求出向量，，，，由空間向量求平面法向量的基本方法，求出平面G的法向量，利用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明BD∥平面G，從而問題轉化為求點B到平面G的距離，求出向量， 由用空間向量求點到平面距離的基本方法，求出點B到平面G的距離，就可求出直線BD到平面G的距離。
【詳細解答】如圖，設平面BP的法向量=（x，y，z），ABCD--是正方體，以D為原點，向量，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，正方體ABCD--的棱長為2，G是A的中點，A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），（2，0，2），（2，2，2），（0，0，2），G（2，0，1），=（0，2，1），=（-2，0，1），=（-2，-2，0），=（-2，-2，2），
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，且，.=0+2y+z=0①，. =-2x+0+z=0②，聯立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），.=-2+2+0=0，，BD平面G，BD∥平面G，BD到平面G的距離，點B到平面G的距離，點B到平面G的距離為||==，BD到平面G的距離為。
如圖斜三棱柱ABC--的側面AC與
底面ABC垂直

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