資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題三十七 隨機(jī)事件、頻率與概率
知識(shí)歸納
一、隨機(jī)試驗(yàn)
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母表示．
我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；
（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
二、樣本空間
我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
三、隨機(jī)事件、確定事件
（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．
四、事件的關(guān)系與運(yùn)算
①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：
不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．
②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：
五、互斥事件與對(duì)立事件
（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：
如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．
（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．
②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．
六、概率與頻率
（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
方法技巧與總結(jié)
題型一、隨機(jī)事件與樣本空間
【例1-1】已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：
①若任取，則是必然事件；
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機(jī)事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【解析】因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：
對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；
對(duì)于②：任取，則是隨機(jī)事件，故②不正確；
對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，則是隨機(jī)事件，故③正確；
對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，
任取，則是必然事件，故④正確；
所以①③④正確，正確的命題有3個(gè)．
【例1-2】以下事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
【答案】B
【解析】A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；
B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；
C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；
D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．
【例1-3】袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】從袋中任取個(gè)球，共有如下情況.
其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，
此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.
故答案為：.(答案不唯一)
題型二、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
【例2-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A:事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B:事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或” 一定發(fā)生，所以 ，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C:事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D:事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”或事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，故選項(xiàng)D正確.
【例2-2】一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：
事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有兩件次品；
事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品.
并給出以下結(jié)論：
①；②是必然事件；③；④.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；
事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.
【例2-3】（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（ ）
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A D ，A∪C＝D.故A、C正確；
因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；
對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.
【例2-4】利用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤玩配色游戲兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，觀察指針?biāo)竻^(qū)域的顏色（不考慮指針落在分界線上的情況）．事件A表示“轉(zhuǎn)盤①指針?biāo)竻^(qū)域是黃色”，事件B表示“轉(zhuǎn)盤②指針?biāo)竻^(qū)域是綠色”，用樣本點(diǎn)表示，．
【解析】由題可得：
轉(zhuǎn)盤①轉(zhuǎn)出的顏色
紅 黃 藍(lán)
轉(zhuǎn)盤②轉(zhuǎn)出的顏色 藍(lán) （紅，藍(lán)） （黃，藍(lán)） （藍(lán)，藍(lán)）
黃 （紅，黃） （黃，黃） （藍(lán)，黃）
紅 （紅，紅） （黃，紅） （藍(lán)，紅）
綠 （紅，綠） （黃，綠） （藍(lán)，綠）
紫 （紅，紫） （黃，紫） （藍(lán)，紫）
由表可知，共有15種等可能的結(jié)果，
其中{(黃,藍(lán)), (黃, 黃), (黃, 紅), (黃, 綠), (黃, 紫)}，
{(紅,綠), (黃,綠), (藍(lán),綠)}，
所以{(黃,綠)}，
{(黃,藍(lán)), (黃, 黃), (黃, 紅), (黃, 綠), (黃, 紫), (紅,綠), (藍(lán),綠)}．
【例2-5】端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件“甲端午節(jié)來寶雞旅游”， 記事件“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且，，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，且、相互獨(dú)立，
所以.
【例2-6】對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件B表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊中飛機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)，
另一種是兩枚炮彈都擊中飛機(jī).所以，，
“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒擊中或第一枚沒擊中第二枚擊中，
所以，
又包含該試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)，為必然事件，
而事件表示“兩個(gè)炮彈都擊中飛機(jī)或者都沒擊中飛機(jī)”，所以.
【例2-7】某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，
則兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件，
所以，，，
所以，，
又因?yàn)椋?br/>所以，.
題型三、頻率與概率
【例3-1】（多選題）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（ ）
A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人
B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為
C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%
D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取人，正確；
對(duì)于B，青年患者所占的頻率為，正確；
對(duì)于C，平均治愈率為，正確；
對(duì)于D，由C知錯(cuò)誤.
【例3-2】將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個(gè)小組，如下表所示：
組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數(shù) 10 13 14 14 15 13 12 9
第3組的頻率和累積頻率分別為（ ）
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【答案】A
【解析】由表可知，第3組的頻率為，累積頻率為。
【例3-3】甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30 %，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（ ）
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【答案】D
【解析】由題意得：將兩所學(xué)校的成績放到一起，從中任取一個(gè)學(xué)生成績，
取到優(yōu)秀成績的概率為.
【例3-4】在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，則布袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（ ）個(gè)．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】由題意，摸到紅色球、黑色球的概率分別為15%和45%，
即可摸到白色球的概率為，
所以可得白色球的個(gè)數(shù)為.
【例3-5】擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（ ）
A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5
B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5
C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5
D．以上說法均不正確
【答案】B
【解析】對(duì)于A，大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率越來越接近于0.5，故A不正確；
對(duì)于B，事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，所以不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5，故B正確；
對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)概率是指特定的事件發(fā)生的次數(shù)占總體試驗(yàn)樣本的比率，隨著試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率約為0.5，故C不正確；
對(duì)于D，顯然不正確.
【例3-6】有以下說法:
①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1 000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.
根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說法正確的序號(hào)是___.
【答案】①③
【解析】根據(jù)“概率的意義”求解,買彩票中獎(jiǎng)的概率0.001,并不意味著買1 000張彩票一定能中獎(jiǎng),只有當(dāng)買彩票的數(shù)量非常大時(shí),我們可以看成大量買彩票的重復(fù)試驗(yàn),中獎(jiǎng)的次數(shù)為;
昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定會(huì)下雨.
說法②④是錯(cuò)誤的，而利用概率知識(shí)可知①③是正確的.
故答案為①③．
題型四、生活中的概率
【例4-1】（多選題）已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）.現(xiàn)要從甲 乙兩名同學(xué)中選出1人參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽.則下列說法正確的是（ ）
A．甲參賽的概率大 B．乙參賽的概率大
C．這種選取規(guī)則公平 D．這種選取規(guī)則不公平
【答案】BD
【解析】由題意，知由1，2，3，4，5組成的“三位遞增數(shù)”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10個(gè).
記“甲參加數(shù)學(xué)競賽”為事件A，事件A包含的樣本點(diǎn)有124，134，234，共3個(gè)，
所以.
記“乙參加數(shù)學(xué)競賽”為事件B，則事件B包含的樣本點(diǎn)有123，125，135，145，235，245，345，共7個(gè)，所以.
因?yàn)椋匆覅①惖母怕蚀螅栽撨x取規(guī)則不公平.
【例4-2】（多選題）下列說法正確的是（ ）
A．一個(gè)人打靶，打了10發(fā)子彈，有6發(fā)子彈中靶，因此這個(gè)人中靶的概率為0.6
B．某地發(fā)行福利彩票，其回報(bào)率為47%，有個(gè)人花了100元錢買彩票，一定會(huì)有47元回報(bào)
C．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎(jiǎng)的可能性相同
D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率.
【答案】CD
【解析】、某人打靶，射擊10次，擊中6次，那么此人中靶的頻率為0.6，故錯(cuò)誤；
、買這種彩票是一個(gè)隨機(jī)事件，中獎(jiǎng)或者不中獎(jiǎng)都有可能，但事先無法預(yù)料，故錯(cuò)誤；
、根據(jù)古典概型的概率公式可知C正確；
、大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率，故正確．
【例4-3】（多選題）某人投了100次籃，設(shè)投完前n次的命中率為．其中，….100．已知，則一定存在使得（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根據(jù)題意得：，其中k為不超過85的自然數(shù)，且；
對(duì)A，記前k次投籃中，投中的次數(shù)減去不中的次數(shù)為，則，
又，一定存在m，使得，此時(shí)，故A正確；
對(duì)B，前100次投籃中，若前次投籃均不中，后面次投籃均命中，
則對(duì)于，方程無整數(shù)解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若前次不中，后面次投籃均命中，最后一次不中，
則對(duì)于，方程無整數(shù)解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，如果不存在m，使得，則前5次投籃中至少有2次不中，
前10次投籃中至少有3次不中，前15次投籃中至少有4次不中，
依此類推，前70次投籃中至少有15次不中，
即前75次投籃中恰有15次不中，
從而，矛盾，故D正確．
【例4-4】某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了下面兩個(gè)問題：
問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？
問題二：你是否經(jīng)常吸煙？
調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置：一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個(gè)小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為（ ）
A．7% B．8% C．9% D．30%
【答案】C
【解析】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球和紅球的概率都為，因此，這200人中，回答了第一個(gè)問題的有100人，而一年365天中，陽歷為奇數(shù)的有186天，所以對(duì)第一個(gè)問題回答“是”的概率為，所以這100個(gè)回答第一個(gè)問題的學(xué)生中，約有51人回答了“是”，從而可以估計(jì)，在回答第二個(gè)問題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為9%．
題型五、互斥事件與對(duì)立事件
【例5-1】命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若事件與事件是對(duì)立事件，則事件與事件一定是互斥事件；
若事件與事件是互斥事件，不一定得到事件與事件對(duì)立，
故命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的充分不必要條件；
故選：A
【例5-2】“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個(gè)，為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對(duì)黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.則（ ）
A．A與C是互斥事件 B．B與D是對(duì)立事件
C．B與C是對(duì)立事件 D．C與D是互斥事件
【答案】D
【解析】事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”；
事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或 “研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”， 或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；
事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”， 包含“研究駕駛艙語音記錄器”或 “研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個(gè)黑匣子都不研究；
事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”. 即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；
所以對(duì)于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；
對(duì)于B，事件B與事件D不是對(duì)立事件，故B不正確；
對(duì)于C，事件B與事件C不是對(duì)立事件，故C不正確；
對(duì)于D，事件C和事件D不能同時(shí)發(fā)生，故C與D是互斥事件.
【例5-3】設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個(gè)正整數(shù)，脫靶計(jì)為0環(huán)．某人射擊一次，設(shè)事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B與C互斥 B．B與C互為對(duì)立
C．A與D互為對(duì)立 D．A與D互斥
【答案】A
【解析】對(duì)于AB，事件和不可能同時(shí)發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對(duì)立，所以A正確，B錯(cuò)誤，
對(duì)于CD，事件A與D有可能同時(shí)發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對(duì)立，所以CD錯(cuò)誤.
【例5-4】（多選題）從1，2，3，，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（ ）
A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)” B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”
C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)” D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)”
【答案】AD
【解析】從1~9中任取三數(shù)，按這三個(gè)數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：
（1）三個(gè)均為奇數(shù)；（2）兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（3）一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)；（4）三個(gè)均為偶數(shù)，所以選項(xiàng)A、D是互斥但不是對(duì)立事件，選項(xiàng)C是對(duì)立事件，選項(xiàng)B不是互斥事件.
題型六、利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率
【例6-1】命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若事件與事件是對(duì)立事件，則事件與事件一定是互斥事件；
若事件與事件是互斥事件，不一定得到事件與事件對(duì)立，
故命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的充分不必要條件.
【例6-2】采購員要購買某種電器元件一包（10個(gè)）．他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，其余包中各含1個(gè)次品，則采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率為（ ）
A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54
【答案】A
【解析】抽到含有1個(gè)次品，且抽到的3個(gè)元件中含有這一個(gè)次品的概率為，
抽到含有4個(gè)次品，且隨機(jī)抽查的3個(gè)元件中含有次品，則拒絕購買，
故概率為，
所以采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率為.
【例6-3】甲 乙兩人參加歌唱比賽，晉級(jí)概率分別為和，且兩人是否晉級(jí)相互獨(dú)立，則兩人中恰有一人晉級(jí)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意兩人中恰有一人晉級(jí)，則甲晉級(jí)、乙未晉級(jí)或甲未晉級(jí)、乙晉級(jí)，
所以概率.
【例6-4】某士兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槊看蚊心繕?biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，
所以連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率.
【例6-5】重慶的8月份是一段讓人難忘的時(shí)光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺(tái)也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺(tái)上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺(tái)進(jìn)行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺(tái)有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺(tái)并不能準(zhǔn)時(shí)送達(dá)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)三家平臺(tái)的準(zhǔn)點(diǎn)率分別為，，，各平臺(tái)送貨相互獨(dú)立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點(diǎn)了一份配送貨，則至少有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楦髌脚_(tái)送貨相互獨(dú)立，互不影響，所以
有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為,
有三家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為，
則至少有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為.
【例6-6】甲 乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩人都做對(duì)的概率是0.72 B．恰好有一人做對(duì)的概率是0.26
C．兩人都做錯(cuò)的概率是0.15 D．至少有一人做對(duì)的概率是0.98
【答案】C
【解析】由于甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，
故兩人都做對(duì)的概率是 ，所以A 正確；
恰好有一人做對(duì)的概率是 ，故B正確；
兩人都做錯(cuò)的概率是，故C錯(cuò)誤；
至少有一人做對(duì)的概率是，故D正確.
【例6-7】從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】區(qū)間的整數(shù)共有7個(gè)，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個(gè)；非質(zhì)數(shù)有3個(gè)；
設(shè)事件：從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，
由，
故選：
【例6-8】小吳、小張兩名同學(xué)均打算暑期選擇學(xué)校的舞蹈、畫畫、籃球三個(gè)興趣班中的一個(gè)興趣班學(xué)習(xí)，小吳、小張選擇舞蹈、畫畫、籃球三個(gè)興趣班學(xué)習(xí)的概率分別如下表，則小吳、小張選擇不同興趣班學(xué)習(xí)的概率為（ ）
舞蹈 畫畫 籃球
小吳 0.3 0.4
小張 0.5 0.3
A．0.68 B．0.66 C．0.64 D．0.62
【答案】A
【解析】由題可得，小吳、小張選擇舞蹈、畫畫、籃球三個(gè)興趣班學(xué)習(xí)的概率分別如下表：
舞蹈 畫畫 籃球
小吳 0.3 0.3 0.4
小張 0.5 0.3 0.2
故小吳、小張選擇相同興趣班學(xué)習(xí)的概率為，
故小吳、小張選擇不同興趣班學(xué)習(xí)的概率為．
故選：A．
【例6-9】一個(gè)電路如圖所示，，，，，，，為7個(gè)開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】電路由上到下有3個(gè)分支并聯(lián)，開關(guān)所在的分支不通的概率為，
開關(guān)所在的分支不通的概率為，
開關(guān)，，所在的分支不通的概率為，
所以燈亮的概率是.
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專題三十七 隨機(jī)事件、頻率與概率
知識(shí)歸納
一、隨機(jī)試驗(yàn)
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母表示．
我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；
（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
二、樣本空間
我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
三、隨機(jī)事件、確定事件
（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．
四、事件的關(guān)系與運(yùn)算
①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：
不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．
②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：
五、互斥事件與對(duì)立事件
（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：
如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．
（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．
②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．
六、概率與頻率
（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
方法技巧與總結(jié)
題型一、隨機(jī)事件與樣本空間
【例1-1】已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：
①若任取，則是必然事件；
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機(jī)事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【例1-2】以下事件是隨機(jī)事件的是( )
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
【例1-3】袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間： .
題型二、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
【例2-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有( )
A． B． C． D．
【例2-2】一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：
事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有兩件次品；
事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品.
并給出以下結(jié)論：
①；②是必然事件；③；④.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【例2-3】（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【例2-4】利用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤玩配色游戲兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，觀察指針?biāo)竻^(qū)域的顏色（不考慮指針落在分界線上的情況）．事件A表示“轉(zhuǎn)盤①指針?biāo)竻^(qū)域是黃色”，事件B表示“轉(zhuǎn)盤②指針?biāo)竻^(qū)域是綠色”，用樣本點(diǎn)表示，．
【例2-5】端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件“甲端午節(jié)來寶雞旅游”， 記事件“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且，，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則( )
A． B． C． D．
【例2-6】對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件B表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊中飛機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是( )
A． B．
C． D．
【例2-7】某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為( )
A． B． C． D．
題型三、頻率與概率
【例3-1】（多選題）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則( )
A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人
B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為
C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%
D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%
【例3-2】將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個(gè)小組，如下表所示：
組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數(shù) 10 13 14 14 15 13 12 9
第3組的頻率和累積頻率分別為( )
A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，
【例3-3】甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30 %，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為( )
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
【例3-4】在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，則布袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是( )個(gè)．
A．15 B．16 C．17 D．18
【例3-5】擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是( )
A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5
B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5
C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5
D．以上說法均不正確
【例3-6】有以下說法:
①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1 000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.
根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說法正確的序號(hào)是_______________.
題型四、生活中的概率
【例4-1】（多選題）已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）.現(xiàn)要從甲 乙兩名同學(xué)中選出1人參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽.則下列說法正確的是( )
A．甲參賽的概率大 B．乙參賽的概率大
C．這種選取規(guī)則公平 D．這種選取規(guī)則不公平
【例4-2】（多選題）下列說法正確的是( )
A．一個(gè)人打靶，打了10發(fā)子彈，有6發(fā)子彈中靶，因此這個(gè)人中靶的概率為0.6
B．某地發(fā)行福利彩票，其回報(bào)率為47%，有個(gè)人花了100元錢買彩票，一定會(huì)有47元回報(bào)
C．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎(jiǎng)的可能性相同
D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率.
【例4-3】（多選題）某人投了100次籃，設(shè)投完前n次的命中率為．其中，….100．已知，則一定存在使得( )
A． B． C． D．
【例4-4】某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了下面兩個(gè)問題：
問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？
問題二：你是否經(jīng)常吸煙？
調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置：一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個(gè)小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為( )
A．7% B．8% C．9% D．30%
題型五、互斥事件與對(duì)立事件
【例5-1】命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例5-2】“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個(gè)，為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對(duì)黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.則( )
A．A與C是互斥事件 B．B與D是對(duì)立事件
C．B與C是對(duì)立事件 D．C與D是互斥事件
【例5-3】設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個(gè)正整數(shù)，脫靶計(jì)為0環(huán)．某人射擊一次，設(shè)事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是( )
A．B與C互斥 B．B與C互為對(duì)立
C．A與D互為對(duì)立 D．A與D互斥
【例5-4】（多選題）從1，2，3，，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有( )
A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)” B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”
C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)” D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)”
題型六、利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率
【例6-1】命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例6-2】采購員要購買某種電器元件一包（10個(gè)）．他的采購方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，其余包中各含1個(gè)次品，則采購員隨機(jī)挑選一包拒絕購買的概率為( )
A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54
【例6-3】甲 乙兩人參加歌唱比賽，晉級(jí)概率分別為和，且兩人是否晉級(jí)相互獨(dú)立，則兩人中恰有一人晉級(jí)的概率為( )
A． B． C． D．
【例6-4】某士兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為( )
A． B． C． D．
【例6-5】重慶的8月份是一段讓人難忘的時(shí)光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺(tái)也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺(tái)上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺(tái)進(jìn)行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺(tái)有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺(tái)并不能準(zhǔn)時(shí)送達(dá)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)三家平臺(tái)的準(zhǔn)點(diǎn)率分別為，，，各平臺(tái)送貨相互獨(dú)立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點(diǎn)了一份配送貨，則至少有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】甲 乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．兩人都做對(duì)的概率是0.72 B．恰好有一人做對(duì)的概率是0.26
C．兩人都做錯(cuò)的概率是0.15 D．至少有一人做對(duì)的概率是0.98
【例6-7】從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為( )
A． B． C． D．
【例6-8】小吳、小張兩名同學(xué)均打算暑期選擇學(xué)校的舞蹈、畫畫、籃球三個(gè)興趣班中的一個(gè)興趣班學(xué)習(xí)，小吳、小張選擇舞蹈、畫畫、籃球三個(gè)興趣班學(xué)習(xí)的概率分別如下表，則小吳、小張選擇不同興趣班學(xué)習(xí)的概率為( )
舞蹈 畫畫 籃球
小吳 0.3 0.4
小張 0.5 0.3
A．0.68 B．0.66 C．0.64 D．0.62
【例6-9】一個(gè)電路如圖所示，，，，，，，為7個(gè)開關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是( )
A． B． C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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