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人教版六上8.1數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形
知識梳理
1、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法探索規(guī)律。
從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)相加的和可以用n2表示,即1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2。
2、借助直觀圖形解決比較復(fù)雜的問題。
從開始的數(shù)列、、......的和是1。
真題練習(xí)
一、選擇題
1．在一個平面上有68個點(diǎn)，一共可以連（ ）條線段。
A．68 B．2278 C．2346 D．1190
2．觀察下列一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，，，，，…這一組數(shù)的第100個數(shù)是（ ）。
A． B． C．
3．古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在沒有紙筆的時代，用沙子在沙灘上畫呀畫，發(fā)現(xiàn)了數(shù)與形的規(guī)律。照下面的圖形排列規(guī)律，第12組圖形里共有（ ）個正方形的頂點(diǎn)。
A．48 B．37 C．24 D．36
4．如圖，按下面的方式用小棒擺六邊形。照這樣的規(guī)律接著擺下去，第10個圖形需要（ ）根小棒。
A．41 B．51 C．61
5．找規(guī)律：，，，，，（ ），……括號里的數(shù)是（ ）。
A． B． C．
二、填空題
6．按規(guī)律填空。
……
圖形 ……
小棒根數(shù) 3 5 7 9 …
照這樣擺下去，第10幅圖需要( )根小棒。第n幅圖需要( )根小棒。
7．探究規(guī)律，巧妙計算。
( ) ( ) ……
8．按規(guī)律填數(shù)：1，3，4，5，9，7，_____，_____。
9．下圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第②個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，那么第③個圖案由________個基礎(chǔ)圖形組成，第⑩個圖案由________個基礎(chǔ)圖形組成。
10．6個點(diǎn)可以連( )條線，n個點(diǎn)可以連( )條線。
三、計算題
11．找規(guī)律，直接寫出后面各題的得數(shù)。
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝
四、解答題
12．（1）數(shù)一數(shù)下圖有幾個長方形？（列出算式并計算）
（2）仿照上面的分析方法想一想，一共有（ ）個長方形。
13．照這樣畫下去，第6個圖形中黑色和白色方塊各有多少塊？第10個圖形呢？
黑色 1塊 2塊 3塊
白色：8塊 13塊 18塊
14．小明用牙簽搭六邊形，如下圖。
（1）數(shù)一數(shù)，上面四幅圖每幅各用了多少根牙簽？
（2）接著畫下去，第五幅圖將用多少根牙簽？第八幅圖呢？
（3）你能利用規(guī)律直接寫成第n幅圖一共要用多少根嗎？
15．農(nóng)夫?qū)⑻O果樹種在正方形果園里。為了保護(hù)蘋果樹不被風(fēng)吹，他在蘋果樹的周圍種了一些針葉樹。在下圖中，你可以看到農(nóng)夫種植蘋果樹的列數(shù)n和蘋果樹數(shù)量及針葉樹數(shù)量的規(guī)律。
（1）請你分別用含有n的式子表示蘋果樹和針葉樹的數(shù)量。
（2）當(dāng)農(nóng)夫種的蘋果樹列數(shù)為多少時，蘋果樹的數(shù)量會等于針葉樹的數(shù)量？
16．?dāng)?shù)與形。
（1）仔細(xì)觀察每幅圖和它下面的算式之間的關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，接著畫出后面的兩個圖形，并完成圖形下面的算式。
（2）根據(jù)上面的規(guī)律，完成下面的算式。
1002－992＝（ ）＋（ ）＝（ ）
20202－20192＝（ ）＋（ ）＝（ ）
參考答案
1．B
【分析】每個點(diǎn)都可與其它點(diǎn)連成一條線段，這樣就重復(fù)了一遍，點(diǎn)數(shù)×（點(diǎn)數(shù)－1）÷2＝線段數(shù)量，據(jù)此分析。
【詳解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（條）
故答案為：B
【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。
2．B
【分析】通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始，各分?jǐn)?shù)的分子為連續(xù)自然數(shù)，分母為連續(xù)奇數(shù)，第100個數(shù)就是，由此求解。
【詳解】由分析可得：＝
故答案為：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是根據(jù)已知的數(shù)得出前后數(shù)之間的變化關(guān)系的規(guī)律，然后再利用這個變化規(guī)律再回到問題中去解決問題。
3．B
【分析】根據(jù)題圖可知，每增加一個正方形就增加3個頂點(diǎn)，據(jù)此可知，當(dāng)有n個正方形時，就有4＋3（n－1）＝3n＋1個頂點(diǎn)，據(jù)此解答即可。
【詳解】當(dāng)有n個正方形時，就有（3n＋1）個頂點(diǎn)；
當(dāng)n＝12時；
3n＋1
＝3×12＋1
＝36＋1
＝37
故答案為：B。
【點(diǎn)睛】明確每增加一個正方形就增加3個頂點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵，進(jìn)而根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)總結(jié)出規(guī)律。
4．B
【分析】看圖，擺1個六邊形需要1×5＋1＝6（根）小棒，擺2個六邊形需要2×5＋1＝11（根）小棒，擺3個六邊形需要3×5＋1＝16（根）小棒。據(jù)此，推理出第10個圖形需要多少根小棒。
【詳解】10×5＋1
＝50＋1
＝51（根）
所以，第10個圖形需要51根小棒。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)與形，有一定歸納總結(jié)能力是解題的關(guān)鍵。
5．A
【分析】觀察這列數(shù)，發(fā)現(xiàn)分母是22，32，42，52，62，…，的規(guī)律排列的，分子是按照1，2，3，4，5，6，…，則括號里的數(shù)的分母是72，分子是6，據(jù)此解答即可。
【詳解】括號里的數(shù)是。
故答案為：A。
【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的分子和分母找到排列規(guī)律。
6． 21 （1＋2n）
【分析】通過觀察可知，三角形個數(shù)每次增加1個，所需小棒數(shù)每次增加2根，據(jù)此解答。
【詳解】第1圖小棒數(shù)：3＝3
第2圖小棒數(shù)：5＝3＋1×2
第3圖小棒數(shù)：7＝3＋2×2
第4圖小棒數(shù)：9＝3＋3×2
……
第10圖小棒數(shù)：21＝3＋9×2
第n圖小棒數(shù)：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。
7．
【分析】每組算式中的兩個分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是連續(xù)的自然數(shù)，則得數(shù)的分子是減數(shù)的分母減被減數(shù)分母的差，分母是兩個分母的乘積。
【詳解】
【點(diǎn)睛】此題首先從形式上找出規(guī)律，再從運(yùn)算的結(jié)果中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后推廣到一般形式即可。
8．16 9
【分析】觀察算式，1、4、9為奇數(shù)項，3、5、7為偶數(shù)項，找出規(guī)律：奇數(shù)項是連續(xù)的平方數(shù)，偶數(shù)項依次加2。據(jù)此解答。
【詳解】12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
3＋2＝5
5＋2＝7
7＋2＝9
所以按規(guī)律填數(shù)：1，3，4，5，9，7，16，9。
【點(diǎn)睛】通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力。
9．10 31
【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第①個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第②個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，第③個圖案由10個基礎(chǔ)圖形組成……發(fā)現(xiàn)規(guī)律：4＝1×3＋1，7＝2×3＋1，10＝3×3＋1……；據(jù)此找到規(guī)律并解答。
【詳解】第①個圖案中基礎(chǔ)圖形有4個，4＝1×3＋1；
第②個圖案中基礎(chǔ)圖形有7個，7＝2×3＋1；
第③個圖案中基礎(chǔ)圖形有10個，10＝3×3＋1；
……
第n個圖形中基礎(chǔ)圖形有：（3n＋1）個；
第⑩個圖形中基礎(chǔ)圖形有：
10×3＋1
＝30＋1
＝31（個）
【點(diǎn)睛】通過數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。
10．15 #### n（n－1）÷2
【分析】從1個點(diǎn)出發(fā)，都可與其余各點(diǎn)連成一條直線，所以點(diǎn)的數(shù)量×（點(diǎn)的數(shù)量－1），相當(dāng)于重復(fù)計算了一遍，再除以2就是線的數(shù)量，即線的數(shù)量＝點(diǎn)的數(shù)量×（點(diǎn)的數(shù)量－1）÷2，據(jù)此分析。
【詳解】6×（6－1）÷2
＝6×5÷2
＝15（條）
n×（n－1）÷2＝ n（n－1）÷2＝n2÷2－n÷2＝（條）
【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。
11．44444.4444；55555.5555；66666.6666
【分析】由“1234.5679×9＝11111.1111，1234.5679×18＝22222.2222，1234.5679×27＝33333.3333”可以看出，第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)在第一個式子9的基礎(chǔ)上分別乘2、乘3、乘4…根據(jù)積的變化規(guī)律得所得的積也乘2、乘3、乘4…據(jù)此即可直接寫出各數(shù)的積。
【詳解】根據(jù)規(guī)律，直接寫出后幾道題的得數(shù)：
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝ 44444.4444
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝55555.5555
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝66666.6666
12．（1）①有10個；②有3個；
（2）30
【分析】（1）①中橫著數(shù)有10條線段，豎著數(shù)只有1條線段，有10×1＝10個長方形；②橫著數(shù)有1條線段，豎著數(shù)有3條線段，有1×3＝3個長方形。
（2）橫著數(shù)有10條線段，豎著數(shù)有3條線段，所以有10×3＝30個長方形。
【詳解】（1）①10×1＝10（個）
②1×3＝3（個）
答：①有10個長方形，②有3個長方形。
（2）10×3＝30（個）
【點(diǎn)睛】通過前面兩個圖形找出數(shù)長方形的規(guī)律，然后再推斷出第2題長方形的個數(shù)。
13．6塊，33塊；10塊，53塊
【分析】根據(jù)第幾個圖形
1 2 3 4 n
黑色：1塊 2塊 3塊 4塊 n塊
白色：8塊 13塊 18塊 23塊 （3＋5n）塊
3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n
所以，第6個圖形中黑色有6塊，白色方塊有33塊；第10個圖形中黑色有10塊，白色方塊有53塊。
【詳解】由分析得，
第6個圖形中黑色有6塊，白色方塊有：
3＋5×6
＝3＋30
＝33（塊）
第10個圖形中黑色有10塊，白色方塊有：
3＋5×10
＝3＋50
＝53（塊）
【點(diǎn)睛】此題考查的是找規(guī)律，解答此題關(guān)鍵是正確找出規(guī)律并用規(guī)律解決問題。
14．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析圖形可知，每增加一個六邊形就增加5根牙簽，第1個圖形一共用了6根牙簽，第2個圖形一共用了（6＋5）根牙簽，第3個圖形一共用了（6＋5×2）根牙簽，第4個圖形一共用了（6＋5×3）根牙簽……則第n個圖形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙簽，據(jù)此解答。
【詳解】（1）第1幅圖用了6根，第2幅圖用了11根，第3幅圖用了16根，第4幅圖用了21根。
（2）第5幅圖：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅圖：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅圖將用26根牙簽，第八幅圖將用41根牙簽。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅圖一共要用（5n＋1）根。
【點(diǎn)睛】用含有字母的式子表示出圖形變化的規(guī)律是解答題目的關(guān)鍵。
15．（1）n2；8n；（2）8
【分析】（1）觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，蘋果樹的數(shù)量為相應(yīng)序號的平方，再求出各個圖形中針葉樹的棵樹，用n表示出來即可；
（2）找出規(guī)律之后列出等式，解出方程即可。
【詳解】（1）蘋果樹棵數(shù)：n2；針葉樹棵數(shù)：8n
（2）n2＝8n
n（n－8）＝0
n1＝8，n2＝0
n＞0，n＝0不合題，舍去。
n＝8
答：當(dāng)農(nóng)夫種的蘋果樹列數(shù)為8時，蘋果樹的數(shù)量會等于針葉樹的數(shù)量。
【點(diǎn)睛】這是一道找規(guī)律的題目，需要明確蘋果樹的數(shù)量，針葉樹的數(shù)量與蘋果樹的列數(shù)的關(guān)系。
16．（1）
＝5＋4
＝9；
＝6＋5
＝11
（2）100；99；199
2020；2019；4039
【分析】觀察可知，大正方形和空白正方形的邊長依次增加1，相鄰兩個數(shù)的平方的差等于這兩個數(shù)的和，據(jù)此分析。
【詳解】（1）
（2）根據(jù)上面的規(guī)律，完成下面的算式。
1002－992＝100＋99＝199
20202－20192＝2020＋2019＝4039
【點(diǎn)睛】數(shù)和圖形的規(guī)律是相對應(yīng)的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數(shù)的排列就有相應(yīng)的變化規(guī)律。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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