資源簡介

聚焦中考《一元二次方程》
一元二次方程及解法是中學數學的重要內容，與解法有關的問題更是中考的必考內容，為了幫助大家了解這部分知識在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基礎上“知彼”，現結合06年的中考試題將這部分知識考查情況歸納如下：
一、基礎篇
概念
例1、（鹽城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一個解，則m的值是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1
析解：本題考查了一元二次方程根的定義，按照根的定義首先將x=1代入該方程解得m=1，故選A。
點評：此類題求解一般將所給的解直接代入所給方程，從而轉化為解待定系數的方程。注意二次項的系數不為0。
一元二次方程的解法
配方法
例2、（淮安市）方程x2+4x=2的正根為（ ）
A．2- B．2+ C．-2- D．-2+
析解：由本方程的特點可知其不適合用因式分解法來解，用公式法也較繁瑣，適合用配方法來解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解這個方程得：x+2=±,x1=-2+,x2=-2-，由此可得這個方程的正根是-2+，故選D。
2、公式法：
例3、（福州市）解方程：x2+8x+1=0
析解：由題目的特點可知本題適宜用公式法來解，這里a=1，b=8，c=1，則b2-4ac=82-4×1×1=60,所以x===-4±,則x1=-4+,x2=-4-.
3、因式分解法
例4、（天門市）方程x（x+3）=（x+3）的根為（ ）
A、x1=1,x2=3 B、x1=1,x2=－3 C、x=1 D、x=－3
析解：本題等號的兩邊都有x+3，故知適合用因式分解法來解，原方程移項得：x（x+3）－（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=－3。
點評：解一元二次方程關鍵是方法的選擇。當一個方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時則適合用配方法；當方程的兩邊有公因式或易于寫成左邊是兩個因式的積右邊是0的形式時就可利用因式分解法來解。在上述兩種方法都很難求解的情況下可考慮利用公式法求解。注意用公式法求解時，應先將方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再確定a、b、c的值，同時還應明確其使用的前提是b2-4ac≥0.
三、“b2-4ac”的應用
例3、（北京市）若關于x得一元二次方程x2－3x＋m=0有實數根，則m的取值范圍是 。
析解：由一元二次方程根的判別式可知該方程有實數根時應有b2-4ac=9－4m≥0,由此求得m的取值范圍是m≤。
點評：此類題求解應明確一元二次方程根的判別式的根種情況是關鍵。再由方程根的情況解不等式或方程即可。
綜合篇
學科內綜合題
例4、（嘉興市）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的一個根，則這個三角形的周長是（ ）
（A）9 （B）11 （C）13 （D）11或13
析解：本題為一道關于三角形的三邊關系和一元二次方程的解法的綜合題，首先利用因式分解法求出這個方程的解x1=2，x2=4，再將其給出的三角形的兩邊組合，看其是否符合三角形的三邊關系，如符合，則保留，反之，則舍去，據此可知4是這個三角形的第三邊，則這個三角形的周長是13，故選C。
點評：此類題注意在求出方程的解后一定要利用三角形的三邊關系去檢驗，再確定三角形的周長。
創新篇
五、新運算規則題
例5、（蘭州市）在實數范圍內定義一種運算“※”，其規則為a※b=a2—b2，根據這個規則，方程（x+2）※5=0的解為 。
析解：本題為一道一元二次方程創新題，弄清題目規則是求解的關鍵，由規則（x+2）※5=0變為（x+2）2－52=0,將其因式分解得（x+2+5）（x+2-5）=0.解得x1=-7,x2=3.即這個方程的解為x1=-7,x2=3。
六、開放性試題
例6、（北京市海淀區）已知下列n（n為正整數）個關于x的一元二次方程：
x2－1=0 …… ①
x2+x－2=0…… ②
x2+2x－3=0 …… ③
……
x2+(n－1)x－n=0……
（1）請解上述一元二次方程①,②,③,……,；
（2）請你指出這n個方程的根具有什么不同特點，寫出一條即可。
析解：（1）上面幾個方程利用因式分解法可得其解分別為：
①；②；
③；。
（2）本題答案不唯一，觀察這些解不難得出其共同特點是：都有一個根為1；都有一個根為負整數；兩個根都是整數根等。
點評：此類題應對求出的解從多方面去觀察、分析和歸納，進而總結出其特點。
七、探究性試題
例7、（廣東省）將一條長為20㎝的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形。
（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17㎝2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？
（2）兩個正方形的面積之和可能等于12㎝2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。
析解：（1）不妨設剪成兩段后其中一段長為xcm，則另一段長（20-x）cm，則由題意得：（）2+（）2=17,解得x1=16,x2=4.（2）因（）2+（）2=12，整理得：x2-20x+104=0,b2-4ac=-16<0，則此方程無解，即不能剪成兩段使得面積為之和為12cm2.
點評：此類題一般先假設所探究的問題成立，再根據由此得出的方程是否有解去作說明。
一元二次方程的解法總析
湖北 謝勇 陳德宏
一元二次方程的基本解法包括：直接開平方法、配方法、公式法、分解因式法。直接開平方法和分解因式法，雖然簡便，但并非所有的方程都可采用。配方法適用于任何一個一元二次方程，但過程比較麻煩。而公式法是在配方法的基礎上，利用其導出的求根公式直接求解，比配方法簡單很多，但又不如直接開平方法和分解因式法快捷。那么，在解一元二次方程時，為了提高解題的速度和準確率，根據題目特點，如何選擇適當的方法就值得我們來歸納總結一番。下面就此結合具體實例進行闡述。
一、直接開平方法
例1：方程的解是（ ）
A． B． C． D．
解：兩邊開平方，得
∴
故選C。
小結：直接開平方法適合于解形如（≥0）形式的一元二次方程。
二、配方法
例2：解方程
解：在方程兩邊都加上（一次項系數的一半的平方），得
即
開平方，得
∴或
∴
小結：用配方法解一元二次方程的關鍵是通過配成完全平方式的方法，將方程轉化為的形式，這中間，轉化過程沒有一定的程序。配方法通常適用于二次項系數化為1后，一次項系數是偶數的一元二次方程。
三、公式法
例3：解方程
解：移項，得
∵
∴
即
小結：公式法的意義在于，對于任意的一元二次方程，只要將方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。實際解題過程中，通常是在上述四種方法中的其它三種不很好解時，再選用公式法。
四、分解因式法
例4：解方程
解：變形，得
移項，得
∴
∴或
∴
小結：當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就用分解因式的方法來解。分解因式法是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解，體現了一種“降次”的思想。
綜上所述，這四種方法各有其優點，我們在解一元二次方程時，選用它們的一般原則是：對于非（≥0）型的一元二次方程，首先看分解因式法是否可行，接著思考配方法，最后思量公式法。下面出示五個一元二次方程，請同學們選用適當的方法予以求解。
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸。
剖析一元二次方程的概念
湖北 劉黎明
一、一元二次方程的概念及剖析
1.定義 只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.剖析 從一元二次方程的定義可知,一元二次方程需具備以下三個條件:
(1)只含有一個未知數,即未知數有且只有一個.如果方程中未知數的個數多于1個,那么它就不是一元二次方程.
(2)未知數的最高次數是2,即未知數的最高次數不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次項或常數項,并沒有提出要求.因此,可將方程進行降冪排列,觀察未知數的最高次數是否為2.
(3)方程的兩邊是整式.整式是單項式和多項式的統稱.說明分母不能含有未知數,被開數不能含有未知數.
只要某個方程不符合以上三條中的一條,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定滿足以上三個條件.
3.注意 (1)判斷一個方程是否是一元二次方程,應以化簡后的結果為準.如化簡前含有未知數是2次的項,但是化簡后未知數最高次數是1,那它就不是一元二次方程.
(2)當方程中含有字母系數(又叫參數)時,應區分未知數和字母.如“關于x的方程……”,則表明x是未知數,而方程中其它字母均是常數.
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知數,“次”指未知數的最高次數.
4.典例 例1 下列方程中,關于x的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x+1) B.=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-1
解:因B中的分母含有未知數,所以它不是一元二次方程.C中字母a沒有強調不為0,若a=0,則C中未知數的最高次數低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化簡后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三個條件.故選A.
例2 方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
解:由于一元二次方程中未知數的最高次數是2,所以|m|=2,即m=±2.但當m=-2時,原方程變為-6x+1=0,它是一元一次方程,不合題意,舍去.當m=2時,原方程變為4x2+6x+1=0,它是一元二次方程,故選B.
二、與一元二次方程的相關概念及剖析
1.概念 把方程化成形式ax2+bx+c=0(a≠0),這種形式叫一元二次方程的一般形式.
2.剖析 (1)一元二次方程的一般形式是將方程變形和整理后的一種很有規律的表達形式,它的左邊是未知數的二次三項式的降冪排列,且其中a通常寫成大于0的形式,而右邊是0.
(2)當一元二次方程化成一般形式后,左邊的三個單項式ax2,bx,c分別叫做二次項,一次項和常數項;且常數a,b分別叫二次項系數和一次項系數.
(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基礎.
3.典例 例3 把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項,二次項系數,一次項,一次項系數及常數項.
解:原方程化為一般形式是:5x2+8x-2=0(若寫成-5x2-8x+2=0,則不符合人們的習慣),其中二次項是5x2,二次項系數是5,一次項是8x,一次項系數是8,常數項是-2(因為一元二次方程的一般形式是三個單項式的和,所以不能漏寫單項式系數的負號).
解讀一元二次方程中的
材 料 閱 讀 題
四川 侯國興
材料閱讀題是近年來中考的熱點題型，旨在考查學生的自學能力、探究能力以及類比創新能力等。本文將涉及一元二次方程知識的材料閱讀題采擷數例，供學習鑒賞。
一.規律探究型
例1（北京海淀） 已知下列n（n為正整數）個關于x的一元二次方程：

（1）請解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；
（2）請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可。
【解讀】：只要準確地解答出所給的四個已知方程，就不難求解第（2）小題。而在解（四個）已知方程時，同學們可利用公式法求解，但若能將左邊分解因式解之，則不失為一種快捷方法。
【解答】：（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
，所以
（2）比如：共同特點是：都有一個根為1；都有一個根為負整數；兩個根都是整數根等。
二.解題方法型
例2（晉江）.閱讀下面的例題：
解方程：
解：（1）當時，原方程化為：，
解得 （不合題意，舍去）
（2）當時，原方程化為：
解得： （不合題意，舍去），
所以， 原方程的根是：。
請參照例題解方程：，則此方程的根是_______.
【解讀】：根據范例提供的信息可知，求解這類一次項帶有絕對值符號的一元二次方程的策略是：先利用分類思想（分絕對值符號內的式子大于等于零與小于零兩種情形討論）去掉絕對值符號，再解之。
【解答】：（1）當 即時，原方程可化為：
解得（這都與矛盾，因此應舍去）
（2）當，即時，原方程可化為：
解得：
因此，原方程的根是
三.結論猜想型
例3 (廣東茂名).先閱讀,再填空解題:
方程的根是, 則.
方程的根是, 則
方程的根是____,_____,則____,=_____.
根據以上(1) (2) (3)你能否猜出:
如果關于的一元二次方程,且、、為常數）的兩個
實數根是、，那么與與系數有什么關系？請寫出你的猜想并說明理由。
【解讀】：仔細觀察題中每一個方程的和、積與系數的關系，就容易得出結論：“若方程的兩實數根是、，則，”。這是一個十分重要的結論，在解決涉及一元二次方程的根與系數的關系的許多題目都要用到它。同學們將在高中專門學習之，其結論的證明需用到分式的計算知識。
【解答】：（3）， ，
猜想： ，
理由：因為 一元二次方程且、、為常數）的兩個實數根是：
，
所以 =‘

。

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