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解讀課本中的數(shù)學(xué)思想
四川 侯國(guó)興
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”.由此可知，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已把基本的數(shù)學(xué)思想方法作為學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)要求.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，并具體地體現(xiàn)在解決問(wèn)題的不同方法中，掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法遠(yuǎn)比掌握一般的數(shù)學(xué)知識(shí)有用的多.通過(guò)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)進(jìn)一步理解和感受以下幾種數(shù)學(xué)思想方法：
一.方程思想.
所謂方程思想就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量
之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問(wèn)題得到解決的思維方法.方程知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，理解方程思想并應(yīng)用于解題當(dāng)中十分重要.課本中第6章、第7章列一次方程（組）解應(yīng)用題就是方程思想的具體應(yīng)用.
例1.一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
分析:根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.
解答:設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程：
解得
所以，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9
評(píng)注：對(duì)方程思想的考查主要有兩個(gè)方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（組）解決代數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題.
二.數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，每個(gè)幾何圖形中都要蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述.數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識(shí)相互轉(zhuǎn)化、相互利用的一種解題思想. 在一元一次不等式（組）中，用數(shù)軸表示不等式的解集就是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).
例2.求不等式組的自然數(shù)解.
分析:欲求不等式組的自然數(shù)解,一般思路是先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集,從而進(jìn)一步求出問(wèn)題的答案.
解答:解不等式得
解不等式得
所以,原不等式組的解集是,其解集在數(shù)軸上表示如圖1所示

圖1
所以,其自然數(shù)解為0、1、2.
評(píng)注：自然數(shù)也就是非負(fù)整數(shù)，在這里易漏掉0.
三.分類討論思想
分類討論思想就是要針對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的共性與差異性，將其區(qū)分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學(xué)生思維的全面性與嚴(yán)謹(jǐn)性.要做到成功分類，需注意兩點(diǎn)：一是要有分類意識(shí)，善于從問(wèn)題的情境中抓住分類對(duì)象；二是找出科學(xué)合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，滿足不重不漏的原則.
例3.等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其中一條邊的長(zhǎng)是6，求另兩條邊的長(zhǎng).
分析:由于已知的“一條邊的長(zhǎng)是6”，未告之是腰長(zhǎng),還是底邊長(zhǎng),所以應(yīng)分類討論求解.
解答：(1)當(dāng)周長(zhǎng)為16，腰長(zhǎng)為6時(shí),該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長(zhǎng)為6，另一條邊為底邊，長(zhǎng)為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4；
(2)當(dāng)周長(zhǎng)為16，底邊長(zhǎng)為6時(shí),該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長(zhǎng)為（16-6）÷2=5，即另兩邊長(zhǎng)為5、5.
評(píng)注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問(wèn)題時(shí)，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解.
四.轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思維方法.轉(zhuǎn)化思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要的基本思想，就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”，把一個(gè)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問(wèn)題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等等.
例4.在一個(gè)多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有幾個(gè)是銳角？
分析：由于任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角的和等于，所以若內(nèi)角為銳角，則其外角為鈍角，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多邊形的外角中最多有幾個(gè)鈍角就十分簡(jiǎn)捷。
解答：因?yàn)? 多邊形的外角和為
所以 多邊形的外角中最多有3個(gè)鈍角，
所以 多邊形的內(nèi)角中最多有3個(gè)銳角。
評(píng)注：此題充分體現(xiàn)了結(jié)論與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化.
五.整體思想
研究某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往不是以問(wèn)題的某個(gè)組成部分為著眼點(diǎn)，而是有意識(shí)放大考查問(wèn)題的視角，將要解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達(dá)到順利而又簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題的目的，這就是整體思想.
例5.已知某個(gè)三角形的周長(zhǎng)為18㎝，其中兩條邊的長(zhǎng)度和等于第三條邊長(zhǎng)度的2倍，而它們的差等于第三條邊長(zhǎng)度的，求這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).
分析：三角形有三條邊，題目中有三個(gè)條件，此題需設(shè)三角形的三邊為未知數(shù)，列方程
組解答.
解答：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，（）則依題意得：

將（2）整體代入（1），得，解得
再將代入（2）、（3）得：
解這個(gè)方程組得
因此，所求三角形的三邊長(zhǎng)為7、5、6.
評(píng)注：所列方程組為三元一次方程組，在求解這個(gè)方程組時(shí)，將（2）整體代入（1），
立即可求出C的大小，使得求解、就變得十分簡(jiǎn)單.這種整體代入、整體加減的整體數(shù)學(xué)思想在整式、方程（組）、不等式（組）和有關(guān)幾何圖形的計(jì)算中經(jīng)常用到。
六.對(duì)稱思想
數(shù)學(xué)家赫爾曼外爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：對(duì)稱是一種思想，通過(guò)它，人們畢生追求并創(chuàng)造次序、
美麗和完善……”.利用對(duì)稱思想，同學(xué)們可較簡(jiǎn)單地進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)并能解決一些有關(guān)對(duì)稱的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
例6.用四塊如圖2所示的瓷磚拼成一個(gè)正方形，形成軸對(duì)稱的圖案，和你的同伴比一比，看誰(shuí)的拼法多.
分析：抓住軸對(duì)稱圖形的定義即沿著某條直線對(duì)折，兩旁的部分能夠完全重合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).此題的答案不唯一.
解答：如圖3所示.

圖2 圖3
評(píng)注：（1）在圖3中，黑、白顏色可互換；（2）生活中存在著大量的對(duì)稱現(xiàn)象，大到宇宙空間的星體，小到微觀世界的原子，精致的藝術(shù)珍寶，尖端科學(xué)中的基因工程，都可以找到圖形對(duì)稱的素材.
熱身練習(xí)：
1(2007年吉林省) ．某商店在一次促銷活動(dòng)中規(guī)定：消費(fèi)者消費(fèi)滿200元或超過(guò)200元就可享受打折優(yōu)惠．一名同學(xué)為班級(jí)買獎(jiǎng)品，準(zhǔn)備買6本影集和若干支鋼筆．已知影集每本15元，鋼筆每支8元，問(wèn)他至少買多少支鋼筆才能打折？
2(2006吉林省)如圖4.在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù).
（1）在圖4（1）中各行、各列和對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相等，請(qǐng)你求出的值；

（1） 圖4 （2）
（2）把滿足圖4（1）的其他6個(gè)數(shù)填入圖4（2）中的方格內(nèi).
3（2007年成都市）解不等式組并寫出該不等式組的整數(shù)解
4（2007年杭州市）．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于，則這個(gè)三角形的三個(gè)角應(yīng)該為　　　　　
5（2007年重慶市）已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）
A． B． C．或 D．
6（2006年天津市）如圖5，P、Q是的邊BC上的兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則的大小等于________.
圖5
7.（2007年山西省）如圖6，直線是一條河，兩地相距8千米，兩地到的距離分別為2千米，5千米，欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，向兩地供水．現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（　　）
8（2007年山西省）若則
9（2007年青海省）已知二元一次方程組則的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
10（2007年資陽(yáng)市）如圖7，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于( )
A. 90° B. 135°
C. 270° D. 315°
11（2007年樂(lè)山市）認(rèn)真觀察圖8的4個(gè)圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)寫出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征．
特征1：_________________________________________________；
特征2：_________________________________________________．
（2）請(qǐng)?jiān)趫D9中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征

熱身練習(xí)答案：
1設(shè)每千克西紅柿元，每千克茄子元．根據(jù)題意，得解得 答：每千克西紅柿元，每千克茄子元.
2（1）由已知條件得 解得，（2）略 ）
3. 原不等式組的整數(shù)解是．
4.、、或、、.（提示：分的角是底角的外角與頂角的外角兩種情形考慮）
5 C.（提示：分頂角與底角的度數(shù)比為與分底角與頂角的度數(shù)比為兩種情形解答）
6. ；
7 B. （提示：此題為一基本作圖題，解決這類問(wèn)題的方法是將直線同側(cè)的某點(diǎn)通過(guò)軸對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化到的另一側(cè)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”予以解決.在這里即是作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)M，則在點(diǎn)M處修建水泵站可使鋪設(shè)的管道最短.）
8.5；（提示：將兩方程整體相加得，所以）
9.-1；（提示：將方程組中下面的一個(gè)方程減去上面的一個(gè)方程立即得）
10. C （提示：因?yàn)椋裕钟伞八倪呅蔚膬?nèi)角和等于”知：，所以=.這里我們沒(méi)有分別求出、各等于多少度，而是視∠1+∠2為一個(gè)整體，通過(guò)四邊形的內(nèi)角和等于及已知條件整體求出其結(jié)果.）
11.（1）特征1：都是軸對(duì)稱圖形；特征2：這些圖形的面積都等于4個(gè)單位面積；等；
（2）滿足條件的圖形有很多，如下圖所示：

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