資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學七年級上冊第6章圖形的初步知識（解析版）
6.5角與角的度量
【知識重點】
1.從靜態角度認識角：如圖(1)有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊.
2.從動態角度認識角：如圖(2)角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊.
3.角的表示：角的表示法：角的符號為“∠”.
①用三個字母表示，頂點的字母必須放在中間，如圖(3)所示∠AOB或∠BOA；
②用一個字母表示，在這個頂點上只有一個角，如圖(3)所示∠A；
③用一個數字表示，在要表示的角的內部畫弧線，如圖(4)所示∠1；
④用希臘字母表示，在要表示的角的內部畫弧線，如圖(4)所示∠α.
4.角的性質：
①因為射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它的邊長無關；
②角的大小可以度量.
③角可以參與運算.
5.角的基本度量單位:度“°”、分“′”、秒“″”.
6.角度數的換算：1°=60′，1′=60″.注意：相同單位逢十進一，不同單位的逢六十進一.
7.平角：如圖(5)射線OA繞點O旋轉，當終邊OB在始邊OA成一條直線時，所成的角叫做平角，一個平角等于180°；
8.周角：如圖(6)射線OA繞點O旋轉，當終邊OB與始邊OA再次重合時所成的角叫做周角，一個周角等于360°.
【經典例題】
【例1】下列圖形中，能用，，三種表示方法表示同一個角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、能用，，三種表示同一個角，故符合題意；
B、能用，兩種表示同一個角，故不符合題意；
C、∠AOB，不能表示表示同一個角，故不符合題意；
D、能用，兩種表示同一個角，故不符合題意；
故答案為：A.
【例2】如圖，是直線，是直線上一點，、是兩條射線，則圖中小于平角的角有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【解析】圖中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5個.
故答案為：C
【例3】 如圖，用量角器測量，可讀出的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由量角器可得： 的度數為115°，
故答案為：115°.
【例4】如圖，在內，從圖（1）的頂點畫條射線，圖中共有3個角；從圖（2）頂點畫2條射線，圖中共有6個角，按這樣規律繼續下去，若從頂點畫29條射線，則圖中共有（　　）個角.
A．465 B．450 C．425 D．300
【答案】A
【解析】在∠AOB內，從圖（1）的頂點O畫1條射線，圖中共有1+2=3個角；
從圖（2）頂點O畫2條射線，圖中共有1+2+3=6個角；
……
若從角的頂點畫n條射線，圖中共有個角；
∴從角的頂點畫29條射線，圖中共有個角；
故答案為：A.
【例5】如圖所示，圖中能用一個大寫字母表示的角是　 　；以A為頂點的角有　 　個，它們分別是　 　.
【答案】∠B，∠C；6個；∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB
【解析】能用一個大寫字母表示的角是∠B，∠C；
以點A為頂點的角為∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB，一共6個；
故答案為：∠B，∠C，6，∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB
【例6】度分秒轉換：32.6°=　 　°　 　′；
【答案】32；36
【解析】∵0.6°=0.6×60′=36′
∴32.6°=32°36′.
故答案為：32，36
【例7】 根據下圖回答下列問題：
（1）∠1表示成∠A，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個字母表示？
（3）以A為頂點的角有幾個？請表示出來．
（4）∠ADC與∠ACD是同一個角嗎？請說明理由．
【答案】（1）解：不正確，以 A為頂點的角有3個，故不能用∠A表示，可表示為∠DAC或∠CAD；
（2）解：圖中∠B可以用一個字母表示；
（3）解：以A為頂點的角有3個，分別是∠BAC，∠BAD，∠DAC；
（4）解：不是同一個角，因為這兩個角的頂點不同．
【例8】計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【基礎訓練】
1．下列兩條射線能正確表示一個角的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、此圖形中的兩條射線不能表示一個角，故A不符合題意；
B、此圖形中的兩條射線不能表示一個角，故B不符合題意；
C、此圖形中的兩條射線能表示一個角，故C符合題意；
D、此圖形中的兩條射線不能表示一個角，故D不符合題意；
故答案為：C
2．圖中小于平角的角有（　　）
A．10個 B．9個 C．8個 D．4個
【答案】B
【解析】小于平角的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，
一共有9個.
故答案為：B
3．拿一個能放大4倍的放大鏡看一個1°的角，則這個角為（　　）
A． B． C． D．不能確定，視放大鏡的距離而定
【答案】A
【解析】拿一個能放大4倍的放大鏡看一個1°的角，則這個角為1°.
故答案為：1
4．如圖，下列說法中錯誤的是（　　）
A．與是同一個角 B．與是同一個角
C．可以用來表示 D．圖中共有三個角：，，
【答案】C
【解析】A、∠1與表示的是同一個角，故A不符合題意；
B、與是同一個角，故B不符合題意；
C、以O為頂點的角一共有三個，不能用一個頂點字母表示，故C符合題意；
D、由圖可知，圖中共有三個角：，，，故D不符合題意．
故答案為：C．
5．用度、分、秒表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
故答案為：D．
6．如圖，利用量角器測量角，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據量角器可得，∠1=150°，
故答案為：A.
7．下面所標注的四個角中最大的角是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、為鈍角，大于90°；B、為銳角，大于0°小于90°；
C、為直角，等于90°；D、為平角，等于180°．
∴最大的角為平角．
故答案為：D．
8．　 　°.
【答案】12.3
【解析】，
故答案為：.
9．角度表示　 　．
【答案】30.16°
【解析】30°9′36″=30°+9′+（36÷60）′=30°+9.6′=30°+（9.6÷60）°=30°+0.16°=30.16°.
故答案為：30.16°.
10．如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數為　 　，∠AOB的余角的度數為　 　．
【答案】55°或55度；125°或125度
【解析】看量角器內圈的數字可讀出∠AOB的度數為55°
∠AOB的余角的度數為：90°-55°=35°；
故答案為：35°
11．（1）把47.43°化成度、分、秒．
（2）把65°28′45″化成度．
【答案】（1）解：47.43°=47°+0.43°，0.43°=0.43×60′=25.8′，0.8′=0.8×60″=48″，所以47.43°=47°25′48″
（2）解：65°28′45″=65°28′+（45÷60）′=65°+（28.75÷60）°=65°+0.479°=65.479°
12．計算：
（1） .（2） .
（3） .（4） .
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=110°90′ =111°30′
（3）解：原式
（4）解：原式=
【培優訓練】
13．下列計算中，錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 0.25°=0.25×3600″=900″，故A不符合題意；
B、125.45°= 747′，故B符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故答案為：B
14．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，則∠α+∠β和∠β-∠α的大小分別為（　　）
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40" C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40”
【答案】A
【解析】∵∠α=37°49'40" ，∠β=52°10'20"，
∴∠α+∠β=37°49'40"+52°10' 20"=89°59'60"=89°60'=90°，
∠β-∠α= 52°10'20"-37°49'40"=51°69'80"-37°49'40"=14°20'40"．
故答案為：A.
15．下列各角中，屬于鈍角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．直角 D．直角
【答案】B
【解析】A、 ∵×360°=90°，∴周角是直角，故A不符合題意；
B、∵×180°=150°，∴平角是鈍角，故B符合題意；
C、∵×90°=60°，∴直角是銳角，故C不符合題意；
D、∵×90°=30°，∴直角是銳角，故D不符合題意；
故答案為：B
16． 如圖所示，用量角器度量三角形ABC的各個角．
（1）度量得∠A=　 　，∠B=　 　，∠C=　 　
（2）計算：∠A+∠B+∠C=　 　
【答案】（1）30°；25°；125°
（2）180°
【解析】（1）根據量角器即可量出三個角的度數分別為30°，25°，125°；
故答案為：30°，25°，125°；
（2）.
故答案為：180°.
17．觀察下圖，回答下列問題.
（1）在∠AOB內部任意畫1條射線OC，則圖①中有　 　個不同的角；
（2）在∠AOB內部任意畫2條射線OC，OD，則圖②中有　 　個不同的角；
（3）在∠AOB內部任意畫3條射線OC，OD，OE，則圖③中有　 　個不同的角；
（4）在∠AOB內部任意畫10條射線OC，OD，…，則共形成　 　個不同的角.
【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66
【解析】（1）在∠AOB內部任意畫1條射線OC，則圖①中的角有∠AOC，∠AOB，∠COB，一共3個.故答案為：3
（2）在∠AOB內部任意畫2條射線OC，OD，則圖②中有∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB，一共3+2+1=6個，
故答案為：6
（3）在∠AOB內部任意畫3條射線OC，OD，OE，則圖③中的角的個數為4+3+2+1=10個
故答案為：10
（4）在∠AOB內部任意畫10條射線OC，OD，…，則共形成角的個數為11+10+…+1=（11+1）×11=66.故答案為：66
18． 把一副三角尺按下圖所示的方式拼在一起．
（1）寫出圖中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度數．
（2）用“<”將上述各角連接起來．
【答案】（1）∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD= 150°，∠D=45°，∠AED=135°．
（2）∠A<∠D<∠B<∠AED<∠BCD．
【解析】（1）∵是一副三角尺，∴∠A=30°，∠B=90°，∠ACB=60°，∠ECD=90°，∠CED=∠D=45°，
∴∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD=60°+90°=150°，∠D=45°，∠AED=180°-45°=135°；
故答案為：∠A=30°，∠B=90°，∠ BCD= 150°，∠D=45°，∠AED=135°．
（2）∵∠A=30°，∠D=45°，∠B=90°，∠AED=135°，∠ BCD= 150°，
∴∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．
故答案為：∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．
【直擊中考】
19．用量角器測得∠MON的度數，下列操作正確的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】量角器的圓心一定要與O重合，
故選C．
20．計算：50°﹣15°30′=　 　．
【答案】34°30′
【解析】原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．
故答案為：34°30′．
21．把15°30′化成度的形式，則15°30′=　 　度．
【答案】15.5
【解析】∵30′=0.5度，
∴15°30′=15.5度；
故答案為：15.5．
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6.5角與角的度量
【知識重點】
1.從靜態角度認識角：如圖(1)有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊.
2.從動態角度認識角：如圖(2)角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊.
3.角的表示：角的表示法：角的符號為“∠”.
①用三個字母表示，頂點的字母必須放在中間，如圖(3)所示∠AOB或∠BOA；
②用一個字母表示，在這個頂點上只有一個角，如圖(3)所示∠A；
③用一個數字表示，在要表示的角的內部畫弧線，如圖(4)所示∠1；
④用希臘字母表示，在要表示的角的內部畫弧線，如圖(4)所示∠α.
4.角的性質：
①因為射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它的邊長無關；
②角的大小可以度量.
③角可以參與運算.
5.角的基本度量單位:度“°”、分“′”、秒“″”.
6.角度數的換算：1°=60′，1′=60″.注意：相同單位逢十進一，不同單位的逢六十進一.
7.平角：如圖(5)射線OA繞點O旋轉，當終邊OB在始邊OA成一條直線時，所成的角叫做平角，一個平角等于180°；
8.周角：如圖(6)射線OA繞點O旋轉，當終邊OB與始邊OA再次重合時所成的角叫做周角，一個周角等于360°.
【經典例題】
【例1】下列圖形中，能用，，三種表示方法表示同一個角的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】如圖，是直線，是直線上一點，、是兩條射線，則圖中小于平角的角有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【例3】如圖，用量角器測量，可讀出的度數為（　　）
A． B． C． D．
【例4】如圖，在內，從圖（1）的頂點畫條射線，圖中共有3個角；從圖（2）頂點畫2條射線，圖中共有6個角，按這樣規律繼續下去，若從頂點畫29條射線，則圖中共有（　　）個角.
A．465 B．450 C．425 D．300
【例5】如圖所示，圖中能用一個大寫字母表示的角是　 　；以A為頂點的角有　 　個，它們分別是　 　.
【例6】度分秒轉換：32.6°=　 　°　 　′；
【例7】 根據下圖回答下列問題：
（1）∠1表示成∠A，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應該怎樣改正？
（2）圖中哪個角可以用一個字母表示？
（3）以A為頂點的角有幾個？請表示出來．
（4）∠ADC與∠ACD是同一個角嗎？請說明理由．
【例8】計算：
（1）； （2）．
【基礎訓練】
1．下列兩條射線能正確表示一個角的是（　　）
A． B． C． D．
2．圖中小于平角的角有（　　）
A．10個 B．9個 C．8個 D．4個
3．拿一個能放大4倍的放大鏡看一個1°的角，則這個角為（　　）
A． B． C． D．不能確定，視放大鏡的距離而定
4．如圖，下列說法中錯誤的是（　　）
A．與是同一個角 B．與是同一個角
C．可以用來表示 D．圖中共有三個角：，，
5．用度、分、秒表示為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，利用量角器測量角，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
7．下面所標注的四個角中最大的角是（　　）
A． B． C． D．
8．　 　°.
9．角度表示　 　．
10．如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數為　 　，∠AOB的余角的度數為　 　．
11．
（1）把47.43°化成度、分、秒． （2）把65°28′45″化成度．
12．計算：
（1） . （2） . （3） . （4） .
【培優訓練】
13．下列計算中，錯誤的是（　　）
A． B． C． D．
14．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，則∠α+∠β和∠β-∠α的大小分別為（　　）
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40" C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40”
15．下列各角中，屬于鈍角的是（　　）
A．周角 B．平角 C．直角 D．直角
16． 如圖所示，用量角器度量三角形ABC的各個角．
（1）度量得∠A=　 　，∠B=　 　，∠C=　 　
（2）計算：∠A+∠B+∠C=　 　
17．觀察下圖，回答下列問題.
（1）在∠AOB內部任意畫1條射線OC，則圖①中有　 　個不同的角；
（2）在∠AOB內部任意畫2條射線OC，OD，則圖②中有　 　個不同的角；
（3）在∠AOB內部任意畫3條射線OC，OD，OE，則圖③中有　 　個不同的角；
（4）在∠AOB內部任意畫10條射線OC，OD，…，則共形成　 　個不同的角.
18． 把一副三角尺按下圖所示的方式拼在一起．
（1）寫出圖中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度數．
（2）用“<”將上述各角連接起來．
【直擊中考】
19．用量角器測得∠MON的度數，下列操作正確的是（　　）
A． B．C．D．
20．計算：50°﹣15°30′=　 　．
21．把15°30′化成度的形式，則15°30′=　 　度．
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