資源簡介

3.1.2　函數的表示法
第1課時　函數的表示法
【學習目標】
　　理解函數的表示法:(1)知道解析法、圖象法與列表法是函數表示的三種常用方法,但函數的表示不局限于這三種表示法,并能說明不是任意函數都可以用解析法、圖象法與列表法表示;(2)對于具體函數,能選擇適當的方法將其表示出來;(3)對一些簡單函數,能根據函數的解析式畫出函數圖象.
◆ 知識點　函數的三種表示方法
1.函數的三種表示方法
表示法 定　義
解析法 用　　　　　　表示兩個變量之間的對應關系
列表法 列出　　　　來表示兩個變量之間的對應關系
圖象法 用　　　　表示兩個變量之間的對應關系
2.三種表示方法的優缺點比較
優　點 缺　點
解析法 一是簡明、全面地概括了變量間的關系;二是可以通過解析式求出任意一個自變量所對應的函數值 不夠形象、直觀,而且并不是所有的函數都可以用解析法表示
列表法 不通過計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值 它只能表示自變量取較少的有限值的對應關系
圖象法 直觀形象地表示出函數的變化情況,有利于通過圖形研究函數的某些性質 只能近似地求出自變量所對應的函數值,有時誤差較大
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)任何一個函數都可以用圖象法表示. (　 )
(2)函數的圖象一定是其定義域上的一條連續不斷的曲線. (　 )
(3)函數f(x)=x+1與g(x)=x+1(x∈N)的圖象相同. (　 )
(4)若f(x+1)=3x+2,則f(x)=3x-1. (　 )
(5)函數f(x)=3x-1,x∈[1,5]的圖象是直線. (　 )
◆ 探究點一　函數的表示方法
例1 某商場新進了10臺彩電,每臺售價3000元,試求該彩電的銷售量x(臺)與收款額y(元)之間的函數關系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.
變式 已知函數f(x),g(x)分別由下表給出:
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能滿足g[f(x)]A.3 B.4
C.5 D.7
[素養小結]
理解函數表示法的三個要點:
(1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示法,無論是哪種方法表示函數,都必須滿足函數的概念.
(2)列表法更直觀形象,圖象法從形的角度描述函數,解析法從數的角度描述函數.
(3)函數的三種表示法互相兼容或補充,許多函數是可以用三種方法表示的,但在實際操作中,仍以解析法為主.
◆ 探究點二　函數的圖象
例2 作出下列函數的圖象.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 作出下列函數的圖象:
(1) y=|x+3|;
(2)y=
[素養小結]
1.一般地,作函數圖象有以下三個步驟:
(1)列表.(2)描點.(3)連線.
2.作函數圖象時應注意以下幾點:
(1)在定義域內作圖;
(2)圖象是實線或實點,定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象;
(3)要標出某些關鍵點,例如圖象的頂點、端點和與坐標軸的交點等.要分清這些關鍵點是實心點還是空心點.
拓展 已知一對變量x,y滿足圖3-1-2中的函數關系.請你編寫一個問題情景,使問題中出現的變量x,y滿足圖中的函數關系.
圖3-1-2
◆ 探究點三　函數解析式的求法
角度一　待定系數法求解析式
例3 (1) 設f(x)為一次函數,且f[f(x)]=4x-1.若f(3)=-5,則f(x)的解析式為 (　 )
A.f(x)=2x-或f(x)=-2x+1
B.f(x)=-2x+1
C.f(x)=2x-
D.f(x)=2x+1
(2) 已知f(x)為二次函數,且滿足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,則f(x)的解析式為 (　 )
A.f(x)=-2x2-2x+1
B.f(x)=-2x2+2x+1
C.f(x)=-2x2-2x-1
D.f(x)=2x2-2x+1　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)已知f(x)為二次函數,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,則f(x)=　　　　　　　.
(2) [2023·杭州十四中高一期末] 若函數f(x)為一次函數,且f(x+1)=f(x)-2,f(1)=0,則函數f(x)的解析式為　　　　　 .
[素養小結]
已知函數f(x)的類型,如是一次函數、二次函數等,即可設出f(x)的解析式,再根據條件列方程(組),通過解方程(組)求出待定系數,進而求出函數解析式.　　　　　 　　　　　 　　　　　
角度二　換元法(或配湊法)求解析式
例4 (1)已知函數f(x)滿足f(x-1)=,則函數f(x)的解析式為　　　　　　.
(2)已知f(+1)=x+2,則f(x)的解析式為　　　　　.
變式 (1)已知f(+1)=2x+3,求f(x).
(2)已知f(x+2)=2x+3,求f(x).
[素養小結]
已知f[g(x)]=h(x)求f(x)的解析式,常用的方法有兩種:
(1)換元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)得到一個含t的解析式,即為函數f(x)的解析式,注意換元后新元的取值范圍.
(2)配湊法,即從f[g(x)]的解析式中配湊出“g(x)”,即用g(x)來表示h(x),然后將解析式中的g(x)用x代替即可得f(x)的解析式.注意g(x)的取值范圍即為f(x)的定義域.
角度三　方程組法求函數解析式
例5 (1)已知函數f(x)滿足2f(x)+f(-x)=3x+4,則f(x)=　　　　.
(2)已知函數f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)=2f·-1,求f(x)的解析式.
變式 (1)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)-2f=3x+2,求f(x)的解析式.
[素養小結]
已知f(x)與f或f(-x)之間的關系式,可根據已知條件再構造出另外一個等式構成方程組,通過解方程組求出f(x).
3.1.2　函數的表示法
第1課時　函數的表示法
【課前預習】
知識點
1.解析式　表格　圖象
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　[解析] (1)有些函數是不能畫出圖象的,如f(x)=
(2)如f(x)=的圖象就不是連續的曲線.
(3)兩函數的定義域不同,則圖象不同.
(4)因為f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(5)y=3x-1為一次函數,其圖象是一條直線,因為f(x)的定義域為[1,5],所以f(x)的圖象為線段.
【課中探究】
探究點一
例1　解:列表法:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 3000 6000 9000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
圖象法:
解析法:y=3000x,x∈{1,2,3,…,10}.
變式　C　[解析] 對于A,當x=3時,f(3)無意義,故A不符合題意;對于B,當x=4時,f(4)=7,而g[f(4)]=g(7)無意義,故B不符合題意;對于C,當x=5時,f(5)=6,g(5)=5,∴g[f(5)]=g(6)=4,f[g(5)]=f(5)=6,則g[f(5)]探究點二
例2　解:(1)列表:
x 0 1 2
y 1 3 5
描點、連線,y=2x+1,x∈[0,2]的圖象如圖所示.
(2)列表:
x 2 3 4
y 1
描點、連線,y=,x∈[2,+∞)的圖象如圖所示.
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
描點、連線,y=x2+2x,x∈[-2,2]的圖象如圖所示.
變式　解:(1)y=|x+3|的定義域為R,列表:
x -4 -3 -2 -1 0
y 1 0 1 2 3
描點、連線,y=|x+3|的圖象如圖所示.
(2)函數的圖象是兩段拋物線與一點,列表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 0 -1 0 0 0 1 0
描點、連線,函數的圖象如圖所示.
拓展　解:李老師從距離學校12千米的圖書館騎電動自行車去學校,前6分鐘以不變的速度走了2千米,遇到同事交談了2分鐘后加快速度勻速趕往學校,總共用了28分鐘到達學校.x(分鐘)表示李老師出發后的時間,y(千米)表示李老師與學校的距離.
探究點三
例3　(1)B　(2)A　[解析] (1)設f(x)=kx+b,其中k≠0,則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+(kb+b)=4x-1,所以解得或當k=-2時,f(x)=-2x+1,此時f(3)=-5,符合題意;當k=2時,f(x)=2x-,此時f(3)=,不符合題意.綜上所述,f(x)=-2x+1.故選B.
(2)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因為f(0)=1,所以c=1,又f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+1-(ax2+bx+1)=4x,即-2ax+a-b=4x,故解得a=b=-2,則f(x)的解析式為f(x)=-2x2-2x+1.故選A.
變式　(1)x2-2x-1　(2)f(x)=-2x+2　[解析] (1)設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,則解得故f(x)=x2-2x-1.
(2)設f(x)=kx+b,k≠0,∵f(x+1)=f(x)-2,∴k(x+1)+b=kx+b-2,得k=-2,又f(1)=b-2=0,∴b=2,故f(x)=-2x+2.
例4　(1)f(x)=(x≠-2)　(2)f(x)=x2-1(x≥1)　[解析] (1)令t=x-1,則x=t+1,∴f(t)==(t≠-2),∴f(x)的解析式為f(x)=(x≠-2).
(2)f(+1)=x+2=(+1)2-1,令t=+1≥1,則f(t)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).
變式　解:(1)令t=+1≥1,則x=(t-1)2,所以f(t)=2(t-1)2+3=2t2-4t+5(t≥1),故f(x)=2x2-4x+5(x≥1).
(2)因為f(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以f(x)=2x-1.
例5　(1)3x+　[解析] ∵2f(x)+f(-x)=3x+4①,∴2f(-x)+f(x)=-3x+4②,由①②可得f(x)=3x+.
(2)解:在f(x)=2f·-1中,用代替x,得f=2f(x)·-1.
由消去f得f(x)=+(x>0).
變式　解:(1)在已知等式中,用-x替換x,得af(-x)+f(x)=-bx,
由消去f(-x),得f(x)=,故f(x)的解析式為f(x)=x.
(2)在已知等式中,用替換x,得f-2f(x)=+2,
由消去f,得f(x)=-x--2,故f(x)的解析式為f(x)=-x--2(x≠0).

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