資源簡(jiǎn)介

抽象函數(shù)問題的“原型”解法
抽象函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法。
所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一。研究抽象函數(shù)問題的解法，對(duì)教師的教學(xué)，學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)好大綱規(guī)定的基本函數(shù)知識(shí)顯得尤為重要。
抽象來源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的。如有可抽象為。那么=就叫做抽象函數(shù)滿足的“原型”（函數(shù)），分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，一般均是由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類（基本）“原型”函數(shù)，并由“原型”函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問題獲解的，稱這種解抽象函數(shù)問題的方法為“原型”解法。下面給出中學(xué)階段常用的“原型”（函數(shù)）并舉例說明“原型”解法。
一、中學(xué)階段常用抽象函數(shù)的“原型”（函數(shù)）
1、——(為常數(shù)）
2、——=（＞0且≠1）
3、—— (＞0且≠1)
4、——(為常數(shù)）
5、或
－－=(為常數(shù)）
6、－－=
二、“原型”解法例析
設(shè)函數(shù)滿足，且()=0，、∈R；求證：為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期。
分析與簡(jiǎn)證：由
想：=2coscos
原型：=，為周期函數(shù)且2π為它的一個(gè)周期。
猜測(cè)：為周期函數(shù)，2π為它的一個(gè)周期
令=+，= 則=0
∴
∴為周期函數(shù)且2π是它的一個(gè)周期。
已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。
分析與略解：由
想：(+)=
原型：=為周期函數(shù)且周期為4×=π。
猜測(cè)：為周期函數(shù)且周期為4×1=4
∵==-
∴(+4)=
∴是以4為周期的周期函數(shù)
又∵f(2)=2004
∴===-
∴f(2005)=-?
已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)＞0時(shí)，＞0，(-1)=-2，求函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上的值域。
分析與略解：由：
想：(+)=+
原型：＝（為常數(shù)）為奇函數(shù)。＜0時(shí)為減函數(shù)，＞0時(shí)為增函數(shù)。
猜測(cè)：為奇函數(shù)且為R上的單調(diào)增函數(shù)，且在[－2,1]上有∈[－4,2]
設(shè)<且，∈R 則－>0 ∴(－)>0
∴==＞0
∴,∴為R上的單調(diào)增函數(shù)。
令==0,則(0)=0,令=－，則(－)=－
∴為R上的奇函數(shù)。
∴(-1)=- (1)=-2 ∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4
∴-4≤≤2(x∈[-2,1])
故在[-2,1]上的值域?yàn)閇-4，2]
已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)≠0，，且當(dāng)<0時(shí)，＞1
（1）當(dāng)＞0時(shí)，求的取值范圍
（2）判斷在R上的單調(diào)性
分析與略解：由：
想：
原型：=（＞0, ≠1），=1≠0。當(dāng)＞1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且＞0時(shí)，＞1，＜0時(shí)，0＜＜1；0＜＜1時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且＜0時(shí)，＞1，＞0時(shí)，0＜＜1。
猜測(cè)： 為減函數(shù)，且當(dāng)＞0時(shí)，0＜＜1。
（1）對(duì)于一切、∈R，且(0)≠0
令==0，則(0)=1，現(xiàn)設(shè)＞0，則-＜0，∴f(-) ＞1
又(0)=(-)= =1 ∴= ＞1
∴0＜＜1
（2）設(shè)<，、∈R，則－<0，(－)＞1且
＞1
∴， ∴f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)
已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)且單調(diào)遞增，滿足(4)=1，
（1）證明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)≤1，求的范圍；
（4）試證()=（n∈N）
分析與略解：由：
想：（、∈R+）
原型：（＞0，≠0）
猜測(cè)：有(1)=0，(16)=2，……
（1）令=1，=4，則(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0
（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2
(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)
在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴
∴ ∈（3，4]
（4）∵
∴
已知函數(shù)對(duì)于一切正實(shí)數(shù)、都有且＞1時(shí)，＜1，(2)=
(1)求證：＞0；（2）求證：
（3）求證：在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)
（4）若=9，試求的值。
分析與簡(jiǎn)證：由，
想：
原型：（為常數(shù)（=）
猜測(cè)：＞0，在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，……
(1)對(duì)任意＞0，=)=≥0
假設(shè)存在＞0，使=0，則對(duì)任意＞0
=f(==0，這與已知矛盾
故對(duì)任意＞0，均有＞0
（2）∵，＞0, ∴(1)=1
∴()=(·)=(1)=1 ∴
(3)、∈(0,+∞)，且＜，則＞1，∴()＜1，
∴ 即
∴在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)。
（4）∵(2)=，()=9 ∴(2)()=1
∴(2)=1=f(1)，而在(0，+∞)是單調(diào)減函數(shù)
∴2=1 即=
綜上所述，由抽象函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的基本（原型）函數(shù)，并由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的性質(zhì) “抽象——具體——抽象”的“原型”聯(lián)想思維方式，可使抽象函數(shù)問題順利獲解，且進(jìn)一步說明，學(xué)生學(xué)好大綱規(guī)定的幾種基本函數(shù)相關(guān)知識(shí)的重要性。

展開更多......

收起↑