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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第一章 數(shù)與式
第三節(jié) 分式
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 分式的相關(guān)概念 ☆☆ 中考中，有關(guān)分式的部分，每年考查2道題左右，分值為8分左右，在中考，主要考查分式的意義（無意義）和分式值為零、負(fù)數(shù)、正數(shù)、最簡分式等情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算（化簡求值）考查常以選擇題、填空題、計(jì)算題的形式命題。
考點(diǎn)2 分式的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3 分式的運(yùn)算 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　分式的相關(guān)概念
1.分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A為分子，B為分母。
2.對于分式來說：①若 B≠0 ，則有意義；②若 B=0 ，則無意義；③若 A=0且B≠0 ，則=0；
④當(dāng) A=B≠0 時，分式的值為1；⑤若 >0 ，則A、B同號，若 <0 ，則A、B異號。
■考點(diǎn)二　分式的性質(zhì)
1.分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都 乘以（或除以） 同一個 不等于零的整式 ，分式的值 不變 。
用式子表示為 或 ，其中A，B，C均為整式。
2.約分及約分法則
（1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的 約分 。
（2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。
3.最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做 最簡分式 。
【注】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式．
4.通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的 通分 。（2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的 最簡公分母 （即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。
5.最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的 最小公倍數(shù) 與所有字母因式的最高次冪的 積 作為公分母，這樣的分母叫做 最簡公分母 。
■考點(diǎn)三　分式的運(yùn)算
1.分式的加減
①同分母的分式相加減法則： 分母不變，分子相加減 ．用式子表示：。
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)?同分母的分式 ，然后再加減。
用式子表示為：。
2.分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示：。
3.分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示：為正整數(shù)，。
5.分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的。
■易錯提示
1. 判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷，例如：就是分式。
2. 分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義。
3. 約分是對分子、分母同時進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等。
4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0。
5.當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。
6.乘方時，一定要把分式加上括號，并且一定要把分子、分母分別乘方.
■考點(diǎn)一　分式的相關(guān)概念
◇典例1：（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　?。?br/>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．
【詳解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3個，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·浙江湖州·中考真題）當(dāng)a＝1時，分式的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)a=1時，．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式求值問題，在解題時要根據(jù)題意代入計(jì)算即可．
2．（2023·江蘇·中考模擬）若一個分式含有字母，且當(dāng)時，它的值為12，則這個分式可以是 ．（寫出一個即可）
【答案】答案不唯一，如等.
【詳解】設(shè)這個分式為，將m=5代入得到=12，a=60，故這個分式是．
3．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，……，第9個代數(shù)式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由前面幾個代數(shù)式歸納可得第個代數(shù)式為：，從而可得答案.
【詳解】解：∵，，，，……∴第個代數(shù)式為：，
當(dāng)是，第9個代數(shù)式為：，故選B
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的規(guī)律題，掌握探究的方法并利用歸納得到的規(guī)律解題是關(guān)鍵.
◇典例2：（2023·河南·中考模擬）下列說法錯誤的是（ ）
A．當(dāng)時，分式有意義 B．當(dāng)時，分式無意義
C．不論取何值，分式都有意義 D．當(dāng)時，分式的值為0
【答案】C
【分析】分母不為0時，分式有意義，分母為0時，分式無意義，分子等于0，分母不為0時分式值為0，由此判斷即可.
【解析】解：A選項(xiàng)當(dāng)，即時，分式有意義，故A正確；
B選項(xiàng)當(dāng)，即時，分式無意義，故B正確；
C選項(xiàng)當(dāng)，即時，分式有意義，故C錯誤；
D選項(xiàng)當(dāng)，且即時，分式的值為0，故D正確.故選C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義、無意義、值為0的條件，熟練掌握分式的分母不為0是確定分式有意義的關(guān)鍵.
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）若分式的值為0，則的值為________．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的值為0，得到，求解即可得到答案．
【詳解】解：分式的值為0，，解得：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，還要注意分式的分母不能為零．
2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分別找到各式為0時的x值，即可判斷．
【詳解】解：A、當(dāng)x=-1時，x+1=0，故不合題意；B、當(dāng)x=±1時，x2-1=0，故不合題意；
C、分子是1，而1≠0，則≠0，故符合題意；D、當(dāng)x=-1時，，故不合題意；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
3．（2020·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)時，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.
【詳解】,當(dāng)x=1時,分母為零,分式無意義.故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件,關(guān)鍵在于牢記有意義條件.
◇典例3：（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】據(jù)題意可得，要使分式的值為負(fù)數(shù)，即分母且，然后解不等式即可．
【詳解】解：∵，∴分式的值為負(fù)數(shù)，即分母且，解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值，熟練掌握分式值的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·四川南充·統(tǒng)考一模）若分式的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍．
【詳解】解：由題意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，當(dāng)分子和分母同號時，分式值為正數(shù)，當(dāng)分子和分母異號時，分式值為負(fù)數(shù)．
2．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若分式的值為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】x＞0
【詳解】【分析】分式值為正，則分子與分母同號，據(jù)此進(jìn)行討論即可得.
【詳解】∵分式的值為正，∴x與x2+2的符號同號，
∵x2+2>0，∴x>0，故答案為x>0.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式值為正的情況，熟知分式值為正時，分子分母同號是解題的關(guān)鍵.
◇典例4：（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是 ．
【答案】0，
【分析】根據(jù)題意，分式的值是正整數(shù)，可知，分式的分母為1或-1，據(jù)此解得的值，最后驗(yàn)根即可．
【詳解】解：分式的值是正整數(shù)，，
∴為小于2的整數(shù)，或或
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或，分母，或故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（ ）
A．當(dāng)時，的值為零 B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時，的值總為正數(shù)
C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當(dāng)時，有意義
【答案】B
【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A、當(dāng)時，無意義，故本選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時，的值總為正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
C、當(dāng)或2時，能得整數(shù)值，故本選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng)時，有意義，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．
2.（2023·廣東廣州·校考二模）已知：分式的值為整數(shù)，則整數(shù)a有 ．
【答案】，1，2，4，5，7
【分析】根據(jù)因式分解，可得最簡分式，根據(jù)分式的值是整數(shù)，可得分母能被分子整除，可得答案．
【詳解】解：，
∵分式的值為整數(shù)，∴或或，
解得：，，，，，，故答案為，1，2，4，5，7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，根據(jù)分式的值的情況求解參數(shù)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．
■考點(diǎn)二　分式的性質(zhì)
◇典例5：（2022·山西·二模）下列各式從左到右的變形中，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、改變分式本身的符號和分母的符號，其分式的值不變，此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、改變分式分子和分母的符號，其分式的值不變，此選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、改變分式分母的符號，其分式的值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，此選項(xiàng)錯誤，符合題意；
D、改變分式本身的符號和分母的符號，其分式的值不變，此選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，熟記分式符號變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個判斷即可解答．
【詳解】解：，故A正確；與不一定相等，故B錯誤；
與不一定相等，故C錯誤；當(dāng)時，，故D錯誤，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）實(shí)數(shù)．則下列各式中比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：因?yàn)?，所以，?br/>A．，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，符合題意；故選D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
◇典例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（ ）
A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時擴(kuò)大3倍
C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡，最后得出答案即可．
【詳解】A. a擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍, ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. a，b同時擴(kuò)大3倍，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. a擴(kuò)大2倍，b縮小3倍，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. a縮小2倍，b縮小3倍，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（　?。?br/>A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼?br/>【答案】B
【分析】根據(jù)x，y都擴(kuò)大3倍，即可得出分子擴(kuò)大9倍，分母擴(kuò)大3倍，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵分式中的x與y都擴(kuò)大為原來的3倍，
∴分式中的分子擴(kuò)大為原來的9倍，分母擴(kuò)大為原來的3倍，
∴分式的值擴(kuò)大為原來的3倍．故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查分式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)進(jìn)行化簡．
◇典例7：（2023·山東·統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)最簡分式的概念，分子與分母不含有公因式的分式即為最簡分式，化簡后判斷即可.
詳解：由題意可知：=，不是最簡分式；=，不是最簡分式；是最簡分式；=，不是最簡分式.故選C.
點(diǎn)睛：此題考查了最簡分式，先把分式的分子、分母因式分解，然后確定有無公因式，是解題關(guān)鍵.
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可．
【詳解】A、，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、是最簡分式，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A． B． C．5 D．a(chǎn)
【答案】D
【分析】分子分解因式，再約分得到結(jié)果．
【詳解】解：，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）化簡 ．
【答案】
【分析】先因式分解，約分變?yōu)樽詈喎质剑逊肿幼優(yōu)楹偷男问剑?br/>【詳解】解：，，，．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，因式分解，最簡分式，約分，解題的關(guān)鍵是掌握分式化簡方法：先因式分解，約分，再化為最簡分式．
◇典例8：（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）要把分式與通分，分式的最簡公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)最簡公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)最簡公分母是各分母的最小公倍數(shù)，
∵系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2，與的最高次冪是，與的最高次冪是，對于只在一個單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母為： ．故選擇：A．
【點(diǎn)睛】本題考查最簡公分母，熟練掌握最簡公分母是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）分式的最簡公分母是 ， = 。
【答案】
【分析】先把兩個分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進(jìn)行計(jì)算求值即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∴，的最簡公分母為：
∴
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
2．（2023·廣西梧州·二模）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個說法正確（　?。?br/>A．約分的結(jié)果是 B．分式與的最簡公分母是x﹣1
C．約分的結(jié)果是1 D．化簡﹣的結(jié)果是1
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分式約分，即可判斷A與C；根據(jù)確定最簡公分母的方法判斷B；根據(jù)分式減法法則計(jì)算，即可判斷D．
【詳解】解：A、＝ ，故本選項(xiàng)錯誤；
B、分式與的最簡公分母是x2﹣1，故本選項(xiàng)錯誤；
C、＝ ，故本選項(xiàng)錯誤；D、﹣＝1，故本選項(xiàng)正確；故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.
■考點(diǎn)三　分式的運(yùn)算
◇典例9：（2023·河北·統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運(yùn)算中每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯誤的是（ ）
化簡：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同類項(xiàng)
……………………③提公因式
………………………………④約分
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可得出結(jié)論．
【詳解】①不是通分，而是同分母分式的加減法，故說法錯誤．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減運(yùn)算，分清楚同分母分式的加減法和通分的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）化簡結(jié)果正確的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，故A正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．
3．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大小．
小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大小：__________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)作差法求的值即可得出答案；
（2）根據(jù)作差法求的值即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運(yùn)算的方法．
◇典例10：（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在計(jì)算時，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但計(jì)算結(jié)果相同，則（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，結(jié)合題意逐步檢驗(yàn)即可得到答案．
【詳解】解：
，
嘉嘉第一步出錯；琪琪第三步出錯；兩個人計(jì)算都不正確，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，熟練掌握分式的混合運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】先直接相加，再約分即可得到答案．
【詳解】解：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的加減的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）關(guān)于式子，下列說法正確的是（　　）
A．當(dāng)時，其值為2 B．當(dāng)時，其值為0
C．當(dāng)時，其值為正數(shù) D．當(dāng)時，其值為正數(shù)
【答案】D
【分析】先根據(jù)分式的四則運(yùn)算法則化簡分式并確定x的取值范圍，然后根據(jù)x的取值范圍和分式的性質(zhì)逐項(xiàng)排查即可解答．
【詳解】解：＝＝，
∵，∴或，，
∴A．由，故A說法錯誤，不符合題意；
B．由，故B說法錯誤，不符合題意；
C．當(dāng)時，，故C說法錯誤，不符合題意；
D．當(dāng)時，，故D說法正確，符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的四則混合運(yùn)算、分式有意義的條件、分式的意義等知識點(diǎn)，明確分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．
◇典例11：（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準(zhǔn)確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算，以下結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．無意義
【答案】A
【分析】根據(jù)零次冪可進(jìn)行求解．
【詳解】解：；故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查零次冪，熟練掌握零次冪的意義是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
◇典例12：（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若，則代數(shù)式，的值為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的化簡法則，將代數(shù)式化簡可得，再將變形，即可得到答案．
【詳解】解：，，，，
，，，故原式的值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡法則，整式的整體代入，熟練對代數(shù)式進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，其中，是方程的兩個根．
【答案】，
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出 ，代入化簡結(jié)果，即可求解．
【詳解】解：原式
∵，是方程的兩個根 ∴ ∴原式.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，然后從1，2，3，4中選擇一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】，當(dāng)時，值為
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再選取合適的m的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
∴當(dāng)時，原式
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．
【答案】，選擇，式子的值為（或選擇，式子的值為1）
【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當(dāng)?shù)牡闹?，代入?jì)算即可得．
【詳解】解：原式，
，，，，
，且為整數(shù)，選擇代入得：原式，
選擇代入得：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川南充·中考真題）已知，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將分式進(jìn)件化簡為，然后利用完全平方公式得出，，代入計(jì)算即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查完全公式的計(jì)算，分式化簡等，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)x＝﹣2時，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母進(jìn)行分解因式，然后化簡，最后把代入到分式中進(jìn)行正確的計(jì)算即可得到答案.
【詳解】解：
把代入上式中 原式 故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行求解運(yùn)算.
4. （2022·浙江杭州·中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個重要原理，用公式表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性質(zhì)，把等式恒等變形，用含f、v的代數(shù)式表示u．
【詳解】解：∵，∴，即，
∴，∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的加、減法運(yùn)算，關(guān)鍵是異分母通分，掌握通分法則．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】解：．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握分式加減混合運(yùn)算法則．
6．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡： ．
【答案】/
【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解．
【詳解】解：
；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由可知：，∴；故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)及分式有意義的條件，熟練掌握函數(shù)的概念及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
8．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）若干個同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點(diǎn)），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移 米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．

【答案】
【分析】由第一次操作可得：，則，設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，可得，解得，再代入化簡即可．
【詳解】解：由第一次操作可得：，∴，
設(shè)第二次操作時每位同學(xué)向后移動了x米，則，
∴，故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式的化簡，準(zhǔn)確的理解題意確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022·湖南·中考真題）有一組數(shù)據(jù)：，，，，．記，則__．
【答案】
【分析】通過探索數(shù)字變化的規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算．
【詳解】解：；；
；，，
當(dāng)時，原式，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算，探索數(shù)字變化的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）先化簡，然后從，1，2這三個數(shù)中選一個合適的數(shù)代入求值．
【答案】，
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則先化簡，然后再由分式有意義的條件代入求值即可．
【詳解】解：原式，
∵，當(dāng)時原式．
【點(diǎn)睛】題目主要考查分式的化簡求值及其有意義的條件，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
11．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項(xiàng)式．請寫出單項(xiàng)式M，并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整．
例 先化簡，再求值：，其中． 解：原式 ……
【答案】，，，過程見解析
【分析】先根據(jù)通分的步驟得到M，再對原式進(jìn)行化簡，最后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，第一步進(jìn)行的是通分，∴，∴，
原式，
當(dāng)時，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，正確對分式進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知，代數(shù)式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；
（2）將選取的代數(shù)式組成分式，分子分母進(jìn)行因式分解，再約分即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：①當(dāng)選擇A、B時：，
；
②當(dāng)選擇A、C時：，
；
③當(dāng)選擇B、C時：，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，分式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法和步驟，以及分式化簡的方法．
1．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用分式的運(yùn)算法則把原式進(jìn)行化簡，再根據(jù)分式的值為正整數(shù)求出的取值可以為多少．
【詳解】解：原式，，，，，
要使分式有意義，則，，故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，根據(jù)分式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）若，則“（ ）”內(nèi)應(yīng)填（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：∵，∴“（ ）”內(nèi)應(yīng)填，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵 熟練掌握分式的基本性質(zhì)．
3．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式變形，下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)分別計(jì)算后判斷即可．
【詳解】A．分子分母同時加上同一個數(shù)，分式不一定成立，故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
B．，故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．，故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；
D．，故原選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023·上海·校考模擬預(yù)測）下列各式中：中，是分式的共有（　?。?br/>A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】根據(jù)分式的概念：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，進(jìn)而解答即可．
【詳解】是分式，共有3個，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母．
5．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br/>A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先通分，再計(jì)算分式減法，最后約分即可求解.
【詳解】解：.故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式減法，通分和約分，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.
6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）請寫出一個分式，并寫出使其有意義的條件 ．
【答案】分式為，使其有意義的條件是（答案不唯一）
【分析】根據(jù)分式的定義和分式有意義的條件即可得．
【詳解】解：寫出的分式為，使其有意義的條件是，
故答案為：分式為，使其有意義的條件是（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式和分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
7．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）臨近五一勞動節(jié)，甲廠決定包租一輛車送員工返鄉(xiāng)過節(jié)，租金為5000元，出發(fā)時，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)（車費(fèi)自付），總?cè)藬?shù)達(dá)到名，如果包車租金不變，那么甲廠為員工支付的人均車費(fèi)可比原來少 元．（用最簡分式表示）
【答案】
【分析】原有的員工每人分擔(dān)的車費(fèi)-實(shí)際每人分擔(dān)的車費(fèi)，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：由題意可得：=故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了列代數(shù)式，正確表示出平均每人分擔(dān)的車費(fèi)數(shù)是解題關(guān)鍵．
8．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）化簡：＝ ．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再約分即可．
【詳解】解：原式，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的約分，約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．
9.（2023·渝中·重慶巴蜀中學(xué)九年級月考）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍為_____．
【答案】
【分析】先說明分母是非負(fù)數(shù)，再根據(jù)分式的值是正數(shù)列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】∵∴∵分式的值為正數(shù)∴∴故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)分式的值的求解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出分子大于0是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·內(nèi)蒙古新城·二模）分式的最簡公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把兩個分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進(jìn)行計(jì)算求值即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∴，的最簡公分母為：
∴
故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.
11．（2024·廣東佛山·校考三模）（1）化簡：
（2）是否存在整數(shù)x，使得（1）式中的結(jié)果也是整數(shù)？若有，請求出x的值，若沒有，請說明理由．
【答案】（1）；（2）當(dāng)x=-3時，使得（1）式中的結(jié)果也是整數(shù)；理由見解析；
【分析】（1）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，結(jié)合因式分解通分、約分；
（2）由（1）化簡結(jié)果，代入整數(shù)驗(yàn)證即可；
【詳解】解：（1）原式===；
（2）有，x=-3，由的值為整數(shù)，可得分母是1或-1且x符合取值范圍，
當(dāng)x=-3時，=1，∴當(dāng)x=-3時，使得（1）式中的結(jié)果也是整數(shù)；
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
12．（2023·山西大同·統(tǒng)考三模）閱讀與思考
下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
“真分式”與“假分式” 我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為真分式．如，…這樣的分式是假分式；如，…這樣的分式是真分式．類似地，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式． 例如：將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下： ． 將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下： 方法1：． 方法2：由于分母為，可設(shè)（，為常數(shù)）， ， ． ，解得． ． 這樣，分式就被化成了一個整式與一個真分式的和的形式．
任務(wù)：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式化為一個整式與一個真分式的和的形式為__________．(2)請將化為一個整式與一個真分式的和的形式．
(3)若分式的值為整數(shù)，請根據(jù)（2）的結(jié)果直接寫出符合條件的2個的值．
【答案】(1)真；(2)(3)或
【分析】（1）根據(jù)定義，例題，化為一個整式與一個真分式的和的形式；（2）根據(jù)方法一、化為一個整式與一個真分式的和的形式；（3）根據(jù)題意可得是整數(shù)，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)定義，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為真分式，
∴是真分式， 故答案為：真；．
（2）解：∵
（3）解：由（2）可得
∵的值為整數(shù)，∴是整數(shù)，∴∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
1．（2023·河北石家莊·聯(lián)考模擬預(yù)測）代數(shù)式的值為．則為整數(shù)值的個數(shù)有（ ）
A．0個 B．7個 C．8個 D．無數(shù)個
【答案】B
【分析】先將分式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)題意確定為整數(shù)的x的值，即可確定F的值的個數(shù)．
【詳解】解：，
∵代數(shù)式的值為，且F為整數(shù)，∴為整數(shù)，且
∴的值為：，共7個，∴對應(yīng)的F值有7個，故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值及分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
2．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一種運(yùn)算符號，下列說法正確的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，則 B．若“”代表的是“－”，則
C．若“”代表的是“×”，則 D．若“”代表的是“÷”，則
【答案】A
【分析】當(dāng)“”代表的是“＋”時，得出，計(jì)算的值的符號，即可得出M與N的大小關(guān)系，可判斷A；當(dāng)“”代表的是“－”，得出，與A同理，可判斷B；當(dāng)“”代表的是“×”和當(dāng)“”代表的是“÷”時，由分式的基本性質(zhì)即可判斷C和D．
【詳解】解：若“”代表的是“＋”，則，
∴．
∵，∴，，∴，∴，故A正確，符合題意；
若“”代表的是“－”，則，∴．
∵，∴，，∴，∴，故B錯誤，不符合題意；
若“”代表的是“×”，則．∵，∴，故C錯誤，不符合題意；
若“”代表的是“÷”，則．∵，∴，故D錯誤，不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)和分式的混合運(yùn)算．掌握分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變和分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4．（2022下·福建廈門·九年級?？茧A段練習(xí)）如果把分?jǐn)?shù)的分子、分母分別加上正整數(shù)a、b，結(jié)果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得，結(jié)合a、b為正整數(shù)，可知最小的a滿足，最小的b滿足．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，設(shè)，其中k為正整數(shù)．
兩式相加，得．因?yàn)閍、b為正整數(shù)，所以必為正整數(shù)．
所以，解得，，且k為正整數(shù)．
當(dāng)時，，不合題意，舍去；
當(dāng)時，；所以的最小值是28；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值問題、分式的性質(zhì)．本題利用分式的基本性質(zhì)和兩個分式相等的條件來解的，利用參數(shù)k求解是關(guān)鍵．注意并不滿足題意，故的最小值不是6．
5．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測）設(shè)n是大于1909的正整數(shù)，且是某個整數(shù)的平方數(shù)，求得所有滿足條件的n之和為( )
A．1959 B．7954 C．82 D．3948
【答案】B
【分析】設(shè)，則，得到，再設(shè)是數(shù)的平方數(shù)，得到，再根據(jù)題意推出，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：設(shè)，則，
∴，再設(shè)是數(shù)的平方數(shù)，∴，∴，
∵是某個整數(shù)的平方數(shù)，，∴，
∴且a為正整數(shù)，∴，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∴的值可以為、、、，
∴所有滿足條件的n之和為，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方數(shù)，分式的加減，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·重慶開州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知兩個多項(xiàng)式、（為實(shí)數(shù)），以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①若，則；②若，則；
③若，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根；④若為整數(shù)，且值為整數(shù)，則的取值個數(shù)為個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列絕對值方程即可直接求解，③由，可得或，再驗(yàn)證這兩個方程是否有實(shí)數(shù)根；④列代數(shù)式，再化簡，直接代數(shù)驗(yàn)證即可．
【詳解】解：①∵，∴，解得：，∴①正確；
②∵，∴，
∴，當(dāng)時，，解得（不符合題意，舍去），
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，解得（不符合題意，舍去），∴②正確；
③∵，∴，∴或，
當(dāng)時，，該方程無實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時，，該方程無實(shí)數(shù)根，
∴若，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根，∴③正確；
④∵，
∵為整數(shù)，且值為整數(shù)，
∴，，，∴的取值個數(shù)為個，∴④不正確．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，一元二次方程，含絕對值一元一次方程，根的判別式等知識點(diǎn)．能夠正確解方程是本題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖南湘潭市·中考模擬）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根據(jù)材料和已學(xué)知識，先化簡，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根據(jù)題目中的公式可以化簡題目中的式子，然后將的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】解：，
當(dāng)時，原式
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．
8．（2023·北京中考模擬）閱讀下面的解題過程：
已知，求代數(shù)式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，接著把分子分母因式分解后約分得到原式利用倒數(shù)法由已知條件得到然后把左邊化為真分式后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】
解：原式，
∵，∴，
∴原式
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
9．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：
分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，例如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．
類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．
解決下列問題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根據(jù)“真分式”的定義可得；（2）根據(jù)題意逆用分式加法的法則將假分式化為帶分式；
（3）先將分式化為帶分式，再根據(jù)分式部分為整數(shù)求得的值；
（4）將分式化為帶分式，再判斷的取值范圍即可．
【詳解】（1）的分母次數(shù)大于分子次數(shù)，故分式是真分式；故答案為：真分式；
（2）故答案為：；
（3）分式的值為整數(shù)，，
即是整數(shù)，則；解得或或或；的值為：4，2，5，1；
（4）
，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，不等式的應(yīng)用，掌握計(jì)算法則，理解題意是解題的關(guān)鍵．
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第一章 數(shù)與式
第三節(jié) 分式
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 分式的相關(guān)概念 ☆☆ 中考中，有關(guān)分式的部分，每年考查2道題左右，分值為8分左右，在中考，主要考查分式的意義（無意義）和分式值為零、負(fù)數(shù)、正數(shù)、最簡分式等情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算（化簡求值）考查常以選擇題、填空題、計(jì)算題的形式命題。
考點(diǎn)2 分式的性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3 分式的運(yùn)算 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　分式的相關(guān)概念
1.分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 ，其中A為分子，B為分母。
2.對于分式來說：①若 ，則有意義；②若 ，則無意義；③若 ，則=0；
④當(dāng) 時，分式的值為1；⑤若 ，則A、B同號，若 ，則A、B異號。
■考點(diǎn)二　分式的性質(zhì)
1.分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都 同一個 ，分式的值 。
用式子表示為 或 ，其中A，B，C均為整式。
2.約分及約分法則
（1）約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的 。
（2）約分法則：把一個分式約分，如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的 ；分子與分母的系數(shù)，約去它們的 ．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分。
3.最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做 。
【注】約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式。
4.通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的 。（2）通分法則把兩個或者幾個分式通分：①先求各個分式的 （即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡公分母為分母的分式；③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分。
5.最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的 與所有字母因式的最高次冪的 作為公分母，這樣的分母叫做 。
■考點(diǎn)三　分式的運(yùn)算
1.分式的加減
①同分母的分式相加減法則： ．用式子表示：。
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)? ，然后再加減。
用式子表示為：。
2.分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示： 。
3.分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示： 。
4.分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示： 。
5.分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算。
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的。
■易錯提示
1. 判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷，例如：就是分式。
2. 分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義。
3. 約分是對分子、分母同時進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等。
4.運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0。
5.當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分子相乘作為積的分子，分母不變。
6.乘方時，一定要把分式加上括號，并且一定要把分子、分母分別乘方.
■考點(diǎn)一　分式的相關(guān)概念
◇典例1：（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·浙江湖州·中考真題）當(dāng)a＝1時，分式的值是______．
2．（2023·江蘇·中考模擬）若一個分式含有字母，且當(dāng)時，它的值為12，則這個分式可以是 ．（寫出一個即可）
3．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，……，第9個代數(shù)式是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·河南·中考模擬）下列說法錯誤的是（ ）
A．當(dāng)時，分式有意義 B．當(dāng)時，分式無意義
C．不論取何值，分式都有意義 D．當(dāng)時，分式的值為0
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）若分式的值為0，則的值為________．
2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)時，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例3：（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是 ．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·四川南充·統(tǒng)考一模）若分式的值是負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）若分式的值為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
◇典例4：（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（ ）
A．當(dāng)時，的值為零 B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時，的值總為正數(shù)
C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當(dāng)時，有意義
2.（2023·廣東廣州·校考二模）已知：分式的值為整數(shù)，則整數(shù)a有 ．
■考點(diǎn)二　分式的性質(zhì)
◇典例5：（2022·山西·二模）下列各式從左到右的變形中，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）實(shí)數(shù)．則下列各式中比的值大的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（ ）
A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時擴(kuò)大3倍
C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果把分式中、的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（　?。?br/>A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼?br/>◇典例7：（2023·山東·統(tǒng)考二模）下列分式中，最簡分式是 ( )
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A． B． C．5 D．a(chǎn)
3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）化簡 ．
◇典例8：（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）要把分式與通分，分式的最簡公分母是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）分式的最簡公分母是 ， = 。
2．（2023·廣西梧州·二模）關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個說法正確（　?。?br/>A．約分的結(jié)果是 B．分式與的最簡公分母是x﹣1
C．約分的結(jié)果是1 D．化簡﹣的結(jié)果是1
■考點(diǎn)三　分式的運(yùn)算
◇典例9：（2023·河北·統(tǒng)考二模）嘉琪在分式化簡運(yùn)算中每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯誤的是（ ）
化簡：
解：原式
………………①通分
……………………②合并同類項(xiàng)
……………………③提公因式
………………………………④約分
A．① B．② C．③ D．④
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）化簡結(jié)果正確的是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大小．
小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大小．
小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大小：__________．（填“”“”或“”）
◇典例10：（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）在計(jì)算時，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但計(jì)算結(jié)果相同，則（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正確 B．琪琪正確 C．都正確 D．都不正確
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）計(jì)算： ．
2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）關(guān)于式子，下列說法正確的是（　?。?br/>A．當(dāng)時，其值為2 B．當(dāng)時，其值為0
C．當(dāng)時，其值為正數(shù) D．當(dāng)時，其值為正數(shù)
◇典例11：（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算，以下結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．無意義
2.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算： ．
◇典例12：（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若，則代數(shù)式，的值為___________．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年青海省西寧市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，其中，是方程的兩個根．
2．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）先化簡，再求值：，然后從1，2，3，4中選擇一個合適的數(shù)代入求值．
3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．
1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（2022·四川南充·中考真題）已知，且，則的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)x＝﹣2時，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
4. （2022·浙江杭州·中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個重要原理，用公式表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）化簡的結(jié)果是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡： ．
7．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的定義域?yàn)? ．
8．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）若干個同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個同學(xué)均勻排成一個以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓圈（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點(diǎn)），又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移 米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個同學(xué)之間的距離與原來n個同學(xué)之間的距離相等．

9．（2022·湖南·中考真題）有一組數(shù)據(jù)：，，，，．記，則__．
10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）先化簡，然后從，1，2這三個數(shù)中選一個合適的數(shù)代入求值．
11．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項(xiàng)式．請寫出單項(xiàng)式M，并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整．
例 先化簡，再求值：，其中． 解：原式 ……
12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知，代數(shù)式：，，．
(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．
1．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若分式的值為正整數(shù)，則的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）若，則“（ ）”內(nèi)應(yīng)填（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式變形，下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上?！ば？寄M預(yù)測）下列各式中：中，是分式的共有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
5．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）計(jì)算的結(jié)果是（　?。?br/>A．1 B． C． D．
6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）請寫出一個分式，并寫出使其有意義的條件 ．
7．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）臨近五一勞動節(jié)，甲廠決定包租一輛車送員工返鄉(xiāng)過節(jié)，租金為5000元，出發(fā)時，乙廠有3名同鄉(xiāng)員工也隨車返鄉(xiāng)（車費(fèi)自付），總?cè)藬?shù)達(dá)到名，如果包車租金不變，那么甲廠為員工支付的人均車費(fèi)可比原來少 元．（用最簡分式表示）
8．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）化簡：＝ ．
9.（2023·渝中·重慶巴蜀中學(xué)九年級月考）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍為_____．
10．（2022·內(nèi)蒙古新城·二模）分式的最簡公分母是________， =__________
11．（2024·廣東佛山·校考三模）（1）化簡：
（2）是否存在整數(shù)x，使得（1）式中的結(jié)果也是整數(shù)？若有，請求出x的值，若沒有，請說明理由．
12．（2023·山西大同·統(tǒng)考三模）閱讀與思考
下面是小宇同學(xué)課外閱讀的一則數(shù)學(xué)材料，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
“真分式”與“假分式” 我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為真分式．如，…這樣的分式是假分式；如，…這樣的分式是真分式．類似地，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式． 例如：將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下： ． 將分式化成一個整式與一個真分式的和的形式，過程如下： 方法1：． 方法2：由于分母為，可設(shè)（，為常數(shù)）， ， ． ，解得． ． 這樣，分式就被化成了一個整式與一個真分式的和的形式．
任務(wù)：(1)分式是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式化為一個整式與一個真分式的和的形式為__________．(2)請將化為一個整式與一個真分式的和的形式．
(3)若分式的值為整數(shù)，請根據(jù)（2）的結(jié)果直接寫出符合條件的2個的值．
1．（2023·河北石家莊·聯(lián)考模擬預(yù)測）代數(shù)式的值為．則為整數(shù)值的個數(shù)有（ ）
A．0個 B．7個 C．8個 D．無數(shù)個
2．（2023·河北衡水·二模）已知，，，其中“”代表“＋、－、×、÷”中的一種運(yùn)算符號，下列說法正確的是（ ）
A．若“”代表的是“＋”，則 B．若“”代表的是“－”，則
C．若“”代表的是“×”，則 D．若“”代表的是“÷”，則
4．（2022下·福建廈門·九年級?？茧A段練習(xí)）如果把分?jǐn)?shù)的分子、分母分別加上正整數(shù)a、b，結(jié)果等于，那么的最小值是（ ）．
A．26 B．28 C．30 D．32
5．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測）設(shè)n是大于1909的正整數(shù)，且是某個整數(shù)的平方數(shù)，求得所有滿足條件的n之和為( )
A．1959 B．7954 C．82 D．3948
6．（2023·重慶開州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知兩個多項(xiàng)式、（為實(shí)數(shù)），以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①若，則；②若，則；
③若，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根；④若為整數(shù)，且值為整數(shù)，則的取值個數(shù)為個．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·湖南湘潭市·中考模擬）閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根據(jù)材料和已學(xué)知識，先化簡，再求值：，其中．
8．（2023·北京中考模擬）閱讀下面的解題過程：
已知，求代數(shù)式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：
已知，求的值．
9．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：
分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，例如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．
類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．
解決下列問題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫出答案）．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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