資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
第四節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆☆ 有關二次根式的部分，每年考查2道題左右，分值為8分左右，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察。此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題。
考點2 二次根式的性質與化簡 ☆☆
考點3 二次根式的運算 ☆☆☆
■考點一　二次根式的相關概念
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 。其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數叫做 。
注意：被開方數只能是非負數。即要使二次根式有意義，則 。
2.最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做 。
3.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做 。
■考點二　二次根式的性質與化簡
1.二次根式的性質
（1）雙重非負性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
2.二次根式的化簡方法：
1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡。
3.化簡二次根式的步驟：1）把被開方數分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2。
■考點三　二次根式的的運算
1.加減法法則：先把各個二次根式化為 后，再將被開方數相同的二次根式 。
【口訣】一化、二找、三合并。
2.乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： 。
3.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即： 。
4.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的 ，將分母中的根號去掉的過程。
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是 的部分；即：。
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是 的另一部分；
即：。
5.混合運算順序：二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的。在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用。
■易錯提示
1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：、都是二次根式。
2.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數所含因數是整數，因式是整式（分母中不應含有根號）；②不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，即被開方數的因數或因式的指數都為1。
3.根據二次根式的性質化簡時，前無“-”, 化簡出來就不可能是一個負數。
4. 利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡。
5. 化簡（或計算）后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式。
■考點一　二次根式的相關概念
◇典例1：（2023·四川綿陽·中考真題）使式子在實數范圍內有意義的整數x有( )
A．5個 B．3個 C．4個 D．2個
◆變式訓練
1．（2023上·福建泉州·九年級校考期中）若二次根式有意義，則可以是 （寫出一個符合條件的值即可）．
2.（2023上·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）使等式成立的x的取值范圍在數軸上可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·河北保定·九年級統考期中）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·山東煙臺·統考中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2020·山東濟寧市·中考真題）下列各式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）請寫出一個大于2且小于3的二次根式： ．
◇典例3：（2023上·四川內江·九年級校考期中）如果最簡二次根式與和是同類二次根式，那么a的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
◆變式訓練
1．（2023上·湖南衡陽·九年級統考期中）最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為 ．
2．（2023上·廣東惠州·九年級校考開學考試）已知為正整數，且也為正整數，則的最小值為 ．
■考點二　二次根式的性質與化簡
◇典例4：（2023·江蘇泰州·統考中考真題）計算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
◆變式訓練
1．（2023上·吉林長春·九年級校聯考階段練習）若，則化簡的結果為 ．
2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
3．（2023·廣東·中考模擬）若，則_____．
◇典例5：（2023上·湖北·九年級專題練習）閱讀下面的解題過程，體會如何發現隱含條件并回答下面的問題：
化簡：
解：隱含條件，解得：，
∴，
∴原式，
【啟發應用】(1)按照上面的解法，試化簡；
【類比遷移】(2)實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：；

(3)已知a，b，c為的三邊長．化簡：．
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·統考中考真題）已知關于x的方程有兩個實數根，則的化簡結果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學校考模擬預測）若屬于真分數，任意寫出一個符合條件的的值 ．
3．（2023上·山西晉城·九年級統考期中）當時，求的值．如圖

(1)______的解法是錯誤的．(2)當時，求的值．
■考點三　二次根式的運算
◇典例6：（2023·青海西寧·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023·遼寧大連·統考中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·重慶·統考中考真題）估計的值應在（ ）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
◇典例7：（2023·上?！そy考中考真題）計算：
◆變式訓練
1．（2021·湖南常德市·中考真題）計算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2023·甘肅武威·統考中考真題）計算：．
3．（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）定義：我們將與稱為一對“對偶式”，因為，可以有效的去掉根號，若，則 ．
◇典例8：（2023·河南駐馬店·模擬預測）斐波那契（約）是意大利數學家，他研究了一列數，被稱為“斐波那契數列”．他發現該數列中的每個正整數都可以用無理數的形式表示，如第（為正整數）個數可表示為，且連續三個數，，之間存在以下關系（）．①第個數；②第個數：；③“斐波那契數列”中的前個數是，，，，，，，；④若把“斐波那契數列”中的每一項除以所得的余數按相對應的順序組成一組新數列，在新數列中，第項的值是．以上說法正確的有______．（請把你認為正確的序號全都填上去）
◆變式訓練
1．（2022·四川達州·統考中考真題）人們把這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設，，記，，…，，則_______．
2．（2022·廣東潮州·統考一模）將按如圖所示方式排列，若規定表示第排從左往右第個數，則表示的數是
◇典例9：（2022·四川宜賓·統考中考真題）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為______．
◆變式訓練
1．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數法表示）為（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（2023·重慶·?？既＃┠硵祵W興趣小組在學習二次根式的時候發現：有時候兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，例如，，，．通過查閱相關資料發現，這樣的兩個代數式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個結論：
甲：；乙：設有理數a，b滿足：，則；
丙：；?。阂阎瑒t；
戊：.以上結論正確的有（　　?。?br/>A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
◆變式訓練
1．（2023·廣西中考模擬）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于，設，易知，故，由，解得，即．根據以上方法，化簡后的結果為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023貴州西·中考模擬）閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：
設（其中均為整數），則有．
∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
當均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示，得＝　，＝?。?br/>（2）利用所探索的結論，找一組正整數，填空： ＋　 　＝(　 ?。?　)2；
（3）若，且均為正整數，求的值．
◇典例11：（2023上·福建泉州·九年級校聯考階段練習）已知，為兩個正實數，，，即：，當且僅當“”時，等號成立．我們把叫做正數，的算術平均數，把叫做正數，的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具．示例：當時，求的最小值；
解：，當，即時，的最小值為3．
(1)探究：當時，求的最小值；
(2)知識遷移：隨著人們生活水平的提高，汽車已成為越來越多家庭的交通工具，假設某種汽車的購車費用為10萬元，每年應繳保險費等各類費用共計0.4萬元，年的保養，維修費用總和為萬元，問這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少，年平均費用所有費用：年數）？最少年平均費用為多少萬元？
(3)創新應用：如圖，在直角坐標系中，直線經點，與坐標軸正半軸相交于，兩點，當的面積最小時，求直線的表達式．

◆變式訓練
1．（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：當時，有，當且僅當時取等號．
(1)當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；
(2)當時，求的最小值；
(3)如圖，四邊形的對角線、相交于點、的面積分別為和，求四邊形的最小面積．

2．（2023·北京西城·九年級?？计谥校╅喿x下述材料：
我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，
與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：
比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢海?，
因為，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
當時，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解決下述問題：(1)比較和的大小；(2)求的最大值和最小值．
1．（2023·山東青島·統考中考真題）下列計算正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023·湖南·統考中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北荊州·統考中考真題）已知，則與最接近的整數為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·湖南婁底·統考中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川內江·統考中考真題）函數的自變量的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山東濰坊·統考中考真題）從、，中任意選擇兩個數，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計算該算式的結果是 ．（只需寫出一種結果）
8．（2023·山東聊城·統考中考真題）計算： ．
9．（2022·湖北隨州·中考真題）已知m為正整數，若是整數，則根據可知m有最小值．設n為正整數，若是大于1的整數，則n的最小值為______，最大值為______．
10．（2022·四川南充·中考真題）若為整數，x為正整數，則x的值是_______________．
11．（2022·四川眉山·中考真題）將一組數，2，，，…，，按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為________．
12．（2022·山東濟寧·統考中考真題）已知，，求代數式的值．
13．（2022·上?！そy考中考真題）計算：
1.（2023·山東·中考模擬）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南新鄉·九年級?？茧A段練習）已知；，且，則a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
3．（2023上·四川內江·九年級校考期中）小明的作業本上有以下四題：①；②；③；④．做錯的題是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2023上·四川巴中·九年級統考期中）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南周口·九年級校聯考階段練習）若為實數，在“”的“”中添上一種運算符號（在“”“”“”“”中選擇），其運算結果是有理數，則不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·河南南陽·九年級統考階段練習）小英在中的“■”填入運算符號“”得到的結果為，小康在中的“■”填入運算符號“”得到的結果為，則，之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·四川內江·九年級校考期中）當時，多項式的值為
8．（2023上·河南開封·九年級統考期中）請寫出一個大于1且小于2的最簡二次根式 ．
9．（2023上·四川內江·九年級?？计谥校?）計算：
（2）計算：；（3）計算：
10．（2023上·四川巴中·九年級統考期中）已知，，試求下列各式的值：
(1)(2)．
11．（2023上·廣東佛山·九年級?？计谥校氨炔罘ā笔菙祵W中常用的比較兩個數大小的方法，即：；
例如：比較與2的大?。?br/>∵又∵則
∴，∴．
請根據上述方法解答以下問題：
(1)的整數部分是________，的小數部分是________；(2)比較與的大?。?br/>(3)已知，試用“比差法”比較與的大小．
12．（2023上·河南周口·九年級?？茧A段練習）觀察下列算式：
①由，得；
②由，得；
③由，得；……
(1)根據以上算式，______；(2)計算：；
(3)利用以上規律，計算：．
1．（2023上·四川宜賓·九年級校考階段練習）若，則a的值所在的范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南常德·中考真題）我們發現：，，，…，，一般地，對于正整數，，如果滿足時，稱為一組完美方根數對．如上面是一組完美方根數對．則下面4個結論：①是完美方根數對；②是完美方根數對；③若是完美方根數對，則；④若是完美方根數對，則點在拋物線上．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（2023上·湖北·九年級?？贾軠y） ．
4．（2023·浙江寧波·校考模擬預測）已知整數x，y滿足，則的最小值為 _____．
5．（2023下·浙江湖州·九年級統考期中）閱讀下列材料，解答后面的問題：
在二次根式的學習中，我們不僅要關注二次根式本身的性質、運算，還要用到與分式、不等式相結合的一些運算．如：
①要使二次根式有意義，則需，解得：；
②化簡：，則需計算，
而
，
所以
(1)根據二次根式的性質，要使成立，求a的取值范圍；
(2)利用①中的提示，請解答：如果，求的值；
(3)利用②中的結論，計算：
6．（2023上·山西長治·九年級長治市第六中學?？计谥校╅喿x與思考
下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
雙層二次根式的化簡 二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網還發現了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子、它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號． 例如：要化簡，可以先思考（根據1）． ．通過計算，我還發現設（其中m，n，a，b都為正整數），則有．∴，__________． 這樣，我就找到了一種把部分化簡的方法．
任務：(1)文中的“根據1”是__________，__________．(2)根據上面的思路，化簡：．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數，求a的值．
7．（2023上·福建泉州·九年級?？茧A段練習）閱讀理解：若a、b都是非負實數，則，當且僅當時，“＝”成立．
證明：∵ ∴ ∴，當且僅當時，“＝”成立．
(1)已知，求的最小值．(2)求代數式：的最小值．
(3)問題解決：如圖，某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園，由長方形的休閑區和環公園人行道（陰影部分）組成，已知休閑區的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4m和10m，則要使公園占地面積最小，休閑區的長和寬應如何設計？

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第一章 數與式
第四節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆☆ 有關二次根式的部分，每年考查2道題左右，分值為8分左右，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察。此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題。
考點2 二次根式的性質與化簡 ☆☆
考點3 二次根式的運算 ☆☆☆
■考點一　二次根式的相關概念
1.二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數叫做 被開方數 。
注意：被開方數只能是非負數。即要使二次根式有意義，則 a≥0 。
2.最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做 最簡二次根式 。
3.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做 同類二次根式 。
■考點二　二次根式的性質與化簡
1.二次根式的性質
（1）雙重非負性：≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
2.二次根式的化簡方法：
1）利用二次根式的基本性質進行化簡；
2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡。
3.化簡二次根式的步驟：1）把被開方數分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數（或因式）的指數都小于根指數2。
■考點三　二次根式的運算
1.加減法法則：先把各個二次根式化為 最簡二次根式 后，再將被開方數相同的二次根式 合并 。
【口訣】一化、二找、三合并。
2.乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： 。
3.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即： 。
4.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，將分母中的根號去掉的過程。
【分母有理化方法】
1）分母為單項式時，分母的有理化因式是 分母本身帶根號 的部分；即：。
2）分母為多項式時，分母的有理化因式是 與分母相乘構成平方差 的另一部分；
即：。
5.混合運算順序：二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的。在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用。
■易錯提示
1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果，如：、都是二次根式。
2.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數所含因數是整數，因式是整式（分母中不應含有根號）；②不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，即被開方數的因數或因式的指數都為1。
3.根據二次根式的性質化簡時，前無“-”, 化簡出來就不可能是一個負數。
4. 利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡。
5. 化簡（或計算）后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式。
■考點一　二次根式的相關概念
◇典例1：（2023·四川綿陽·中考真題）使式子在實數范圍內有意義的整數x有( )
A．5個 B．3個 C．4個 D．2個
【答案】C
【詳解】∵式子在實數范圍內有意義 ∴ 解得：，
又∵要取整數值，∴的值為：-2、-1、0、1.即符合條件的的值有4個.故選C.
◆變式訓練
1．（2023上·福建泉州·九年級校考期中）若二次根式有意義，則可以是 （寫出一個符合條件的值即可）．
【答案】6（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及求一元一次不等式的解集．根據二次根式有意義的條件列出關于的不等式，求出的取值范圍，即可得到答案．
【詳解】解：若二次根式有意義，
則，解得．故答案為：6（答案不唯一）．
2.（2023上·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）使等式成立的x的取值范圍在數軸上可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式組求解即可．
【詳解】解：由題意可知： ,解得：,故選：．
【點睛】題目主要考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件．
3．（2023上·河北保定·九年級統考期中）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次根式有意義的條件（被開方數為非負數），可求出的值，代入計算即可，本題主要考查二次根式有意義的條件，代入求值，掌握被開方數為非負數是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，，∴，則，∴，故選：．
◇典例2：（2023·山東煙臺·統考中考真題）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．
◆變式訓練
1.（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）下列各式中，不是二次根式的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次根式的定義（形如的式子叫做二次根式）逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、是二次根式，則此項不符合題意；B、不是二次根式，則此項符合題意；
C、是二次根式，則此項不符合題意；D、是二次根式，則此項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟記二次根式的定義是解題關鍵．
2.（2020·山東濟寧市·中考真題）下列各式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據最簡二次根式的定義即可求出答案．
【詳解】解：A、是最簡二次根式，故選項正確；B、=，不是最簡二次根式，故選項錯誤；C、，不是最簡二次根式，故選項錯誤；
D、，不是最簡二次根式，故選項錯誤；故選A.
【點睛】本題考查最簡二次根式，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式的定義，本題屬于基礎題型．
3．（2023上·河南駐馬店·九年級校考階段練習）請寫出一個大于2且小于3的二次根式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據題意得出，，然后取根式即可．
【詳解】解：∵，，
∴大于2且小于3的二次根式為（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】題目主要考查二次根式的比較大小，熟練掌握比較大小的方法是解題關鍵．
◇典例3：（2023上·四川內江·九年級校考期中）如果最簡二次根式與和是同類二次根式，那么a的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】此題主要考查了同類二次根式和最簡二次根式．解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式．
根據最簡二次根式及同類二次根式的定義列方求解．
【詳解】∵最簡二次根式與是同類二次根式，
解得：，故選：A．
◆變式訓練
1．（2023上·湖南衡陽·九年級統考期中）最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為 ．
【答案】4
【分析】根據同類二次根式的概念可得，解方程即可；本題主要考查同類二次根式，掌握同類二次根式的概念是解題的關鍵．
【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，∴．故答案為：4．
2．（2023上·廣東惠州·九年級校考開學考試）已知為正整數，且也為正整數，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】首先將被開方數化簡，然后找到滿足題意的最小被開方數即可．
【詳解】解：，且開方的結果是正整數，為某數的平方，
又，是滿足題意最小的被開方數，的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，知道開方結果為正整數被開方數必為平方數．先化簡再討論是本題的關鍵．
■考點二　二次根式的性質與化簡
◇典例4：（2023·江蘇泰州·統考中考真題）計算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性質化簡得出答案．
【詳解】解：．故選：B．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023上·吉林長春·九年級校聯考階段練習）若，則化簡的結果為 ．
【答案】
【分析】結合已知條件，根據二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：，，故答案為：．
【點睛】本題考查算二次根式的化簡，熟練掌握其定義及性質是解題的關鍵．
2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結果為2．
【詳解】解：＝2，故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡．
3．（2023·廣東·中考模擬）若，則_____．
【答案】1002．
【分析】根據絕對值的性質和二次根式的性質，即可解答
【詳解】∵，∴．由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【點睛】此題考查絕對值的非負性，二次根式的性質，解題關鍵在于掌握運算法則
◇典例5：（2023上·湖北·九年級專題練習）閱讀下面的解題過程，體會如何發現隱含條件并回答下面的問題：
化簡：
解：隱含條件，解得：，
∴，
∴原式，
【啟發應用】(1)按照上面的解法，試化簡；
【類比遷移】(2)實數a，b在數軸上的位置如圖所示，化簡：；

(3)已知a，b，c為的三邊長．化簡：．
【答案】(1)1(2)(3)
【分析】（1）根據二次根式有意義的條件判斷出x的范圍，再根據二次根式的性質化簡可得；
（2）由a、b在數軸上的位置判斷出、，再利用二次根式的性質化簡即可得；（3）由三角形三邊間的關系得出、、，再利用二次根式的性質化簡可得．
【詳解】（1）解：隱含條件，解得：，，
∴原式；
（2）解：觀察數軸得隱含條件：，，，∴，，
∴原式；
（3）解：由三角形三邊之間的關系可得隱含條件：，，，，
∴，，，
∴原式
．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質及三角形三邊間的關系等知識點．
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·統考中考真題）已知關于x的方程有兩個實數根，則的化簡結果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根據關于x的方程有兩個實數根，得判別式，由此可得，據此可對進行化簡．
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個實數根，
∴判別式，整理得：，∴，∴，，
∴．故選：A．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關鍵．
2．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學?？寄M預測）若屬于真分數，任意寫出一個符合條件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】屬于真分數，則是整數，且不能為的因數，即可求解．
【詳解】∵屬于真分數，∴，且為整數，
∴可以取，即，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查二次根式的性質，理解真分數的定義是解題的關鍵．
3．（2023上·山西晉城·九年級統考期中）當時，求的值．如圖

(1)______的解法是錯誤的．(2)當時，求的值．
【答案】(1)小亮(2)
【分析】此題考查二次根式的性質，二次根式有意義的條件，絕對值的化簡，
（1）根據二次根式的性質判斷，由此進行判斷；
（2）利用完全平方公式將化為，再根據取值化簡即可；
正確理解二次根式的性質進行化簡是解題的關鍵．
【詳解】（1）
當時，，則小亮的解法是錯誤的，故答案為：小亮；
（2）當時，＝．
■考點三　二次根式的運算
◇典例6：（2023·青海西寧·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的運算法則運算判斷．
【詳解】解：A、 ，不能合并，原計算錯誤，本選項不合題意；
B、 ，原計算錯誤，本選項不合題意；
C、 ，計算正確，本選項符合題意；
D、，注意運算順序，原計算錯誤，本選項不合題意；故選：C
【點睛】本題考查二次根式的運算，乘法公式；注意掌握運算法則是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·遼寧大連·統考中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】據零指數冪，二次根式的加法以及二次根式的性質，二次根式的混合運算進行計算即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意； C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了零指數冪，二次根式的加法以及二次根式的性質，二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
2.（2023·重慶·統考中考真題）估計的值應在（ ）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
【答案】A
【分析】先計算二次根式的乘法，再根據無理數的估算即可得．
【詳解】解：，
，，即，，故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的乘法、無理數的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關鍵．
◇典例7：（2023·上?！そy考中考真題）計算：
【答案】
【分析】根據立方根、負整數指數冪及二次根式的運算可進行求解．
【詳解】解：原式．
【點睛】本題主要考查立方根、負整數指數冪及二次根式的運算，熟練掌握立方根、負整數指數冪及二次根式的運算是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2021·湖南常德市·中考真題）計算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先將括號內的式子進行通分計算，最后再進行乘法運算即可得到答案．
【詳解】解：== =2．故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則以及乘法公式是解答此題的關鍵．
2．（2023·甘肅武威·統考中考真題）計算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合運算法則計算即可．
【詳解】解：．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解答本題的關鍵．
3．（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）定義：我們將與稱為一對“對偶式”，因為，可以有效的去掉根號，若，則 ．
【答案】7
【分析】易知與是一對“對偶式”，可根據化簡計算即可．
【詳解】解：根據材料可知，與是一對“對偶式”，
∵，∴
故答案為：7．
【點睛】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的乘法運算及題中所給運算是解題的關鍵．
◇典例8：（2023·河南駐馬店·模擬預測）斐波那契（約）是意大利數學家，他研究了一列數，被稱為“斐波那契數列”．他發現該數列中的每個正整數都可以用無理數的形式表示，如第（為正整數）個數可表示為，且連續三個數，，之間存在以下關系（）．①第個數；②第個數：；③“斐波那契數列”中的前個數是，，，，，，，；④若把“斐波那契數列”中的每一項除以所得的余數按相對應的順序組成一組新數列，在新數列中，第項的值是．以上說法正確的有______．（請把你認為正確的序號全都填上去）
【答案】①②④
【分析】將和代入即可求得和，再按照可以求得前八個數，根據“把‘斐波那契數列’中的每一項除以所得的余數”求出來一部分特殊項，觀察規律，即可得到第項的值．
【詳解】，故正確；
，故錯誤；
“斐波那契數列”中的前個數是，，，，，，，，故正確；
，，，，，，，除以所得的余數分別是，，，，，，，，，，，，，，故在新數列中，第項的值是，故正確．故答案為：．
【點睛】本題考查了規律探究題，讀懂題意，列出特殊項，觀察一般規律是解決本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·四川達州·統考中考真題）人們把這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法中的“0.618法”就應用了黃金比．設，，記，，…，，則_______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100， ，利用規律求解即可．
【詳解】解：，，，
，
，…，
故答案為：5050
【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得，找出的規律是本題的關鍵．
2．（2022·廣東潮州·統考一模）將按如圖所示方式排列，若規定表示第排從左往右第個數，則表示的數是
【答案】
【分析】根據數的排列方法可知，第一排：個數，第二排個數．第三排個數，第四排個數，…第排有個數，從第一排到排共有：…個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出第排第個數到底是哪個數后再計算．
【詳解】解：表示第排從左向右第個數，可以看出奇數排最中間的一個數都是，
，，
則所表示的數是，故答案為．
【點睛】此題主要考查了數字的變化規律，這類題型在中考中經常出現．判斷出所求的數是第幾個數是解決本題的難點；得到相應的變化規律是解決本題的關鍵．
◇典例9：（2022·四川宜賓·統考中考真題）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為．現有周長為18的三角形的三邊滿足，則用以上給出的公式求得這個三角形的面積為______．
【答案】
【分析】根據周長為18的三角形的三邊滿足，求得，代入公式即可求解．
【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足，設
∴解得
故答案為：
【點睛】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·山東聊城·中考真題）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數法表示）為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根據二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：，故選：D．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡以及科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
◇典例10：（2023·重慶·?？既＃┠硵祵W興趣小組在學習二次根式的時候發現：有時候兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，例如，，，．通過查閱相關資料發現，這樣的兩個代數式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個結論：
甲：；乙：設有理數a，b滿足：，則；
丙：；?。阂阎?，則；
戊：.以上結論正確的有（　　?。?br/>A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根據分母有理化進行計算逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：甲：，正確；
乙：設有理數a，b滿足：，則，故乙錯誤；
丙：
，故丙正確；
?。?，，
則，故丁錯誤；
戊：
，故戊正確
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正確的計算是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·廣西中考模擬）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于，設，易知，故，由，解得，即．根據以上方法，化簡后的結果為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題中給的方法分別對和進行化簡，然后再進行合并即可.
【詳解】設，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故選D．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解題的關鍵.
2．（2023貴州西·中考模擬）閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：
設（其中均為整數），則有．
∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
當均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示，得＝　，＝??；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數，填空： ＋　 ?。?　 ?。?　)2；
（3）若，且均為正整數，求的值．
【答案】（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．
【解析】 (1)∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案為m2＋3n2，2mn．
(2)設m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案為13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由題意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n為正整數，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
◇典例11：（2023上·福建泉州·九年級校聯考階段練習）已知，為兩個正實數，，，即：，當且僅當“”時，等號成立．我們把叫做正數，的算術平均數，把叫做正數，的幾何平均數，于是上述不等式可表述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具．示例：當時，求的最小值；
解：，當，即時，的最小值為3．
(1)探究：當時，求的最小值；
(2)知識遷移：隨著人們生活水平的提高，汽車已成為越來越多家庭的交通工具，假設某種汽車的購車費用為10萬元，每年應繳保險費等各類費用共計0.4萬元，年的保養，維修費用總和為萬元，問這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少，年平均費用所有費用：年數）？最少年平均費用為多少萬元？
(3)創新應用：如圖，在直角坐標系中，直線經點，與坐標軸正半軸相交于，兩點，當的面積最小時，求直線的表達式．

【答案】(1)5(2)10年；2.5萬元(3)
【分析】（1）直接利用可得結論；（2）先求解年平均保養費用，利用可得結論；（3）設直線為：，用含的代數式表示的坐標，求解的面積，利用求解面積最小值時的值，據此求解即可．
【詳解】（1）解：，，
當，即時，的最小值為5；
（2）解：由題意得：，年平均費用．
當時，，即時，這種汽車使用10年報廢最合算，最少年平均費用為2.5萬元；
（3）解：設直線為：，把代入解析式得：，
，直線為：，令，，
令，，，，由題意知：，
，
由題意得：，．
當時，即時，最小，直線為：．
【點睛】本題考查的是自定義題，同時考查了求解代數式的最小值及其應用，考查了利用待定系數法求解一次函數的解析式，仔細弄懂題意是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023上·四川內江·九年級?？茧A段練習）我們學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現：當時，有，當且僅當時取等號．
(1)當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；
(2)當時，求的最小值；
(3)如圖，四邊形的對角線、相交于點、的面積分別為和，求四邊形的最小面積．

【答案】(1)；(2)的最小值為(3)
【分析】（1）根據題目中給出的信息進行解答即可；
（2）先將變形得到，然后根據題目中給出的信息進行解答即可；
（3）設，根據等高三角形性質得出 ，求出 ，根據四邊形的面積為，根據題干的信息，求出最小值即可．
【詳解】（1）解：∵當時，，即，∴的最小值為；
∵當時，，∴，即，
∴，∴，∴的最大值為；故答案為：；；
（2）解：，
，，∴當時，的最小值為．
（3）解：設，已知，，則由等高三角形性質可知， ，
∴， ，
因此四邊形的面積，
當且僅當時取等號，即四邊形面積的最小值為 ．
【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，三角形面積的計算，解題的關鍵是理解題意，準確計算．
2．（2023·北京西城·九年級校考期中）閱讀下述材料：
我們在學習二次根式時，熟悉的分母有理化以及應用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，
與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：
比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢?，，
因為，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
當時，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解決下述問題：(1)比較和的大??；(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)(2)的最大值為2，最小值為
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大小；
（2）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當時，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用當時，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【詳解】（1），
，而，，
，；
（2）由，，得，
，
∴當時，有最小值，則有最大值1，此時有最大值1，所以的最大值為2；
當時，有最大值，則有最小值，此時有最小值0，所以的最小值為．
【點睛】本題考查了非常重要的一種數學思想：類比思想．解決本題關鍵是要讀懂例題，然后根據例題提供的知識點和方法解決問題．同時要注意所解決的問題在方法上類似，但在細節上有所區別．
1．（2023·山東青島·統考中考真題）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的運算法則將各式計算后進行判斷即可．
【詳解】A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；C. ，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
2．（2023·湖南·統考中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結果．
【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，得，，故選：D．
【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數是本題的關鍵．
3．（2023·湖北荊州·統考中考真題）已知，則與最接近的整數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據二次根式的混合運算進行計算，進而估算無理數的大小即可求解．
【詳解】解：
∵，∴,∴與最接近的整數為，故選：B．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，無理數的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
4．（2021·湖南婁底·統考中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根據三角形三邊的關系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論．
【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，
，故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是：先根據題意求出的范圍，再對二次根式化簡．
5．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二次根式的性質判斷即可．
【詳解】解：A.，故錯誤；B.，故正確；
C.，故錯誤；D.，故錯誤；故選：B．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
6．（2023·四川內江·統考中考真題）函數的自變量的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式有意義的條件，求出的解集，再在數軸上表示即可．
【詳解】解：中，，，
故在數軸上表示為： 故選：D．
【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1．
7．（2023·山東濰坊·統考中考真題）從、，中任意選擇兩個數，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計算該算式的結果是 ．（只需寫出一種結果）
【答案】（或或，寫出一種結果即可）
【分析】先利用完全平方公式計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可得．
【詳解】解：①選擇和，
則．
②選擇和，
則．
③選擇和，
則．
故答案為：（或或，寫出一種結果即可）．
【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．
8．（2023·山東聊城·統考中考真題）計算： ．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性質化簡，再計算括號內的減法，然后計算二次根式的除法即可．
【詳解】解：故答案為：3．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵．
9．（2022·湖北隨州·中考真題）已知m為正整數，若是整數，則根據可知m有最小值．設n為正整數，若是大于1的整數，則n的最小值為______，最大值為______．
【答案】 3 75
【分析】根據n為正整數， 是大于1的整數，先求出n的值可以為3、12、75，300，再結合是大于1的整數來求解．
【詳解】解：∵，是大于1的整數，∴．
∵n為正整數∴n的值可以為3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案為：3；75．
【點睛】本題考查了無理數的估算，理解無理數的估算方法是解答關鍵．
10．（2022·四川南充·中考真題）若為整數，x為正整數，則x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根據根號下的數大于等于0和x為正整數，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據為整數即可得的值．
【詳解】解：∵∴ ∵為正整數∴可以為1、2、3、4、5、6、7、8
∵為整數∴為4或7或8故答案為：4或7或8．
【點睛】本題考查了利用二次根式的性質化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
11．（2022·四川眉山·中考真題）將一組數，2，，，…，，按下列方式進行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為________．
【答案】
【分析】先找出被開方數的規律，然后再求得的位置即可．
【詳解】數字可以化成：，，，；，，，；
∴規律為：被開數為從2開始的偶數，每一行4個數，
∵，28是第14個偶數，而 ∴的位置記為故答案為：
【點睛】本題考查了類比點的坐標解決實際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數全部統一是關鍵．
12．（2022·山東濟寧·統考中考真題）已知，，求代數式的值．
【答案】－4
【分析】先將代數式因式分解，再代入求值．
【詳解】故代數式的值為．
【點睛】本題考查因式分解、二次根式的混合運算，解決本題的關鍵是熟練進行二次根式的計算．
13．（2022·上海·統考中考真題）計算：
【答案】
【分析】原式分別化簡，再進行合并即可得到答案．
【詳解】解：==
【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
1.（2023·山東·中考模擬）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的性質、二次根式的加法法則、除法法則計算，判斷即可．
【詳解】，A選項成立，不符合題意；
，B選項成立，不符合題意；
，C選項不成立，符合題意；
，D選項成立，不符合題意； 故選C．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質、二次根式的混合運算法則是解題關鍵．
2．（2023上·河南新鄉·九年級?？茧A段練習）已知；，且，則a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先根據m和n的值得出和的值，從而得出和的值，然后利用整體代入求出a的值．
【詳解】解：由，得，
兩邊平方，得，即，故，
同理，得，代入，
得解得，故選C．
【點睛】本題考查了二次根式的靈活運用，直接將m、n的值代入，運算比較冗繁，解題關鍵是求出部分代數式的值再整體代入．
3．（2023上·四川內江·九年級?？计谥校┬∶鞯淖鳂I本上有以下四題：①；②；③；④．做錯的題是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】分別利用二次根式的性質及其運算法則計算即可判定．
【詳解】解：①，正確；
②由式子可判斷，∴，正確；
在③中，左邊兩個不是同類二次根式，不能合并，錯誤；
④由式子可判斷，∴，正確；
綜上分析可知，做錯的題是③．故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質及其簡單的計算，注意二次根式的性質：．同時二次根式的加減運算實質上是合并同類二次根式．
4．（2023上·四川巴中·九年級統考期中）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將各選項二次根式化簡為最簡二次根式，再根據同類二次根式的定義做判斷，本題主要考查同類二次根式的定義，解題過程中注意化簡．
【詳解】解：A、和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B、和是同類二次根式，故本選項符合題意；
C、和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
D、和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．
5．（2023上·河南周口·九年級校聯考階段練習）若為實數，在“”的“”中添上一種運算符號（在“”“”“”“”中選擇），其運算結果是有理數，則不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的運算法則，逐個進行計算可得結論．
【詳解】解：當時，，其結果是有理數；
當時，，其結果是有理數；
當時，，其結果是有理數；
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，故x不能為，故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式運算法則是解題關鍵．
6．（2023上·河南南陽·九年級統考階段練習）小英在中的“■”填入運算符號“”得到的結果為，小康在中的“■”填入運算符號“”得到的結果為，則，之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意計算與，即可求解．
【詳解】解：依題意，，
∴，故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
7．（2023上·四川內江·九年級校考期中）當時，多項式的值為
【答案】
【分析】本題考查已知字母的值，求代數式的值，根據已知條件，得到，進而得到，將多項式轉化為，再代值計算即可，本題的難度較大，關鍵是將已知式子進行變形，轉化．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∴
．故答案為：.
8．（2023上·河南開封·九年級統考期中）請寫出一個大于1且小于2的最簡二次根式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】題目主要考查二次根式的比較大小，解題的關鍵是根據題意得出，，然后取根式即可．
【詳解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最簡二次根式為（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．
9．（2023上·四川內江·九年級?？计谥校?）計算：
（2）計算：；（3）計算：
【答案】（1）0；（2）；（3）；
【分析】本題考查了二次根式的性質以及二次根式的混合運算，完全平方公式和平方差公式．
（1）先根據二次根式的性質化簡，再進行加減運算，即可計算求值；
（2）先化簡二次根式和絕對值，再進行加減運算，即可計算求值；（3）先根據二次根式的乘法法則以及完全平方公式和平方差公式展開，再進行加減運算，即可計算求值．
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）
．
10．（2023上·四川巴中·九年級統考期中）已知，，試求下列各式的值：
(1)(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查二次根式化簡求值，根據二次根式的混合運算法則求得，和的值，
（1）利用完全平方公式把原式變形后求解即可；（2）根據分式的混合運算先通分再利用平方差公式計算即可；熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，，
，，
，，
（2），
11．（2023上·廣東佛山·九年級?？计谥校氨炔罘ā笔菙祵W中常用的比較兩個數大小的方法，即：；
例如：比較與2的大?。?br/>∵又∵則
∴，∴．
請根據上述方法解答以下問題：
(1)的整數部分是________，的小數部分是________；(2)比較與的大小．
(3)已知，試用“比差法”比較與的大?。?br/>【答案】(1)5，(2)(3)
【分析】此題考查了無理數大小的比較，弄清題中的“作差比較法”是解本題的關鍵．
（1）首先估算出，據此問題即可求解；（2）根據“比差法”比較兩個數大小即可；
（3）根據“比差法”比較得再得到，根據，化簡比較即可求解．
【詳解】（1）解：，
的整數部分是5；小數部分為，故答案為：5；；
（2）解：，；
（3）解：
，，．
12．（2023上·河南周口·九年級?？茧A段練習）觀察下列算式：
①由，得；
②由，得；
③由，得；……
(1)根據以上算式，______；(2)計算：；
(3)利用以上規律，計算：．
【答案】(1)(2)(3)208
【分析】（1）根據題干中運算規律求解即可；（2）根據題干中運算規律求解即可；
（3）先運用（2）中所得規律，將中各項化簡計算，最后運用平方差公式進行計算即可．
【詳解】（1）根據題干中的規律可得，；
（2）根據題干中的規律可得，；
（3）
．
【點睛】本題考查了運用平方差公式進行分母有理化，解題的關鍵在于正確理解題意找到規律求解．
1．（2023上·四川宜賓·九年級?？茧A段練習）若，則a的值所在的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意知，，由，然后利用不等式的性質求解作答即可．
【詳解】解：
，
∵，∴，∴，即，故選：D．
【點睛】本題考查了分母有理化，無理數的估算，不等式的性質．解題的關鍵在于利用分母有理化進行化簡．
2．（2022·湖南常德·中考真題）我們發現：，，，…，，一般地，對于正整數，，如果滿足時，稱為一組完美方根數對．如上面是一組完美方根數對．則下面4個結論：①是完美方根數對；②是完美方根數對；③若是完美方根數對，則；④若是完美方根數對，則點在拋物線上．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據定義逐項分析判斷即可．
【詳解】解：，是完美方根數對；故①正確；
不是完美方根數對；故②不正確；
若是完美方根數對，則即解得或
是正整數則故③正確；
若是完美方根數對，則,即故④正確故選C
【點睛】本題考查了求算術平方根，解一元二次方程，二次函數的定義，理解定義是解題的關鍵．
3．（2023上·湖北·九年級?？贾軠y） ．
【答案】5
【分析】本題考查了二次根式的性質和化簡，利用算術平方根、立方根的性質以及二次根式的性質化簡即可求解．
【詳解】解：
，故答案為：5．
4．（2023·浙江寧波·校考模擬預測）已知整數x，y滿足，則的最小值為 _____．
【答案】
【分析】原式可變形為，然后因式分解為，從而得到，進而分析得出
，，則答案可得．
【詳解】解：，
變形為，
∴，∴，∴，
∵x，y均為整數，，∴最小值時，，
∴最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是的得到．
5．（2023下·浙江湖州·九年級統考期中）閱讀下列材料，解答后面的問題：
在二次根式的學習中，我們不僅要關注二次根式本身的性質、運算，還要用到與分式、不等式相結合的一些運算．如：
①要使二次根式有意義，則需，解得：；
②化簡：，則需計算，
而
，
所以
(1)根據二次根式的性質，要使成立，求a的取值范圍；
(2)利用①中的提示，請解答：如果，求的值；
(3)利用②中的結論，計算：
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據二次根式的被開方數不能為負數，且分母不能為0，列出不等式組，求解即可；
（2）根據二次根式的被開方數不能為負數，列出不等式組，求解可得a的值，將a的值代入已知等式可得b的值，最后求a與b的和即可；
（3）利用②中的結論直接化簡各個二次根式，再根據有理數的加減法法則計算即可．
【詳解】（1）解：由題意得，，由①得，由②得， ∴；
（2）解：由題意得，∴，
∴，∴；
（3）解：原式．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件；二次根式有意義的條件；二次根式的性質與化簡；探索數與式的規律．解決本題的關鍵是根據數字的變化尋找規律．
6．（2023上·山西長治·九年級長治市第六中學?？计谥校╅喿x與思考
下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．
雙層二次根式的化簡 二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網還發現了一類帶雙層根號的式子，就是根號內又帶根號的式子、它們能通過完全平方公式及二次根式的性質消掉外面的一層根號． 例如：要化簡，可以先思考（根據1）． ．通過計算，我還發現設（其中m，n，a，b都為正整數），則有．∴，__________． 這樣，我就找到了一種把部分化簡的方法．
任務：(1)文中的“根據1”是__________，__________．(2)根據上面的思路，化簡：．
(3)已知，其中a，x，y均為正整數，求a的值．
【答案】(1)完全平方公式；(2)(3)或
【分析】（1）根據完全平方公式進行解答即可；（2）根據題干中提供的信息，進行變形計算即可；
（3）根據，得出，，根據x，y為正整數，求出，或，，最后求出a的值即可．
【詳解】（1）解：的根據是完全平方公式；
∵，∴，．故答案為：完全平方公式；．
（2）解：．
（3）解：由題意得，∴，，
∵x，y為正整數，∴，或，，∴或．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用，二次根式的化簡，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式和二次根式的性質．
7．（2023上·福建泉州·九年級?？茧A段練習）閱讀理解：若a、b都是非負實數，則，當且僅當時，“＝”成立．
證明：∵ ∴ ∴，當且僅當時，“＝”成立．
(1)已知，求的最小值．(2)求代數式：的最小值．
(3)問題解決：如圖，某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園，由長方形的休閑區和環公園人行道（陰影部分）組成，已知休閑區的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4m和10m，則要使公園占地面積最小，休閑區的長和寬應如何設計？

【答案】(1)2(2)4(3)長為100m，寬為40m
【分析】對于（1），根據，可得答案；
對于（2），先化簡，得，再根據（1）討論即可；
對于（3），設休閑區的長為xm，進而表示出寬，再表示出面積，然后根據材料提示可得答案．
【詳解】（1）根據題意，得，
當時，解得時，所以，當時，原式的最小值為2；
（2）由，可知，
當時，解的，所以當時，原式的最小值為4；
（3）設休閑區的長為xm，則寬為，根據題意，得
公園的面積，
．
當時，解得，所以當時，面積最小為5760．
則，所以休閑區的長為m，寬為m．
【點睛】本題主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程，求最小值等，解題的關鍵是弄清題意，求出最小值．
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