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第一章 數與式
第二節 整式與因式分解
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式的相關概念 ☆☆ 本節內容在中考數學中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的加減、乘除法則及冪的運算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。探究與表達規律、乘法公式的運用偶爾考查難度相對較大。因式分解作為整式乘法的逆運算，在數學中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現，難度不大。
考點2 整式的相關概念 ☆☆
考點3 整式的運算 ☆☆☆
考點4 因式分解 ☆☆
■考點一　代數式的相關概念
1.代數式：用基本的運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做 。
2.代數式的值：用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果叫做 。
■考點二　整式的相關概念
1．單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做 ，所有字母指數的和叫做單項式的 ，數字因數叫做單項式的 。
2．多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做 ，多項式里次數最高的項的次數叫做這個多項式的 ，其中不含字母的項叫做 。
3．整式：單項式和多項式統稱為 。
■考點三　整式的運算
1．同類項：多項式中所含 相同并且相同字母的 也相同的項，叫做 。
2．整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。
3．冪的運算：am·an= ；（am）n= ；（ab）n= ；am÷an= 。
4．整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
（2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）= 。
（3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）= 。
5．乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
6．整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。
7.整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面。
8.探究與表達規律常見類型：
1）一列數的規律：把握常見幾類數的排列規律及每個數與排列序號之間的關系。
2）一列等式的規律：用含有字母的代數式總結規律，注意此代數式與序號之間的關系。
3）圖形（圖表）規律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數或圖形總數與序號之間的關系。
4）圖形變換的規律：找準循環周期內圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數除以一個循環變換周期，進而觀察商和余數。
5）數形結合的規律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論。
■考點四　因式分解
1．因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫 ，因式分解與整式乘法是 運算。
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）運用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分組分解。
3．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；
（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。
以上步驟可以概括為“一 二 三 ”。
■易錯提示
1.規范書寫格式：列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．
2.單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關。如單項式的次數是2＋3＋4=9。
3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結果可能是單項式，也可能是多項式。
4.因式分解分解對象是多項式，分解結果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可。
■考點一　代數式的相關概念
◇典例1：（2023·吉林長春·統考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
◆變式訓練
1.（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a＝______；
（2）設甲盒中都是黑子，共個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多______個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為______．
2.（2023·安徽宣城·校考模擬預測）某工廠一月份的產值為a，二月份的產值比一月份增長了，三月份的產值又比二月份的產值增長了，則三月份的產值比一月份增長了（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023年江蘇省南通市中考數學真題）若，則的值為（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
◆變式訓練
1．（2023年湖南省常德市中考數學真題）若，則( )
A．5 B．1 C． D．0
2.（2021·四川達州市·中考真題）如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入的值為3，則輸出值為___________．
■考點二　整式的相關概念
◇典例3：（2022·廣東·中考真題）單項式的系數為___________．
◆變式訓練
1. （2023.山東省濟寧市九年級期中）下列結論中正確的是（ ）
A．單項式的系數是，次數是4 B．單項式m的次數是1，系數為0
C．多項式是二次三項式 D．在，，，，，0中整式有4個
2．（2020·四川綿陽市·中考真題）若多項式是關于x，y的三次多項式，則_____．
◇典例4：（2023·廣東東莞·統考一模）若和是同類項，則 ．
◆變式訓練
1．（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（ ）
A． B． C． D．
■考點三　整式的運算
◇典例5：（2023·遼寧丹東·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·山東泰安·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2020·河南中考真題）電子文件的大小常用等作為單位，其中
，某視頻文件的大小約為等于( )
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·陜西西安·校考二模）先化簡，再求值：，其中，．
◆變式訓練
1．（2023·山東青島·統考中考真題）計算： ．
2．（2023·湖南·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
3．（2023·浙江金華·統考中考真題）已知，求的值．
◇典例7：（2023年江蘇省鎮江市中考數學真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于（ ）

A．128 B．64 C．32 D．16
◆變式訓練
1．（2023·四川樂山·統考中考真題）若m、n滿足，則 ．
2．（2023.江蘇.九年級期中）已知，則x的值為 ．
3．（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成個不同的數據二維碼，現有四名網友對的理解如下：
YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（覺醒年代）：的個位數字是6；
QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．
其中對的理解錯誤的網友是___________（填寫網名字母代號）．
◇典例8：（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）若實數m滿足，則 ．
◆變式訓練
1．（2023年四川省涼山州數學中考真題）已知是完全平方式，則的值是 ．
2．（2023年河北省中考數學真題）若k為任意整數，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數式是一個完全平方式，則實數t的值為_______．
◇典例9：（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：
① ②

③ ④
其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
1．（2023年湖北省隨州市中考數學真題）設有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數為( )

A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中．
(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；
(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）
(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．
①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
◇典例10：（2023·四川德陽·統考中考真題）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規律進行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．
則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（ ）
A． B．m C． D．
◆變式訓練
1.（2023年湖南省岳陽市中考數學真題）觀察下列式子：
；；；；；…
依此規律，則第（為正整數）個等式是 ．
2．（2023年湖南省常德市中考數學真題）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數若排在第a行b列，則的值為( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，展開的多項式中各項系數之和為 ．
◇典例11：（2023年四川省綿陽市中考數學真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數為，第2幅圖形中“●”的個數為，第3幅圖形中“●”的個數為，…，以此類推，那么的值為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023年重慶市中考數學真題）用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
2．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）在求的值時，發現：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續下去，則 ．（結果用含n的代數式表示）

◇典例12：（2021·湖北鄂州市·中考真題）數學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數之和與這兩個正數之積的算術平方根的兩倍之間的關系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．
猜想發現：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（當且僅當時等號成立）．
猜想證明：∵
∴①當且僅當，即時，，∴；
②當，即時，，∴．
綜合上述可得：若，，則成立（當日僅當時等號成立）．
猜想運用：（1）對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？
變式探究：（2）對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？
拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？
◆變式訓練
1.（2023上·廣西河池·九年級統考期中）閱讀下列材料：
我們把多項式及叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值．
例如：求代數式的最小值．
解：
∵，∴，
∴當時，的最小值為；
再例如：求代數式的最大值．
解：
∵，∴，∴；
∴當時，的最大值為．
(1)【直接應用】代數式的最小值為_______；(2)【類比應用】若，試求的最小值；(3)【知識遷移】如圖，學校打算用長的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的菜地的最大面積．
■考點四　因式分解
◇典例13：（2023·四川攀枝花·統考中考真題）以下因式分解正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）因式分解： ．
2．（2023·江蘇南京·九年級校考自主招生）因式分解：
(1)； (2)．
3．（2023·浙江嘉興·統考中考真題）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式： ．
4.（2023·廣東深圳·統考中考真題）已知實數a，b，滿足，，則的值為 ．
1．（2023·江蘇·統考中考真題）下列計算正確的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的數字為 B．左下角的數字為
C．右下角的數字為 D．方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數
3．（2023年山東省濟寧市中考數學真題）已知一列均不為1的數滿足如下關系：，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023年重慶市中考數學真題（A卷））用長度相同的木棍按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
5．（2022·四川德陽·中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy=___．
6．（2023·四川雅安·統考中考真題）若，，則的值為 ．
7．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）因式分解： ．
8．（2023·四川涼山·統考中考真題）已知，則的值等于 ．
9．（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：；；；；…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對： ．

10．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知 用“＜”表示的大小關系為________.
11．（2023·四川涼山·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中，．
12．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）觀察下面的等式：，，，，…．
(1)嘗試：___________．
(2)歸納：___________（用含n的代數式表示，n為正整數）．
(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．
13．（2023年河北省中考數學真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．
(1)請用含a的式子分別表示；當時，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．
1．（2023·山東·一模）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是－3 B．的次數是3
C．的各項分別為2a，b，1 D．多項式是二次三項式
2．（2023·江蘇揚州·中考模擬）若，則括號內應填的單項式是( )
A．a B． C． D．
3．（2023·重慶沙坪壩·校考二模）下列圖形都是由同樣大小的△按一定規律組成的，其中第①個圖形中一共有5個，第②個圖形中一共有12個，第③個圖形中一共有21個，……，按此規律排列，則第⑧個圖形中的個數為（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
4．（2023·江蘇鹽城·校聯考二模）化簡 所得的結果等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河北保定·九年級校考開學考試）下列各數中，不能被整除的是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
6．（重慶市西北狼教育聯盟2023-2024學年八年級上學期開學學業調研數學試題）已知，則 ．
7．（2023·四川德陽·中考模擬）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則 ．
16
7
4
8．（2023·四川內江·中考模擬）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
9．（2023·陜西西安·校考二模）我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，如圖中的楊輝三角，又稱賈憲三角，其中揭示了（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律如下：按上述規律，則的展開式中，從左起第二項的系數為 ．

10．（2023上·廣東·九年級校考期中）如果是一個完全平方公式，則 ．
11．（2023下·湖北武漢·九年級校考階段練習）已知，則的值為 ．
12．（2023·安徽·校聯考二模）觀察以下等式：
第1個等式：，第2個等式：，
第3個等式：，……根據以上規律，解決下列問題：
(1)寫出第4個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
1．（2023·浙江·統考一模）定義：如果代數式（，、、是常數）與（，、、是常數），滿足，，，則稱這兩個代數式A與B互為“同心式”，下列四個結論：（1）代數式：的“同心式”為；
（2）若與互為“同心式”，則的值為1；
（3）當時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數；
（4）若A、B互為“同心式”，有兩個相等的實數根，則．
其中，正確的結論有（ ）個．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））在多項式（其中中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：，，．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．其中正確的個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的________倍．
4．（2023年四川省成都市數學中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數，的平方差，且，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，，16就是一個智慧優數，可以利用進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 ；第23個智慧優數是 ．
5．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，∵，，∴7311是“天真數”；四位數8421，∵，∴8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為 ；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
6．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）閱讀下面材料：
將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．
則
例如：當，時，
根據以上材料解答下列問題：(1)當，時，______，______；
(2)當，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數，從（1）中的計算結果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；(3)當，時，令，，，…，，且，求T的值．
7．（2023年山東省濰坊市中考數學真題）［材料閱讀]
用數形結合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數和的圖象，觀察圖②可知
的結果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個函數圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數圖象的交點到軸的距離為1，
所以，．

【實踐應用】任務一 完善的求值過程．
方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數圖象的交點的坐標為______，所以，______．
任務二 參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務三 用方法2，求的值（結果用表示）．
【遷移拓展】長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

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第一章 數與式
第二節 整式與因式分解
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 代數式的相關概念 ☆☆ 本節內容在中考數學中難度中下，每年考查3題左右，分值為12分左右，主要考查整式的加減、乘除法則及冪的運算，難度一般不大，偶爾考察整式的基本概念。探究與表達規律、乘法公式的運用偶爾考查難度相對較大。因式分解作為整式乘法的逆運算，在數學中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現，難度不大。
考點2 整式的相關概念 ☆☆
考點3 整式的運算 ☆☆☆
考點4 因式分解 ☆☆
■考點一　代數式的相關概念
1.代數式：用基本的運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做 代數式 。
2.代數式的值：用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果叫做代數式的值。
■考點二　整式的相關概念
1．單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做 單項式 ，所有字母指數的和叫做單項式的 次數 ，數字因數叫做單項式的 系數 。
2．多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做 多項式 ，多項式里次數最高的項的次數叫做這個多項式的 次數 ，其中不含字母的項叫做 常數項 。
3．整式：單項式和多項式統稱為 整式 。
■考點三　整式的運算
1．同類項：多項式中所含 字母 相同并且相同字母的 指數 也相同的項，叫做 同類項 。
2．整式的加減：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。
3．冪的運算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。
4．整式的乘法：（1）單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
（2）單項式與多項式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。
（3）多項式與多項式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。
5．乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
6．整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數、同底數的冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數作為商的因式.（2）多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。
7.整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面。
8.探究與表達規律常見類型：
1）一列數的規律：把握常見幾類數的排列規律及每個數與排列序號之間的關系。
2）一列等式的規律：用含有字母的代數式總結規律，注意此代數式與序號之間的關系。
3）圖形（圖表）規律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數或圖形總數與序號之間的關系。
4）圖形變換的規律：找準循環周期內圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數除以一個循環變換周期，進而觀察商和余數。
5）數形結合的規律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論。
■考點四　因式分解
1．因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫因式分解 ，因式分解與整式乘法是互逆 運算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）運用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分組分解。
3．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項式各項有公因式，應先提取公因式；
（2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。
以上步驟可以概括為“一 提 二 套 三 檢查 ”。
■易錯提示
1.規范書寫格式：列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．
2.單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關。如單項式的次數是2＋3＋4=9。
3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結果可能是單項式，也可能是多項式。
4.因式分解分解對象是多項式，分解結果必是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可。
■考點一　代數式的相關概念
◇典例1：（2023·吉林長春·統考中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
【答案】
【分析】根據題意列出代數式即可．
【詳解】根據題意可得，他離健康跑終點的路程為．故答案為：．
【點睛】此題考查了列代數式，解題的關鍵是讀懂題意．
◆變式訓練
1.（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a＝______；
（2）設甲盒中都是黑子，共個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數比甲盒所剩棋子數多______個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為______．
【答案】 4 1
【分析】①用列表的方式，分別寫出甲乙變化前后的數量，最后按兩倍關系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數量，按要求計算寫出代數式，化簡，即可
③用列表的方式，分別寫出甲乙每次變化后的數量，算出移動的a個棋子中有x個白子，個黑子，再根據要求算出y，即可
【詳解】答題空1：
原甲：10 原乙：8
現甲：10-a 現乙：8+a
依題意：解得：故答案為：4
答題空2：
原甲：m 原乙：2m
現甲1：m-a 現乙1：2m+a
第一次變化后，乙比甲多：故答案為：
答題空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
現甲1：m黑-a黑 現乙1：2m白+a黑
現甲2：m黑-a黑+a混合 現乙2：2m白+a黑-a混合
第二次變化，變化的a個棋子中有x個白子，個黑子
則： 故答案為：1
【點睛】本題考查代數式的應用；注意用表格梳理每次變化情況是簡單有效的方法
2.（2023·安徽宣城·校考模擬預測）某工廠一月份的產值為a，二月份的產值比一月份增長了，三月份的產值又比二月份的產值增長了，則三月份的產值比一月份增長了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得某工廠二月份的產值為，三月份的產值為，則三月份的產值比一月份增長．
【詳解】解：∵某工廠二月份的產值為，三月份的產值為，
∴三月份的產值比一月份增長．故選D．
【點睛】此題主要考查了列代數式，關鍵是正確理解題意，準確的表示二月份的產值，三月份的產值．
◇典例2：（2023年江蘇省南通市中考數學真題）若，則的值為（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【分析】根據得到，再將整體代入中求值．
【詳解】解：，得，變形為，
原式．故選：D．
【點睛】本題考查代數式求值，將變形為是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年湖南省常德市中考數學真題）若，則( )
A．5 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】把變形后整體代入求值即可．
【詳解】∵，∴
∴，故選：A．
【點睛】本題考查代數式求值，利用整體思想是解題的關鍵．
2.（2021·四川達州市·中考真題）如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入的值為3，則輸出值為___________．
【答案】2
【分析】根據運算程序的要求，將x=３代入計算可求解．
【詳解】解：∵x=3＜4∴把x=3代入，解得：，∴值為2，答案：2．
【點睛】本題主要考查列代數式，代數式求值，讀懂運算程序的要求是解題的關鍵．
■考點二　整式的相關概念
◇典例3：（2022·廣東·中考真題）單項式的系數為___________．
【答案】3
【分析】單項式中數字因數叫做單項式的系數，從而可得出答案．
【詳解】的系數是3，故答案為：3．
【點睛】此題考查了單項式的知識，解答本題的關鍵是掌握單項式系數的定義．
◆變式訓練
1. （2023.山東省濟寧市九年級期中）下列結論中正確的是（ ）
A．單項式的系數是，次數是4 B．單項式m的次數是1，系數為0
C．多項式是二次三項式 D．在，，，，，0中整式有4個
【答案】D
【分析】根據單項式次數和系數的定義，多項式項和次數的定義，整式的定義進行求解即可．
【詳解】解：A、單項式的系數是，次數是3，原結論錯誤，不符合題意；
B、單項式m的次數是1，系數為1，原結論錯誤，不符合題意；
C、多項式是三次三項式，原結論錯誤，不符合題意；
D、在，，，，，0中整式有，，和0，一共4個，原結論正確，符合題意；故選D．
【點睛】本題主要考查了單項式的次數、系數的定義，多項式的定義及其次數的定義，整式的定義，解題的關鍵在于能夠熟知相關定義．
2．（2020·四川綿陽市·中考真題）若多項式是關于x，y的三次多項式，則_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多項式的次數確定方法得出答案．
【詳解】解：多項式是關于，的三次多項式，
，，，，
或，或，或8．故答案為：0或8．
【點睛】本題主要考查了多項式，正確掌握多項式的次數確定方法是解題關鍵．
◇典例4：（2023·廣東東莞·統考一模）若和是同類項，則 ．
【答案】9
【分析】本題考查了利用同類項的定義求字母的值，先根據同類項的定義求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所給代數式計算即可．
【詳解】解：∵和是同類項，
∴．∴．∴．故答案為：9．
◆變式訓練
1．（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】根據同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的項叫做同類項，結合選項求解．
【詳解】解：由同類項的定義可知，a的指數是1，b的指數是2．
A、a的指數是2，b的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意；
B、a的指數是1，b的指數是2，與是同類項,故選項符合題意；
C、a的指數是1，b的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意；
D、a的指數是1，b的指數是2，c的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意．故選：B．
【點睛】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數是否相同．
■考點三　整式的運算
◇典例5：（2023·遼寧丹東·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用積的乘方運算法則以及冪的乘方運算法則、同底數冪的乘除運算法則分別化簡，進而得出答案．
【詳解】解：A．，故此選項符合題意；
B．，故此選項不合題意；C．，故此選項不合題意；
D．，故此選項不合題意．故選：A．
【點睛】此題主要考查了積的乘方運算以及冪的乘方運算、同底數冪的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·山東泰安·統考中考真題）下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、不能合并，本選項錯誤；B、利用完全平方公式展開得到結果，即可作出判斷；C和D、利用積的乘方及冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷．
【詳解】解：和不是同類項，不能合并，故A選項錯誤，不符合題意；
，故B選項錯誤，不符合題意；
，故C選項錯誤，不符合題意；
，故D選項正確，符合題意；故選：D．
【點睛】此題考查了完全平方公式，合并同類項，同底數冪的除法，積的乘方與冪的乘方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.
2.（2020·河南中考真題）電子文件的大小常用等作為單位，其中
，某視頻文件的大小約為等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意及冪的運算法則即可求解．
【詳解】依題意得=故選A．
【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知同底數冪的運算法則．
◇典例6：（2023·陜西西安·校考二模）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項式乘多項式運算法則去掉括號，然后再合并同列項計算，最后代入x，y計算即可．
【詳解】解： ，
當，時，原式．
【點睛】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則．
◆變式訓練
1．（2023·山東青島·統考中考真題）計算： ．
【答案】
【分析】利用積的乘方及單項式除以單項式的法則進行計算即可．
【詳解】解：原式，故答案為：．
【點睛】本題考查整式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
2．（2023·湖南·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展開，合并同類項，后代入計算即可．
【詳解】
當時，原式．
【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計算，熟練掌握兩個公式是解題的關鍵．
3．（2023·浙江金華·統考中考真題）已知，求的值．
【答案】
【分析】原式利用平方差公式、單項式乘多項式去括號合并得到最簡結果，把已知等式變形后代入計算即可求出值．
【詳解】解：．
當時，原式．
【點睛】此題考查了整式的混合運算－化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
◇典例7：（2023年江蘇省鎮江市中考數學真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于（ ）

A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每個袋子中球的個數，再根據總數可知每個袋子中球的個數，進而求出， ，最后利用同底數冪相乘法則求出答案．
【詳解】調整后，甲袋中有個球，，乙袋中有個球，，丙袋中有個球．
∵一共有（個）球，且調整后三只袋中球的個數相同，
∴調整后每只袋中有（個）球，
∴，，∴，，
∴．故選：A．
【點睛】本題考查了冪的混合運算，找準數量關系，合理利用整體思想是解答本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·四川樂山·統考中考真題）若m、n滿足，則 ．
【答案】16
【分析】先將已知變形為，再將變形為，然后整體代入即可．
【詳解】解：∵∴
∴故答案為：16．
【點睛】本題考查代數式值，冪的乘方和同底數冪除法，熟練掌握冪的乘方和同底數冪除法法則是解題的關鍵．
2．（2023.江蘇.九年級期中）已知，則x的值為 ．
【答案】，1，3
【分析】由已知可分三種情況：當時，；當時，；當時，，此時，等式成立．
【詳解】解：∵，當時，；當時，；
當時，，此時，等式成立；故答案為：，1，3．
【點睛】本題考查有理數的乘方；熟練掌握有理數的乘方的性質，切勿遺漏零指數冪的情況是解題關鍵．
3．（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成個不同的數據二維碼，現有四名網友對的理解如下：
YYDS（永遠的神）：就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（覺醒年代）：的個位數字是6；
QGYW（強國有我）：我知道，所以我估計比大．
其中對的理解錯誤的網友是___________（填寫網名字母代號）．
【答案】DDDD
【分析】根據乘方的含義即可判斷YYDS（永遠的神）的理解是正確的；根據積的乘方的逆用，將化為，再與比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據2的乘方的個位數字的規律即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據積的乘方的逆用可得，即可判斷QGYW（強國有我）的理解是正確的．
【詳解】是200個2相乘，YYDS（永遠的神）的理解是正確的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的；
，
2的乘方的個位數字4個一循環，
，
的個位數字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；
，，且
，故QGYW（強國有我）的理解是正確的；
故答案為：DDDD．
【點睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運算法則是解題的關鍵．
◇典例8：（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）若實數m滿足，則 ．
【答案】
【分析】根據完全平方公式得，再代值計算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查完全平方公式的應用，求代數式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年四川省涼山州數學中考真題）已知是完全平方式，則的值是 ．
【答案】
【分析】根據，計算求解即可．
【詳解】解：∵是完全平方式，
∴，解得，故答案為：．
【點睛】本題考查了完全平方公式．解題的關鍵在于熟練掌握：．
2．（2023年河北省中考數學真題）若k為任意整數，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數或式．
【詳解】解：，
能被3整除，∴的值總能被3整除，故選：B．
【點睛】本題考查了平方差公式的應用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．
3．（2022·黑龍江大慶·中考真題）已知代數式是一個完全平方式，則實數t的值為_______．
【答案】或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【詳解】解：∵代數式是一個完全平方式，
∴，
∴，解得或，故答案為：或
【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，熟記完全平方公式的特點是解題的關鍵．
◇典例9：（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：
① ②

③ ④
其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】觀察各個圖形及相應的代數恒等式即可得到答案．
【詳解】解：圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有①②③④，故選：．
【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數恒等式，解題的關鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．
◆變式訓練
1．（2023年湖北省隨州市中考數學真題）設有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數為( )

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】計算出長為，寬為的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應當需要各類卡片多少張．
【詳解】解：長為，寬為的大長方形的面積為：；
需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．故選：C．
【點睛】本題主要考查多項式乘多項式與圖形面積，解題的關鍵是理解結果中項的系數即為需要C類卡片的張數．
2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中．
(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；
(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）
(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．
①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)①，②，④，③(2)證明見解析(3)①2②結論仍成立，理由見解析
【分析】（1）觀察圖形，根據面積計算方法即可快速判斷；
（2）根據面積關系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設BD=a，從而用含a的代數式表示出S1、S2進行計算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數式表示出S1、S2進行計算即可．
(1)解：圖1對應公式①，圖2對應公式②，圖3對應公式④，圖4對應公式③；
故答案為：①，②，④，③；
(2)解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，∵，
∴，
又∵，∴；
(3)解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設，∴，，，，
∴，
，∴；故答案為：2；
②成立，證明如下：由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設，，
∴，，，，
∴，
，∴仍成立．
【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質，掌握數形結合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關鍵．
◇典例10：（2023·四川德陽·統考中考真題）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規律進行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．
則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（ ）
A． B．m C． D．
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環，再求解第四次操作后所有的整式之和為：，結合，從而可得答案．
【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
歸納可得：以上整式串每六次一循環，
∵，∴第2023次操作后得到的整式中各項之和與第1次操作后得到整式串之和相等，
∴這個和為，故選D
【點睛】本題考查的是整式的加減運算，代數式的規律探究，掌握探究的方法，并總結概括規律并靈活運用是解本題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年湖南省岳陽市中考數學真題）觀察下列式子：
；；；；；…
依此規律，則第（為正整數）個等式是 ．
【答案】
【分析】根據等式的左邊為正整數的平方減去這個數，等式的右邊為這個數乘以這個數減1，即可求解．
【詳解】解：∵；；；；；…
∴第（為正整數）個等式是，故答案為：．
【點睛】本題考查了數字類規律，找到規律是解題的關鍵．
2．（2023年湖南省常德市中考數學真題）觀察下邊的數表（橫排為行，豎排為列），按數表中的規律，分數若排在第a行b列，則的值為( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】觀察表中的規律發現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數一致．
【詳解】觀察表中的規律發現，分數的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數，分母與其所在行數一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分數為，故分數與分數在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．
【點睛】本題考查了數字類規律探索的知識點，解題的關鍵善于發現數字遞變的周期性和趨向性．
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，展開的多項式中各項系數之和為 ．
【答案】
【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果．
【詳解】根據題意得：展開后系數為：，系數和：，
展開后系數為：，系數和：，
展開后系數為：，系數和：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規律型：數字的變化類，解題的關鍵是弄清系數中的規律．
◇典例11：（2023年四川省綿陽市中考數學真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數為，第2幅圖形中“●”的個數為，第3幅圖形中“●”的個數為，…，以此類推，那么的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據圖形中“●”的個數得出數字變化規律，進而求解即可．
【詳解】解：，，，，…，；
∴
，故選∶C．
【點睛】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的聯系，找出規律是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年重慶市中考數學真題）用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【分析】根據前四個圖案圓圈的個數找到規律，即可求解.
【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，；
第②個圖案中有5個圓圈，；
第③個圖案中有8個圓圈，；
第④個圖案中有11個圓圈，；…，
所以第⑦個圖案中圓圈的個數為；故選：B.
【點睛】本題考查了圖形類規律探究，根據前四個圖案圓圈的個數找到第n個圖案的規律為是解題的關鍵.
2．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）在求的值時，發現：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續下去，則 ．（結果用含n的代數式表示）

【答案】/
【分析】根據題意得出，進而即可求解．
【詳解】解：依題意，，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形類規律，找到規律是解題的關鍵．
◇典例12：（2021·湖北鄂州市·中考真題）數學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數之和與這兩個正數之積的算術平方根的兩倍之間的關系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．
猜想發現：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（當且僅當時等號成立）．
猜想證明：∵
∴①當且僅當，即時，，∴；
②當，即時，，∴．
綜合上述可得：若，，則成立（當日僅當時等號成立）．
猜想運用：（1）對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？
變式探究：（2）對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？
拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？
【答案】（1），函數的最小值為2；（2），函數的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為
【分析】猜想運用：根據材料以及所學完全平方公式證明求解即可；
變式探究：將原式轉換為，再根據材料中方法計算即可；
拓展應用：設每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據兩個正數之和與這兩個正數之積的算術平方根的兩倍之間的關系探究最大值即可．
【詳解】猜想運用：∵，∴，∴，
∴當時，，此時，只取，即時，函數的最小值為2．
變式探究：∵，∴，，∴，
∴當時，，此時，∴，（舍去），
即時，函數的最小值為5.
拓展應用：設每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：
，即，∵，，∴，
即，整理得：，即，
∴當時，此時，，
即每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為．
【點睛】本題主要考查根據完全平方公式探究兩個正數之和與這兩個正數之積的算術平方根的兩倍之間的關系，熟練運用完全平方公式并參照材料中步驟進行計算是解題關鍵，屬于創新探究題．
◆變式訓練
1.（2023上·廣西河池·九年級統考期中）閱讀下列材料：
我們把多項式及叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，可以求代數式的最大值或最小值．
例如：求代數式的最小值．
解：
∵，∴，
∴當時，的最小值為；
再例如：求代數式的最大值．
解：
∵，∴，∴；
∴當時，的最大值為．
(1)【直接應用】代數式的最小值為_______；
(2)【類比應用】若，試求的最小值；
(3)【知識遷移】如圖，學校打算用長的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的菜地的最大面積．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用配方法，將原式變形為，結合，可得出原式，進而可得出原式的最小值；（2）利用配方法，將原式變形為，結合，可得出，進而可得出的最小值；
（3）設垂直于墻的一邊長為，圍成的菜地的面積為，則平行于墻的一邊長為，利用長方形的面積公式，可得出關于的二次函數關系式，再利用二次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】（1）解：，
∵，∴，∴代數式的最小值為．故答案為：．
（2）解：
，
∵，，∴，∴的最小值為．
（3）解：設垂直于墻的一邊長為，圍成的菜地的面積為，則平行于墻的一邊長為，
根據題意得：
，
∵，∴當時，取得最大值，最大值為，
∴圍成的菜地的最大面積為．
【點睛】本題考查了二次函數的應用以及完全平方公式，解題的關鍵是：（1）利用配方法，將原式變形為；（2）利用配方法，將原式變形為；（3）根據各數量之間的關系，找出關于的二次函數關系式．
■考點四　因式分解
◇典例13：（2023·四川攀枝花·統考中考真題）以下因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，還可分解因式；利用十字相乘法，．
【詳解】解：；故A不正確，不符合題意．
；故B正確，符合題意．
；故C，D不正確，不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分組，然后根據提公因式法，因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇南京·九年級校考自主招生）因式分解：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根據提公因式法以及平方差公式可得，從而得到，再根據十字相乘法進行因式分解，即可求解；
（2）先分組，再利用完全平方公式以及平方差公式進行因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：
（2）解：
【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．
3．（2023·浙江嘉興·統考中考真題）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據平方差公式或完全平方公式等知識解答即可．
【詳解】解：∵，因式分解后有一個因式為，
∴這個多項式可以是（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解此題的關鍵．
4.（2023·廣東深圳·統考中考真題）已知實數a，b，滿足，，則的值為 ．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】．故答案為：42．
【點睛】此題考查了求代數式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．
1．（2023·江蘇·統考中考真題）下列計算正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據合并同類項，冪的乘方，同底數冪的乘除法則，逐一進行計算后判斷即可．
【詳解】解：A、 ，故A錯誤；B、，故B錯誤；
C、，故C錯誤；D、，故D正確；故選D．
【點睛】本題考查合并同類項，冪的乘方，同底數冪的乘除，熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵．
2．（2023年湖北省宜昌市中考數學真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的數字為 B．左下角的數字為
C．右下角的數字為 D．方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數
【答案】D
【分析】根據日歷中的數字規律：同一行中后面的數字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三個數，表達規律即可．
【詳解】日歷中的數字規律：同一行中后面的數字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則有：
左上角的數字為，故選項A錯誤，不符合題意；
左下角的數字為，故選項B錯誤，不符合題意；
右下角的數字為，故選項C錯誤，不符合題意；
把方框中4個位置的數相加，即：，結果是4的倍數，故選項D正確；故選：D．
【點睛】本題考查整式的混合運算和列代數式，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則．
3．（2023年山東省濟寧市中考數學真題）已知一列均不為1的數滿足如下關系：，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】據題意可把代入求解，則可得，，……；由此可得規律求解．
【詳解】解：∵，∴，，，，…….；
由此可得規律為按2、、、四個數字一循環，
∵，∴；故選A．
【點睛】本題主要考查數字規律，解題的關鍵是得到數字的一般規律．
4．（2023年重慶市中考數學真題（A卷））用長度相同的木棍按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【分析】根據各圖形中木棍的根數發現計算的規律，由此即可得到答案．
【詳解】解：第①個圖案用了根木棍，第②個圖案用了根木棍，
第③個圖案用了根木棍，第④個圖案用了根木棍，……，
第⑧個圖案用的木棍根數是根，故選：B．
【點睛】此題考查了圖形類規律的探究，正確理解圖形中木棍根數的變化規律由此得到計算的規律是解題的關鍵．
5．（2022·四川德陽·中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy=___．
【答案】4
【分析】根據完全平方公式的運算即可.
【詳解】∵， ∵+=4=16，∴=4.
【點睛】此題主要考查完全平方公式的靈活運用，解題的關鍵是熟知完全平方公式的應用.
6．（2023·四川雅安·統考中考真題）若，，則的值為 ．
【答案】
【分析】先將代數式根據平方差公式分解為：= ，再分別代入求解．
【詳解】∵，，∴原式．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關鍵。
7．（2023年黑龍江省綏化市中考數學真題）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分組，然后根據提公因式法，因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
8．（2023·四川涼山·統考中考真題）已知，則的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把化為：代入降次，再把代入求值即可．
【詳解】解：由得：，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是代數式的求值，找到整體進行降次是解題的關鍵．
9．（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：；；；；…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律．請寫出第n個數對： ．

【答案】
【分析】根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，可發現第個數對的第一個數為：，第個數對的第二個位：，即可求解．
【詳解】解：每個數對的第一個數分別為3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
則第個數對的第一個數為：，
每個數對的第二個數分別為5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
則第個數對的第二個位：，
∴第n個數對為：，故答案為：．
【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的排列規律，利用拐彎出數字的差的規律解決問題．
10．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知 用“＜”表示的大小關系為________.
【答案】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再與0比較大小即可求解．
【詳解】解：由題意可知：，
∵，∴，∴；
，當且僅當時取等號，此時與題意矛盾，∴∴；
，同理，故答案為：．
【點睛】本題考查了兩代數式通過作差比較大小，將作差后的結果配成完全平方式，利用完全平方式總是大于等于0的即可與0比較大小．
11．（2023·四川涼山·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根據，，單項式乘以多項式法則進行展開，再加減運算，代值計算即可．
【詳解】解：原式．
當，時，原式．
【點睛】本題考查了化簡求值問題，完全平方公式、平方差公式，單項式乘以多項式法則，掌握公式及法則是解題的關鍵．
12．（2023年浙江省嘉興市中考數學真題）觀察下面的等式：，，，，…．
(1)嘗試：___________．
(2)歸納：___________（用含n的代數式表示，n為正整數）．
(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．
【答案】(1)6(2)n(3)見解析
【分析】（1）根據題目中的例子，可以直接得到結果；（2）根據題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計算即可．
【詳解】（1）解：∵，，，，
∴，，故答案為：6；
（2）由題意得：，故答案為：n；
（3）．
【點睛】此題考查了數字類的變化規律，有理數的混合運算，列代數式，平方差公式，正確理解題意，發現式子的變化特點是解題的關鍵．
13．（2023年河北省中考數學真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為．
(1)請用含a的式子分別表示；當時，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)，，當時，(2)，理由見解析
【分析】（1）根據題意求出三種矩形卡片的面積，從而得到，，將代入用a表示的等式中求值即可；（2）利用（1）的結果，使用作差比較法比較即可．
【詳解】（1）解：依題意得，三種矩形卡片的面積分別為：，
∴，，
∴，
∴當時，；
（2），理由如下：∵，
∴
∵，∴，∴．
【點睛】本題考查列代數式，整式的加減，完全平方公式等知識，會根據題意列式和掌握做差比較法是解題的關鍵．
1．（2023·山東·一模）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是－3 B．的次數是3
C．的各項分別為2a，b，1 D．多項式是二次三項式
【答案】A
【分析】根據單項式的次數、系數以及多項式的系數、次數的定義解決此題．
【詳解】解：A．根據單項式的系數為數字因數，那么﹣3ab2的系數為﹣3，故A符合題意．
B．根據單項式的次數為所有字母的指數的和，那么4a3b的次數為4，故B不符合題意．
C．根據多項式的定義，2a+b﹣1的各項分別為2a、b、﹣1，故C不符合題意．
D．x2﹣1包括x2、﹣1這兩項，次數分別為2、0，那么x2﹣1為二次兩項式，故D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查單項式的系數，次數的定義以及多項式的項、項數以及次數的定義，熟練掌握單項式的系數，次數的定義以及多項式的項、項數以及次數的定義是解決本題的關鍵．
2．（2023·江蘇揚州·中考模擬）若，則括號內應填的單項式是( )
A．a B． C． D．
【答案】A
【分析】將已知條件中的乘法運算可以轉化為單項式除以單項式進行計算即可解答．
【詳解】解：∵，∴（ ）．故選：A．
【點睛】本題主要考查了整式除法的應用，弄清被除式、除式和商之間的關系是解題的關鍵．
3．（2023·重慶沙坪壩·校考二模）下列圖形都是由同樣大小的△按一定規律組成的，其中第①個圖形中一共有5個，第②個圖形中一共有12個，第③個圖形中一共有21個，……，按此規律排列，則第⑧個圖形中的個數為（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
【答案】A
【分析】寫出各圖形中三角形的個數和，然后根據變化規律寫出第個圖形中的個數，再取進行計算即可得解．
【詳解】解：第①個圖形中三角形有：（個），
第②個圖形中三角形有：（個），
第③個圖形中三角形有：（個），，
依此類推，第個圖形中三角形有（個），
所以，第個圖形中正三角形個數一共是：（個），
所以，第⑧個圖形中圓和正三角形個數一共是：（個）．故選：A．
【點睛】本題考查了探究圖形變化規律，找出圖形變化的個數變化規律是解題的關鍵．
4．（2023·江蘇鹽城·校聯考二模）化簡 所得的結果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先計算積的乘方運算，再計算單項式乘以單項式即可．
【詳解】解：，故選A
【點睛】本題考查的是單項式乘以單項式，積的乘方運算，熟記運算法則與運算順序是解本題的關鍵．
5．（2023上·河北保定·九年級校考開學考試）下列各數中，不能被整除的是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
【答案】C
【分析】根據有理數乘方的運算法則可知原式等于，從而可選出正確答案．
【詳解】解：，
，所以A能被整除；
，所以B能被整除；
為小數，所以C不能被整除，
，所以D能被整除；故選：C
【點睛】本題主要考查了因式分解的應用．本題的關鍵是結合法則將已知式子進行化簡．
6．（重慶市西北狼教育聯盟2023-2024學年八年級上學期開學學業調研數學試題）已知，則 ．
【答案】1
【分析】先把m的分子分成，逆用積的乘方法則，把分子寫成兩個冪相乘，分母逆用同底數冪相乘法則，寫成兩個同底數冪相乘，然后化簡，求出的值，最后將整理為代入求值即可．
【詳解】解：，，
，，故答案為：1．
【點睛】本題主要考查了積的乘方、同底數冪的乘法、除法和零指數冪，解題關鍵是熟練掌握運算法則的逆用．
7．（2023·四川德陽·中考模擬）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則 ．
16
7
4
【答案】39
【分析】設第一列中間的數為，則三個數之和為，再依次把表格的每一個數據填好，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，設第一列中間的數為，則三個數之和為，可得：
16
7
4
∴，故答案為：39
【點睛】本題考查的是列代數式，整式的加減運算的應用，理解題意，設出合適的未知數是解本題關鍵．
8．（2023·四川內江·中考模擬）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解為 ，然后利用平方差公式進一步因式分解即可．
【詳解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【點睛】本題考查利用因式分解，解決問題的關鍵是掌握解題步驟：一提二套三檢查．
9．（2023·陜西西安·校考二模）我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，如圖中的楊輝三角，又稱賈憲三角，其中揭示了（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律如下：按上述規律，則的展開式中，從左起第二項的系數為 ．

【答案】5
【分析】由題干中的等式總結規律即可得出答案；
【詳解】解：由題干中代數式可得，的展開式中，從左到右各項的系數依次為則其展開式中從左起第二項的系數為5，故答案為：5．
【點睛】本題考查數式規律問題，由題干中已知等式總結出規律是解題的關鍵．
10．（2023上·廣東·九年級校考期中）如果是一個完全平方公式，則 ．
【答案】1或
【分析】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式的結構特征是解本題的關鍵．本題根據積的2倍項的特點可得，再解方程可得答案．
【詳解】解：∵是一個完全平方式，
∴，∴或，故答案為：1或．
11．（2023下·湖北武漢·九年級校考階段練習）已知，則的值為 ．
【答案】5
【分析】將方程同除以，得到，進而求出，將進行化簡，利用整體思想代入求值即可．
【詳解】解：∵，∴，，，
∴，∴，∴
∴
．故答案為：．
【點睛】本題考查分式求值，完全平方公式．熟練掌握完全平方公式，以及利用整體思想，進行求值，是解題的關鍵．
12．（2023·安徽·校聯考二模）觀察以下等式：
第1個等式：，第2個等式：，
第3個等式：，……根據以上規律，解決下列問題：
(1)寫出第4個等式：___________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．
【答案】(1)(2)，證明見解析
【分析】（1）根據給出的等式的特點，寫出第4個等式即可；
（2）根據給出的等式的特點，抽象概括出第個等式，再進行證明即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：第4個等式為：，
故答案為：；
（2）∵第1個等式：，第2個等式：，
第3個等式：，……
∴第個等式為：；
∵，
，
∴．
【點睛】本題考查數字類規律探究，因式分解的應用，解題的關鍵是根據題干給出的等式，抽象概括出．
1．（2023·浙江·統考一模）定義：如果代數式（，、、是常數）與（，、、是常數），滿足，，，則稱這兩個代數式A與B互為“同心式”，下列四個結論：
（1）代數式：的“同心式”為；
（2）若與互為“同心式”，則的值為1；
（3）當時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數；
（4）若A、B互為“同心式”，有兩個相等的實數根，則．
其中，正確的結論有（ ）個．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據同心式的定義結合代數式和方程求解即可
【詳解】根據同心式的定義：
（1）∵，∴代數式：的“同心式”不是；故（1）是錯誤的；
（2）∵與互為“同心式”，
∴，解得：，∴，故（2）是正確的；
（3）當時，且， ，
∴，，即A與B的值始終互為相反數，故（3）是正確的；
（4）∵A、B互為“同心式”，∴，，
∵有兩個相等的實數根，∴有兩個相等的實數根，
∴，即，故（4）是正確的；故選：C
【點睛】本題根據新定義和題目的要求構建方程，考查了數學建模和數學運算的核心素養，解題的關鍵是理解題目中的新定義．
2．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））在多項式（其中中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：，，．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．其中正確的個數是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出答案．
【詳解】解：，故說法①正確．
若使其運算結果與原多項式之和為0，必須出現，顯然無論怎么添加絕對值，都無法使的符號為負，故說法②正確．
當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是；；；．當添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；
有兩對運算結果相同，故共有5種不同運算結果，故說法③不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查新定義題型，根據多給的定義，舉出符合條件的代數式進行情況討論；
需要注意去絕對值時的符號，和所有結果可能的比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用．
3．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據同底數冪的除法即可得到答案．
【詳解】解：根據能量與震級的關系為（其中為大于0的常數）可得到，
當震級為8級的地震所釋放的能量為：，
當震級為6級的地震所釋放的能量為：，
，
震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．故答案為：1000．
【點睛】本題考查了利用同底數冪的除法底數不變指數相減的知識，充分理解題意并轉化為所學數學知識是解題的關鍵．
4．（2023年四川省成都市數學中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數，的平方差，且，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，，16就是一個智慧優數，可以利用進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 ；第23個智慧優數是 ．
【答案】
【分析】根據新定義，列舉出前幾個智慧優數，找到規律，進而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當，，則第1個一個智慧優數為
當，，則第2個智慧優數為
當，，則第3個智慧優數為，
當，，則第4個智慧優數為，
當，，則第5個智慧優數為
當，，則第6個智慧優數為
當，，則第7個智慧優數為……
時有4個智慧優數，同理時有個，時有6個，
列表如下，
觀察表格可知當時，時，智慧數為，
時，智慧數為，，時，智慧數為，，時，智慧數為，
第1至第10個智慧優數分別為：，，，，，，，，，，
第11至第20個智慧優數分別為：，，，，，，，，，，
第21個智慧優數，第22個智慧優數為，第23個智慧優數為 故答案為：，．
【點睛】本題考查了新定義，平方差公式的應用，找到規律是解題的關鍵．
5．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，∵，，∴7311是“天真數”；四位數8421，∵，∴8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為 ；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根據題中“天真數”可求得最小的“天真數”；先根據題中新定義得到，進而，若M最大，只需千位數字a取最大，即，再根據能被10整除求得，進而可求解．
【詳解】解：根據題意，只需千位數字和百位數字盡可能的小，所以最小的“天真數”為6200；
根據題意，，，，，則，
∴，∴，
若M最大，只需千位數字a取最大，即，∴，
∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．
【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數的運算、整式的加減、數的整除等知識，理解新定義是解答的關鍵．
6．（2023年湖南省張家界市中考數學真題）閱讀下面材料：
將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．
則
例如：當，時，
根據以上材料解答下列問題：(1)當，時，______，______；
(2)當，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數，從（1）中的計算結果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；(3)當，時，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)，(2)猜想結論：，證明見解析(3)
【分析】（1）根據題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；
（2）根據題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；
（3）結合題意利用（2）中結論求解即可．
【詳解】（1）解：
當，時，原式；
當，時，原式；
（2）猜想結論：
證明：
；
（3）
．
【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應規律是解題關鍵．
7．（2023年山東省濰坊市中考數學真題）［材料閱讀]
用數形結合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數和的圖象，觀察圖②可知
的結果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個函數圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數圖象的交點到軸的距離為1，
所以，．

【實踐應用】
任務一 完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數圖象的交點的坐標為______，
所以，______．
任務二 參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務三 用方法2，求的值（結果用表示）．
【遷移拓展】
長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

【答案】任務一，方法1：；方法2：，；任務二，；任務三，；[遷移拓展]
【分析】任務一，仿照例題，分別根據方法1，2進行求解即可；
任務二，借助函數和得出交點坐標，進而根據兩個函數圖象的交點到軸的距離．因為兩個函數圖象的交點到軸的距為2，即可得出結果；
任務三 參照方法2，借助函數和的圖象，得出交點坐標，即可求解；
[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……進而得出則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為的正方形的面積，即可求解．
【詳解】解：任務一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知
故答案為：．
方法2：借助函數和的圖象，觀察圖④可知
因為兩個函數圖象的交點的坐標為，
所以，．
故答案為：，．
任務二：參照方法2，借助函數和的圖象，，
解得：
∴兩個函數圖象的交點的坐標為，
．
任務三 參照方法2，借助函數和的圖象，兩個函數圖象的交點的坐標為，
∴
[遷移拓展]根據圖⑤，第一個正方形的面積為，第二個正方形的面積為，……
則的值等于長寬之比為的矩形減去1個面積為1的正方形的面積，
即
【點睛】本題考查了一次函數交點問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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