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專題三十八 概率的基本性質與古典概型
知識歸納
一、隨機事件的概率
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.
二、古典概型
（1）定義
一般地，若試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
三、概率的基本性質
（1）對于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發生（即，，…，中有一個發生）的概率等于這個事件分別發生的概率之和，即：．
（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．
（5）概率的單調性：若，則．
（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．
方法技巧與總結
1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數與事件中所包含的基本事件數．
因此要注意清楚以下三個方面：
(1)本試驗是否具有等可能性；
(2)本試驗的基本事件有多少個；
(3)事件是什么．
2、解題實現步驟：
(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；
(3)分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解題方法技巧：
(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和．
②求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．
典例分析
題型一、概率的基本性質
【例1-1】已知，，，則（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】B
【解析】因為，，
則，所以事件與事件不相互獨立，
．
【例1-2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【答案】B
【解析】由隨機事件概率的性質得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
【例1-3】下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】對于①：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；故①正確；
對于②：若為兩個事件，則；故②不正確；
對于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；
對于④：對于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定 是對立事件，
故④錯誤.
所以錯誤的命題有個.
【例1-4】甲 乙去同一家藥店購買一種醫用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫用外科口罩，甲 乙購買A，B，C三種醫用口罩的概率分別如下：
購買A種醫用口罩 購買B種醫用口罩 購買C種醫用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
則甲 乙購買的是同一種醫用外科口罩的概率為（ ）
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
【答案】D
【解析】由表可知，甲購買A種醫用口罩的概率為0.4，乙購買B種醫用口罩的概率為0.4，
所以甲，乙購買的是同一種醫用外科口罩的概率為.
【例1-5】若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】隨機事件、互斥，、發生的概率均不等于0，
且，，
，即，解得，即．
【例1-6】已知消費者購買家用小電器有兩種方式：網上購買和實體店購買．經工商局抽樣調查發現，網上家用小電器合格率約為，而實體店里家用小電器的合格率約為，工商局12315電話接到關于家用小電器不合格的投訴，統計得知，被投訴的是在網上購買的概率約為．那么估計在網上購買家用小電器的人約占（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設在網上購買的人數占比為，實體店購買的人數占比為，
由題意可得，網上購買的合格率為，
則網上購買被投訴的人數占比為，實體店里購買的被投訴的人數占比為，
所以，解得.
【例1-7】有一道數學難題，在半小時內，甲、乙能解決的概率都是，丙能解決的概率是，若3人試圖獨立地在半小時內解決該難題，則該難題得到解決的概率為___．
【答案】
【解析】設“在半小時內，甲、乙、丙能解決該難題”分別為事件A，B，C，“在半小時內解該難題得到解決”為事件D，
則，，，表示事件“在半小時內沒有解決該難題”，，
所以，.
題型二、簡單的古典概型問題
【例2-1】一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個球．用模擬實驗的方法，讓計算機產生1～9的隨機數，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個為一組，產生如下20組隨機數：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】20組隨機數恰好有兩個是的有191，271，932，393，812，184共6個，因此概率為．
【例2-2】甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10，4張3，乙手里有4張5和6張2，現從兩人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數之和大于乙手中牌的點數之和的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】一開始兩人手中牌的點數之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點數之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點數之和應更小．若甲被抽取的兩張牌中有點數為10的牌，則這兩張牌的點數之和肯定更大，不合題意．故甲只能被抽取兩張3，故其抽取的兩張牌的點數之和為6，而乙抽取的兩張牌點數之和要大于6，則必然要至少有一張5，綜上.
【例2-3】從屬于區間的整數中任取兩個數，則至少有一個數是質數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】區間的整數共有7個，則質數有2，3，5，7共4個；非質數有3個；
設事件：從屬于區間的整數中任取兩個數，至少有一個數是質數，
由.
【例2-4】從n個正整數1，2…n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】兩數之和為有兩種情況，故，故，解得.
【例2-5】在某種信息傳輸過程中，用6個數字的一個排列（數字允許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數字只有0和1，例如001100就是一個信息．在所有信息中隨機取一信息，則該信息恰有2個1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】每個位置可排0或1，故有2種排法，因此用6個數字的一個排列的總個數為，恰好有2個1的排列的個數共有，故概率為：.
【例2-6】我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據《孫子算經》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數法中，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現有5根算籌，據此表示方式表示兩位數（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數大于40的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意可知：一共5根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為共四類情況；
第一類：，即十位用4根算籌，個位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個位為1，則兩位數為41或者81；
第二類：，即十位用3根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個位可能為2或者6，故兩位數可能32，36，72，76；
第三類：，即十位用2根算籌，個位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個位可能為3或者7，故兩位數可能是23，27，63，67；
第四類：，即十位用1根算籌，個位用4根算籌，那么十位為1，個位可能為4或者8，則該兩位數為14或者18，
綜上可知：所有的兩位數有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計12個，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共計6個，
故這個兩位數大于40的概率為.
【例2-7】甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”若在此對話的基礎上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，當甲同學為第5名時，乙同學可能是第2，3，4名，故有種，
當甲同學不是第5名時，甲、乙同學可能是第2，3，4名，故有種，
故滿足回答者的所有情況共種.
其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，
當甲同學為第5名，丙和丁獲得前兩名時有種；
當甲同學不是第5名，丙和丁獲得前兩名時，有種，
所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，
所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為
題型三、古典概型與向量的交匯問題
【例3-1】從集合中隨機抽取一個數a，從集合中隨機抽取一個數b，則向量與向量垂直的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】從集合中隨機抽取一個數，從集合中隨機抽取一個數，
可以組成向量的個數是（個；
其中與向量垂直的向量是和，共2個；
故所求的概率為．
【例3-2】已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】向量與所成的角為銳角等價于，且與的方向不同，
即，
則滿足條件的向量有，
其中或時，與同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，
又的取法共有種，則向量與所成的角為銳角的概率是．
【例3-3】如圖，在平面直角坐標系中，為正十邊形的中心，在軸正半軸上，任取不同的兩點、（其中，，且，），點滿足，則點落在第二象限的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題可知：任取不同的兩點的方法有；
其中滿足題意的有如下種：.
故滿足題意的概率.
【例3-4】已知為整數，且，設平面向量與的夾角為，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為平面向量與的夾角為，且，所以，即，所以，因為為整數，且，，所以共有種可能，又因為，，所以或，①當時，由，即，所以或或或，滿足題意；
②當時，由，即，所以或，滿足題意；
故或或或或或共種情況符合題意，所以的概率為.
題型四、古典概型與幾何的交匯問題
【例4-1】河圖洛書是中國古代流傳下來的神秘圖案，被譽為“宇宙魔方”，九宮格源于河圖洛書.如圖是由9個單位正方形（邊長為1個單位的正方形）組成的九宮格，一個質點從點沿單位正方形的邊以最短路徑運動到點，共有種不同的路線，則在這些路線中，該質點經過點的概率為______.
【答案】
【解析】一個質點從A點沿單位正方形的邊以最短路徑運動到B點，
共有n＝＝20種不同的路線，
則在這些路線中，該質點經過p點包含的基本事件有m＝6×2＝12種，
該質點經過p點的概率為P＝.
【例4-2】連續擲骰子兩次得到的點數分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.
【答案】
【解析】連擲骰子兩次試驗結果共有36種，要使直線與圓相交，
則，即滿足．符合題意的有
，
共21種，
由古典概型的概率計算公式可得所求概率為．
【例4-3】平面內有個點等分圓周，從個點中任取3個，可構成直角三角形的概率為，連接這個點可構成正多邊形，則此正多邊形的邊數為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】從個點中任取3個點，共有種，
三個點要構成直角三角形，則有兩個點為直徑的端點，共有條直徑，
還剩個點，從個點中取一個點即可，則可構成直角三角形有，
所以可構成直角三角形的概率為，解得，
所以共有個等分點，所以正多邊形的邊數為12.
【例4-4】對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為從正方體6個面的中心中任取兩點連成直線，可得條直線，
如圖所示：
設正方體的邊長為2，則，
，,
,
由正方體性質可得平面,平面,平面,
四邊形,四邊形，四邊形均為正方形，
故當甲選時,乙選或或或或或時，
甲，乙所選的點的連線垂直，
甲選時，乙選或或時，甲，乙所選的點的連線垂直，
所以甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線共有種選法，
所以甲選相對兩個面的中心時，甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，
若甲選相鄰兩個側面的中心時，滿足甲乙所選的點的連線垂直的選法有種，
故甲，乙所選的點的連線垂直的選法共有54種，
所以事件甲乙所選的點的連線垂直的概率.
【例4-5】在集合中任取一個偶數和一個奇數構成以原點為起點的向量，從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數為，其中面積等于的平行四邊形的個數為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為
，
其中以原點為起點的向量有、、、、、，共個，
其中滿足的向量、可以為、、，
則滿足面積為的平行四邊形的個數為，即，
其中能構成平行四邊形的向量組有：、、
、、、、、
、、、、、
、、，共種，即，
因此，.
【例4-6】如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面時，共有對異面直線，
當兩條直線都位于上下底面時，有對異面直線，
當兩條直線都不在上下底面時，有對異面直線，
所以，兩條棱所在的直線為異面直線的概率為
【例4-7】《九章算術·商功》指出“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”意為將一個正方體斜切，可以得到兩個壍堵，將壍堵斜切，可得到一個陽馬，一個鱉臑（四個面都是直角三角形的三棱錐），如果從正方體的8個頂點中選4個頂點得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉臑的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】從正方體的8個頂點中任選4個頂點，共有（種）情況，
其中4點在同一平面的情況共有兩種，
第一種是當取正方體的一個面上的4個點時，共有6種情況；
第二種是當取上下 左右 前后斜切面的4個點時，共有6種情況，
所以從正方體的8個頂點選4個頂點得到三棱錐共有（種）.
因為鱉臑是四個面都是直角三角形的三棱錐，
所以以為例，與下底面組成的鱉臑有和，
與上底面構成的鱉臑也有兩個，鱉臑共有（個）.
又與側面組成的4個鱉臑有兩個與前面得到的重復，有2個不重合，
故有（個），所以一共有24個鱉臑，
所以得到的三棱錐是鱉臑的概率為.
題型五、古典概型與函數的交匯問題
【例5-1】一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：，，，，，．現從盒子中逐一抽取卡片并判函數的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，設抽取次數為X，則的概率為___________．
【答案】【解析】易判斷，，為偶函數，所以寫有偶函數的卡片有3張，的取值范圍是．
，，
所以．
【例5-2】對于定義域為D的函數，若對任意的，當時都有，則稱函數為“不嚴格單調增函數”，若函數的定義域，值域為，則函數為“不嚴格單調增函數”的概率是______．
【答案】【解析】基本事件總數為：把D中的5個數分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,
則總共有種，
求函數是“不嚴格單調增函數”的情況，等價于在1，2，3，4，5中間有4個空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應6,7,8共有種情況，
函數是“不嚴格單調增函數”的概率是.
【例5-3】已知四條直線，，，從這三條直線中任取兩條，這兩條直線都與函數的圖象相切的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設，，當，得，若，則，即切點為的切線為；若，則，即切點為的切線為，當，得，若，則切點為，切線方程為：，若，則切點為，切線方程為：，故直線與的圖象不相切，所以從已知三條直線中任取兩條共有三種情況，與的圖象相切只有，故概率為．
【例5-4】已知函數．若a，b分別是從1，2，3中任取的一個數，則函數有兩個極值點的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得有兩個根,則有，解得，
a，b分別是從1，2，3中任取的一個數，表示為，
有如下，共種情況，
其中滿足的有，共6種情況，
則函數有兩個極值點的概率為，即．
【例5-5】首位數定理：在進位制中，以數字為首位的數出現的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規律的統計數據都滿足這個定理.已知某銀行10000名儲戶的存款金額調查結果符合上述定理，則下列結論正確的是（ ）（參考數據：，）
A．存款金額的首位數字是1的概率約為
B．存款金額的首位數字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數字是6的概率小于首位數字是7的概率
D．存款金額的首位數字是8或9的概率約為9.7%
【答案】D
【解析】因此存款金額用十進制計算，故，
對于A，存款金額的首位數字是1的概率為，故A錯誤.
對于B，存款金額的首位數字是5的概率為
，故不約為9.7%，故B錯誤.
對于C，存款金額的首位數字是6的概率為，
存款金額的首位數字是7的概率為，
因為，故，故C錯誤.
對于D，存款金額的首位數字是8的概率為，存款金額的首位數字是9的概率為，
故存款金額的首位數字是8或9的概率為，故D正確.
【例5-5】已知集合，則“使函數的定義域為”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知,又因為，
所以數形成的數組有，共36種情況，
其中，
，
共17種情況滿足，所以所求概率
【例5-6】設函數，若是從三個數中任取一個，是從五個數中任取一個，那么恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當時，
當且僅當時，取“＝”，∴，于是恒成立就轉化為成立；
當時， ，
設事件A：“恒成立”，則基本事件總數為15個，即（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（0,5），（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）；
事件A包含事件:（0,1），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5）共9個
所以.
題型六、古典概型與數列的交匯問題
【例6-1】我國占代圖書之一的《周髀算經》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節氣的日影長依次是一個等差數列．已知立春與驚蟄兩個節氣的日影長分別為11尺和10尺，現在隨機選出3個節氣，至少有一個節氣的日影長大于9尺的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，令冬至影長為，公差為，則，故.
∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節氣的日影長依次為，
∴隨機選出3個節氣至少有一個節氣的日影長大于9尺的概率.
【例6-2】意大利數學家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這就是著名的斐波那契數列，它的遞推公式是，其中，.若從該數列的前2021項中隨機地抽取一個數，則這個數是偶數的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題設，斐波那契數列從第一項開始，每三項的最后一項為偶數，而，
∴前2021項中有個偶數，故從該數列的前2021項中隨機地抽取一個數為偶數的概率為.
【例6-3】在二項式的展開式，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項中恰有兩項相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展開式通項為，
由題意．
所以當時為整數，相應的項為有理項，
因為二項式展開式中共有9項，其中有3項是有理項，6項是無理項，
所求恰有兩項有理項相鄰的概率為．
【例6-4】記數列的前項和為，已知，在數集中隨機抽取一個數作為，在數集中隨機抽取一個數作為.在這些不同數列中隨機抽取一個數列，則是遞增數列的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，當時，，
當時，，
因為數列為單調遞增數列，則，即，即，
所有樣本點有：、、、、、、、、，共個，
其中，滿足是遞增數列的樣本點有：、，共個，
故所求概率為.
【例6-5】某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員進行傳球訓練，從甲開始隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有的概率將球傳給甲，
所以，即，
設，則，所以，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，所以，即，
所以.
【例6-6】已知某抽獎活動的中獎率為，每次抽獎互不影響．構造數列，使得，記，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，抽獎5次，出現3次中獎2次未中獎或2次中獎3次未中獎，
故的概率為．
【例6-7】已知數列的前n項和為，且，若數列滿足，從中任取兩個數，則至少一個數滿足的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于①，當時，得，解得；
當時，②，①-②化簡可得，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，所以；
因為，所以，
令得，解得或，
從中任取兩個數共有，，，，，，
，，，，，，，，15種，
其中至少一個6或7的有9種，所以至少一個數滿足的概率為.
題型七、古典概率與統計的綜合
【例7-1】下圖是國家統計局7月發布的2021年6月至2022年6月規模以上工業原煤產量增速的月度走勢，其中2022年1~2月看作1個月，現有如下說法：
①2021年10月至2022年3月，規模以上工業原煤產量增速呈現上升趨勢；
②2021年6月至2022年6月，規模以上工業原煤產量增速的中位數為5.9；
③從這12個增速中隨機抽取2個，增速都超過10的概率為．
則說法正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】從2021年10月至2022年3月，規模以上工業原煤產量增速呈現上升趨勢，故①正確；
2021年6月至2022年6月，規模以上工業原煤產量增速的中位數為，故②正確；
從這12個增速中隨機抽取2個，都超過10的概率，故③正確.
【例7-2】2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯世界乒乓球團體錦標賽在成都市高新區體育中心舉行．某學校統計了全校學生在國慶期間觀看世乒賽中國隊比賽直播的時長情況（單位：分鐘），并根據樣本數據繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計樣本數據的中位數；
(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在的學生中抽取6人．現從這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時長在”為事件，求．
【解析】（1）由題意得,解得，
由頻率分布直方圖可知,觀看時長在分鐘以下的樣本所占比例為，
所以樣本數據的中位數為160；
（2）由題意，觀看時長在，對應的頻率分別為和，
所以采用分層隨機抽樣的方式在這兩個區間中應分別抽取4人和2人，
設觀看時長在的4人為觀看時長在的2人為，
從中抽取3人的基本事件有：共20個，
其中事件的基本事件有共12個，
所求概率為
【例7-3】某學校為了解高三尖子班數學成績，隨機抽查了60名尖子生的期中數學成績，得到如下數據統計表：
期中數學成績（單位：分） 頻數 頻率
3 0.05
x p
9 0.15
15 0.25
18 0.30
y q
合計 60 1.00
若數學成績超過135分的學生為“特別優秀”，超過120分而不超過135分的學生為“優秀”，已知數學成績“優秀”的學生與“特別優秀”的學生人數比恰好為．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)學校教務為進一步了解這60名學生的學習方法，從數學成績“優秀”、“特別優秀”的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求至少抽到2名學生數學成績“特別優秀”的概率．
【解析】（1）根據題意有，解得，
．
（2）用分層抽樣的方法選取5人，則數學成績“特別優秀”的有人，“優秀”的有人．
設抽到3名數學成績“特別優秀”的學生為，抽到2名數學成績“優秀”的學生為，從5人中選取3人的所有情況為，，共10種情況，
至少抽到2人數學成績”特別優秀”的為，有7種情況，
∴至少抽到2名學生數學成績“特別優秀”的概率．
【例7-4】致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網絡知識競賽”活動，并從中抽取100位學生的競賽成績作為樣本進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規定：成績在內為優秀，成績低于60分為不及格．
(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認為該校參加本活動的學生成績符合“不及格的人數低于20％”的要求；
(2)若樣本中成績優秀的男生為5人，現從樣本的優秀答卷中隨機選取3份作進一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
【解析】（1）由頻率分布直方圖得，解得，
成績不及格的頻率為，
∴“成績不及格”的概率估計值為21％，∵21％＞20％，
∴不能認為該校參加本活動的學生成績符合“不及格的人數低于20％”的要求．
（2）方法一：由（1）可知樣本中成績優秀有20人，其中男生5人，故女生15人，
記事件A＝“從樣本的優秀答卷中隨機選取3份作進一步分析，求其中至少有1份是男生”，
則，∴所求概率為．
方法二：由（1）可知樣本中成績優秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，
記事件A＝“從優秀答卷中隨機選取3份，其中至少有1份是男生”，
則“從優秀答卷中隨機選取3份，全是女生”，
則，∴，∴所求概率為．
題型八、有放回與無放回問題的概率
【例8-1】一個盒子里裝有除顏色外完全相同的6個小球，盒子中有編號分別為1、2、3、4的紅球4個，編號分別為4、5的白球2個，從盒子中任取3個小球（假設取到任何一個小球的可能性相同）.則在取出的3個小球中，小球編號最大值為4的概率是________.
【答案】
【解析】由題意，從6個小球，任取3個小球，可得基本事件總數為種，
若編號為4的球有且只有一個且為白球，有種取法；
若編號為4的球有且只有一個且為紅球，有種取法；
若編號為4的球紅球白球都取到，有種取法，
小球編號最大值為4的基本事件個數為種，
所以小球編號最大值為4的概率力.
【例8-2】一個袋子中放大小相同的9個小球，其中5個紅色球，4個白色球，若從中摸出1個球后放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，從中摸出1個球后不放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】9個小球放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法數為（種），
其中摸出的2個球都是紅色球的方法數為（種），故；
9個小球不放回地摸2次，每次摸出1球的所有方法數為（種），
其中摸出的2個球都是紅色球的方法數為（種），故；
所以，即.
【例8-3】一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10．現從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小號碼
B．若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼
C．取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分
D．若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數
【答案】C
【解析】超幾何分布的概念為：設總體有N個，其中含有M個不合格品。若從中隨機不放回抽取n個產品，
則不合格品的個數X是一個離散隨機變量，若n>M，則可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：，，
假如n≤M，則X可能取0,1,2…，n；此時求得的概率是：，，
根據超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C選項滿足,
A選項，X可能取值為1,2,3,4,5,6,7，
，，，
，，，，
X的分布列為：
X 1 2 3 4 5 6 7
P
B選項，若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼，
則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，，故不滿足超幾何分布；
C選項，X表示取出的4個球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8，
，，
，，，
顯然滿足超幾何分布，
D選項，若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數，則X的可能取值為0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不滿足超幾何分布.
【例8-4】紙箱里有編號為1到9的9個大小相同的球，從中不放回地隨機取9次，每次取1個球，則編號為偶數的球被連續抽取出來的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】從紙箱中不放回地隨機取9次，共有種情況，
偶數的球被連續抽取出來，共有，
則偶數的球被連續抽取出來的概率.
【例8-5】每次從0～9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取n次，依次得到n個數字組成的數字序列．若使該序列中的數字0至少出現一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（ ）（參考數據）
A．23 B．22 C．21 D．20
【答案】B
【解析】有放回地排列個數字，得個基本事件，其中不含0的基本事件為．
由題意得，即，∴, ∴最小取22．
【例8-6】一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數為，則隨機變量的期望為_____________．
【答案】
【解析】“連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率，
由題意，的可能值為，則，，，
所以.
【例8-7】甲、乙兩位同學進行摸球游戲，盒中裝有6個大小和質地相同的球，其中有4個白球，2個紅球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個球，求兩球顏色相同的概率；
(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個球，當摸出第二個紅球時游戲結束，或能判斷出第二個紅球被哪位同學摸到時游戲也結束．設游戲結束時甲、乙兩人摸球的總次數為X，求X的分布列和期望．
【解析】(1)兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為；
(2)依題意X=2，3，4，5，
，
X=3，就是前2個一個是紅球，一個是白球，第3個是紅球， ，
X=4，就是前3個有2個白球一個紅球，第4個是紅球，或前四個全是白球，
，
X=5，分為前4個球中有3個白球1個紅球，第5個是紅球，或者是前4個球中3個白球一個紅球，
第5個是白球 ，
分布列為：
X 2 3 4 5
P
數學期望；
【例8-8】袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．
(1)若從袋中一次摸出2個小球，求這兩個小球恰為異色球的概率；
(2)若從袋中一次摸出3個小球，求黑球與白球的個數都沒有超過紅球個數的概率；
(3)若從袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球記0分，取到白球記4分，取到紅球記2分，求最后得分為8分的概率．
【解析】(1)摸出的2個小球為異色球的種數為++ =19，從8個球中摸出2個小球的種數為，故所求概率；
(2)從袋中一次摸出3個小球，黑球與白球的個數都沒有超過紅球個數有三種情況：
①摸出1個紅球，1個黑球，1個白球，共有種；
②摸出2個紅球，1個其他顏色球，共有種；
③摸出3個球均為紅球， 共有種；
因為從8個球中摸出3個小球的種數為，
所以所求概率；
(3)由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個白球1個黑球或1個白球2個紅球，
所以所求概率.
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專題三十八 概率的基本性質與古典概型
知識歸納
一、隨機事件的概率
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.
二、古典概型
（1）定義
一般地，若試驗具有以下特征：
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.
三、概率的基本性質
（1）對于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．
（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．
推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發生（即，，…，中有一個發生）的概率等于這個事件分別發生的概率之和，即：．
（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．
（5）概率的單調性：若，則．
（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．
方法技巧與總結
1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數與事件中所包含的基本事件數．
因此要注意清楚以下三個方面：
(1)本試驗是否具有等可能性；
(2)本試驗的基本事件有多少個；
(3)事件是什么．
2、解題實現步驟：
(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；
(3)分別求出基本事件的個數與所求事件中所包含的基本事件個數；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解題方法技巧：
(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和．
②求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．
典例分析
題型一、概率的基本性質
【例1-1】已知，，，則（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1
【例1-2】若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
【例1-3】下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1-4】甲 乙去同一家藥店購買一種醫用外科口罩，已知這家藥店出售A，B，C三種醫用外科口罩，甲 乙購買A，B，C三種醫用口罩的概率分別如下：
購買A種醫用口罩 購買B種醫用口罩 購買C種醫用口罩
甲 0.2 0.4
乙 0.3 0.3
則甲 乙購買的是同一種醫用外科口罩的概率為（ ）
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
【例1-5】若隨機事件，互斥，，發生的概率均不等于0，且，，則實數的取值范圍是
A． B． C． D．
【例1-6】已知消費者購買家用小電器有兩種方式：網上購買和實體店購買．經工商局抽樣調查發現，網上家用小電器合格率約為，而實體店里家用小電器的合格率約為，工商局12315電話接到關于家用小電器不合格的投訴，統計得知，被投訴的是在網上購買的概率約為．那么估計在網上購買家用小電器的人約占（ ）
A． B． C． D．
【例1-7】有一道數學難題，在半小時內，甲、乙能解決的概率都是，丙能解決的概率是，若3人試圖獨立地在半小時內解決該難題，則該難題得到解決的概率為___．
題型二、簡單的古典概型問題
【例2-1】一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個球．用模擬實驗的方法，讓計算機產生1～9的隨機數，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個為一組，產生如下20組隨機數：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10，4張3，乙手里有4張5和6張2，現從兩人手中各隨機抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點數之和大于乙手中牌的點數之和的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】從屬于區間的整數中任取兩個數，則至少有一個數是質數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】從n個正整數1，2…n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【例2-5】在某種信息傳輸過程中，用6個數字的一個排列（數字允許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數字只有0和1，例如001100就是一個信息．在所有信息中隨機取一信息，則該信息恰有2個1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例2-6】我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據《孫子算經》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數法中，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現有5根算籌，據此表示方式表示兩位數（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數大于40的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例2-7】甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”若在此對話的基礎上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型三、古典概型與向量的交匯問題
【例3-1】從集合中隨機抽取一個數a，從集合中隨機抽取一個數b，則向量與向量垂直的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】如圖，在平面直角坐標系中，為正十邊形的中心，在軸正半軸上，任取不同的兩點、（其中，，且，），點滿足，則點落在第二象限的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【例3-4】已知為整數，且，設平面向量與的夾角為，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型四、古典概型與幾何的交匯問題
【例4-1】河圖洛書是中國古代流傳下來的神秘圖案，被譽為“宇宙魔方”，九宮格源于河圖洛書.如圖是由9個單位正方形（邊長為1個單位的正方形）組成的九宮格，一個質點從點沿單位正方形的邊以最短路徑運動到點，共有種不同的路線，則在這些路線中，該質點經過點的概率為______.
【例4-2】連續擲骰子兩次得到的點數分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.
【例4-3】平面內有個點等分圓周，從個點中任取3個，可構成直角三角形的概率為，連接這個點可構成正多邊形，則此正多邊形的邊數為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【例4-4】對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】在集合中任取一個偶數和一個奇數構成以原點為起點的向量，從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數為，其中面積等于的平行四邊形的個數為，則（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】《九章算術·商功》指出“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”意為將一個正方體斜切，可以得到兩個壍堵，將壍堵斜切，可得到一個陽馬，一個鱉臑（四個面都是直角三角形的三棱錐），如果從正方體的8個頂點中選4個頂點得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉臑的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型五、古典概型與函數的交匯問題
【例5-1】一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數：，，，，，．現從盒子中逐一抽取卡片并判函數的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，設抽取次數為X，則的概率為___________．
【例5-2】對于定義域為D的函數，若對任意的，當時都有，則稱函數為“不嚴格單調增函數”，若函數的定義域，值域為，則函數為“不嚴格單調增函數”的概率是______．
【例5-3】已知四條直線，，，從這三條直線中任取兩條，這兩條直線都與函數的圖象相切的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】已知函數．若a，b分別是從1，2，3中任取的一個數，則函數有兩個極值點的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例5-5】首位數定理：在進位制中，以數字為首位的數出現的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規律的統計數據都滿足這個定理.已知某銀行10000名儲戶的存款金額調查結果符合上述定理，則下列結論正確的是（ ）（參考數據：，）
A．存款金額的首位數字是1的概率約為
B．存款金額的首位數字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數字是6的概率小于首位數字是7的概率
D．存款金額的首位數字是8或9的概率約為9.7%
【例5-5】已知集合，則“使函數的定義域為”的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例5-6】設函數，若是從三個數中任取一個，是從五個數中任取一個，那么恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
題型六、古典概型與數列的交匯問題
【例6-1】我國占代圖書之一的《周髀算經》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節氣的日影長依次是一個等差數列．已知立春與驚蟄兩個節氣的日影長分別為11尺和10尺，現在隨機選出3個節氣，至少有一個節氣的日影長大于9尺的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】意大利數學家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這就是著名的斐波那契數列，它的遞推公式是，其中，.若從該數列的前2021項中隨機地抽取一個數，則這個數是偶數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】在二項式的展開式，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項中恰有兩項相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】記數列的前項和為，已知，在數集中隨機抽取一個數作為，在數集中隨機抽取一個數作為.在這些不同數列中隨機抽取一個數列，則是遞增數列的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員進行傳球訓練，從甲開始隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為，則＝（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】已知某抽獎活動的中獎率為，每次抽獎互不影響．構造數列，使得，記，則的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-7】已知數列的前n項和為，且，若數列滿足，從中任取兩個數，則至少一個數滿足的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型七、古典概率與統計的綜合
【例7-1】下圖是國家統計局7月發布的2021年6月至2022年6月規模以上工業原煤產量增速的月度走勢，其中2022年1~2月看作1個月，現有如下說法：
①2021年10月至2022年3月，規模以上工業原煤產量增速呈現上升趨勢；
②2021年6月至2022年6月，規模以上工業原煤產量增速的中位數為5.9；
③從這12個增速中隨機抽取2個，增速都超過10的概率為．
則說法正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例7-2】2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯世界乒乓球團體錦標賽在成都市高新區體育中心舉行．某學校統計了全校學生在國慶期間觀看世乒賽中國隊比賽直播的時長情況（單位：分鐘），并根據樣本數據繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計樣本數據的中位數；
(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在的學生中抽取6人．現從這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時長在”為事件，求．
【例7-3】某學校為了解高三尖子班數學成績，隨機抽查了60名尖子生的期中數學成績，得到如下數據統計表：
期中數學成績（單位：分） 頻數 頻率
3 0.05
x p
9 0.15
15 0.25
18 0.30
y q
合計 60 1.00
若數學成績超過135分的學生為“特別優秀”，超過120分而不超過135分的學生為“優秀”，已知數學成績“優秀”的學生與“特別優秀”的學生人數比恰好為．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)學校教務為進一步了解這60名學生的學習方法，從數學成績“優秀”、“特別優秀”的學生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求至少抽到2名學生數學成績“特別優秀”的概率．
【例7-4】致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網絡知識競賽”活動，并從中抽取100位學生的競賽成績作為樣本進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規定：成績在內為優秀，成績低于60分為不及格．
(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認為該校參加本活動的學生成績符合“不及格的人數低于20％”的要求；
(2)若樣本中成績優秀的男生為5人，現從樣本的優秀答卷中隨機選取3份作進一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
題型八、有放回與無放回問題的概率
【例8-1】一個盒子里裝有除顏色外完全相同的6個小球，盒子中有編號分別為1、2、3、4的紅球4個，編號分別為4、5的白球2個，從盒子中任取3個小球（假設取到任何一個小球的可能性相同）.則在取出的3個小球中，小球編號最大值為4的概率是________.
【例8-2】一個袋子中放大小相同的9個小球，其中5個紅色球，4個白色球，若從中摸出1個球后放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，從中摸出1個球后不放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10．現從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小號碼
B．若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼
C．取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分
D．若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數
【例8-4】紙箱里有編號為1到9的9個大小相同的球，從中不放回地隨機取9次，每次取1個球，則編號為偶數的球被連續抽取出來的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例8-5】每次從0～9這10個數字中隨機取一個數字（取后放回），連續取n次，依次得到n個數字組成的數字序列．若使該序列中的數字0至少出現一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（ ）（參考數據）
A．23 B．22 C．21 D．20
【例8-6】一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數為，則隨機變量的期望為_____________．
【例8-7】甲、乙兩位同學進行摸球游戲，盒中裝有6個大小和質地相同的球，其中有4個白球，2個紅球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個球，求兩球顏色相同的概率；
(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個球，當摸出第二個紅球時游戲結束，或能判斷出第二個紅球被哪位同學摸到時游戲也結束．設游戲結束時甲、乙兩人摸球的總次數為X，求X的分布列和期望．
【例8-8】袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．
(1)若從袋中一次摸出2個小球，求這兩個小球恰為異色球的概率；
(2)若從袋中一次摸出3個小球，求黑球與白球的個數都沒有超過紅球個數的概率；
(3)若從袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球記0分，取到白球記4分，取到紅球記2分，求最后得分為8分的概率．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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