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高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識與結(jié)論分類解析
一、集合與簡易邏輯
1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性．
2．對集合，時，必須注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集．
3．對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為
4．“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即”；“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即”．
5．判斷命題的真假 關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”．
6．“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”．
7．四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”．
原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果．
注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié)論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題” (．
8．充要條件
二、函　數(shù)
1．指數(shù)式、對數(shù)式，，，
，
，，，，，，．
2．（1）映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”．
（2）函數(shù)圖像與軸垂線至多一個公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可任意個．
（3）函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像．
（4）原函數(shù)與反函數(shù)有兩個“交叉關(guān)系”：自變量與因變量、定義域與值域．求一個函數(shù)的反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域（確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義域）．
注意：
①，，，但．
②函數(shù)的反函數(shù)是，而不是．
3．單調(diào)性和奇偶性
（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同．
偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．
單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù)．
注意：（1）確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等．對于偶函數(shù)而言有：．
（2）若奇函數(shù)定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函數(shù)的必要非充分條件．
（3）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法（圖像法）、特殊值法等等．
（4）函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個充分非必要條件．
（5）定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”．
（6）函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件，奇函數(shù)可能反函數(shù)，但偶函數(shù)只有有反函數(shù)；既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集）．
（7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”．
復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”．復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。（即復(fù)合有意義）
4．對稱性與周期性（以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記）
（1）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱．
推廣一：如果函數(shù)對于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對稱．
推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對稱．
（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱．
推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱（由“和的一半確定”）．
（3）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱．
推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱．
（4）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．
推廣：曲線關(guān)于直線的對稱曲線是；
曲線關(guān)于直線的對稱曲線是．
（5）類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為．
若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數(shù)，且一周期為．如果函數(shù)的圖像有下一個對稱中心和一條對稱軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為．
如果是R上的周期函數(shù)，且一個周期為，那么．
特別：若恒成立，則．若恒成立，則．若恒成立，則．
三、數(shù)　　列
1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前項(xiàng)和公式的關(guān)系：（必要時請分類討論）．
注意：；．
2．等差數(shù)列中：
（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性．
（2）；．
（3）、也成等差數(shù)列．
（4）兩等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)和（差）組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列．
（5）仍成等差數(shù)列．
（6），，，，．
（7）；；．
（8）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；
“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和；
（9）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”－“奇數(shù)項(xiàng)和”＝總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”－“偶數(shù)項(xiàng)和”＝此數(shù)列的中項(xiàng)．
（10）兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解．
（11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）．
3．等比數(shù)列中：
（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負(fù)或一正一負(fù)），等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性．
（2）； ．
（3）、、成等比數(shù)列；成等比數(shù)列成等比數(shù)列．
（4）兩等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列．
（5）成等比數(shù)列．
（6）．
特別：．
（7）．
（8）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積；
（9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”＝“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”＝“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和．
（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng)．僅當(dāng)實(shí)數(shù)同號時，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng)．對同號兩實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對．也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解．
（11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法（也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）．
4．等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系
（1）如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列（總有意義）必成等比數(shù)列．
（2）如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列．
（3）如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．
（4）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．
如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列．
注意：（1）公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究．但也有少數(shù)問題中研究，這時既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同．（2）三（四）個數(shù)成等差（比）的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法．
5．?dāng)?shù)列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），
②等比數(shù)列求和公式（三種形式），
③，，，．
（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和．
（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）．
（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”！）（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一）．
（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和．常用裂項(xiàng)形式有：
①，
②，
③，
，
④ ，
⑤,
⑥,
⑦，⑧．
特別聲明：(運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時分類討論．
（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。
四、三角函數(shù)
1．終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）．
終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）．
終邊與終邊關(guān)于軸對稱．
終邊與終邊關(guān)于軸對稱．
終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱．
一般地：終邊與終邊關(guān)于角的終邊對稱．
與的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定．
2．弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度（1rad）．
3．三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．
注意：，
，．
4．三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上（起點(diǎn)在軸上）”、余弦線“躺在軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線“站在點(diǎn)處（起點(diǎn)是）”．務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦’‘縱坐標(biāo)’、‘余弦’‘橫坐標(biāo)’、‘正切’‘縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商’”；務(wù)必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關(guān)系．為銳角．
5．三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號”；
6．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限．
7．三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”!
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換．
如， ，，，等．
常值變換主要指“1”的變換：
等．
三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）．解題時本著“三看”的基本原則來進(jìn)行:“看角、看函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次．
注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）公式中的符號特征．“正余弦‘三兄妹—’的聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)系在一起 ）．
輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用．尤其是兩者系數(shù)絕對值之比為的情形．有實(shí)數(shù)解．
8．三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：
（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性
注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定．如的周期都是, 但的周期為， y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函數(shù)嗎？
（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：
（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換．
（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法（五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列）和變換法．
9．三角形中的三角函數(shù)：
（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方．
（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）．
注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解．
（3）余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型．
（4）面積公式：．
10．反三角函數(shù)：
（1）反正弦、反余弦、反正切的取值范圍分別是．
（2）異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是，．直線的傾斜角、到的角、與的夾角的范圍依次是．
五、向 量
1．向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征．
2．幾個概念：零向量、單位向量（與共線的單位向量是，特別：）、平行（共線）向量（無傳遞性，是因?yàn)橛校⑾嗟认蛄浚ㄓ袀鬟f性）、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是）．
3．兩非零向量平行（共線）的充要條件
．
兩個非零向量垂直的充要條件
．
特別：零向量和任何向量共線．是向量平行的充分不必要條件!
4．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2．
5．三點(diǎn)共線共線；
向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得：且．
6．向量的數(shù)量積：，，
，
．
注意：為銳角且不同向；
為直角且；
為鈍角且不反向；
是為鈍角的必要非充分條件．
向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用；對于一個向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，切記兩向量不能相除（相約）．
7．
注意：同向或有；
反向或有；
不共線．（這些和實(shí)數(shù)集中類似）
8．平移與定比分點(diǎn)
（1）線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式
設(shè)P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，則．，．
特別：分點(diǎn)的位置與的對應(yīng)關(guān)系．
中點(diǎn)坐標(biāo)公式， 為的中點(diǎn)．
中，過邊中點(diǎn)；；
．為的重心；
特別為的重心．
為的垂心；
所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）；
的內(nèi)心．
．
（2）平移公式：如果點(diǎn)P（x，y）按向量a＝（h，k）平移至，則．
曲線按向量a＝（h，k）平移得曲線．
六、不等式
1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值．
（2）解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎担瑯?biāo)根及奇穿過偶彈回）；
（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）；
（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論．注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．
2．利用重要不等式 以及變式等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b（或a ，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時）．
3．常用不等式有：（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）
a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）
4．比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法（注意：對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑， “配方、函數(shù)單調(diào)性等”對放縮的影響）．
5．含絕對值不等式的性質(zhì)：
同號或有；
異號或有．
注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題）．
6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題
（1）．恒成立問題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上
（2）．能成立問題
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于在區(qū)間上
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于在區(qū)間上的．
（3）．恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為．
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為,
七、直線和圓
1．直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義（或）及其直線方程的向量式（（為直線的方向向量））．應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不存在的情況？
2．知直線縱截距，常設(shè)其方程為或；知直線橫截距，常設(shè)其方程為（直線斜率k存在時，為k的倒數(shù)）或．知直線過點(diǎn)，常設(shè)其方程為或．
注意：（1）直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式、向量式．以及各種形式的局限性．（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）
與直線平行的直線可表示為；
與直線垂直的直線可表示為；
過點(diǎn)與直線平行的直線可表示為：
；
過點(diǎn)與直線垂直的直線可表示為：
．
（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0．直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)．
（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合．
3．相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是，而其到角是帶有方向的角，范圍是．相應(yīng)的公式是：
夾角公式，
直線到角公式．注：點(diǎn)到直線的距離公式
．
特別：；
；
．
4．線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解．
5．圓的方程：最簡方程；標(biāo)準(zhǔn)方程；
一般式方程；
參數(shù)方程為參數(shù)）；
直徑式方程．
注意：
（1）在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是．
（2）圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：
，，
，
．
6．解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)（如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用!”
（1）過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，
過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，
過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：．
如果點(diǎn)在圓外，那么上述直線方程表示過點(diǎn)兩切線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程．
如果點(diǎn)在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于（為圓心）的直線方程，（為圓心到直線的距離）．
7．曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解；
過兩圓、交點(diǎn)的圓（公共弦）系為，當(dāng)且僅當(dāng)無平方項(xiàng)時，為兩圓公共弦所在直線方程．
八、圓錐曲線
1．圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩焦點(diǎn)（兩相異定點(diǎn)），那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線（一定點(diǎn)和不過該點(diǎn)的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用；
②圓錐曲線第二定義是：“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，橢圓點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等于1．③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：
  
2．圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢．其中，橢圓中、雙曲線中．
重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn)．
注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì)．
3．在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解．特別是：
①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必“判別式≥0”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問題時，必須先有“判別式≥0”．
②直線與拋物線（相交不一定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四種情況）的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理．
③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式
（，, ）或“小小直角三角形”．
④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化．
4．要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等）, 以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn)．
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化．
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對軌跡的“完備性與純粹性”的影響．
③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等．
九、直線、平面、簡單多面體
1．計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計(jì)算
2．計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理，），或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直角三角形求解．注：一斜線與平面上以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影為角的平分線．
3．計(jì)算二面角的大小主要有：定義法（先作其平面角后計(jì)算大小）、公式法（）、向量法（兩平面法向量的夾角）、等價轉(zhuǎn)換法等等．二面角平面角的主要作法有：定義法（取點(diǎn)、作垂、構(gòu)角）、三垂線法（兩垂一連，關(guān)鍵是第一垂（過二面角一個面內(nèi)一點(diǎn)，作另一個面的垂線））、垂面法．
4．計(jì)算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線段后計(jì)算）、等積法、轉(zhuǎn)換法（平行換點(diǎn)、換面）等．
5．空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行，請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用．注意：書寫證明過程需規(guī)范．
特別聲明：
①證明計(jì)算過程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位線、重心”等知識轉(zhuǎn)化．
②在證明計(jì)算過程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化 （構(gòu)造） 為特殊幾何體（如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等）中問題，并獲得去解決．
③如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問題．
6．直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì)．
如長方體中：對角線長，棱長總和為，全（表）面積為，（結(jié)合可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式），；
如三棱錐中：側(cè)棱長相等（側(cè)棱與底面所成角相等）頂點(diǎn)在底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心，斜高長相等（側(cè)面與底面所成相等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心．
如正四面體和正方體中：

7．求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）法等．注意：補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體 分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是 ．
8．多面體是由若干個多邊形圍成的幾何體．棱柱和棱錐是特殊的多面體．
正多面體的每個面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種， 即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．

9．球是一種常見的簡單幾何體．球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小．球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)．球面是到球心的距離等于定長（半徑） 的點(diǎn)的集合．球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面．球面上兩點(diǎn)間的距離，是過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求球面上兩點(diǎn)間的弦長”，因?yàn)榇讼议L既是球面上兩點(diǎn)間的弦長，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦長．
注：“經(jīng)度是‘小小半徑所成角’，緯度是‘大小半徑的夾角’”．球體積公式，球表面積公式，是兩個關(guān)于球的幾何度量公式．它們都是球半徑及的函數(shù)．解決球的相關(guān)問題務(wù)必注意球的幾何性質(zhì)（尤其是“球的半徑、球心截面距、小圓半徑構(gòu)成直角三角形”；球與多面體相切或相接時，組合體的特殊關(guān)聯(lián)關(guān)系）．
十、排列組合
1．排列數(shù)、組合數(shù)中．
（1）排列數(shù)公式
；．
（2）組合數(shù)公式；．
（3）組合數(shù)性質(zhì)：
,,
2．解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合．
3．解排列組合問題的規(guī)律是（優(yōu)限法和間接法）：相鄰問題捆綁法；不鄰（相間）問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序問題用除法（組合法）；選取問題先選后排法；至多至少問題間接法，特別地還有隔板法（什么時候用？）、字典法、構(gòu)造法等．
4．（1）二項(xiàng)式定理：，其中各系數(shù)就是組合數(shù)，它叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有n+1項(xiàng)，其中第r+l項(xiàng)．某項(xiàng)“加數(shù)”的指數(shù)該項(xiàng)的“項(xiàng)數(shù)減去1的差”，也可看成組合數(shù)的上標(biāo)．
（2）二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)（組合數(shù)）的性質(zhì)：對稱性、等距性、單調(diào)最值性和．
（3）應(yīng)用“賦值法”同樣可得相關(guān)性質(zhì)或?qū)で蠖?xiàng)式展開式中“奇次（數(shù)）項(xiàng)”“偶次（數(shù)）項(xiàng)”的系數(shù)和．如，奇（偶）次項(xiàng)系數(shù)和（）．
注意：二項(xiàng)式展開式中區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)”，尋求其中項(xiàng)的系數(shù)的最大值是將相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)建不等式進(jìn)行．
二項(xiàng)式的應(yīng)用主要是進(jìn)行應(yīng)用其前幾項(xiàng)近似計(jì)算、整除性計(jì)算或證明、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮．
5．概率的計(jì)算公式：
（1）等可能事件的概率計(jì)算公式：；
（2）互斥事件的概率計(jì)算公式：P（A+B）＝P（A）+P（B）；
（3）對立事件的概率計(jì)算公式是：P（）=1－P（A）；
（4）獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P（A?B）＝P（A）?P（B）；
（5）獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：
（是二項(xiàng)展開式[（1－P）+P]n的第（k+1）項(xiàng)）．
十一、導(dǎo) 數(shù)
1．導(dǎo)數(shù)的意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率（幾何意義）、瞬時速度、邊際成本（成本為因變量、產(chǎn)量為自變量的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）．，（C為常數(shù)），，．
2．多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性：
在一個區(qū)間上（個別點(diǎn)取等號）在此區(qū)間上為增函數(shù)．
在一個區(qū)間上（個別點(diǎn)取等號）在此區(qū)間上為減函數(shù)．
3．導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值：
（1）函數(shù)在處有且“左正右負(fù)”在處取極大值；
函數(shù)在處有且“左負(fù)右正”在處取極小值．
注意：①在處有是函數(shù)在處取極值的必要非充分條件．
②求函數(shù)極值的方法：先找定義域，再求導(dǎo)，找出定義域的分界點(diǎn)，列表求出極值．特別是給出函數(shù)極大（小）值的條件，一定要既考慮，又要考慮驗(yàn)“左正右負(fù)”（“左負(fù)右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記．
③單調(diào)性與最值（極值）的研究要注意列表！
（2）函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大值”；
函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”；
注意：利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：先找定義域 再求出導(dǎo)數(shù)為0及導(dǎo)數(shù)不存在的的點(diǎn)，然后比較定義域的端點(diǎn)值和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小就為最小值．
4．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點(diǎn)坐標(biāo)”為橋梁，注意題目中是“處(”還是“過(”，對“二次拋物線”過拋物線上一點(diǎn)的切線拋物線上該點(diǎn)處的切線，但對“三次曲線”過其上一點(diǎn)的切線包含兩條，其中一條是該點(diǎn)處的切線，另一條是與曲線相交于該點(diǎn)．
5．微積分的創(chuàng)始人是牛頓、萊布尼茲．
6．注意應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值（極值），研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題．

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