資源簡介

第1節 橢圓及其標準方程
撰寫：劉一博 審核：胡海歐
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
1. 掌握二元一次不等式表示的平面區域
2. 理解線性規劃的意義和線性約束條件,線性目標函數,可行解,可行域,最優解等基本概念
3. 掌握線性規劃問題的圖解法,并能應用線性規劃的方法解決一些簡單的實際問題.
二、重點與難點
1．重點是理解二元一次不等式表示的平面區域；
2．把實際問題轉化為線性規劃問題,并給出解答是教學難點
三、本節知識理解
本節主要學習內容是二元一次不等式（組）表示的平面區域以及線性規劃的問題。
關于表示的區域，常用特殊點帶入檢驗，若，常把原點帶入；若，則另選一些容易計算的特殊點帶入檢驗。線性規劃主要解決物資調運，勞力（或產品）安排，合理配方（或下料）等問題。主要步驟是(1)審題；（2）設相關元，列出目標函數和線性約束條件（不等式組）；（3）作出可行域；（4）找最優解，確定目標函數的最值；（5）回答實際問題。
求線性規劃的最優解，有時是整數解要根據實際問題取不足近似值或過剩近似值，一般方法有：（1）平移直線法，由網格觀察最優解；（2）檢驗優值法，當可行域內整數點個數比較少時，可逐一帶入檢驗；（3）調整優值法，先求非整點最優解及最優值，再借助不定方程的只是調整最優值，最后篩選最優解。
精題精講
例1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
⑴兩個焦點坐標分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離
之和等于10；
⑵兩個焦點坐標分別是（0，－2）和（0,2）且過（,）
解：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為
　　　　
所以所求橢圓標準方程為
因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為

由橢圓的定義知，
＋
　
　又
所以所求標準方程為
另法：∵
∴可設所求方程，后將點（,）的坐標代入可求出，從而求出橢圓方程
點評：題（１）根據定義求 若將焦點改為(0,-4)、（0，4）其結果如何；
題（２）由學生的思考與練習，總結有兩種求法：其一由定義求出長軸與短軸長，根據條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關系，設出橢圓方程，由點在橢圓上的條件，用待定系數的辦法得出方程
例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)兩個焦點坐標分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經過點(5，0).
(2)兩個焦點坐標分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.
選題意圖：該題訓練焦點在不同坐標軸上的橢圓標準方程，考查關系掌握情況.
解：(1)∵橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為：

∵，2c=6.
∴
∴
∴所求橢圓的方程為：.
(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為
.
∴
∴所求橢圓方程為：
例3 求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)焦點在軸上，且經過點(2，0)和點(0，1).
(2)焦點在軸上，與軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.
選題意圖：訓練待定系數法求方程的思想方法，考查橢圓上離焦點最近的點為長軸一端點等基本知識.
解：(1)因為橢圓的焦點在軸上，所以可設它的標準方程為：
∵橢圓經過點(2，0)和(0，1)
∴
故所求橢圓的標準方程為
（２）∵橢圓的焦點在軸上，所以可設它的標準方程為：
∵Ｐ（０，－１０）在橢圓上，∴＝１０.
又∵P到它較近的一焦點的距離等于2，
∴－c－（－１０）＝２，故c=8.
∴.
∴所求橢圓的標準方程是.
說明：(1)標準方程決定的橢圓中，與坐標軸的交點橫坐標(或縱坐標)實際即為與的值.
(2)后面的學習中將證明橢圓長軸端點距焦點最遠或最近.
例4 已知橢圓經過兩點（，求橢圓的標準方程
解：設橢圓的標準方程
則有 ，解得
所以，所求橢圓的標準方程為
例5 已知B，C是兩個定點，｜BC｜＝6，且的周長等于16，求頂點A的軌跡方程
解：以BC所在直線為軸，BC中垂線為軸建立直角坐標系，設頂點，根據已知條件得|AB|+|AC|=10
再根據橢圓定義得
所以頂點A的軌跡方程為
（≠0）（特別強調檢驗)
因為A為△ABC的頂點，故點A不在軸上，所以方程中要注明≠0的條件
例6 如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PPˊ，求線段PPˊ的中點M的軌跡（若M分 PPˊ之比為，求點M的軌跡）
解：（1）當M是線段PPˊ的中點時，設動點的坐標為，則的坐標為
因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，
所以有 ，即
所以點的軌跡是橢圓，方程是
（2）當M分 PPˊ之比為時，設動點的坐標為，則的坐標為
因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，
所以有 ，即
所以點的軌跡是橢圓，方程是
例7 已知軸上的一定點A（1,0），Q為橢圓上的動點，求AQ中點M的軌跡方程
解：設動點的坐標為，則的坐標為
因為點為橢圓上的點，
所以有 ，即
所以點的軌跡方程是
例8 長度為2的線段AB的兩個端點A、B分別在軸、軸上滑動，點M分AB的比為，求點M的軌跡方程
解：設動點的坐標為，則的坐標為 的坐標為
因為，
所以有 ，即
所以點的軌跡方程是
例9 已知定圓，動圓M和已知圓內切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程
分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用數學符號表示此結論：
上式可以變形為，又因為，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓
解 已知圓可化為：
圓心Q(3，0)，，所以P在定圓內 設動圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內切，所以，
即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以，，故動圓圓心M的軌跡方程是：
基礎達標
1.設F1、F2為定點，|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則動點M的軌跡是 （ ）
A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段
答案：D
2.橢圓的左右焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為 （ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
答案：B
3.設α∈(0,)，方程表示焦點在x軸上的橢圓，則α∈ （）
A.(0, B.(,)
C.(0,) D.［,)
答案：B
1.已知橢圓上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離是 （ ）
A.2 B.3 C.5 D.7
答案：D
2.已知橢圓方程為,那么它的焦距是 （ ）
A.6 B.3 C.3 D.
答案：A
3.已知橢圓的兩個焦點坐標是F1（-2，0），F2（2，0），并且經過點P（），則橢圓標準方程是 .
答案：
4.過點A（-1，-2）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是 .
答案：
5.過點P（，-2），Q（-2，1）兩點的橢圓標準方程是 .
答案：
綜合發展
第2節 橢圓的簡單幾何性質
撰寫：劉一博 審核：冬焱
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質
2．掌握標準方程中的幾何意義，以及的相互關系
3．理解、掌握坐標法中根據曲線的方程研究曲線的幾何性質的一般方法
2．理解橢圓第二定義與第一定義的等價性；
能推導，掌握橢圓的焦半徑公式，并能利用焦半徑公式解決有關與焦點距離有關的問題；
2．能利用橢圓的有關知識解決實際問題，及綜合問題
二、重點與難點
教學重點：橢圓的幾何性質，橢圓的第二定義、橢圓的準線方程
教學難點：如何貫徹數形結合思想，運用曲線方程研究幾何性質
三、本節知識理解
1.學法點撥
橢圓
定義
1到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0圖形
方
程
標準方程
(>0)
(>0)
參數方程
范圍
─a(x(a，─b(y(b
─a(x(a，─b(y(b
中心
原點O（0，0）
原點O（0，0）
頂點
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
對稱軸
X軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
X軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
焦點
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
離心率
準線
x=
x=
焦半徑
通徑
精題精講
例1 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．
解：把已知方程化成標準方程

所以，，
因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為，離心率，兩個焦點分別為，橢圓的四個頂點是，
將已知方程變形為，根據，在的范圍內算出幾個點的坐標：
0
1
2
3
4
5
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓：
例2在同一坐標系中畫出下列橢圓的簡圖,并求出頂點坐標和離心率。
（1）（2）
答：簡圖如下：
例3分別在兩個坐標系中，畫出以下橢圓的簡圖并比較它們的離心率。
（1）（2）
答：簡圖如下：
例4寫出下列橢圓的準線方程：（1） (2)
解：⑴方程可化為 ，是焦點在軸上且，的橢圓
所以此橢圓的準線方程為
⑵方程是焦點在軸上且，的橢圓
所以此橢圓的準線方程為
例5. 分別求出符合下列條件的橢圓的標準方程.
（1）橢圓過(3，0)點，離心率e=。
（2）過點（3，-2）且與橢圓有相同焦點。
（3）長軸長與短軸長之和為10，焦距為。
（4）中心在原點，離心率為，準線方程為。
（5）中心在原點，對稱軸在坐標軸上，x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離是。
【解】 當橢圓的焦點在x軸上時，
∵a=3,=,∴c=.從而b2=a2－c2=9－6=3,
∴橢圓的方程為=1.
當橢圓的焦點在y軸上時，∵b=3,=,
∴=,∴a2=27.
∴橢圓的方程為=1.
∴所求橢圓的方程為=1或=1.
例6求滿足下列條件的橢圓的離心率.
（1）若橢圓兩準線間的距離是該橢圓焦距的2倍.
（2）若橢圓的一個頂點與它的兩個焦點構成的三角形是等邊三角形.
（3）設為橢圓的兩個焦點，以為圓心過橢圓中心的圓與橢圓有一個交點M，若直線與圓相切.
（4）若分別為橢圓的左、右焦點，P是以為直徑的圓與橢圓的一個交點，且.
例7已知橢圓與軸的正半軸交于A,O是原點,若橢圓上存在一點M,使MA⊥MO,求橢圓離心率的取值范圍
例8橢圓上有一點P，它到橢圓的左準線距離為10，求點P到橢圓的右焦點的距離
解：橢圓的離心率為，根據橢圓的第二定義得，點P到橢圓的左焦點距離為
再根據橢圓的第一定義得，點P到橢圓的右焦點的距離為20－8＝12
例9設分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，求證：
例10橢圓，其上一點P(3,)到兩焦點的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程
解：由橢圓的焦半徑公式，得
，解得，從而有
所求橢圓方程為
例11已知橢圓的中心在原點，長軸在x軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程.
例12已知是橢圓的兩個焦點，點P是橢圓上一點.
若，求的面積；
若為鈍角，求點P橫坐標的取值范圍.
例13已知橢圓內一點P（1，-1），F是橢圓的右焦點，點M在橢圓上，（1）求點M坐標，使最小；（2）求點M坐標，使最大.
解：A(,0)，設M點的坐標為（），由MA⊥MO得
化簡得
所以
例14把下列參數方程化為普通方程，普通方程化為參數方程
(1) (2).
解：(1)
(2)
例15已知橢圓上的點P(),求的取值范圍.
解：＝
例16已知直線l與橢圓相交于A、B兩點，弦AB中點坐標（1，1），求及直線l的方程。
例17已知橢圓
（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（2）過引橢圓的割線，求截得得弦的中點軌跡方程；
求過點，且被平分的弦所在的直線方程.
例18已知中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點橫坐標為，求此橢圓的方程.
例19已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，直線被橢圓截得的弦AB的長為，且AB的中點C與橢圓中心的連線的斜率為，求這個橢圓的方程.
例20已知橢圓上有兩個不同點關于直線對稱，求m的取值范圍.
基礎達標
1.橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是（ ）
A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0)
C.(－，0)、(,0) D.(0,－)、(0,)
【答案】 D
2.已知點（m，n）在橢圓8x2+3y2=24上，則2m+4的取值范圍是（ ）
A.[4-2,4+2] B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2] D.[4-,4+]
【解析】由8x2+3y2=24得=1.∴-≤m≤,4-2≤2m+4≤4+2.
【答案】 A
3.橢圓25x2+9y2=225的長軸上、短軸長、離心率依次是（ ）
A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6
【解析】把橢圓的方程寫成標準方程：=1，知a=5，b=3，c=4.∴2a=10，2b=6，=0.8.
【答案】B
4.橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的設心率是（ ）
A. B. C. D.
【解析】∵橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，∴a=2c，=.
【答案】D
5.已知橢圓+=1與橢圓+=1有相同的長軸，橢圓+=1的短軸長與橢圓+=1的短軸長相等，則（ ）
A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9
【解析】 ∵橢圓+=1的長軸長為10，焦點在x軸上，橢圓+=1的短軸長為6，∴a2=25,b2=9.
【答案】 D
6.已知橢圓C：+=1與橢圓+=1有相同離心率，則橢圓C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
【解析】 把方程+=m2寫成+=1,則a2=8m2,b2=4m2,
∴c2=4m2,∴==,e==,而橢圓+=1的離心率為.
【答案】 A
7.橢圓＝1（a＞b＞0）的準線方程是（ ）
A.y＝± Ｂ.y＝±
Ｃ.y＝± Ｄ.x＝±
【解析】 ∵橢圓焦點在y軸上，且c=
∴橢圓的準線方程為y=±.
【答案】 Ｂ
8.若橢圓上的點P到焦點的距離最小，則P點是（ ）
A.橢圓的短軸的端點 B.橢圓的長軸的一個端點
C.不是橢圓的端點 D.以上都不對
【答案】B
9.已知橢圓=1(a>b>0)的兩準線間的距離為，離心率為，則橢圓方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 由=,=，得a2=16,b4=4.
【答案】 D
10.兩對稱軸都與坐標軸重合，離心率e=0.8，焦點與相應準線的距離等于的橢圓的方程是（ ）
A.=1或=1
B.=1或=1
C.+=1
D.=1
【解】 設所求橢圓的方程為
=1(a＞b＞0)
或=1(a＞b＞0).
由題意，得
解這個方程組，得.
∴所求橢圓的方程為：=1或=1.
【答案】 A
11.已知橢圓=1(a>b>0)的左焦點到右準線的距離為,中心到準線的距離為，則橢圓的方程為（ ）
A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
【解析】 由－(－c)=,=得a2=4,b2=1.
【答案】 A
12.橢圓=的離心率為（ ）
A. B. C. D.無法確定
【解析】 由=知e=.
【答案】 B
∴橢圓上一點的坐標可設為(acos,bsin).
【答案】 A
13.設O是橢圓的中心，P是橢圓上對應于=的點，那么直線OP的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【解析】 當=時，
∴kOP=.
【答案】 D
14.點（2，3）對應曲線(θ為參數)中參數θ的值為（ ）
A.kπ+(k∈Z) B.kπ+(k∈Z) C.2kπ+(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
【解析】 由得，
∴θ=2kπ+ (k∈Z).
【答案】 D
15.曲線(θ為參數)的準線方程為（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
【答案】 A
綜合發展
1.橢圓＋＝1與＋＝1（0＜k＜９）的關系為（ ）
A.有相等的長、短軸 Ｂ.有相等的焦距
Ｃ.有相同的焦點 Ｄ.有相同的準線
【解析】 ∵25－k－（９－k）＝16，∴焦距相等.
【答案】 Ｂ
2.橢圓的短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3，則橢圓的標準方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.橢圓的方程無法確定
【解析】 由題意，a=5,c=3,∴b2=a2－c2=25－9=16,
∴橢圓的標準方程為＋＝1或＋=1.
【答案】 C
3.中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ）
A.＋=1 B.＋=1
C.＋=1 D. ＋=1
【解析】 ∵2a=18,2c=×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81－9=72.
【答案】 A
4.已知點（3，2）在橢圓＋=1上，則（ ）
A.點（－3，－2）不在橢圓上
B.點（3，－2）不在橢圓上
C.點（－3，2）在橢圓上
D.無法判斷點（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在橢圓上
【解析】 ∵點（3，2）在橢圓＋=1上，
∴＋=1,∴=1.
即點(±3,±2)在橢圓＋=1上.
【答案】 C
5.已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是26，cosOFA=，則橢圓的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
【解析】由cosOFA=，知A是短軸的端點.∵長軸長是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴橢圓的方程為=1或=1.
【答案】D
6.曲線=xy（ ）
A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱 C.關于原點對稱 D.以上都不對
【解析】同時以-x代x，以-y代y，方程不變，所以曲線關于原點對稱.
【答案】C
7.求橢圓25x2+y2=25的長軸和短軸的長、焦點和頂點坐標及離心率.
【解】 把已知方程化成標準方程：+x2=1，這里a=5,b=1,所以c==2.
因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是2a=10和2b=2,兩個焦點分別是F1(0，－2)、F2(0，2)，橢圓的四個頂點是A1(0，－5)、A2(0，5)、B1(－1，0)和B2(1，0).橢圓的離心率是
8.AA′是橢圓=1(a＞b＞0)的長軸，CD是垂直于長軸的弦，求直線A′C和AD的交點P的軌跡方程.
【解】 設P（x,y）,C(x0,y0),D(x0,－y0)
由A′、C、P共線得：= ①
由D、A、P共線得：= ②
由①②聯立求出代入=1中得+=1,
整理得=1.
9.橢圓=1(a>b>0)的焦點到準線的距離為（ ）
A. B. C. 或 D.
【解析】焦點到準線的距離為-c或+c，即或.
【答案】C
10.若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【解析】 橢圓的兩準線之間的距離為－(－)=.
∴由題意，得=4×2c,∴=.
【答案】 D
11.橢圓=1上點P到右焦點的最值為（ ）
A.最大值為5，最小值為4 B.最大值為10，最小值為8
C.最大值為10，最小值為6 D.最大值為9，最小值為1
【解析】 e=,由焦半徑公式得|PF2|=5－x0,∵－5≤x0≤5,∴當x0=5時|PF2|min=1,當x0=－5時，|PF2|max=9.
【答案】 D
12.橢圓的長軸長為10，短軸長為8，則橢圓上的點到橢圓中心的距離的取值范圍是（ ）
A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8]
【解析】由2a=10，2b=8，得a=5，b=4.
【答案】B
13.若橢圓的長軸長為200，短軸長為160，則橢圓上的點到焦點的距離的范圍是（ ）
A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100]
【解析】由題知2a=200，2b=160，∴a=100，b=80，c=60.∴橢圓上的點到焦點的距離范圍是[100-60,100+60]，即[40,160].
【答案】A
14.P是橢圓上的點，F1、F2是兩個焦點，則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差是 .
【解析】設P（x，y），則|PF1|·|PF2|=4-x2.∴|PF1|·|PF2|的最大值為4，最小值為3.
【答案】1
15.橢圓(a>b>0)的兩焦點為F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，離心率e=，焦點到橢圓上點的最短距離為2-，求橢圓的方程.
【解】∵橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴橢圓的方程為+x2=1.
16.已知橢圓的一個焦點是F（1，1），與它相對應的準線是x+y－4=0,離心率為，求橢圓的方程.
【解】設P（x,y）為橢圓上任意一點，∵橢圓的一個焦點是F（1，1）與它相對應的準線是x+y－4=0,離心率為,
∴,
∴4(x－1)2+4(y－1)2=(x+y－4)2.
即3x2+3y2－2xy－8=0為所求.
17.已知點P在橢圓=1上（a＞b＞0),F1、F2為橢圓的兩個焦點，求|PF1|·|PF2|的取值范圍.
【解】 設P（x0,y0）,橢圓的準線方程為y=±,不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點，則
∴|PF1|=y0+a,|PF2|=a－y0,
∴|PF1|·|PF2|=(a+y0)(a－y0)=a2－y02
∵－a≤y0≤a
∴當y0=0時，|PF1|·|PF2|最大，最大值為a2.當y0=±a時，|PF1|·|PF2|最小，最小值為a2－c2=b2.因此，|PF1|·|PF2|的取值范圍是［b2,a2］.
18.已知點P在橢圓x2+8y2=8上，并且P到直線l：x－y+4=0的距離最小，求P點的坐標
【解析】 ∵P點在橢圓上，∴設P（2cosθ,sinθ）則有P到l的距離為
d=,
其中tan=2,當θ－=時d最小，
此時cosθ=sin=,sinθ=cos=.
∴P(,)
19.已知P(x,y)是橢圓=1上的點，求u=x+y的取值范圍.
【解】 ∵橢圓的參數方程可寫為,
∴可設P點的坐標為(12cos,5sin).
從而u=12cos+5sin=13sin（+arctan）.
∵－13≤13sin（+arctan）≤13，
∴u的取值范圍是－13≤u≤13.
20.已知點A（0，-1）及橢圓=1，在橢圓上求一點P使|PA|的值最大.
【解】∵點P在橢圓上，∴設P的坐標為（13cosθ，12sinθ）.
∴|PA|2=(13cosθ)2+(12sinθ+1)2=170-25sin2θ+24sinθ.
∴當sinθ=-時，|PA|2最大，此時cosθ=±.
∴點P的坐標為（±，）.
第2節 橢圓的簡單幾何性質
撰寫：劉一博 審核：冬焱
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
1. 熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質
2．掌握標準方程中的幾何意義，以及的相互關系
3．理解、掌握坐標法中根據曲線的方程研究曲線的幾何性質的一般方法
4．理解橢圓第二定義與第一定義的等價性；
5. 能推導，掌握橢圓的焦半徑公式，并能利用焦半徑公式解決有關與焦點距離有關的問題；
6. 能利用橢圓的有關知識解決實際問題，及綜合問題
二、重點與難點
教學重點：橢圓的幾何性質，橢圓的第二定義、橢圓的準線方程
教學難點：如何貫徹數形結合思想，運用曲線方程研究幾何性質
三、本節知識理解
1.學法點撥
橢圓
定義
1到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0圖形
方
程
標準方程
(>0)
(>0)
參數方程
范圍
─a(x(a，─b(y(b
─a(x(a，─b(y(b
中心
原點O（0，0）
原點O（0，0）
頂點
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
對稱軸
X軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
X軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
焦點
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （其中c=）
2c （其中c=）
離心率
準線
x=
x=
焦半徑
通徑
說明：1.表示橢圓的充要條件為：
2.離心率表示橢圓的扁平程度
3.橢圓的參數方程常用于求最值。
4.直線與橢圓有三種位置關系：相交（割線）相切（切線）相離
5.橢圓上一點處的切線方程為：
6. a.弦長公式
b.弦的中點（點差法）
精題精講
例1 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．
例2在同一坐標系中畫出下列橢圓的簡圖,并求出頂點坐標和離心率。
（1）（2）
例3分別在兩個坐標系中，畫出以下橢圓的簡圖并比較它們的離心率。
（1）（2）
例4寫出下列橢圓的準線方程：（1） (2)
例5. 分別求出符合下列條件的橢圓的標準方程.
（1）橢圓過(3，0)點，離心率e=。
（2）過點（3，-2）且與橢圓有相同焦點。
（3）長軸長與短軸長之和為10，焦距為。
（4）中心在原點，離心率為，準線方程為。
（5）中心在原點，對稱軸在坐標軸上，x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離是。
例6求滿足下列條件的橢圓的離心率.
（1）若橢圓兩準線間的距離是該橢圓焦距的2倍.
（2）若橢圓的一個頂點與它的兩個焦點構成的三角形是等邊三角形.
（3）設為橢圓的兩個焦點，以為圓心過橢圓中心的圓與橢圓有一個交點M，若直線與圓相切.
（4）若分別為橢圓的左、右焦點，P是以為直徑的圓與橢圓的一個交點，且.
例7已知橢圓與軸的正半軸交于A,O是原點,若橢圓上存在一點M,使MA⊥MO,求橢圓離心率的取值范圍
例8橢圓上有一點P，它到橢圓的左準線距離為10，求點P到橢圓的右焦點的距離
例9設分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，求證：
例10橢圓，其上一點P(3,)到兩焦點的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程
例11已知橢圓的中心在原點，長軸在x軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程.
例12已知是橢圓的兩個焦點，點P是橢圓上一點.
若，求的面積；
若為鈍角，求點P橫坐標的取值范圍.
例13已知橢圓內一點P（1，-1），F是橢圓的右焦點，點M在橢圓上，（1）求點M坐標，使最小；（2）求點M坐標，使最大.
例14把下列參數方程化為普通方程，普通方程化為參數方程
(1) (2).
例15已知橢圓上的點P(),求的取值范圍.
例16已知直線l與橢圓相交于A、B兩點，弦AB中點坐標（1，1），求及直線l的方程。
例17已知橢圓
（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（2）過引橢圓的割線，求截得得弦的中點軌跡方程；
求過點，且被平分的弦所在的直線方程.
例18已知中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點橫坐標為，求此橢圓的方程.
例19已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，直線被橢圓截得的弦AB的長為，且AB的中點C與橢圓中心的連線的斜率為，求這個橢圓的方程.
例20已知橢圓上有兩個不同點關于直線對稱，求m的取值范圍.
基礎達標
1.橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是（ ）
A.(－1,0)、(1,0) B.(－6,0)、(6,0)
C.(－，0)、(,0) D.(0,－)、(0,)
2.已知點（m，n）在橢圓8x2+3y2=24上，則2m+4的取值范圍是（ ）
A.[4-2,4+2] B.[4-,4+]
C.[4-2,4+2] D.[4-,4+]
3.橢圓25x2+9y2=225的長軸上、短軸長、離心率依次是（ ）
A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6
4.橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的設心率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知橢圓+=1與橢圓+=1有相同的長軸，橢圓+=1的短軸長與橢圓+=1的短軸長相等，則（ ）
A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9
6.已知橢圓C：+=1與橢圓+=1有相同離心率，則橢圓C的方程可能是（ ）
A.+=m2(m≠0) B.+=1
C. +=1 D.以上都不可能
7.橢圓＝1（a＞b＞0）的準線方程是（ ）
A.y＝± Ｂ.y＝±
Ｃ.y＝± Ｄ.x＝±
8.若橢圓上的點P到焦點的距離最小，則P點是（ ）
A.橢圓的短軸的端點 B.橢圓的長軸的一個端點
C.不是橢圓的端點 D.以上都不對
9.已知橢圓=1(a>b>0)的兩準線間的距離為，離心率為，則橢圓方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
10.兩對稱軸都與坐標軸重合，離心率e=0.8，焦點與相應準線的距離等于的橢圓的方程是（ ）
A.=1或=1 B.=1或=1
C.+=1 D.=1
11.已知橢圓=1(a>b>0)的左焦點到右準線的距離為,中心到準線的距離為，則橢圓的方程為（ ）
A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1
12.橢圓=的離心率為（ ）
A. B. C. D.無法確定
13.設O是橢圓的中心，P是橢圓上對應于=的點，那么直線OP的斜率為（ ）
A. B. C. D.
14.點（2，3）對應曲線(θ為參數)中參數θ的值為（ ）
A.kπ+(k∈Z) B.kπ+(k∈Z) C.2kπ+(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
15.曲線(θ為參數)的準線方程為（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
綜合發展
1.橢圓＋＝1與＋＝1（0＜k＜９）的關系為（ ）
A.有相等的長、短軸 Ｂ.有相等的焦距
Ｃ.有相同的焦點 Ｄ.有相同的準線
2.橢圓的短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到橢圓中心的距離為3，則橢圓的標準方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.橢圓的方程無法確定
3.中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（ ）
A.＋=1 B.＋=1
C.＋=1 D. ＋=1
4.已知點（3，2）在橢圓＋=1上，則（ ）
A.點（－3，－2）不在橢圓上
B.點（3，－2）不在橢圓上
C.點（－3，2）在橢圓上
D.無法判斷點（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在橢圓上
5.已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是26，cosOFA=，則橢圓的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
6.曲線=xy（ ）
A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱 C.關于原點對稱 D.以上都不對
7.求橢圓25x2+y2=25的長軸和短軸的長、焦點和頂點坐標及離心率.
8.AA′是橢圓=1(a＞b＞0)的長軸，CD是垂直于長軸的弦，求直線A′C和AD的交點P的軌跡方程.
9.橢圓=1(a>b>0)的焦點到準線的距離為（ ）
A. B. C. 或 D.
10.若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
11.橢圓=1上點P到右焦點的最值為（ ）
A.最大值為5，最小值為4 B.最大值為10，最小值為8
C.最大值為10，最小值為6 D.最大值為9，最小值為1
12.橢圓的長軸長為10，短軸長為8，則橢圓上的點到橢圓中心的距離的取值范圍是（ ）
A.[8,10] B.[4,5] C.[6,10] D.[2,8]
13.若橢圓的長軸長為200，短軸長為160，則橢圓上的點到焦點的距離的范圍是（ ）
A.[40,160] B.[0,100] C.[40,100] D.[80,100]
14.P是橢圓上的點，F1、F2是兩個焦點，則|PF1|·|PF2|的最大值與最小值之差是 .
15.橢圓(a>b>0)的兩焦點為F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，離心率e=，焦點到橢圓上點的最短距離為2-，求橢圓的方程.
16.已知橢圓的一個焦點是F（1，1），與它相對應的準線是x+y－4=0,離心率為，求橢圓的方程.
17.已知點P在橢圓=1上（a＞b＞0),F1、F2為橢圓的兩個焦點，求|PF1|·|PF2|的取值范圍.
18.已知點P在橢圓x2+8y2=8上，并且P到直線l：x－y+4=0的距離最小，求P點的坐標
19.已知P(x,y)是橢圓=1上的點，求u=x+y的取值范圍.
20.已知點A（0，-1）及橢圓=1，在橢圓上求一點P使|PA|的值最大.
第3節 雙曲線及其標準方程
撰寫：劉文文 審核：胡海歐
三點剖析：
教學大綱及考試大綱要求：
1．掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應用；
2．通過對雙曲線標準方程的推導，提高求動點軌跡方程的能力；
3．初步會按特定條件求雙曲線的標準方程；
4．理解雙曲線與橢圓的聯系與區別以及特殊情況下的幾何圖形（射線、線段等）；
二．重點與難點
教學重點：標準方程及其簡單應用
教學難點：雙曲線標準方程的推導及待定系數法解二元二次方程組
三. 本節知識理解.
1.知識框圖
名 稱
橢 圓
雙 曲 線
圖 象
定 義
平面內到兩定點的距離的和為常數（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即
當2﹥2時，軌跡是橢圓，
當2=2時，軌跡是一條線段
當2﹤2時，軌跡不存在
平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即
當2﹤2時，軌跡是雙曲線
當2=2時，軌跡是兩條射線
當2﹥2時，軌跡不存在
標準方 程

焦點在軸上時：
焦點在軸上時：
注：是根據分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上
焦點在軸上時：
焦點在軸上時：
注：是根據項的正負來判斷焦點所
在的位置
常數的關 系
（符合勾股定理的結構）
，
最大，
（符合勾股定理的結構）
最大，可以
2.要點詮釋
（1）．雙曲線的定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即
這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距
概念中幾個容易忽略的地方：“平面內”、“距離的差的絕對值”、“常數小于”
在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線） 兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關
（2）．雙曲線的標準方程的特點：
（1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)；
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)
(2)有關系式成立，且
其中a與b的大小關系:可以為
（3）.焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數是正的，那么焦點在軸上；項的系數是正的，那么焦點在軸上
精題精講
【例1】 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值
① ②
③ ④ （）
【例2】已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程
【例3】 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程
【例4】 點A位于雙曲線上，是它的兩個焦點，求的重心G的軌跡方程
【例5】 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使，求點A的軌跡
【例6】一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s．
(1)爆炸點應在什么樣的曲線上？
(2)已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340 m／s，求曲線的方程．
【例7】求下列動圓圓心M的軌跡方程:
(1)與⊙C:(x+2)2+y2=2內切，且過點A（2，0）
（2）與⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.
（3）與⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且與⊙C2:(x-3)2+y2=1內切.
【例8】已知雙曲線的右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
【例9】已知F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2
=90°，求△F1PF2的面積.
基礎達標：
1.選擇題
（1）已知方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（ ）
A.3＜k＜9 B.k＞3
C.k＞9 D.k＜3
（2）方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是 （ ）
A.k＜-1 B.k＞1
C.-1＜k＜1 D.k＜-1或k＞1
（3）方程表示焦點在坐標軸上的雙曲線，則α是第幾象限的角（ ）
A.二 B.四 C.二或四? D.一或三
（4）橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數的值是 （ ）
A B C 5 D 9
（5）設是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上,且,則點P到軸的距離為( )
A 1 B C 2 D
（6）P為雙曲線上一點，若F是一個焦點，以PF為直徑的圓與圓的位置關系是（）
A 內切 B 外切 C 外切或內切 D 無公共點或相交
（7）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（ ）
A.必要但不充分條件 B.充分但不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
（8）方程=1表示雙曲線，則k∈（ ）
A.(5，10) B.(－∞，5)
C.(10，+∞) D.(－∞，5)∪(10，+∞)
（9）在雙曲線中，,且雙曲線與橢圓4x2+9y2=36有公共焦點，則雙曲線的方程是（ ）
A.－x2=1 B.－y2=1 C.x2－=1 D.y2－=1
（10）已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線經過點A（2，-）及點B（-，4），則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
2.填空題
（1）已知雙曲線的焦點F1（-4，0），F2（4，0），且經過點M（2，2）的雙曲線標準方程是______.
（2）雙曲線的焦點在x軸上，且經過點M（3，2）、N（-2，-1），則雙曲線標準方程是______.
（3）已知是雙曲線的焦點，PQ是過焦點的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為
（4）焦點在x軸上，中心在原點且經過點P（2，3）和Q（－7，－6）的雙曲線方程是______.
（5）P是雙曲線x2－y2=16的左支上一點，F1、F2分別是左、右焦點，則|PF1|－|PF2|=______.
3．解答題
（1）判斷方程所表示的曲線。
（2）求焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經過點A（-5，2）的雙曲線的標準方程。
（3）求經過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程
（4）根據下列條件，求雙曲線的標準方程.
（a）過點P（3，），Q（-，5）且焦點在坐標軸上.
（b）c=,經過點（-5，2），焦點在x軸上.
（c）與雙曲線有相同焦點，且經過點（3，2）
綜合發展：
1.已知點F1（0，-13）、F2（0，13），動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不對
2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，則方程的曲線是（ ）
A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在x軸上的雙曲線
C.焦點在y軸上的橢圓 D.焦點在y軸上的雙曲線
3.已知點P（x，y）的坐標滿足=±4，則動點P的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.兩條射線 D.以上都不對
4.已知雙曲線的方程為=1,點A、B在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，|AB|=m,F1為另一焦點，則△ABF1的周長為（ ）
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
5.已知雙曲線的焦距為26，=,則雙曲線的標準方程是（ ）
A.=1 B.=1 C. =1 D.=1或=1
6.F1、F2為雙曲線－y2=－1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°,則△F1PF2的面積是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
7.雙曲線的焦點在y軸上，且它的一個焦點在直線5x－2y+20=0上，兩焦點關于原點對稱，，則此雙曲線的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=－1 D.=－1
8.已知ΔABC中，B、C是兩個定點，并且sinB-sinC=sinA，則頂點A的軌跡方程是（ ）
A.雙曲線 B.橢圓 C.雙曲線的一部分 D.橢圓的一部分
9.雙曲線2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.
10.過雙曲線=1的一個焦點作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離.
11.一雙曲線中心為原點，對稱軸為坐標軸，且過點A（-2，-3）、（7，6），求雙曲線的方程.
12.已知曲線C：x2－y2＝1及直線l：y=kx－1.
(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
(2)若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值.
13.已知雙曲線=1，P為雙曲線上一點，F1、F2是雙曲線的兩個焦點，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面積.
14.A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P為敵炮陣地.某時刻A發現敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4秒后，B、C才同時發現這一信號（該項信號的傳播速度為每秒1 km）.A若炮擊P地，求炮擊的方位角.
15.求與⊙C1:x2+(y-1)2=1和⊙C2：x2+(y+1)2=r2（r＞0）都外切的動圓圓心M的軌跡方程.
第3節 雙曲線及其標準方程
撰寫：劉文文 審核：胡海歐
三點剖析：
教學大綱及考試大綱要求：
1．掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應用；
2．通過對雙曲線標準方程的推導，提高求動點軌跡方程的能力；
3．初步會按特定條件求雙曲線的標準方程；
4．理解雙曲線與橢圓的聯系與區別以及特殊情況下的幾何圖形（射線、線段等）；
二．重點與難點
教學重點：標準方程及其簡單應用
教學難點：雙曲線標準方程的推導及待定系數法解二元二次方程組
三.本節知識理解.
1.知識框圖
名 稱
橢 圓
雙 曲 線
圖 象
定 義
平面內到兩定點的距離的和為常數（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即
當2﹥2時，軌跡是橢圓，
當2=2時，軌跡是一條線段
當2﹤2時，軌跡不存在
平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即
當2﹤2時，軌跡是雙曲線
當2=2時，軌跡是兩條射線
當2﹥2時，軌跡不存在
標準方 程

焦點在軸上時：
焦點在軸上時：
注：是根據分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上
焦點在軸上時：
焦點在軸上時：
注：是根據項的正負來判斷焦點所
在的位置
常數的關 系
（符合勾股定理的結構）
，
最大，
（符合勾股定理的結構）
最大，可以
2.要點詮釋
（1）．雙曲線的定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即
這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距
概念中幾個容易忽略的地方：“平面內”、“距離的差的絕對值”、“常數小于”
在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線） 兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關
（2）．雙曲線的標準方程的特點：
（1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種：
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)；
焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)
(2)有關系式成立，且
其中a與b的大小關系:可以為
（3）.焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數是正的，那么焦點在軸上；項的系數是正的，那么焦點在軸上
精題精講
【例1】 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值
① ②
③ ④ （）
分析：雙曲線標準方程的格式：平方差，項的系數是正的，那么焦點在軸上，項的分母是；項的系數是正的，那么焦點在軸上，項的分母是
解：①是雙曲線， ；
② 是雙曲線， ；
③是雙曲線， ；
④是雙曲線，
【例2】已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程
解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為
(,)
∵ ∴ ∴
所求雙曲線標準方程為
【例3】 已知雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，且點，，在此雙曲線上，求雙曲線的標準方程
分析：由于已知焦點在軸上，中心在原點，所以雙曲線的標準方程可用設出來，進行求解 本題是用待定系數法來解的，得到的關于待定系數的一個分式方程組，并且分母的次數是2，解這種方程組時利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將的倒數作為未知數，直接看作二元一次方程組
解：因為雙曲線的焦點在軸上，中心在原點，所以設所求雙曲線的標準方程為
（）
則有 ，即
解關于的二元一次方程組，得
所以，所求雙曲線的標準方程為
【例4】 點A位于雙曲線上，是它的兩個焦點，求的重心G的軌跡方程
分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，利用相關點法進行求解 注意限制條件
解：設的重心G的坐標為，則點A的坐標為
因為點A位于雙曲線上，從而有
，即
所以，的重心G的軌跡方程為
點評：求軌跡方程，常用的方法是直接求法和間接求法兩種 例1是直接利用待定系數法求軌跡方程 本題則是用間接法(也叫代入法)來解題，補充本例是為了進一步提高學生分析問題和解決問題的能力 另外本題所求軌跡中包含一個隱含條件，它表現為軌跡上點的坐標應滿足一個不等關系，而這一點正是學生容易忽略，造成錯誤的地方，所以講解本題有利于培養學生數學思維的縝密性，養成嚴謹細致的學習品質
【例5】 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使，求點A的軌跡
分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規律不易用坐標表示，注意條件的運用，可利用正弦定理將其化為邊的關系，注意有關限制條件
解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點為原點建立坐標系，這時
，由得
,即
所以，點A的軌跡是以為焦點，2=6的雙曲線的左支 其方程為：
點評：求軌跡方程的過程中，有一個重要的步驟就是找出(或聯想到)軌跡上的動點所滿足的幾何條件，列方程就是根據這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動點滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復雜解決它需要突出形數結合的思考方法，運用邏輯推理，結合平面幾何的基本知識，分析、歸納，這里安排本例就是針對以上情況來進行訓練的
【例6】一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s．
(1)爆炸點應在什么樣的曲線上？
(2)已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340 m／s，求曲線的方程．
分析：解應用題的關鍵是建立數學模型 根據本題設和結論，注意到在A處聽到爆炸聲的時間比B處晚2s,這里聲速取同一個值
解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以A、B為焦點的雙曲線上
因為爆炸點離A處比離B處更遠，所以爆炸點應在靠近B處的一支上．
(2)如圖，建立直角坐標系，使A、B兩點在軸上，并且點O與線段AB的中點重合
設爆炸點P的坐標為，則 |PA|－|PB|=340×2=680，即 2＝680，＝340．
又|AB|=800， ∴　 2c=800，c=400，＝44400
∵　 |PA|－|PB|＝680＞0，
∴　 ＞0
所求雙曲線的方程為
（＞0）
例2說明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置．如果再增設一個觀測點C，利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置．這是雙曲線的一個重要應用
想一想，如果A、B兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點應在什么樣的曲線上．（爆炸點應在線段AB的中垂線上）
點評：本例是培養學生應用雙曲線知識解決實際問題的一道典型題目，安排在此非常有利于強化學生“應用數學”的意識，后面對“想一想”的教學處理，有利于調動學生的學習主動性和積極性，培養他們的發散思維能力
【例7】求下列動圓圓心M的軌跡方程:
(1)與⊙C:(x+2)2+y2=2內切，且過點A（2，0）
（2）與⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.
（3）與⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且與⊙C2:(x-3)2+y2=1內切.
分析：這是圓與圓相切的問題，解題時要抓住關鍵點，即圓心與切點和關鍵線段，即半徑與圓心距離.如果相切的⊙C1、⊙C2的半徑為r1、r2且r1＞r2，則當它們外切時，|O1O2|=r1+r2;當它們內切時，|O1O2|=r1-r2.解題中要注意靈活運用雙曲線的定義求出軌跡方程.
解：設動圓M的半徑為r
(1)∵⊙C1與⊙M內切，點A在⊙C外
∴|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|=
∴點M的軌跡是以C、A為焦點的雙曲線的左支，且有：
a=,c=2,b2=c2-a2=
∴雙曲線方程為2x2-=1(x≤-)
(2)∵⊙M與⊙C1、⊙C2都外切
∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,
|MC2|-|MC1|=1
∴點M的軌跡是以C2、C1為焦點的雙曲線的上支，且有：
a=,c=1,b2=c2-a2=
∴所求的雙曲線方程為：
4y2-=1(y≥)
(3)∵⊙M與⊙C1外切，且與⊙C2內切
∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4
∴點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支，且有：
a=2,c=3,b2=c2-a2=5
∴所求雙曲線方程為：
(x≥2)
評述：（1）“定義法”求動點軌跡是解析幾何中解決點軌跡問題的常用而重要的方法.
（2）巧妙地應用“定義法”可使運算量大大減小，提高了解題的速度與質量.
（3）通過以上題目的分析，我們體會到了，靈活準確地選擇適當的方法解決問題是我們無休止的追求目標.
【例8】已知雙曲線的右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
分析：一般地，求一個角的大小，通常要解這個角所在的三角形.
解：∵點P在雙曲線的左支上
∴|PF1|-|PF2|=6
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36
∴|PF1|2+|PF2|2=100
∵|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100
∴∠F1PF2=90°
評述：（1）巧妙地將雙曲線的定義應用于解題當中，使問題得以簡單化.
（2）題目的“點P在雙曲線的左支上”這個條件非常關鍵，應引起我們的重視，若將這一條件改為“點P在雙曲線上”結論如何改變呢？請讀者試探索.
【例9】已知F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2
=90°，求△F1PF2的面積.
分析：利用雙曲線的定義及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面積.
解：∵P為雙曲線上的一個點且F1、F2為焦點.
∴||PF1|-|PF2||=2a=4
|F1F2|=2c=2
∵∠F1PF2=90°
∴在Rt△PF1F2中
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20
∵（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16
∴20-2|PF1||PF2|=16
∴|PF1|·|PF2|=2
∴S|PF1|·|PF2|=1
由此題可歸納出S△F1PF2=b2cot∠
評述：雙曲線定義的應用在解題中起了關鍵性的作用.
基礎達標：
1.選擇題
（1）已知方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（ ）
A.3＜k＜9 B.k＞3
C.k＞9 D.k＜3
答案：C
（2）方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是 （ ）
A.k＜-1 B.k＞1
C.-1＜k＜1 D.k＜-1或k＞1
答案：C
（3）方程表示焦點在坐標軸上的雙曲線，則α是第幾象限的角（ ）
A.二 B.四 C.二或四? D.一或三
答案：C
（4）橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數的值是 （ ）
A B C 5 D 9
答案：B
（5）設是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上,且,則點P到軸的距離為( )
A 1 B C 2 D
答案：B 的面積為，從而有
（6）P為雙曲線上一點，若F是一個焦點，以PF為直徑的圓與圓的位置關系是（）
A 內切 B 外切 C 外切或內切 D 無公共點或相交
答案：C
（7）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的（ ）
A.必要但不充分條件 B.充分但不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解析】 若ax2+by2=c表示雙曲線，即=1表示雙曲線，則＜0,這就是說“ab＜0”是必要條件，然而若ab＜0,c可以等于0，即“ab＜0”不是充分條件.
【答案】 A
（8）方程=1表示雙曲線，則k∈（ ）
A.(5，10) B.(－∞，5)
C.(10，+∞) D.(－∞，5)∪(10，+∞)
【解析】 ∵方程=1表示雙曲線，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10.
【答案】 A
（9）在雙曲線中，,且雙曲線與橢圓4x2+9y2=36有公共焦點，則雙曲線的方程是（ ）
A.－x2=1 B.－y2=1 C.x2－=1 D.y2－=1
【解析】 把橢圓的方程寫成標準方程=1，
∴橢圓的焦點坐標是(±，0).
∵雙曲線與橢圓有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點在x軸上，且c=,
∵,∴a=2,
∴b2=c2－a2=1,
∴雙曲線的方程為－y2=1.
【答案】 B
（10）已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線經過點A（2，-）及點B（-，4），則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】∵雙曲線的焦點在y軸上，∴設雙曲線的方程為my2-nx2=1(m>0,n>0).把A、B兩點的坐標代入得解之得
【答案】D
2.填空題
（1）已知雙曲線的焦點F1（-4，0），F2（4，0），且經過點M（2，2）的雙曲線標準方程是______.
答案：
（2）雙曲線的焦點在x軸上，且經過點M（3，2）、N（-2，-1），則雙曲線標準方程是______.
答案：
（3）已知是雙曲線的焦點，PQ是過焦點的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為（答案： 4＝16）
（4）焦點在x軸上，中心在原點且經過點P（2，3）和Q（－7，－6）的雙曲線方程是______.
【解析】 依題意可設雙曲線方程為：=1(a>0,b>0)
∴，即，解得
∴雙曲線的方程為=1
【答案】 =1
（5）P是雙曲線x2－y2=16的左支上一點，F1、F2分別是左、右焦點，則|PF1|－|PF2|=______.
【解析】 由x2－y2=16知a=4
又∵P在雙曲線x2－y2=16的左支上
∴|PF1|－|PF2|=－2a=－8
即|PF1|－|PF2|=－8.
【答案】 －8
3．解答題
（1）判斷方程所表示的曲線。
解：①當時，即當時，是橢圓；
②當時，即當時，是雙曲線；
（2）求焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經過點A（-5，2）的雙曲線的標準方程。
答案：
（3）求經過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程答案：
（4）根據下列條件，求雙曲線的標準方程.
（a）過點P（3，），Q（-，5）且焦點在坐標軸上.
（b）c=,經過點（-5，2），焦點在x軸上.
（c）與雙曲線有相同焦點，且經過點（3，2）
解：（1）設雙曲線方程為
∵P、Q兩點在雙曲線上
∴
解得
∴所求雙曲線方程為
評述：采取以上“巧設”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.
注意：此種設法在本書教案§8.1.2備課資料例1的（1）小題已經用過，我們不難發現對于橢圓與雙曲線，這種設法都可以用.
（2）∵焦點在x軸上，c=
∴設所求雙曲線方程為
(其中0＜λ＜6)
∵雙曲線經過點（-5，2）
∴
∴λ=5或λ=30（舍去）
∴所求雙曲線方程是
評述：以上簡單易行的方法給我們以明快、簡捷的感覺.
（3）設所求雙曲線方程為：
(0＜λ＜16)
∵雙曲線過點（3，2）
∴
∴λ=4或λ=-14（舍）
∴所求雙曲線方程為
評述：（1）注意到了與雙曲線有公共焦點的雙曲線系方程為后，便有了以上巧妙的設法.
（2）尋找一種簡捷的方法，須有牢固的基礎和一定的變通能力，這也是在我們教學中應該注重的一個重要方面.
綜合發展：
1.已知點F1（0，-13）、F2（0，13），動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不對
【解析】∵||PF1|-|PF2||=|F1F2|，∴P點的軌跡為分別以F1、F2為端點的兩條射線.
【答案】C
2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，則方程的曲線是（ ）
A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在x軸上的雙曲線
C.焦點在y軸上的橢圓 D.焦點在y軸上的雙曲線
【解析】 把方程mx2－my2=n寫成標準方程=1
∵mn＜0,∴＜0,－＞0.
∴方程表示焦點在y軸上的雙曲線.
【答案】 D
3.已知點P（x，y）的坐標滿足=±4，則動點P的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.兩條射線 D.以上都不對
【解析】點（1，1）與（-3，-3）的距離為4>4，∴P的軌跡是雙曲線.
【答案】B
4.已知雙曲線的方程為=1,點A、B在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，|AB|=m,F1為另一焦點，則△ABF1的周長為（ ）
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
【解析】 ∵A、B在雙曲線的右支上，
∴|BF1|－|BF2|=2a,|AF1|－|AF2|=2a,
∴|BF1|+|AF1|－(|BF2|+|AF2|)=4a
∴|BF1|+|AF1|=4a+m
∴△ABF1的周長為4a+m+m=4a+2m.
【答案】 B
5.已知雙曲線的焦距為26，=,則雙曲線的標準方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1 D.=1或=1
【解析】 ∵2c=26,=,
∴c＝13，a2＝25.
∴b2=132－25=144.
∴雙曲線的標準方程為=1或=1.
【答案】 D
6.F1、F2為雙曲線－y2=－1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°,則△F1PF2的面積是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【解析】 雙曲線－y2=－1的兩個焦點是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2=90°,∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2.
即｜PF1｜2+｜PF2｜2=20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜=±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜+｜PF2｜2=4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜=16，∴=｜PF1｜·｜PF2｜=4.
【答案】 B
7.雙曲線的焦點在y軸上，且它的一個焦點在直線5x－2y+20=0上，兩焦點關于原點對稱，，則此雙曲線的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=－1 D.=－1
【解析】 在方程5x－2y+20=0中，令x=0得：y=10，
∵雙曲線的一個焦點在直線5x－2y+20=0上又在y軸上，且兩焦點關于原點對稱，
∴c=10,
∵,∴a=6,∴b2=c2－a2=100－36=64.
∴雙曲線的方程為=1，即=－1.
【答案】 D
8.已知ΔABC中，B、C是兩個定點，并且sinB-sinC=sinA，則頂點A的軌跡方程是（ ）
A.雙曲線 B.橢圓 C.雙曲線的一部分 D.橢圓的一部分
【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|.∵B、C為定點，∴|BC|為常數.
∴點A的軌跡是雙曲線的一部分.
【答案】C
9.雙曲線2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.
【解】 把雙曲線的方程寫成標準形式，=1.
當k＞0時，a2=,b2=k，由題知+k=9即k=6.
當k＜0時，a2=－k,b2=－,－k－=9即k=－6
綜上所述k=±6為所求.
10.過雙曲線=1的一個焦點作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離.
【解】 ∵雙曲線方程為=1
∴c==13,于是焦點F1（－13，0）、F2（13，0），設過點F1的垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(－13,y)(y>0).
∴,∴y=,即|AF1|=
又∵|AF2|－|AF1|=2a=24,∴|AF2|=24+|AF1|=24+=
故垂線與雙曲線的交點到兩焦點的距離為或.
11.一雙曲線中心為原點，對稱軸為坐標軸，且過點A（-2，-3）、（7，6），求雙曲線的方程.
【解】當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為mx2-ny2=1(m>0,n>0)，則由題知
解之得
∴雙曲線的方程為=1.
當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為py2-qx2=1(p>0,q>0)，則
此方程組的解使p、q都為負值，故應舍去.
綜上所述，所求雙曲線的方程為=1.
12.已知曲線C：x2－y2＝1及直線l：y=kx－1.
(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
(2)若l與C交于A、B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值.
【解】 (1)由消y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0
由
得k的取值范圍為（－，－1）∪（－1，1）∪（1，）
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）得x1＋x2＝－，x1x2＝－
又l過點D(0，－1)
∴Ｓ△OAB＝Ｓ△OAD＋Ｓ△OBD＝｜x1｜＋｜x2｜＝｜x1－x2｜＝
∴（x1－x2）2＝（2）2
即（）2＋＝８
∴k＝0或k=±.
13.已知雙曲線=1，P為雙曲線上一點，F1、F2是雙曲線的兩個焦點，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面積.
【解】|F1F2|2=4c2=4×(24+16)=160.在ΔF1PF2中，由余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=160.
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=160. ①
又∵|PF1|-|PF2|=±2，∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=96. ②
①-②得|PF1|·|PF2|=64.
∴=|PF1|·|PF2|·sin60°=×64×=16.
【點評】若本題是填空題或選擇題時，則用解法二：=b2cot=16×cot=16.
14.A、B、C是我方三個炮兵陣地，A在B的正東，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P為敵炮陣地.某時刻A發現敵炮陣地的某種信號，由于B、C兩地比A距P地遠，因此4秒后，B、C才同時發現這一信號（該項信號的傳播速度為每秒1 km）.A若炮擊P地，求炮擊的方位角.
【解】以AB的中點為原點，BA所在的直線為x軸建立直角坐標系，則A（3，0），B（-3，0），C（-5，2）.∵|PB|-|PA|=4，∴點P在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，該雙曲線右支的方程是(x≥2). ①
又∵|PB|=|PC|，∴點P在線段BC的垂直平分線上，該直線的方程為
x-y+7=0. ②
將②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-（舍）.于是可得P（8，5）.
又kPA=tanα=，∴α=60°.
故點P在點A的北偏東30°方向上，即A炮擊P地的方位角是北偏東30°.
15.求與⊙C1:x2+(y-1)2=1和⊙C2：x2+(y+1)2=r2（r＞0）都外切的動圓圓心M的軌跡方程.
解：設動圓圓心M（x,y），半徑為R，則有以下關系：
|MC1|-|MC2|=（R+1）-（R+r）=1-r
|C1C2|=2
①當0＜r＜1時，⊙C1、C2相離，又有：
|MC1|-|MC2|=1-r＜|C1C2|=2且|MC1|＞|MC2|,則點M的軌跡為雙曲線下支
設其方程為(y＜0)，得
a=,c=1,
b2=c2-a2=
∴所求點的軌跡方程為：
(y＜0)
②當1＜r＜3時，⊙C1、⊙C2相交，有
|MC1|-|MC2|＜|C1C2|,且|MC1|＜|MC2|
∴點M的軌跡為雙曲線
的上支位于圓C1、C2之外的部分，且過圓C1、C2的交點
解
得
或
∴所求點的軌跡方程為：
(y≥)
③當r=1時，⊙C1、C2外切，這時有|MC1|=|MC2|
∴所求點M的軌跡為線段C1C2的垂直平分線，即y=0
④當r=3時，⊙C1、⊙C2內切，這時有：
|MC2|-|MC1|=2=|C1C2|
∴所求點M的軌跡為一條射線
即x=0(y≥2)
⑤當r＞3時，⊙C2內含⊙C1
∴此時點M無軌跡
第4節 雙曲線的簡單幾何性質
撰寫：劉文文 審核：胡海歐
三點剖析：
教學大綱及考試大綱要求：
1．掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質
2．掌握標準方程中的幾何意義
3．能利用上述知識進行相關的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題
二．重點與難點
教學重點：雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程
教學難點：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關系，雙曲線的另一種定義的得出過程
三.（1）本節知識理解
橢圓
雙曲線
方程
圖形
頂點坐標
（±a,0）
(0,±b)
(0,±a)
(±b,0)
(±a,0)
(0,±a)
對稱軸
x=0,y=0
焦點坐標
(±c,0)
(0,±c)
(±c,0)
(0,±c)
對稱中心
（0，0）
離心率
準線方程
漸近線方程
（2）要點詮釋
1．范圍、對稱性
由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心
2．頂點
頂點：
特殊點：
實軸：長為2a, a叫做實半軸長
虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異
3．漸近線
過雙曲線的兩頂點，作Y軸的平行線，經過作X軸的平行線，四條直線圍成一個矩形 矩形的兩條對角線所在直線方程是（），這兩條直線就是雙曲線的漸近線
4．等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線
等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率
等軸雙曲線可以設為：，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
5．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成
6．雙曲線的草圖
具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任意一點的位置，然后過這兩點并根據雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線
7．離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：
雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
8．共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 區別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同
共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上
確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為-1
共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
9． 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數的點的軌跡是雙曲線 其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線 常數e是雙曲線的離心率．
10．準線方程：
對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線；
位置關系： 焦點到準線的距離（也叫焦參數）
對于來說，相對于上焦點對應著上準線；相對于下焦點對應著下準線
11.雙曲線的焦半徑
定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑
焦半徑公式的推導：利用雙曲線的第二定義，設雙曲線
，
是其左右焦點
則由第二定義：，
同理
即有焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：
同理有焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：
（ 其中分別是雙曲線的下上焦點）
點評：雙曲線焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的區別在于其帶絕對值符號，如果要去絕對值，需要對點的位置進行討論。兩種形式的區別可以記為：左加右減，上減下加（帶絕對值號）
12．焦點弦：
定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦
焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：
設兩交點
當雙曲線焦點在x軸上時，
焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關：
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
當雙曲線焦點在y軸上時，
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
13．通徑：
定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦
直接應用焦點弦公式，得到
14.直線與雙曲線的位置關系:相交，相切，相離
（1）相交：直線與雙曲線有兩個交點或有一個公共點（直線與漸近線平行）
（2）相切：直線與雙曲線有且只有一個公共點，且直線不平行于雙曲線的漸近線
（3）相離：直線與雙曲線無公共點。
15.a.弦長公式
b.弦的中點（點差法或韋達定理）
精題精講
【例1】(1)求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖
(2)求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
【例2】求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程
【例3】已知雙曲線的離心率為2，求它的兩條漸近線的夾角.
【例4】雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55m．選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程(精確到1m)．

【例5】點p(x,y)與定點F2(c,0)的距離與到的距離之比為常數，求P的軌跡方程
【例6】已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的焦點坐標是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是雙曲線上的任一點，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.
【例7】】在雙曲線=1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍.
【例8】雙曲線右支上一點到左準線的距離為8，求它到右焦點的距離。
【例9】雙曲線上有任意一點是雙曲線的焦點，，則的面積是多少？
【例10】直線與雙曲線有兩個不同的交點，
（1）求取值范圍
（2）設交點為，若以為直徑的圓恰好過原點，求的值
【例11】（1）若直線與雙曲線只有一個交點，求的取值范圍。
（2）若直線與雙曲線的左支有兩個不同的交點，求的取值范圍。
【例12】雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，過雙曲線右焦點且斜率為的直線交雙曲線于兩點，若，,求雙曲線的方程。
【例13】已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過點
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）若直線系（k為參數）所過的定點M恰在雙曲線上，求證：
【例14】過點的直線與雙曲線相交于兩點，且是線段的中點，求直線的方程。
【例15】已知雙曲線的離心率，左，右焦點分別為，左準線為，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得是P到的距離與的等比中項？
【例16】己知L1、L2是過點P（-，0）的兩條互相垂直的直線，且L1、L2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，且分別為A1、B1和A2、B2.
（1）求L1的斜率k1的取值范圍；
（2）若A1恰是雙曲線的一個頂點，求| A2B2|的值.
【例17】如圖8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍.
基礎達標：
1.(2003年高考文科卷第6小題)雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點F、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
2.中心在坐標原點，離心率為的圓錐曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為（ ）
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
3.以y=±x為漸近線的雙曲線方程不可能是（ ）
A.4x2-9y2=1 B.4y2-4x2=1 C.4x2-9y2=λ(λ∈R且λ≠0) D.9x2-4y2=1
4.焦點為(0，6)且與雙曲線－y2=1有相同漸近線的方程是（ ）
A. B. C. D.
5.雙曲線=1與=λ（λ≠0）有相同的（ ）
A.實軸 B.焦點 C.漸近線 D.以上都不對
6.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
7.雙曲線與橢圓=1有相同的焦點，它的一條漸近線為y=－x，則雙曲線方程為（ ）
A.x2－y2=96 B.y2－x2=160 C.x2－y2=80 D.y2－x2=24
8.實軸長為4且過點A(2，－5)的雙曲線的標準方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
9.雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是（ ）
A.45° B.30° C.60° D.90°
10.雙曲線=1的準線方程為（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
11.雙曲線=1的焦點到準線的距離是（ ）
A. B. C.或 D.或
12.準線方程為y=±1，離心率為的雙曲線的方程是（ ）
A.2x2－2y2=11 B.x2－y2=2 C.y2－x2=2 D.y2－x2=－2
13.如果雙曲線=1上一點P到它的右焦點的距離為8，那么P到它的右準線距離是（ ）
A.10 B. C.2 D.
14.雙曲線2mx2－my2=2的一條準線是y=1,則m的值為________.
15.已知雙曲線的離心率等于2，且過點M（2，-3），此雙曲線標準方程是______.
16.雙曲線的焦距是兩準線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于________.
17.已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，則雙曲線的離心率為 .
18.若點P在雙曲線x2-=1上，則P到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是 .
19.已知雙曲線的實軸長與虛軸長相等，則雙曲線的離心率為 .
20.雙曲線=1與直線y=kx－1只有一個公共點，求k的值.
21.雙曲線與圓x2+y2=17有公共點A（4，-1），圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標準方程.
綜合發展：
1一對共軛雙曲線的離心率分別是e1和e2，則e1+e2的最小值為 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
2.一條雙曲線的兩條漸近線的夾角為2arctan,則該雙曲線的離心率為 （ ）
A.或 B.或 C.或 D.
3.雙曲線的兩個焦點分別是(0，－5)、(0，5)，離心率為1.5，則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
4.平面內動點P到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數2a,則動點P的軌跡是（ ）
A.雙曲線 B.雙曲線或兩條射線 C.兩條射線 D.橢圓
5.如果雙曲線經過點（6，），且它的兩條漸近線方程是x±3y=0，那么該雙曲線的方程是（ ）
A.y2-=1 B.y2-=1 C.-y2=1 D.-=1
6.設雙曲線＝1（0＜a＜b）的半焦距為c，設直線l過（a,0）和(0，b)兩點.已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0，一條準線方程為5y-9=0，則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
8.如果雙曲線=1上一點陣字庫P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離為（ ）
A. B.9 C. D.
9.雙曲線的焦點是（±,0）,漸近線方程是y=±x,則它的兩條準線間的距離是（ ）
A. B. C. D.
10.雙曲線的兩條準線把兩焦點所連線段三等分，則它的離心率為（ ）
A. B. C. D.2
11.已知點P在雙曲線=1上，則（ ）
A.P到雙曲線中心的距離的最小值為9
B.P到雙曲線的準線的最小距離為3
C.P到雙曲線的焦點的最小距離為2
D.P到雙曲線的焦點既沒有最大值也沒有最小值
12.對于雙曲線=1(a＞0，b＞0,c=)填充下列各題：
(1)它的準線與漸近線交點到中心的距離等于______；
(2)它的焦點到漸近線的距離等于______；
(3)它的虛軸的端點到頂點的距離等于______；
(4)它的焦點到相應準線的距離等于______；
(5)當離心率e≠時，用e表示兩漸近線的夾角的正切的表達式是______.
13.準線方程為x+y=1，相應的焦點為（1，1）的等軸雙曲線方程是________.
14.雙曲線=1的準線和漸近線的交點到雙曲線中心的距離等于________.
15.雙曲線=1上有點P，F1、F2是雙曲線的焦點，且∠F1PF2=,則△F1PF2的面積是______.
16.已知雙曲線x2－3y2=3上一點P到左右焦點的距離之比為1∶2,求P點到右準線的距離.
17.過雙曲線=1的焦點F(c,0)作漸近線y=x的垂線，求證：垂足H在與此焦點相對應的準線x=上.
18.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)
（1）求此雙曲線方程；
（2）若直線系kx－y－3k+m=0(其中k為參數)所過定點M恰在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M.
19.已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右兩個頂點分別為A、B，過雙曲線右焦點F且與x軸垂直的直線交雙曲線于兩點P、Q.若∠APB=arctan,b=1，求雙曲線方程.
20.如圖，直線l交雙曲線＝1及其漸近線于A、D、B、C四點，求證：｜AB｜＝｜CD｜.
21.已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1交于A、B兩點，(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值；(2)是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線y=x對稱?若存在，請求出a的值，若不存在，說明理由.
22..雙曲線x2－y2=a2的兩個焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上的任意一點，求證：｜PF1｜、
｜PO｜、｜PF2｜成等比數列.
23.經過雙曲線x2－=1的右焦點F2作傾斜角為30°的直線，與雙曲線交于A、B兩點，求：
(1)｜AB｜；（2）△F1AB的周長(F1是雙曲線的左焦點).
24.已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1、F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
25.已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸長的乘積為，C的兩個焦點分別為F1、F2，直線l過F2且與直線FF2的夾角為?，tan?=，l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF2|=2：1，求雙曲線C的方程.
第4節 雙曲線的簡單幾何性質
撰寫：劉文文 審核：胡海歐
三點剖析：
教學大綱及考試大綱要求：
1．掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質
2．掌握標準方程中的幾何意義
3．能利用上述知識進行相關的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題
二．重點與難點
教學重點：雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過程
教學難點：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關系，雙曲線的另一種定義的得出過程
三.（1）本節知識理解
橢圓
雙曲線
方程
圖形
頂點坐標
（±a,0）
(0,±b)
(0,±a)
(±b,0)
(±a,0)
(0,±a)
對稱軸
x=0,y=0
焦點坐標
(±c,0)
(0,±c)
(±c,0)
(0,±c)
對稱中心
（0，0）
離心率
準線方程
漸近線方程

（2）要點詮釋
1．范圍、對稱性
由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心
2．頂點
頂點：
特殊點：
實軸：長為2a, a叫做實半軸長
虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長
雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異
3．漸近線
過雙曲線的兩頂點，作Y軸的平行線，經過作X軸的平行線，四條直線圍成一個矩形 矩形的兩條對角線所在直線方程是（），這兩條直線就是雙曲線的漸近線
4．等軸雙曲線
定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線
等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率
等軸雙曲線可以設為：，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
5．共漸近線的雙曲線系
如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成
6．雙曲線的草圖
具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任意一點的位置，然后過這兩點并根據雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線
7．離心率
雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：
雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊
8．共軛雙曲線
以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 區別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同
共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上
確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為-1
共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上
9． 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數的點的軌跡是雙曲線 其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線 常數e是雙曲線的離心率．
10．準線方程：
對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線；
位置關系： 焦點到準線的距離（也叫焦參數）
對于來說，相對于上焦點對應著上準線；相對于下焦點對應著下準線
11.雙曲線的焦半徑
定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑
焦半徑公式的推導：利用雙曲線的第二定義，設雙曲線
，
是其左右焦點
則由第二定義：，
同理
即有焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：
同理有焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：
（ 其中分別是雙曲線的下上焦點）
點評：雙曲線焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的區別在于其帶絕對值符號，如果要去絕對值，需要對點的位置進行討論。兩種形式的區別可以記為：左加右減，上減下加（帶絕對值號）
12．焦點弦：
定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦
焦點弦公式：可以通過兩次焦半徑公式得到：
設兩交點
當雙曲線焦點在x軸上時，
焦點弦只和兩焦點的橫坐標有關：
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
當雙曲線焦點在y軸上時，
過左焦點與左支交于兩點時：
過右焦點與右支交于兩點時：
13．通徑：
定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦
直接應用焦點弦公式，得到
14.直線與雙曲線的位置關系
精題精講
【例1】求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖
分析：只要緊扣有關概念和方法，就易解答
解：把方程化為標準方程
由此可知，實半軸長a＝1，虛半軸長b＝2．
頂點坐標是（－1，0），（1，0）
焦點的坐標是(－，0)，(，0)．
漸近線方程為，即
【例2】求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程
分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設出雙曲線系，再把已知點代入，求得K的值即可
解：設與共漸近線且過的
雙曲線的方程為
則 ，從而有
所求雙曲線的方程為
【例3】求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
解：把方程化為標準方程
由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3．
焦點的坐標是(0，－5)，(0，5)．
離心率
漸近線方程為，即
【例4】 雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55m．選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程(精確到1m)．

分析：本題建立合適的坐標系是關鍵。注意到通風塔有三個特殊的截口圓：上口、下口、最小的一個截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實軸，所以以最小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點建立坐標系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。
解：如圖所示，建立直角坐標系xOy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合．這時，上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．
設雙曲線的方程為
令點C的坐標為(13，y)，則點B的坐標為(25，y－55)．因為點B、C在雙曲線上，所以
① 且 ②
解方程組，得
（負值舍去）
代入方程①，得
化簡得
19b2＋275b－18150＝0　　　 ③
解方程③(使用計算器計算)，得
b≈25(m)．
所以所求雙曲線方程為
點評： 這是一個有實際意義的題目．解這類題目時，首先要解決以下兩個問題：(1)選擇適當的坐標系；(2)將實際問題中的條件借助坐標系用數學語言表達出來．
【例5】點p(x,y)與定點F2(c,0)的距離與到的距離之比為常數，求P的軌跡方程
解：設d是點P到直線的距離．根據題意得
化簡，得 （）
這是雙曲線的標準方程
【例6】已知雙曲線的離心率為2，求它的兩條漸近線的夾角.
【解】 設實軸與漸近線的夾角為α,則secα=2,即cosα=
∴α=,∴2α=π
∴兩漸近線的夾角為π－π=.
【點評】 （1）離心率e與α的關系即cosα=.
（2）要注意兩直線夾角的范圍，否則將有可能誤答為π.
【例7】設點P到點M（-1，0）、N（1，0）的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍.
【解】設點P的坐標為（x，y），由題意得=2，即y=±2x(x≠0).
∴P、M、N三點不共線.∴||PM|-|PN|<|MN|=2.
∵||PM|-|PN|=2|m|>0，∴0<|m|<1.
∴點P在以M、N為焦點、實軸長為2|m|的雙貢線上.∴=1.
把y=±2x代入并整理得x2=.
∵x≠0,x2>0,∴>0.∴0<|m|<，
即m的取值范圍是（-，0）∪（0，），
【點評】審清題意，列出y=±2x(x≠0)及=1的解題的關鍵.
【例8】如圖8—8，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍.
【解】 建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線方程為＝1. 圖8—8
∵雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱.
依題意，記A（－c，0），C（，ｈ），Ｅ（x0，y0），
其中c=|AB|，h是梯形的高.
由定比分點坐標公式得x0＝，y0＝
∵點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e=代入雙曲線方程得：
＝1 ①
=1 ②
由①得：代入②并整理得：λ＝
又,得：
解得≤e≤
∴雙曲線離心率的取值范圍為［，］
.【點評】 λ＝也可整理為e2＝＝
觀察知≤e≤.
【例9】等軸雙曲線的兩個頂點分別為A1、A2，垂直于雙曲線實軸的直線與雙曲線交于M、N兩點.求證：
（1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；
（2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N.
【證明】 （1）不妨設等軸雙曲線的方程為＝1
設直線MN的方程為x=b(b>a)
如圖8—7易求得
N(b,) 圖8—7
∴tanNA1x＝=
tanNA2x＝=
∴tanNA1x＝＝cotNA2x
＝tan（－∠NA2x）
又∠NA1x，∠NA2x均為銳角
∴∠NA1x＝90°－∠NA2x，即∠NA1x＋∠NA2x＝90°
根據對稱性，∴∠NA1M＋∠NA2M＝180°
（2）仿(1)可求得M(b，－)
∴＝－1
∴MA1⊥A2N同理可證MA2⊥A1N.
【點評】 利用對稱性把要證等式轉化為證明∠NA2x＋∠NA1x＝90°為本題證明的突破口，體現轉化意識.
【例10】已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的焦點坐標是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）是雙曲線上的任一點，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線的離心率.
【證明】 雙曲線=1的兩焦點F1(－c,0)、F2(c,0)，
相應的準線方程分別是x=－和x=.
∵雙曲線上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個雙曲線的離心率.
∴
化簡得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.
【點評】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線上的點到其焦點的距離，習慣稱作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱作焦半徑公式.
【例11】在雙曲線=1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍.
【解】 設P點的坐標為(x,y)，F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.
∵雙曲線的準線方程為x=±.
∴.
∵｜PF1｜=2｜PF2｜,
∴P在雙曲線的右支上，
∴，∴x=.
把x=代入方程=1得：
y=±.
所以，P點的坐標為(，±)
【點評】 此題也可用焦半徑解答.
【例12】己知L1、L2是過點P（-，0）的兩條互相垂直的直線，且L1、L2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，且分別為A1、B1和A2、B2.
（1）求L1的斜率k1的取值范圍；
（2）若A1恰是雙曲線的一個頂點，求| A2B2|的值.
分析：本題涉及了兩個基本問題：一是直線與雙曲線相交于兩點的判定問題，二是直線被雙曲線截得的弦長問題（連續曲線上兩點的線段叫曲線的弦）.前一個問題的思想是：直線與雙曲線相交于兩點方程組有兩解一 元二次方程有兩個不等的實根判別式△>0;后一個問題的通常解法是不求交點坐標，當方程組經過消元化為一元二次方程后，利用一元二次方程根與系數的關系來解，即
|AB|=
=
（其中k為直線的斜率）.
解：（1）據題意，L1、L2的斜率都存在，
因為L1過點P（-，0），且與雙曲線有兩個交點，故方程組
①
有兩個不同的解.
在方程組①中，消去y，整理得
（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0. ②
若k12-1=0,直線與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個交點，與題設矛盾.故k12-1≠0，即|k1|≠1.
方程②的判別式為
△1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1)
=4(3k12-1).
設L2的斜率為k2，因為L2過點P（-，0），且與雙曲線有兩個交點，故方程組
③
有兩個不同的解.
在方程組③中消去y，整理得
（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0. ④
同理有k22-1≠0，△2=4（3k22-1）.
因為L1⊥L2，所以有k1·k2=-1,于是L1、L2與雙曲線各有兩個交點的充要條件是
∴k1∈（-，-1）∪（-1，-）∪（，1）∪（1，）.
（2）雙曲線y2-x2=1的頂點為（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）時，有
k1(0+)=1.
解得k1=.
∴k2=-,代入方程④得
x2+4x+3=0. ⑤
設L2與雙曲線的兩個交點的坐標為A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,
則x1+x2=-4,x1x2=3.
∴|A2B2|=
=3.
當取A1（0，-1）時，由雙曲線y2-x2=1關于x軸對稱，知|A2B2|=2.
∴L1過雙曲線的一個頂點時，|A2B2|=2.
注意：直線方程與雙曲線方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，絕對不能忽視對k12-1是否為零的討論，僅僅從形式上認為是二次方程而去談論△和根與系數的關系是毫無意義的，所以在解題過程中用反證法證一下k12-1≠0是非常必要的.
基礎達標：
1.(2003年高考文科卷第6小題)雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點F、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2.中心在坐標原點，離心率為的圓錐曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為（ ）
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
【解析】 ∵=,∴,∴.
∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.
∴所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.
【答案】 D
3.以y=±x為漸近線的雙曲線方程不可能是（ ）
A.4x2-9y2=1 B.4y2-4x2=1 C.4x2-9y2=λ(λ∈R且λ≠0) D.9x2-4y2=1
【答案】B
4.焦點為(0，6)且與雙曲線－y2=1有相同漸近線的方程是（ ）
A. B. C. D.
【解析】 設所求雙曲線的方程為=1.
∵雙曲線的一個焦點為(0，6)在y軸上，
∴λ＜0,∴－λ－2λ=36,λ=－12.
∴所求雙曲線方程是.
【答案】 B
5.雙曲線=1與=λ（λ≠0）有相同的（ ）
A.實軸 B.焦點 C.漸近線 D.以上都不對
【答案】C
6.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標為(0，2)，則雙曲線的標準方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 由方程組
得a=2,b=2.
∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的標準方程為=1.
【答案】 B
7.雙曲線與橢圓=1有相同的焦點，它的一條漸近線為y=－x，則雙曲線方程為（ ）
A.x2－y2=96 B.y2－x2=160 C.x2－y2=80 D.y2－x2=24
【解析】 由橢圓=1得其焦點坐標為(0，－4)、(0，4).
∴雙曲線的焦點在y軸上，
∵雙曲線的一條漸近線為y=－x，
∴a=b，而c=4,
∴a2+b2=(4)2,2a2=48，
∴a2=24,b2=24,
∴雙曲線的方程為y2－x2=24.
【答案】 D
8.實軸長為4且過點A(2，－5)的雙曲線的標準方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵2a=4,∴a=2,
∵雙曲線的焦點在x軸上時，則應有雙曲線上的點的橫坐標x應滿足｜x｜≥2.
而A點的橫坐標為2，不滿足｜x｜≥2.
∴雙曲線的焦點應在y軸上.
設雙曲線的方程為=1.
∵點A(2，－5)在雙曲線上，
∴=1，∴b2=16，
∴雙曲線的方程為=1.
【答案】 B
9.雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是（ ）
A.45° B.30° C.60° D.90°
【解析】 由特征三角形OA1B1知，cosOA1B1==，
∴∠OA1B1=45°,
∴兩漸近線的夾角為90°.
【答案】 D
10.雙曲線=1的準線方程為（ ）
A.x=± B.y=± C.x=± D.y=±
【解析】 ∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的準線方程為y=±.
【答案】 B
11.雙曲線=1的焦點到準線的距離是（ ）
A. B. C.或 D.或
【解析】 ∵a2=9,b2=7,∴c=4,
∴雙曲線的焦點坐標是(±4，0)，準線方程是x=±.
∴雙曲線的焦點到準線的距離為4－＝和4＋＝.
【答案】 C
12.準線方程為y=±1，離心率為的雙曲線的方程是（ ）
A.2x2－2y2=11 B.x2－y2=2 C.y2－x2=2 D.y2－x2=－2
【解析】 ∵雙曲線的準線方程為y=±1，離心率為，∴雙曲線的焦點在y軸上，方程是標準方程，且=1,.
∴a=,c=2,∴b2=2.
∴雙曲線的方程為－=1.
即y2－x2=2.
【答案】 C
13.如果雙曲線=1上一點P到它的右焦點的距離為8，那么P到它的右準線距離是（ ）
A.10 B. C.2 D.
【解析】 雙曲線的離心率e===,設所求距離為d,則,∴d=.
【答案】 D
14.雙曲線的實軸長等于______，虛軸長等于______，焦點坐標是______，離心率是______，漸近線方程是______ .
答案：2 4 F1（-3，0），F2（3，0） y=±x
15.雙曲線2mx2－my2=2的一條準線是y=1,則m的值為________.
【解析】 可知雙曲線的焦點在y軸上.∴m＜0
雙曲線方程可化為=1,
因此a2=－,b2=－,c2=－
∵準線是y=1 ∴a2=c
即－=
解得m=－.
【答案】 －
16.已知雙曲線的離心率等于2，且過點M（2，-3），此雙曲線標準方程是______.
答案：
17.雙曲線的焦距是兩準線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于________.
【解析】 ∵2c=4× ∴c2=4a2,
∴e2==4,e=2
【答案】 2
18.已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，則雙曲線的離心率為 .
【解析】∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，∴或.當時，e=；當時，e=.
【答案】或
19.若點P在雙曲線x2-=1上，則P到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是 .
【解析】雙曲線的一條漸近線的方程是3x-y=0，由漸近線的性質知，當P點是雙曲線的一個頂點時，P到漸近線的距離最大，雙曲線的頂點坐標是（±1，0），∴P到漸近線的距離的最大值為=.
【答案】[0，]
20.已知雙曲線的實軸長與虛軸長相等，則雙曲線的離心率為 .
【解析】∵2a=2b，∴a=b.∴c==a.∴=.
【答案】
21.求與雙曲線=1有共同的漸近線，并且經過點（－3，2）的雙曲線方程.
【解】 ∵所求雙曲線與雙曲線=1有相同的漸近線，
∴可設所求雙曲線的方程為=λ(λ≠0).
∵點(－3，2)在雙曲線上，
∴λ=.
∴所求雙曲線的方程為=1.
8.雙曲線=1與直線y=kx－1只有一個公共點，求k的值.
【解】 直線y=kx－1過(0，－1)點，若使直線與雙曲線只有一個公共點，必須直線與雙曲線的漸近線平行或直線與雙曲線相切.
當直線與漸近線平行時，雙曲線的漸近線方程是y=±x.
∴k=±.
當直線與雙曲線相切時，（4－9k2）x2＋18kx－45＝0
∴Δ＝0即(18k）2＋4·（4－9k2)·45＝0
解之：k＝±
綜上可知：k＝±或k＝±.
22.過雙曲線＝1的右焦點作一條漸近線的平行線，它與此雙曲線交于一點P，求P與雙曲線的兩個頂點A、A′所構成的三角形的面積.
【解】 雙曲線的右焦點為(5，0)，漸近線方程為＝0.
由得y＝－.
∴
23.雙曲線與圓x2+y2=17有公共點A（4，-1），圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標準方程.
【解】∵點A與圓心O的連線的斜率為-，∴過A的切線的斜率為4.
∴雙曲線的漸近線方程為y=±4x.
設雙曲線方程為x2-=λ.∵點A（4，-1）在雙曲線上，∴16-=λ，λ=.
∴雙曲線的標準方程為=1.
綜合發展：
1一對共軛雙曲線的離心率分別是e1和e2，則e1+e2的最小值為 （ ）
A. B.2 C.2 D.4
解析：設這對共軛雙曲線的方程為
和(a＞0,b＞0)
∴e1=,e2=
∴(e1+e2)2=
≥2+2+2×2=8
當且僅當a=b時，等號成立.
從而當a=b時，e1+e2取得最小值，
而且最小值為2.
答案：C
2.一條雙曲線的兩條漸近線的夾角為2arctan,則該雙曲線的離心率為 （ ）
A.或 B.或
C.或 D.
解析：兩條直線夾角指的是兩條直線相交所成的銳角或直角，設兩條漸近線的夾角是θ，則θ=2arctan,從而tan
∵tan
∴=或
∴e=
即：e=或e=
答案：C
3.雙曲線的兩個焦點分別是(0，－5)、(0，5)，離心率為1.5，則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵c=5, =1.5,
∴c=5,a=,
∴b2=c2－a2=,
∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的方程為=1.
【答案】 B
4.平面內動點P到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數2a,則動點P的軌跡是（ ）
A.雙曲線 B.雙曲線或兩條射線
C.兩條射線 D.橢圓
【解析】 2a=｜F1F2｜時為兩條射線；2a＜｜F1F2｜時為雙曲線.
【答案】 B
5.如果雙曲線經過點（6，），且它的兩條漸近線方程是x±3y=0，那么該雙曲線的方程是（ ）
A.y2-=1 B.y2-=1 C.-y2=1 D.-=1
【解析】設雙曲的方程為-y2=λ，∵點（6，）在雙曲線上，∴-()2=λ，λ=1.
【答案】C
6.設雙曲線＝1（0＜a＜b）的半焦距為c，設直線l過（a,0）和(0，b)兩點.已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2 B. C. D.
【解析】 由題意：ab=c2，∴a2（c2－a2）＝c4
整理得：3e4－16e2＋16＝0，解之得e2＝4或e2＝
又0＜a＜ba2＜c2－a2c2＞2a2e2＞2
故e2＝4，∴e＝2.
【答案】 A
7.已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0，一條準線方程為5y-9=0，則雙曲線的方程為（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】由及，得a=3，b=4，c=5，∴雙曲線的方程為=1.
【答案】A
8.如果雙曲線=1上一點陣字庫P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離為（ ）
A. B.9 C. D.
【解析】雙曲線的離心率為e=.設P點的橫坐標為x0，則由焦半徑公式得
9=|5+x0|=-5-x0，∴x0=-.
右準線的方程為x=，∴P到右準線的距離為+=.
【答案】D
9.雙曲線的焦點是（±,0）,漸近線方程是y=±x,則它的兩條準線間的距離是（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ∵c=, ∴,a2=8,兩準線間的距離為.
【答案】 A
10.雙曲線的兩條準線把兩焦點所連線段三等分，則它的離心率為（ ）
A. B. C. D.2
【解析】 ∵2××2c,
∴.
【答案】 B
11.已知點P在雙曲線=1上，則（ ）
A.P到雙曲線中心的距離的最小值為9
B.P到雙曲線的準線的最小距離為3
C.P到雙曲線的焦點的最小距離為2
D.P到雙曲線的焦點既沒有最大值也沒有最小值
【解析】∵a=3，b=4，∴c=5.∴雙曲線的一個焦半徑公式為|PF|=|3-x0|=|x0-3|.
∵x0≥3或x0≤-3，∴當x0=3時，|PF|min=2.
【答案】C
12.對于雙曲線=1(a＞0，b＞0,c=)填充下列各題：
(1)它的準線與漸近線交點到中心的距離等于______；
(2)它的焦點到漸近線的距離等于______；
(3)它的虛軸的端點到頂點的距離等于______；
(4)它的焦點到相應準線的距離等于______；
(5)當離心率e≠時，用e表示兩漸近線的夾角的正切的表達式是______.
【答案】 （1）a （2）b （3）c （4） （5）
13.準線方程為x+y=1，相應的焦點為（1，1）的等軸雙曲線方程是________.
【解析】 等軸雙曲線的離心率e=,由雙曲線的第二定義，
得方程為,化簡得xy=.
【答案】 xy=
14.雙曲線=1的準線和漸近線的交點到雙曲線中心的距離等于________.
【答案】 a
15.雙曲線=1上有點P，F1、F2是雙曲線的焦點，且∠F1PF2=,則△F1PF2的面積是______.
【解析】 ∵2a=8,2c=10,
∴（｜PF1｜－｜PF2｜）2=64, ①
在△PF1F2中，由余弦定理得｜PF1｜2+｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos=100 ②
①－②并整理得｜PF1｜·｜PF2｜=36.
∴=｜PF1｜·｜PF2｜·sin
=9.
【答案】 9
16.已知雙曲線x2－3y2=3上一點P到左右焦點的距離之比為1∶2,求P點到右準線的距離.
【解】 設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點，則有
解得
又設點P到右準線的距離為d，則
∴d=6
即點P到右準線的距離為6.
17.過雙曲線=1的焦點F(c,0)作漸近線y=x的垂線，求證：垂足H在與此焦點相對應的準線x=上.
【證明】 過F與y=x垂直的直線的方程是y=－(x－c).
由方程組得
即H點的坐標是()，
∴H在直線x=上.
18.已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)
（1）求此雙曲線方程；
（2）若直線系kx－y－3k+m=0(其中k為參數)所過定點M恰在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M.
【解】 (1)e2＝
∴＝1
可設雙曲線方程為x2－y2＝λ，∵點(4，－)
在雙曲線上，∴λ＝42－10＝6
因此所求雙曲線方程為x2－y2＝6.
（2）直線系k(x－3)+(m－y)=0過定點M(3，m)在雙曲線上，∴32－ｍ2＝6，
∴ｍ＝±.∴M(3,±)
又雙曲線焦點F1（－2，0）、F2（2，0），
∴＝－1，∴F1M⊥F2M.
19.已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右兩個頂點分別為A、B，過雙曲線右焦點F且與x軸垂直的直線交雙曲線于兩點P、Q.若∠APB=arctan,b=1，求雙曲線方程.
【解】 將x=c代入雙曲線方程－y2=1,
得：y=±,設P（c,)
在Rt△PFA中，tanAPF==a(c+a)
在Rt△PFB中，tanBPF==a(c－a)
∴tanAPB=tan(∠APF－∠BPF)=
又∠APB=arctan
∴tanAPB=
∴=
∴a2=3
∴所求雙曲線方程為－y2=1.
20.如圖8—9，直線l交雙曲線＝1及其漸近線于A、D、B、C四點，求證：｜AB｜＝｜CD｜.
【證明】 當直線l的斜率不存在時，
依據對稱性知｜AB｜＝｜CD｜，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m.
由,得（b2－a2k2）x2－2a2kｍx－a2ｍ2－a2b2＝0
∴AD中點M橫坐標為xM＝＝ 圖8—9
由,得BC中點N橫坐標為xN＝，
∴xM＝xN，而M、N均在直線l上，∴M、N重合，∴｜AB｜＝｜CD｜
綜上｜AB｜＝｜CD｜.
21.已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1交于A、B兩點，(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值；(2)是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線y=x對稱?若存在，請求出a的值，若不存在，說明理由.
【解】 (1)由
消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0 ①
依題意,即－＜a＜且a≠± ②
設A(x1，y1)，B（x2，y2）則
∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB
∴x1x2＋y1y2＝0，
但y1y2＝a2x1x2＋a（x1＋x2）＋1
由③、④x1＋x2＝，x1x2＝
∴（a2＋1）·＋a·＋1＝0
解得a＝±1且滿足②.
(2)假設存在實數a，使A、B關于y＝x對稱，則直線y＝ax＋1與y＝x垂直，
∴a·=－1,即a＝－2,直線l的方程為y＝－2x＋1
將a=－2代入③得x1＋x2＝4
∴AB中點橫坐標為2，縱坐標為y＝－2×2＋1＝－3
但AB中點(2，－3)不在直線y＝x上
即不存在實數a使A、B關于直線y＝x對稱.
22..雙曲線x2－y2=a2的兩個焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上的任意一點，求證：｜PF1｜、
｜PO｜、｜PF2｜成等比數列.
【證明】 設P點的坐標為(x,y)，則｜PO｜2=x2+y2.
∵雙曲線的離心率e=,
準線方程是x=±,
∴
∴｜PF1｜=｜x+a｜,｜PF2｜=｜x－a｜,
∴｜PF1｜·｜PF2｜=｜2x2－a2｜=｜x2+y2｜=｜PO｜2,
∴｜PF1｜、｜PO｜、｜PF2｜成等比數列.
23.經過雙曲線x2－=1的右焦點F2作傾斜角為30°的直線，與雙曲線交于A、B兩點，求：
(1)｜AB｜；（2）△F1AB的周長(F1是雙曲線的左焦點).
【解】 (1)右焦點F2的坐標是(2，0)，
∴直線AB的方程是y=(x－2)，
把y=(x－2)代入x2－=1并整理得：8x2+4x－13=0.
∴｜AB｜=
(2)由方程8x2+4x－13=0得：
x1x2=－＜0,
∴A、B兩點在雙曲線的兩支上，不妨設x1＜0,
∴｜AF1｜+｜BF1｜=｜a+ex1｜+｜a+ex2｜
=－（a+ex1）+（a+ex2）=e（x2－x1）
=2｜x2－x1｜=2×=3.
∴△ABF1的周長是｜AB｜+｜AF1｜+｜BF1｜=3+3.
24.已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1、F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，求|PF1|·|PF2|的最小值.
【解】設P點的橫坐標為x0，則x0≥a或x0≤-a.由焦半徑公式得
|PF1|·|PF2|=|a-ex0||a+ex0|=|a2-x02|=x02-a2=x02-a2.
∵|x0|≥a，∴x02≥a2.∴|PF1|·|PF2|≥·a2-a2=b2.
當|x0|=a時，上式“=”成立.∴|PF1|·|PF2|的最小值為b2.
25.已知雙曲線C的實半軸長與虛半軸長的乘積為，C的兩個焦點分別為F1、F2，直線l過F2且與直線FF2的夾角為?，tan?=，l與線段F1F2的垂直平分線的交點是P，線段PF2與雙曲線C的交點為Q，且|PQ|：|QF2|=2：1，求雙曲線C的方程.
【解】如圖8-11，以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，設雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0).又設F1（-c，0），F2（c，0），其中c=，則P（0，-c）.由線段的定比分點坐標公式，得Q（c，-c）.將Q點坐標代入雙曲線方程，得=1，即16()4-41()2-21=0，解之得()2=3或()2=-（舍去）.∴=，又由ab=，解得a=1，b=，∴所求雙曲線方程為x2-=1.
第5節 拋物線及其標準方程
撰寫：劉可嘉 審核：
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的幾何性質；
了解拋物線在實際問題中的初步應用；
進一步理解拋物線的方程、幾何性質及圖形三者之間的內在聯系。
二、重點與難點
重點： 拋物線的定義和標準方程
難點：求拋物線的標準方程
三、本節知識理解
1．知識框圖
定義：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
2.方程y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫做拋物線的標準方程，有四種形式.
（1）拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標是,它的準線方程是,它的開口方向向右.
（2）拋物線y2=－2px(p>0)的焦點坐標是,它的準線方程是,它的開口方向向左.
（3）拋物線x2=2py(p>0)的焦點坐標是,它的準線方程是,它的開口方向向上.
（4）拋物線x2=－2py(p>0)的焦點坐標是,它的準線方程是,它的開口方向向下.


頂點、對稱軸、開口方向與方程形式的對應關系：

已知拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程時，可以根據二次項、一次項的分布畫一個草圖，進行初步的“定位”；再根據2p的數值來“定量”，即求出的值.然后把兩者結合起來即可.
3．拋物線上的點M(x0，y0)與焦點F的距離
（1）拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M(x0，y0)與焦點F的距離｜MF｜＝.
（2）拋物線y2＝－2px（p＞0）上的點M（x0，y0）與焦點F的距離｜MF｜＝.
（3）拋物線x2＝2py（p>0）上的點M（x0，y0）與焦點F的距離｜MF｜＝.
（4）拋物線x2=－2py(p>0)上的點M（x0,y0）與焦點F的距離|MF|=.
4.拋物線的標準方程中p具有一定的幾何意義，它表示拋物線的焦點到其準線的距離，簡稱焦準距.因為焦點不在準線上，所以p＞0.
5.拋物線的焦點在一次項對應的軸上，開口方向由它的標準方程中2p前面正、負號決定.
精題精講
【例1】指出拋物線的焦點坐標、準線方程.
(1) y2=6x （2）x2=4y (3)x=ay2(a≠0)
分析：（1）先根據拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程.
（2）先把方程化為標準方程形式，再對a進行討論，確定是哪一種后，求p及焦點坐標與準線方程.
解：（1）∵p=2
∴焦點坐標是（0，1），準線方程是：y=-1
(2)原拋物線方程為：y2=x
∴2p=
①當a＞0時，=，拋物線開口向右
∴焦點坐標是（,0）,準線方程是：x=-.
②當a＜0時，=-,拋物線開口向左
∴焦點坐標是（,0），準線方程是：x=-.
綜合上述，當a≠0時，拋物線x=ay2的焦點坐標為(,0),準線方程為x=-.
【例2】斜率為1的直線經過拋物線的焦點，與拋物線 y2=4x相交于兩點A,B,求線段AB的長
[例1]分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.
（1）過點（3，-4）；
（2）焦點在直線x+3y+15=0上.
【解】（1）∵點（3，-4）在第四象限，
∴拋物線的標準方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把點（3，-4）的坐標分別代入y2=2px和x2=-2p1y，
得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，即2p=，2p1=.
∴所求拋物線的方程為y2=x蔌x2=-y.
（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴拋物線的焦點為（0，-5）或（-15，0）.
∴所求拋物線的標準方程為y2=-60x或x2=-20y.
【點評】求拋物線的標準方程需要；（1）求p；（2）判斷焦點所在坐標軸的位置.
【例3】已知拋物線的焦點為(3，3)，準線為x軸，求拋物線的方程.
【解】設M(x,y)為拋物線上的任意一點，
則由拋物線的定義得=|y|，
平方整理，得y=x2－x+3為所求拋物線的方程.
【點評】當拋物線不在標準位置時，只有利用其定義來求方程.
【例4】點M與點F(0，－2)的距離比它到直線l:y－3=0的距離小1,求點M的軌跡方程.
【解】設點M的坐標為(x,y).
由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線y－2=0的距離.根據拋物線的定義，點M的軌跡是以F(0，－2)為焦點的拋物線.
∵=2,∴p=4.
∵焦點在y軸的負半軸上，
∴點M的軌跡方程x2=－8y.
【點評】若將條件化為｜MF｜＋1＝｜y－3｜，其中｜MF｜用兩點間的距離公式表示，再化簡得方程.過程將非常繁瑣.
【例5】若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，求此直線方程.
分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解.另由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關，故也可利用“作差法”求k.
解法一：設A（x1,y1）、B(x2,y2),則由
可得：
k2x2-(4k+8)x+4=0
∵直線與拋物線相交
∴k≠0且Δ＞0
則k＞-1
∵AB中點橫坐標為
∴
解得:k=2或k=-1(舍去）
故所求直線方程為：y=2x-2
解法二：設A（x1,y1),B(x2,y2)
則有y12=8x1 y22=8x2
兩式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)
即
∵x1+x2=4
∴y1+y2=kx1-2+kx2-2
=k(x1+x2)-4
=4k-4
∴k=
故k=2或k=-1(舍去)
則所求直線方程為:y=2x-2
【例6】若點A的坐標為(3，2)，F為拋物線y2=2x的焦點，點P是拋物線上一動點，求｜PA｜+｜PF｜取得最小值時點P的坐標
【解析】∵｜PF｜等于P點到準線的距離，A在拋物線內部，
∴｜PA｜+｜PF｜最小值是由A點向拋物線的準線x=－作垂線(垂足為B)時垂線段AB的長度.
∴｜PA｜+｜PF｜最小時，P點的縱坐標為2，從而得P的橫坐標為2.
∴P點的坐標為(2，2).
【點評】本題根據拋物線的定義，運用數形結合的思想簡捷地得出了答案.
【例7】拋物線y2=2px(p＞0)有一內接直角三角形，直角的頂點在原點，一直角邊的方程是y=2x，斜邊長是5，求此拋物線方程.
【解】設△AOB為拋物線的內接直角三角形，直角頂點為O，AO邊的方程是y=2x.
則OB邊方程為y=－x.
由可得A點坐標為（，p）
由可得B點坐標為（8p,－4p）
∵｜AB｜＝5，∴.
∵p＞0解得p=,∴所求的拋物線方程為y2=x.
【點評】求拋物線的標準方程，即求p的值和確定開口方向，因而如何根據已知條件建立起關于p的方程是解決本題的關鍵.
【例8】已知拋物線y2=6x，過點P（4，1）引一弦，使它恰在點P被平分，求這條弦所在的直線方程.
【解法一】設直線上任意一點坐標為（x，y），弦的兩個端點為P1（x1，y1）、P2（x2，y2），∵P1、P2在拋物線上，∴y12=6x1，y22=6x2.兩式相減得
(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ①
∵y1+y2=2，代入①得k==3.
∴直線的方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.
【解法二】設所求方程為y-1=k(x-4).
由方程組得ky2-6y-24k+6=0.
設弦的兩端點P1、P2的坐標分別是（x1，y1）、（x2，y2），則y1+y2=，
∵P1P2的中點為（4，1），∴=2.∴k=3.
∴所求直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.
【點評】解法一是求與中點有關問題常用的“作差法”，解法二沒有求出P1、P2的坐標，而是運用韋達定理直接寫出P1P2中點坐標，這也是解題中常用的方法.一般求出直線方程后，把直線方程與拋物線方程聯立，組成方程組看方程組是否有兩解，有兩解時求出的直線方程為所求直線方程，否則所求直線方程不存在，本例中的點P（4，1）在拋物線的張口內，不存在上述問題.
【例9】（1）設拋物線y2=4x被直線y=2x+k截得的弦長為3，求k值.
（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求P點坐標.
分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P點坐標.
解：（1）由得：4x2+(4k-4)x+k2=0
設直線與拋物線交于A（x1,y1)與B（x2,y2)兩點.
則有：x1+x2=1-k，x1·x2=
∴|AB|=
∵|AB|=3
∴=3
即k=-4
(2)∵S△=9,底邊長為3
∴三角形高h=
∵點P在x軸上
∴設P點坐標是（x0,0）
則點P到直線y=2x-4的距離就等于h，即
∴x0=-1或x0=5
即所求P點坐標是（-1，0）或（5，0）.
【例10】求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切.
分析：可設拋物線方程為y2=2px(p＞0).如圖所示，只須證明=|MM1|，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切.
證明：作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.M為AB中點，作MM1⊥l于M1，則由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|
在直角梯形BB1A1A中：
|MM1|=(|AA1|+|BB1|)
=（|AF|+|BF|）
=|AB|
∴|MM1|=|AB|，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切.
說明：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離；以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交.
【例11】已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設N為l上任一點，AN的垂直平分線交n于B，點B關于AN的對稱點為P，求證P的軌跡為拋物線.
分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一是證明P點的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PA=PN且PN⊥l即可.
證明：如圖所示，連結PA、PN、NB.
由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關于AN的對稱點為P.
∴AN也垂直平分PB.
則四邊形PABN為菱形.
即有PA=PN.
∵AB⊥l.
∴PN⊥l.
則P點符合拋物線上點的條件：到定點A的距離與到定直線的距離相等，所以P點的軌跡為拋物線.
基礎達標
選擇題
1.已知拋物線過點（-11，13），則拋物線的標準方程是（ ）
A.y2=x B.y2=-x C.y2=-x或x2=y D.x2=-y
【解析】∵點（-11，13）在第二象限，∴拋物線的張口向左或向上.當拋物線的張口向左時，設拋物線的方程為y2=-2px，把點（-11，13）的坐標代入得132=-2p·(-11)，∴2p=..∴拋物線的標準方程為y2=-x.當拋物線的張口向上時，設拋線的方程為x2=2p1y，把點（-11，13）的坐標代入得(-11)2=2p·13，∴2p=.∴拋物線的方程為x2=y.
【答案】C
2.已知拋物線的準線方程是x=－7，則拋物線的標準方程是（ ）
A.x2=－28y B.y2=28x C.y2=－28x D.x2=28y
【解析】∵,∴p=14,∵拋物線的焦點在x軸上，∴拋物線的方程是y2=28x.
【答案】B
3.已知拋物線的焦點在直線3x-y+36=0上，則拋物線的標準方程是（ ）
A.x2=72y B.x2=144y C.y2=-48x D.x2=144y或y2=-48x
【解析】令x=0得y=36，令y=0得x=-12，∴拋物線的焦點為（0，36）或（-12，0）.
【答案】D
4.拋物線y2=－4px(p＞0)的焦點為F，準線為l，則p表示（ ）
A.F到l的距離 B.F到y軸的距離
C.F點的橫坐標 D.F到l的距離的
【解析】在拋物線的標準方程y2=－2px(p＞0)中，p是焦點到準線的距離，是焦點到y軸的距離或y軸與準線間的距離，所以在拋物線方程y2=－4px(p＞0)中，p為焦點到y軸或y軸與準線間的距離.
【答案】B
5.已知拋物線的方程為標準方程，焦點在x軸上，其上點P(－3,m)到焦點距離為5，則拋物線方程為（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x C.y2=4x D.y2=－4x
【解析】∵P到焦點距離為5，∴3+=5,∴p=4，
∵點P在y軸的左邊，拋物線焦點在x軸上，
∴拋物線的標準方程為y2=－8x.
【答案】B
6.拋物線y2=4x上一點P到焦點F的距離是10，則P點的坐標是（ ）
A.(±6，9) B.(9，±6) C.(9，6) D.(6，9)
【解析】設P點的坐標為(x,y).
∵｜PF｜=10,∴1+x=10，∴x=9.
把x=9代入方程y2=4x中，解得y=±6.
∴P點的坐標是(9，±6).
【答案】B
7.拋物線y2=9x與直線2x－3y－8=0交于M、N兩點，線段MN中點坐標是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由方程組得2y2－27y－72=0,
∴y1+y2=
代入方程2x－3y－8=0中，得x=.
【答案】B
8.拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長等于（ ）
A. B.2 C. D.15
【解析】把y＝2x＋1代入y2＝12x，得４x2－８x＋1＝0，所求弦長d＝｜x1－x2｜＝.
【答案】A
9.求焦點到準線的距離是2的拋物線的標準方程______.
【解析】由拋物線的定義知p=2
因此所求拋物線的標準方程有以下四種形式：y2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y.
【答案】y2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y
10.已知點（－2，3）與拋物線y2=2px(p＞0)的焦點的距離是5，求p的值為______.
【解】拋物線的焦點為（,0)
由 =5得p=4.
【答案】4
11.拋物線y2＝８px（p＞0）上一點M到焦點的距離為a，則點M到y軸的距離為______.
【解析】由已知設點M到y軸的距離為d則=1,∴d=a－2p.
【答案】a－2p
12.過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線的準線上的射影是A1、B1，則∠A1FB1＝ .
【解析】設拋物線方程為y2＝2px（p＞0）.如圖，由拋物線定義知
｜AF｜＝｜AA1｜，｜BF｜＝｜BB1｜，
∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BB1F＝∠BFB1，又AA1∥x軸∥BB1，
∴∠AA1F＝∠A1FF1，∠BB1F＝∠B1FF1，
∴∠A1FＢ1＝90°.
【答案】90°
13.已知拋物線的焦點坐標是()，準線方程是y=，求拋物線的方程.
【解】設M(x,y)為拋物線上任意一點，則M到焦點的距離為
,
點M到準線的距離為｜y－｜，
由拋物線的定義，得.
兩邊平方并整理，得y=ax2+bx+c為所求拋物線的方程.
13.拋物線的焦點F在x軸上，A（m,－3)在拋物線上，且|AF|=5，求拋物線的標準方程.
【解】設拋物線方程為y2=2px或y2=－2px,(p＞0)
∵A點在拋物線上
∴(－3)2=2pm或(－3)2=－2pm
∴m=± ①
又|AF|=+|m|=5 ②
把①代入②可得=5
即p2－10p+9=0 ∴p=1或p=9
∴所求拋物線方程為y2=±2x或y2=±18x.
14.過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F任作一條直線m，交拋物線于P1、P2兩點，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準線相切.
【證明】設P1P2的中點為P0，過P1、P2、P0分別向準線l引垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q0，根據拋物線的定義得
｜P1F｜=｜P1Q1｜,
｜P2F｜=｜P2Q2｜.
∴｜P1P2｜=｜P1F｜+｜P2F｜=｜P1Q1｜+｜P2Q2｜.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,｜P1P0｜=｜P0P2｜,
∴｜P0Q0｜=（｜P1Q1｜+｜P2Q2｜）=｜P1P2｜.
由此可知，P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，因此，圓P0與準線相切.
綜合發展
1.經過點P(4，－2)的拋物線標準方程為（ ）
A.y2=x或x2=－8y B.y2=x或y2=8x
C.y2=－8x D.x2=－8y
【解析】設拋物線的方程為y2=2px或x2=2p1y.
∵點P(4，－2)在拋物線上，∴4=2p×4或16=2p1(－2),
∴p=或p1=－4，∴拋物線的方程為y2=x或x2=－8y.
【答案】A
2.拋物線x2=4ay的準線方程為（ ）
A.x=－a B.x=a C.y=－a D.y=a
【解析】∵拋物線的焦點在y軸上，∴拋物線的準線方程為y=－，即y=－a.
【答案】C
3.焦點在直線3x－4y－12=0上的拋物線標準方程為（ ）
A.x2=16y或y2=16x B.y2=16x或x2=12y
C.y2=16x或x2=－12y D.x2=16y或y2=－12x
【解析】直線3x－4y－12=0與x軸、y軸的交點分別是(4，0)和(0，－3)，所以拋物線的焦點為(4，0)或(0，－3).因此，所求拋物線的標準方程為y2=16x或x2=－12y.
【答案】C
4.動點到點(3，0)的距離比它到直線x=－2的距離大1，則動點的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線
C.雙曲線的一支 D.拋物線
【解析】由題意可知，動點到點(3，0)的距離等于它到直線x=－3的距離，由拋物線定義知動點的軌跡是拋物線.
【答案】D
5.已知直線l與拋物線y2=8x交于A、B兩點，且l經過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8，8)，則線段AB的中點到準線的距離是（ ）
A. B. C. D.25
【解析】拋物線的焦點坐標為(2，0)，直線l的方程為y= (x－2).
由得B點的坐標為(，－2).
∴｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=2+8+2+，
∴AB的中點到準線的距離為.
【答案】A
6.過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點作一條直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），則為
（ ）
A.4 B.－4 C.p2 D.－p2
【解析】特例法.當直線垂直于x軸時， =－4.
【答案】Ｂ
7.某河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂6米時，水面寬10米，拋物線的方程可能是（ ）
A.y2=x B.x2=-y C.x2=-y D.x2=-y
【解析】設拋物線的方程為y2=2px，由題知拋物線過點（6，±5），∴25=2p·6，2p=.
∴拋物線的方程為y2=x.
【答案】A
8.拋物線y=ax2(a>0)與直線y=kx+b(k≠0)有兩個公共點，其橫坐標分別是x1、x2；而直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標是x3,則x1、x2、x3之間的關系是（ ）
A.x3=x1+x2 B.x3=
C.x1x3=x1x2+x2x3 D.x1x2=x1x3+x2x3
【解法一】（特值法）取a=1,k=1,b=0,則x1=0,x2=1,x3=0, 可排除A、B.
再取a=1,k=1,b=1,可得x1+x2=1.
x1x2=－1,x3=－1,檢驗C、D可知D選項適合.
【解法二】（直接法）
把y=kx+b代入y=ax2，得ax2－kx－b=0,x1+x2=,x1x2=－
又x3=－,∴x1x2=(x1+x2)x3
【答案】D
9.拋物線y=x2(a≠0)的焦點坐標是 .
【解析】把方程y=x2寫成x2=ay,∴拋物線的焦點坐標是(0，).
【答案】(0，)
10.圓心在拋物線y2＝2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是 .
【解析】由題設可知圓與x軸的切點為拋物線的焦點，所以圓心為（，±1），半徑為1.
∴圓的方程為(x－)2+(y±1)2=1.
【答案】(x－)2+(y±1)2=1
11.拋物線y=ax2的準線方程是y=2，則a的值是 .
【解析】把y=ax2寫成x2=y，∴2p=，=，由題知，-=2,∴a=-.
【答案】-
12.直線y=kx－2與拋物線y2=8x交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，則k的值為______.
【解析】∵直線y=kx－2與拋物線y2=8x交于兩點，∴k≠0，由
得k2x2－4kx－8x+4=0，∴x1+x2=,
∵AB中點的橫坐標為2，∴=4,∴k=－1或k=2.
∵當k=－1時方程k2x2－4kx－8x+4=0只有一個解，即A、B兩點重合.∴k≠－1.
【答案】2
13.動圓M經過點A(3，0)且與直線l：x=－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程為______.
【解析】設圓M與直線l相切于點N，∵｜MA｜=｜MN｜,
∴圓心M到定點A(3，0)和定直線x=－3的距離相等.
根據拋物線的定義，M在以A為焦點，l為準線的拋物線上.
∵=3,∴p=6.
∴圓心M的軌跡方程為y2=12x.
【答案】y2=12x
14.已知拋物線的焦點在x軸上，直線y=2x+1被拋物線截得的線段長為，求拋物線的標準方程.
【解】∵拋物線的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為y2=2px.
由方程組
得4x2+(4－2p)x+1=0，
∴｜x1－x2｜=,
∴,
∴,∴p=6或p=－2，
∴拋物線的方程為y2=12x或y2=－4x.
15.一直線與拋物線x2=y交于A、B兩點，它們的橫坐標分別為x1和x2，此直線在x軸上的截距為a，求證：.
【證明】∵直線過(a,0)點且與拋物線交于A、B兩點，
∴設直線的方程為y=k(x－a)且k≠0，
由方程組得x2－kx+ka=0.
由韋達定理，得x1+x2=k,x1x2=ka.
∴.
即.
16求拋物線x2=y上的點P到直線2x-y-4=0的距離最小時的點P的坐標.
【解】設點P（x，y），則x2=y.P到直線2x-y-4=0的距離d==|2x-x2-4|=|x2-2x+4|=[(x-1)2+3].
∴當x=1時，d最小，此時y=1.∴P（1，1）為所求.
10.已知P、Q為拋物線y2=8x與直線2x+y-8=0的兩個交點，O為原點，求|tanPOQ|的值.
【解】由得(8-2x)2=8x，即x2-10x+16=0.
∴x1=2或x2=8，
代入x=8-2x得P（2，4）、Q（8，-8），kOP=2，kOQ=-1，
∴|tanPOQ|=||=3.
第6節 拋物線的幾何性質
撰寫：劉可嘉 審核：
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的幾何性質；
了解拋物線在實際問題中的初步應用；
進一步理解拋物線的方程、幾何性質及圖形三者之間的內在聯系。
二、重點與難點
重點： 拋物線的定義和標準方程
難點：求拋物線的標準方程
三、本節知識理解
設拋物線的標準方程y2=2px(p＞0)，則
（1）.范圍：則拋物線上的點(x,y)的橫坐標x的取值范圍是x≥0.,在軸右側拋物線向右上方和右下方無限延伸。
（2）.對稱性：這個拋物線關于軸對稱，拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.
（3）．頂點：拋物線和它的交點叫做拋物線的頂點，這個拋物線的頂點是坐標原點。
（4）．離心率；拋物線上的點與焦點的距離和它的準線的距離的比叫做拋物線的離心率，其值為1.
（5）.在拋物線y2＝2px（p＞0）中，通過焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，連結這兩點的線段叫做拋物線的通徑，它的長為2p.
（6）.平行于拋物線軸的直線與拋物線只有一個交點. 但它不是雙曲線的切線.
2．拋物線和橢圓、雙曲線的比較
（1）.拋物線的性質和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大.它的離心率等于1；它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線；它無中心，也沒有漸近線.
（2）.橢圓、雙曲線都有中心，它們均可稱為有心圓錐曲線.拋物線沒有中心，稱為無心圓錐曲線.

精題精講
【例1】已知拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M(，－2)，求它的標準方程.
【例2】已知雙曲線的方程是=1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線標準方程及拋物線的準線方程.
【例3】A為拋物線y2=－x上一點，F為焦點，｜AF｜=14，求過點F且與OA垂直的直線l的方程.
【例4】拋物線y2=12x中，一條焦點弦的長為16，求此焦點弦所在直線的傾斜角.
【例5】.已知拋物線y2=2px上有三點A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若線段AB、BC在x軸上射影之長相等，求證：A、B、C三點到焦點的距離順次成等差數列.
【例6】設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.
證明：直線AC經過原點O,
【例7】A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，滿足OA⊥OB（O為坐標原點）.求證：
（1）A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別為定值；
（2）直線AB經過一個定點.
【例8】給定拋物線y2=2x,設A(a,0),a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d,試求d的最小值.
. 【例9】過拋物線y2=6x的頂點作互相垂直的兩條直線，交拋物線于A、B兩點，求線段AB中點的軌跡方程.
【例10】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點作傾斜角為θ的直線l，設l交拋物線于A、B兩點，求|AB|.
【例11】過拋物線的焦點F作不垂直于對稱軸的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于N，求證：｜AB｜=2｜NF｜.
【例12】已知過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，點R是含拋物線頂點O的弧AB上一點，求△RAB的最大面積.
【例13】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點（4，-）.
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M（3，m）在此雙曲線上，求·；
（3）求ΔF1MF2的面積.
【例14】直線l1過點M（-1，0），與拋物線y2=4x交于P1、P2兩點，P是線段P1P2的中點，直線l2過P和拋物線的焦點F，設直線l1的斜率為k.
(1)將直線l2的斜率與直線l1的斜率之比表示為k的函數f(k);
（2）求出f(k)的定義域及單調區間.
【例15】設過拋物線y2=2px(p＞0)的頂點O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點O在AB上射影N的軌跡方程.
【例16】如圖8—14，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程.
基礎達標
選擇題
1.頂點在原點，坐標軸為對稱軸的拋物線，過點(－2，3)，則它的方程是（ ）
A.x2=－y或y2=x B.y2=－x或x2=y
C.x2=y D.y2=－x
2.以x軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x
C.y2=8x或y2=－8x D.x2=8y或x2=－8y
3.拋物線x2=－4y的通徑為AB，O為拋物線的頂點，則（ ）
A.通徑長為8，△AOB的面積為4
B.通徑長為－4，△AOB的面積為2
C.通徑長為4，△AOB的面積為4
D.通徑長為4，△AOB的面積為2
4.已知直線y=kx－k及拋物線y2=2px(p＞0)，則（ ）
A.直線與拋物線有一個公共點
B.直線與拋物線有兩個公共點
C.直線與拋物線有一個或兩個公共點
D.直線與拋物線可能沒有公共點
5.等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p＞0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
6.邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A、B的拋物線方程是（ ）
A.y2=x B.y2=－x C.y2=±x D.y2=±x
7.已知點(x,y)在拋物線y2=4x上，則z=x2+y2+3的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
8.過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線，分別交準線于P、Q兩點，又過P、Q分別作拋物線對稱軸OF的平行線，交拋物線于M、N兩點，則M、N、F三點（ ）
A.共圓 B.共線
C.在另一拋物線上 D.分布無規律
二、填空題
9.若拋物線y2＝2px（p＞0）上一點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6，則P的橫坐標為______，p的值為______.
10.過(0，－2)的直線與拋物線y2＝８x交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則
｜AB｜=______.
11.過拋物線y2=8x的焦點，傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長為 .
12.已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在y軸上，拋物線上的點(m，－2）到焦點的距離等于4，則m的值為______.
13.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若|AB|=4，則焦點到AB的距離為 .
三、解答題
14.拋物線x2=2y上距離點A（0，a)(a＞0)最近的點恰好是拋物線的頂點，求a的取值范圍.
15.過拋物線y2＝４x的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的傾斜角多大時，以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點.
綜合發展
一、選擇題
1.動點P到點A(0，2)的距離比到直線l：y=－4的距離小2，則動點P的軌跡方程為（ ）
A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y
2.已知拋物線的軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y+11=0上，則此拋物線的方程是（ ）
A.y2=－11x B.y2=11x C.y2=－22x D.y2=22x
3.拋物線y=8mx2(m＜0)的焦點坐標是（ ）
A.(,0) B.(0,) C.(0,－) D.(,0)
4.拋物線y2=8x的焦點為F，P在拋物線上，若｜PF｜=5，則P點的坐標為（ ）
A.(3，2) B.(3，－2)
C.(3，2)或(3，－2) D.(－3，2)或(－3，－2)
5.一個正三角形的三個頂點都在拋物線y2=4x上，其中一個頂點為坐標原點，則這個三角形的面積為（ ）
A.48 B.24 C. D.
6.已知點A(－2，1)，y2=－4x的焦點是F，P是y2=－4x上的點，為使｜PA｜+｜PF｜取得最小值，P點的坐標是（ ）
A.(－,1) B.(－2,2) C.(－,－1) D.(－2,－2)
7.拋物線y2=4x的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關系是（ ）
A.m+n=mn B.m+n=4 C.mn=4 D.無法確定
8.θ是任意實數，則方程x2+y2sinθ=4的曲線不可能是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
9.已知橢圓=1的一條準線方程為y=8，則實數t的值為（ ）
A.7或－7 B.4或12 C.1或15 D.0
10.雙曲線=1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是（ ）
A.（－∞,0） B.(－12,0) C.(－3,0) D.(－60,－12)
11.以=－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為（ ）
A.=1 B. =1
C.=1 D. =1
5.過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）
A.2a B. C.4a D.
12.拋物線y=x2到直線 2x－y=4距離最近的點的坐標是（ ）
A. B.（1，1） C. D.（2，4）
13.與=1（a＞b＞0）的漸近線（ ）
A.重合 B.不重合，但關于x軸對稱
C.不重合，但關于y軸對稱 D.不重合，但關于直線y=x對稱
14.動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過定點（ ）
A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－2）
15.設P是橢圓=1上一點，F1、F2是橢圓的兩個焦點，則cosF1PF2的最小值是（ ）
A.－ B.－1 C. D.
二、填空題
16.已知點A（0，1）是橢圓x2+4y2=4上的一點，P是橢圓上的動點，當弦AP的長度最大時，則點P的坐標是_________.
17.已知F1、F2是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦.如果∠PF2Q=90°,則雙曲線的離心率是_________.
18.正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=72x上，這個正三角形的邊長是 .
19.點P（8，1）平分雙曲線x2－4y2=4的一條弦，則這條弦所在的直線方程是______.
三、解答題
20.拋物線y2=2px的焦點弦AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N.求證：
（1）A、O、D三點共線，B、O、C三點共線；
（2）FN⊥AB（F為拋物線的焦點）.
第5節 拋物線及其標準方程
撰寫：劉可嘉 審核：
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的幾何性質；
了解拋物線在實際問題中的初步應用；
進一步理解拋物線的方程、幾何性質及圖形三者之間的內在聯系。
二、重點與難點
重點： 拋物線的定義和標準方程
難點：求拋物線的標準方程
三、本節知識理解
設拋物線的標準方程y2=2px(p＞0)，則
（1）.范圍：則拋物線上的點(x,y)的橫坐標x的取值范圍是x≥0.,在軸右側拋物線向右上方和右下方無限延伸。
（2）.對稱性：這個拋物線關于軸對稱，拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.
（3）．頂點：拋物線和它的交點叫做拋物線的頂點，這個拋物線的頂點是坐標原點。
（4）．離心率；拋物線上的點與焦點的距離和它的準線的距離的比叫做拋物線的離心率，其值為1.
（5）.在拋物線y2＝2px（p＞0）中，通過焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，連結這兩點的線段叫做拋物線的通徑，它的長為2p.
（6）.平行于拋物線軸的直線與拋物線只有一個交點. 但它不是雙曲線的切線.
2．拋物線和橢圓、雙曲線的比較
（1）.拋物線的性質和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大.它的離心率等于1；它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線；它無中心，也沒有漸近線.
（2）.橢圓、雙曲線都有中心，它們均可稱為有心圓錐曲線.拋物線沒有中心，稱為無心圓錐曲線.

精題精講
【例1】已知拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M(，－2)，求它的標準方程.
【解】∵拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M(，－2)，
∴可設它的標準方程為x2=－2py(p＞0).
又∵點M在拋物線上，∴()2=－2p(－2)，
即p=.
因此所求方程是x2=－y.
【點評】本題關鍵是能夠依據拋物線的幾何性質首先確定出拋物線方程的形式，然后采用待定系數法即可求出其標準方程.
【例2】已知雙曲線的方程是=1，求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線標準方程及拋物線的準線方程.
【解】∵雙曲線=1的右頂點坐標是(2，0).
∴,且拋物線的焦點在x軸的正半軸上.
∴所求拋物線的方程和準線方程分別為y2=8x,x=－2.
【點評】本題考查的都是雙曲線的基本知識.
【例3】A為拋物線y2=－x上一點，F為焦點，｜AF｜=14，求過點F且與OA垂直的直線l的方程.
【解】設A（x1,y1）,
∵2p=,∴F的坐標是(－，0).
∵｜FA｜=14,∴,
∴x1=－14,代入拋物線方程y2=－x,得y1=±7.
∴A點的坐標是(－14，7)或(－14，－7).
∵或且OA⊥l
∵kl=2或kl=－2.
∵l過焦點F(－，0).
∴l的方程是y=2(x+)或y=－2(x+)，
即8x－4y+7=0或8x+4y+7=0.
【點評】有關拋物線上的點與其焦點的距離問題,拋物線的定義一般是解決問題的入手點.
【例4】拋物線y2=12x中，一條焦點弦的長為16，求此焦點弦所在直線的傾斜角.
【解】拋物線的焦點坐標是(3，0)，
設焦點弦所在的直線方程是y=k(x－3).
由方程組
得y2－y－36=0.
∴直線被拋物線截得的弦長為
.
∵焦點弦長為16，∴由12(1+)=16得，k=±.
∴焦點弦所在直線的傾斜角為60°或120°.
【例5】.已知拋物線y2=2px上有三點A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）且x1＜x2＜x3，若線段AB、BC在x軸上射影之長相等，求證：A、B、C三點到焦點的距離順次成等差數列.
【證明】根據題意，得x2－x1=x3－x2，
即x1、x2、x3成等差數列，
又由拋物線的定義得：.
∵2｜BF｜=2x2＋()=2x2+p,
｜AF｜+｜BF｜=x1+x3+p=2x2＋p=2｜BF｜.
∴｜AF｜、｜BF｜、｜CF｜成等差數列.
【例6】設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.
證明：直線AC經過原點O,
【證明】∵拋物線的焦點為F（，0），
∴經過點F的直線AB的方程可設為x=my+，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.
設A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1、y2是該方程的兩根，∴y1y2=-p2.
∵BC∥x軸，且點C在準線x=-上，∴點C的坐標為（-，y2）.
∴直線OC的斜率為k=，即k也是直線OA的斜率.
∴直線AC經過原點O.
【點評】本題若設直線AB的點斜式方程也可以，但必須還要討論斜率k不存在的情況，另外，證明直線AC過原點O，這里是利用了直線OC與直線AC的斜率相等，非常簡捷，如若寫出直線AC的方程，通過（0，0）適合方程來證明，將較復雜.
【例7】A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，滿足OA⊥OB（O為坐標原點）.求證：
（1）A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別為定值；
（2）直線AB經過一個定點.
【證明】（1）設A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y12=2px1、y22=2px2.
∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).
∴y1y2=-4p2，從而x1x2=4p2也為定值.
（2）∵y12-y22=2p(x1-x2)，∴.∴直線AB的方程為y-y1=(x-x1),
即y=x-·+y1，y=x+，
亦即y=(x-2p).∴直線AB經過定點（2p，0）.
【點評】本例的證明還可以設OA的方程為y=kx，OB的方程為y=-x，由OA的方程與拋物線的方程聯立求得A點的坐標，再由OB的方程與拋物線的方程聯立求得B點的坐標，利用A、B的坐標證明.
【例8】給定拋物線y2=2x,設A(a,0),a＞0，P是拋物線上的一點，且｜PA｜=d,試求d的最小值.
【解】設P(x0,y0),（x0≥0），
則y02=2x0，
∴d=|PA|=.
∵a＞0,x0≥0，
∴(1)當0＜a＜1時，1－a＞0，
此時當x0=0時，d最小==a.
（2）當a≥1時，1－a≤0，
此時當x0=a－1時，d最小=.
【點評】雖然d的目標函數f(x0)是根號下關于x0的二次函數，但由于x0和a都有限制條件，必須分類討論求最小值，否則會出錯.
. 【例9】過拋物線y2=6x的頂點作互相垂直的兩條直線，交拋物線于A、B兩點，求線段AB中點的軌跡方程.
【解】設線段AB中點P（x，y），OA的斜率為k，則直線OA的方程為y=kx，由
得或依題意得A點的坐標為A（，）.
∵OA⊥OB，∴OB的斜率為-，直線OB的方程為y=-x.
由得或
∴B點的坐標為（6k2，-6k）.線段AB中點P（x，y）滿足
②式平方后減去①×3，得
y2=3x-18為所求.
【例10】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點作傾斜角為θ的直線l，設l交拋物線于A、B兩點，求|AB|.
【解】當θ=90°時，直線AB的方程為x=，由得A(,-p)、B(，p).
∴|AB|=2p.
當θ=90°時，直線AB的方程為y=(x-)tanθ.由得
tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+·tan2θ=0.
設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=.
【點評】求過拋物線焦點的弦長問題，一般是把弦分成兩條焦半徑得用焦半徑公式結合韋達定理來求.
【例11】過拋物線的焦點F作不垂直于對稱軸的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于N，求證：｜AB｜=2｜NF｜.
【證明】設拋物線方程為y2=2px(p＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為
M（x0,y0）.則y12=2px1,y22=2px2.
兩式相減并整理得.
∵M是AB的中點，
∴.
∵MN⊥AB，∴kMN=－.
∴直線MN的方程為y－y0=－ (x－x0),
令y=0得N點的橫坐標xN=x0+p.
∴.
又｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+p=2(x0+).
∴｜AB｜=2｜NF｜.
【點評】當A、B兩點都在曲線上時，求直線AB的斜率，可把A、B兩點的坐標代入曲線的方程并把得到的兩式相減.
【例12】已知過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，點R是含拋物線頂點O的弧AB上一點，求△RAB的最大面積.
分析：求RAB的最大面積，因過焦點且斜率為1的弦長為定值，故可以|AB|為三角形的底，只要確定高的最大值即可.
解：設AB所在的直線方程為y=x-.
將其代入拋物線y2=2px,得y2-2py-p2=0
∴|AB|=|y1-y2|
=·
當過R的直線l平行于AB且與拋物線相切時，△RAB的面積有最大值.
設直線l方程為y=x+b.
代入拋物線方程得y2-2py+2pb=0
由Δ=4p2-8pb=0，得b=
這時R（,p）.它到AB的距離為h=p
∴△RAB的最大面積為|AB|·h=p2.
.
【例13】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點（4，-）.
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M（3，m）在此雙曲線上，求·；
（3）求ΔF1MF2的面積.
【解】（1）由題意知，雙曲線的方程是標準方程.
∵雙曲線的一條漸近線方程為y=x，∴設雙曲線方程為x2-y2=λ.
把點（4，-）代入雙曲線方程得42-(-)2=λ,λ=6.
∴所求雙曲線方程為x2-y2=6.
（2）由（1）知雙曲線方程為x2-y2=6，∴雙曲線的焦點為F1(-2,0)、F2(2,0).
∵M點在雙曲線上，∴32-m2=6，m2=3.
∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.
（3）∵·=0，∴MF1⊥MF2.∴ΔF1MF2為直角三角形.
∵||==，
||==
∴=||·||=·=6.
【點評】本例（1）的解法中利用了“如果雙曲線的漸近線為y=±x時，那么雙曲線的方程可設為=λ（λ≠0）”這一結論.
【例14】直線l1過點M（-1，0），與拋物線y2=4x交于P1、P2兩點，P是線段P1P2的中點，直線l2過P和拋物線的焦點F，設直線l1的斜率為k.
(1)將直線l2的斜率與直線l1的斜率之比表示為k的函數f(k);
（2）求出f(k)的定義域及單調區間.
分析：l2過點P及F，利用兩點的斜率公式，可將l2的斜率用k表示出來，從而寫出f(k)，由函數f(k)的特點求得其定義域及單調區間.
解：（1）設l1的方程為：y=k(x+1).將它代入方程y2=4x,得
k2x2+(2k2-4)x+k2=0
設P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)
則x1+x2=
將x=代入y=k(x+1)，
得：y=，即P點坐標為（,).
由y2=4x,知焦點F（1，0）
∴直線l2的斜率k2=
∴函數f(k)= .
(2)∵l1與拋物線有兩個交點，
∴k≠0且Δ=(2k2-4)2-4k4＞0
解得-1＜k＜0或0＜k＜1
∴函數f(k)的定義域為
{k|-1＜k＜0或0＜k＜1}
當k∈(-1,0)及k∈(0,1)時，f(k)為增函數.
【例15】設過拋物線y2=2px(p＞0)的頂點O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點O在AB上射影N的軌跡方程.
分析：求與拋物線有關的軌跡方程，可先把N看成定點（x0,y0)；待求得x0、y0的關系后再用動點坐標（x,y)來表示，也可結合幾何知識，通過巧妙替換，簡化運算.
解法一：設A（x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0)，則
y12=2px1,y22=2px2
∴x1x2=
∵OA⊥OB
∴kOA·kOB=-1即x1x2+y1y2=0
∴+y1y2=0
∵y1y2≠0
∴y1y2=-4p2 ①
把N點看作定點，則AB所在的直線方程為：
y-y0=-(x-x0),顯然x0≠0
∴x=代入y2=2px，化簡整理得：
x0y2+2py0y-2p(x02+y02)=0
∴x0≠0
∴y1y2= ②
由①、②得：-4p2=.化簡得x02+y02-2px0=0(x0≠0)
用x、y分別表示x0、y0得
x2+y2-2px=0(x≠0)
解法二：點N在以OA、OB為直徑的兩圓的交點（非原點）的軌跡上，設A（2pt2,2pt)，則以OA為直徑的圓方程為：
(x-pt2)2+(y-pt)2=p2(t4+t2)即
x2+y2-2pt2-2pty=0 ①
設B（2pt12,2pt1）,OA⊥OB，則t1t=-1t1=-
在求以OB為直徑的圓方程時以-代t1，可得
t2(x2+y2)-2px+2pty=0 ②
由①+②得：(1+t2)(x2+y2-2px)=0
∵1+t2≠0
∴x2+y2-2px=0(x≠0)
【例16】如圖8—14，直線l1和l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程.
【解法一】以l1為x軸，MN的中點O為原點建立如圖的平面坐標系.由題意可知，曲線段C所在的拋物線在直角坐標系中的位置是標準的，并且點N是該拋物線的焦點，l2是準線.所以可令拋物線的方程為y2=2px(p＞0).過點A作AQ⊥l2，AE⊥l1，垂足分別為Q和E，由于△AMN是銳角三角形，則點E必在線段MN上.所以，｜AQ｜=｜AN｜=3，
∵｜AM｜=,
∴｜QM｜=,
｜AE｜=｜QM｜=2,｜EN｜==1.
∴p=｜MN｜=｜ME｜+｜EN｜=｜AQ｜+｜EN｜=4.
∴拋物線方程為y2=8x.
由上述可知｜OE｜=1，點B到準線l2的距離為6，則點B的橫坐標為4，又曲線段在x軸上方，故曲線段C的方程為y2=8x(1≤x≤4,y＞0).
【解法二】以l1為x軸，l2為y軸建立如圖8—15的直角坐標系，其中M點為原點，這時焦點N在x軸上，頂點O′應是線段MN的中點.令曲線段C所在的拋物線方程為：
y2=2p(x－xo′)(p＞0).
設A,
B,則
由①－②得y12=8,
代入①得（）2=9,
∴8+p2=6p.
∵p＞3,∴p=4.
∵y1＞0,∴y1=2,
代入③得y2=4.
∴曲線段C的方程為y2=8(x－2)(2≤y≤4).
【點評】該例題給出的條件比較簡明、直接，由拋物線的概念，可知曲線段C是一段拋物線弦.因此，入手不難.關鍵的問題是怎樣建立適當的坐標系，使得解答過程簡單.此例還應注意方程中x或y的取值范圍.
基礎達標
選擇題
1.頂點在原點，坐標軸為對稱軸的拋物線，過點(－2，3)，則它的方程是（ ）
A.x2=－y或y2=x B.y2=－x或x2=y
C.x2=y D.y2=－x
【解析】∵拋物線的頂點在原點，坐標軸為對稱軸，
∴拋物線的方程為標準形式.
當拋物線的焦點在x軸上時，
∵拋物線過點(－2，3)，
∴設拋物線的方程為y2=－2px(p＞0)，
∴32=－2p(－2),∴p=.
∴拋物線的方程為y2=－x.
當拋物線的焦點在y軸上時，
∵拋物線過點(－2，3)，
∴設拋物線的方程為x2=2py(p＞0).
∴(－2)2=2p·3,∴p=.
∴拋物線的方程為x2=y.
【答案】B
2.以x軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是（ ）
A.y2=8x B.y2=－8x
C.y2=8x或y2=－8x D.x2=8y或x2=－8y
【解析】∵通徑長為8，∴2p=8.
∵拋物線的軸為x軸，∴拋物線的方程為y2=±8x.
【答案】C
3.拋物線x2=－4y的通徑為AB，O為拋物線的頂點，則（ ）
A.通徑長為8，△AOB的面積為4
B.通徑長為－4，△AOB的面積為2
C.通徑長為4，△AOB的面積為4
D.通徑長為4，△AOB的面積為2
【解析】在拋物線x2=－4y，∴2p=4即通徑的長為4.
△AOB的面積為.
【答案】D
4.已知直線y=kx－k及拋物線y2=2px(p＞0)，則（ ）
A.直線與拋物線有一個公共點
B.直線與拋物線有兩個公共點
C.直線與拋物線有一個或兩個公共點
D.直線與拋物線可能沒有公共點
【解析】∵直線y=kx－k過點(1，0)，點(1，0)在拋物線y2=2px的內部.
∴當k=0時，直線與拋物線有一個公共點；當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點.
【答案】C
5.等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p＞0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
【解析】∵拋物線的軸為x軸，內接△AOB為等腰直角三角形，
∴由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°.
由方程組得或.
∴A、B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p,－2p).
∴｜AＢ｜=4p,∴S△AOB=×4p×2p=4p2.
【答案】B
6.邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A、B的拋物線方程是（ ）
A.y2=x B.y2=－x C.y2=±x D.y2=±x
【解析】∵△AOB為邊長等于1的正三角形，∴O到AB的距離為，A或B到x軸的距離為.
當拋物線的焦點在x軸的正半軸上時，
設拋物線的方程為y2=2px(p＞0).
∵拋物線過點()，
∴∴
.
∴拋物線的方程為y2=x.
當拋物線的焦點在x軸的負半軸上時，
設拋物線的方程為y2=－2px(p＞0).
∵拋物線過點(－)，
∴,∴2p=.
∴拋物線的方程為y2=－x.
【答案】C
7.已知點(x,y)在拋物線y2=4x上，則z=x2+y2+3的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
【解析】∵點(x,y)在拋物線y2=4x上，∴x≥0，
∵z=x2+y2+3＝x2+2x＋3＝（x+1）2＋2
∴當x=0時，z最小，其值為3.
【答案】B
8.過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線，分別交準線于P、Q兩點，又過P、Q分別作拋物線對稱軸OF的平行線，交拋物線于M、N兩點，則M、N、F三點（ ）
A.共圓 B.共線
C.在另一拋物線上 D.分布無規律
【解析】設M(x1，y1)，Ｎ（x2，y2），設拋物線方程為y2＝2px.
則F（，0），準線x=－,
∴P（－，y1），Ｑ（－，y2）
由PF⊥QF得＝－1，∴y1y2＝－p2
∴kMF＝kNF ∴M、N、F共線.
【答案】B
二、填空題
9.若拋物線y2＝2px（p＞0）上一點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6，則P的橫坐標為______，p的值為______.
【解析】∵點P到對稱軸的距離為6，∴設點P的坐標為(x,6).(或(x,－6))
∵點P到準線的距離為10，∴,∴.或
∴點P的橫坐標為9，p的值為2.（或P的橫坐標為1，p值為18.）
【答案】9 2 1 18
10.過(0，－2)的直線與拋物線y2＝８x交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則
｜AB｜=______.
【解析】設直線方程為y＝kx－2，A(x1，y1)，B（x2，y2）
由 得k2x2－４（k＋2）x＋４＝0
∵直線與拋物線交于A、B兩點
∴Δ＝16（k＋2）2－16k2＞0
即k＞－1
又＝2
∴k＝2或k＝－1（舍）
∴
.
【答案】2
11.過拋物線y2=8x的焦點，傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長為 .
【解析】由拋物線y2=8x的焦點為（2，0），得直線的方程為y=x-2，代入y2=8x得(x-2)2=8x即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12，弦長=x1+x2+p=12+4=16.
【答案】16
【點評】本題用例3的結論：弦長==16.
12.已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在y軸上，拋物線上的點(m，－2）到焦點的距離等于4，則m的值為______.
【解析】由于點(m，－2)在拋物線上，所以拋物線開口向下，設其方程為x2＝－2py，則2＋＝４，∴p＝４.拋物線方程為x2＝－８y，把點（m，－2）代入得m＝±4.
【答案】±4
13.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若|AB|=4，則焦點到AB的距離為 .
【解析】不妨設A（x，2），則（2）2=4x.∴x=3.∴AB的方程為x=3，拋物線的焦點為（1，0），∴焦點到準線的距離為2.
【答案】2
三、解答題
14.拋物線x2=2y上距離點A（0，a)(a＞0)最近的點恰好是拋物線的頂點，求a的取值范圍.
【解】設P（x,y）為拋物線上任意一點，則
|PA|=
∵a＞0,∴a－1＞－1
由于y≥0,且|PA|最小時，y=0
∴－1＜a－1≤0 ∴0＜a≤1.
15.過定點A(－2,－1)，傾斜角為４5°的直線與拋物線y=ax2交于B、C，且｜BC｜是
｜AB｜、｜AC｜的等比中項，求拋物線方程.
【解】設A（－2，－1）、B（x1，y1）、B（x2，y2）在x軸上的射影分別為A′（－2，0）、B′（x1，0）、C′（x2，0）
∵｜BC｜2＝｜AB｜·｜AC｜，∴｜B′C′｜2＝｜A′B′｜·｜A′C′｜于是有
｜x1－x2｜2＝（x1＋2）（x2＋2） ①
直線AC的方程為y=x+1.
代入y=ax2并整理得ax2－x－1＝0
∴x1＋x2＝，x1x2＝－ ②
把②代入①得，a＝1或a=－.
當a=1時，方程ax2－x－1＝0根的判別式Δ＞0；
當a=－時，Δ＝0，B、C重合，不合題意，舍去.
∴拋物線方程為y=x2.
16.過拋物線y2＝４x的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的傾斜角多大時，以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點.
【解】拋物線y2＝４x的準線與對稱軸的交點為（－1，0）.設直線MN的方程為y＝k（x＋1）
由得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0
∵直線與拋物線交于M、N兩點.
∴Δ＝４（k2－2）2－４k４＞0
即k2＜｜k2－2｜，k2＜1，－1＜k＜1
設M（x1，y1），N（x2，y2），拋物線焦點為F(1，0).
∵以線段MN為直徑的圓經過拋物線焦點.
∴MF⊥NF
∴＝－1
即y1y2＋x1x2－（x1＋x2）＋1＝0
又x1＋x2＝－，x1x2＝1
y12y22＝16x1x2＝16且y1、y2同號
∴＝－6
解得k2＝，∴k＝±
即直線的傾斜角為arctan或π－arctan時，以線段MN為直徑的圓經過拋物線的焦點.
綜合發展
一、選擇題
1.動點P到點A(0，2)的距離比到直線l：y=－4的距離小2，則動點P的軌跡方程為（ ）
A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y
【解析】由已知條件可知，點P與點A的距離等于它到直線y=－2的距離.根據拋物線的定義，點P的軌跡是以A(0，2)為焦點的拋物線.
∵=2,∴p=4.
因為焦點在y軸的正半軸上，所以點P的軌跡方程為x2=8y.
【答案】D
2.已知拋物線的軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y+11=0上，則此拋物線的方程是（ ）
A.y2=－11x B.y2=11x C.y2=－22x D.y2=22x
【解析】在方程2x－4y+11=0中，令y=0
得x=－.
∵拋物線的焦點為直線2x－4y+11=0與x軸交點，
∴,∴2p=22.
∴拋物線的方程為y2=－22x.
【答案】C
3.拋物線y=8mx2(m＜0)的焦點坐標是（ ）
A.(,0) B.(0,) C.(0,－) D.(,0)
【解析】把拋物線的方程寫成x2=y
則2p=－.
∴拋物線的焦點坐標是(0, ).
【答案】B
4.拋物線y2=8x的焦點為F，P在拋物線上，若｜PF｜=5，則P點的坐標為（ ）
A.(3，2) B.(3，－2)
C.(3，2)或(3，－2) D.(－3，2)或(－3，－2)
【解析】設P點的坐標為(x,y)
∵｜PF｜=5,∴2+x=5,∴x=3,
把x=3代入方程y2=8x，
得y2=24，∴y=±2，
∴點P的坐標為(3，±2) .
【答案】C
5.一個正三角形的三個頂點都在拋物線y2=4x上，其中一個頂點為坐標原點，則這個三角形的面積為（ ）
A.48 B.24 C. D.
【解析】由拋物線的對稱性可知，正三角形的另兩個頂點關于x軸對稱，且分別在直線y=x與y=－x上，由得x=12,y=4,即三角形的另兩頂點分別為（12，4）與（12，－4）.因此三角形的面積S=12×4=48.
【答案】A
6.已知點A(－2，1)，y2=－4x的焦點是F，P是y2=－4x上的點，為使｜PA｜+｜PF｜取得最小值，P點的坐標是（ ）
A.(－,1) B.(－2,2) C.(－,－1) D.(－2,－2)
【解析】過P作PK⊥l(l為拋物線的準線)于K，則｜PF｜=｜PK｜,
∴｜PA｜+｜PF｜=｜PA｜+｜PK｜,
∴當P點的縱坐標與A點的縱坐標相同時，｜PA｜+｜PK｜最小.此時P點的縱坐標為1，把y=1代入y2=－4x得x=－.
即當P點的坐標為(－，1)時，｜PA｜+｜PB｜最小.
【答案】A
7.拋物線y2=4x的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關系是（ ）
A.m+n=mn B.m+n=4 C.mn=4 D.無法確定
【解析】拋物線y2=4x的焦點為(1，0)，
當焦點弦與拋物線的軸垂直時，m=2,n=2,∴m+n=mn.
當焦點弦與拋物線的軸不垂直時，
設焦點弦所在直線方程為y=k(x－1)(k≠0).
把y=k(x－1)代入y2=4x并整理得k2x2－2（k2+2）x+k2=0.
∴x1·x2=1,∵m=x1+1,n=x2+1,
∴x1=m－1,x2=n－1代入x1x2=1得(m－1)(n－1)=1即m+n=mn.
【答案】A
8.θ是任意實數，則方程x2+y2sinθ=4的曲線不可能是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
【解析】當sinθ∈［－1,0)時，方程x2+y2sinθ=4的曲線是雙曲線；sinθ=0時，方程的曲線是兩條平行直線；sinθ∈(0,1)時，方程的曲線是橢圓；sinθ=1時，方程的曲線是圓.
【答案】C
9.已知橢圓=1的一條準線方程為y=8，則實數t的值為（ ）
A.7或－7 B.4或12 C.1或15 D.0
【解析】由題設y－t=±7，∴y=t±7=8,∴t=1或15.
【答案】C
10.雙曲線=1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是（ ）
A.（－∞,0） B.(－12,0) C.(－3,0) D.(－60,－12)
【解析】∵a2=4,b2=－k,∴c2=4－k.
∵e∈(1,2),∴∈(1,4),∴k∈(－12,0).
【答案】B
11.以=－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為（ ）
A.=1 B. =1
C.=1 D. =1
【解析】雙曲線=1的焦點坐標為（0，±4），頂點坐標為（0，±）.∴橢圓的頂點坐標為（0，±4），焦點坐標為（0，±）.∴在橢圓中a=4,c=,∴b2=4.∴橢圓的方程為=1.
【答案】D
5.過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）
A.2a B. C.4a D.
【解析】當直線平行于x軸時，由于F點的縱坐標為,因此xP=－,xQ=,
∴=4a.
【答案】C
12.拋物線y=x2到直線 2x－y=4距離最近的點的坐標是（ ）
A. B.（1，1） C. D.（2，4）
【解析】設P（x,y）為拋物線y=x2上任一點，則P到直線的距離
d=,
∴x=1時，d取最小值，此時P（1，1）.
【答案】B
13.與=1（a＞b＞0）的漸近線（ ）
A.重合 B.不重合，但關于x軸對稱
C.不重合，但關于y軸對稱 D.不重合，但關于直線y=x對稱
【解析】雙曲線的漸近線方程為y=±=1的漸近線方程y=±x、y=x與y=x關于直線y=x對稱，y=－x與y=－x關于直線y=x對稱.
【答案】D
14.動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過定點（ ）
A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，－2）
【解析】直線x+2=0為拋物線y2=8x的準線，由于動圓恒與直線x+2=0相切，所以圓心到直線的距離等于圓心到所過定點的距離，由拋物線定義可知，定點為拋物線的焦點（2，0）.
【答案】B
15.設P是橢圓=1上一點，F1、F2是橢圓的兩個焦點，則cosF1PF2的最小值是（ ）
A.－ B.－1 C. D.
【解析】設P（x0,y0）,則－3≤x0≤3.
cosF1PF2=
∴當x0=0時，cosF1PF2最小，最小值為－.
【答案】A
二、填空題
16.已知點A（0，1）是橢圓x2+4y2=4上的一點，P是橢圓上的動點，當弦AP的長度最大時，則點P的坐標是_________.
【解析】∵點P在橢圓上，∴設點P的坐標為(2cosθ,sinθ)，
則｜AP｜=.∴當sinθ=－時，
｜AP｜最大，此時P的坐標為(±).
【答案】(±)
17.已知F1、F2是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的兩個焦點，PQ是經過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦.如果∠PF2Q=90°,則雙曲線的離心率是_________.
【解析】由｜PF2｜=｜QF2｜,∠PF2Q=90°,知｜PF1｜=｜F1F2｜即
,
∴e2－2e－1=0,e=1+或e=1－（舍）.
【答案】1+
18.正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2=72x上，這個正三角形的邊長是 .
【解析】設正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上，A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y12=72x1、y22=72x2.由|OA|=|OB|，得x12+y12=x22+y22，x12+2px1-x22-2px2=0.
∴x1=x2.∴線段AB關于x軸對稱.∴∠AOx=30°，=tan30°=.
∵x1=，∴y1=72.∴|AB|=144.
【答案】144
19.點P（8，1）平分雙曲線x2－4y2=4的一條弦，則這條弦所在的直線方程是______.
【解析】設弦的兩端點分別為A(x1,y1)、B（x2,y2），則x12－4y12=4,x22－4y22=4，兩式相減得(x1+x2)(x1－x2)－4(y1+y2)·(y1－y2)=0.∵AB的中點為P（8，1），
∴x1+x2=16,y1+y2=2,∴=2.
∴直線AB的方程為y－1=2(x－8),即2x－y－15=0.
【答案】2x－y－15=0
三、解答題
20.拋物線y2=2px的焦點弦AB的中點為M，A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N.求證：
（1）A、O、D三點共線，B、O、C三點共線；
（2）FN⊥AB（F為拋物線的焦點）.
【證明】（1）設A（x1,y1）、B(x2,y2)、中點M（x0,y0），焦點F的坐標是（,0）.
由得ky2－2py－kp2=0.
∴A、B、M在準線上的射影依次為C、D、N，
∴C(－,y1)、D(－,y2)、N(－,y0).
∵,
由ky2－2py－kp2=0
得y1y2==－p2,
∴kOA=kOD,∴A、O、D三點共線.同理可證B、O、C三點共線.
（2）kFN=,當x1=x2時，顯然FN⊥AB；當x1≠x2時，kAB=
,∴kFN·kAB=－1.∴FN⊥AB.綜上所述知FN⊥AB成立.
第1節 橢圓及其標準方程
撰寫：劉一博 審核：冬焱
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
1. 理解橢圓的定義 明確焦點、焦距的概念
2. 熟練掌握橢圓的標準方程，會根據所給的條件畫出橢圓的草圖并確定橢圓的標準方程
3. 能由橢圓定義推導橢圓的方程
4. 能正確運用橢圓的定義與標準方程解題；
5. 學會用待定系數法與定義法求曲線的方程
6. 掌握轉移法（代換法，中間變量法，相關點法）求動點軌跡方程的方法與解決橢圓有關問題
二、重點與難點
1．重點是橢圓的定義和標準方程；用待定系數法與定義法求曲線的方程運用中間變量法求動點的軌跡
2．橢圓標準方程的推導; 待定系數法 運用中間變量法求動點的軌跡
三、本節知識理解
1.學法點撥
1．認真理解和掌握好有關平行、垂直、夾角、距離等基礎知識、基本方法及基本問題．
2．認真掌握有關對稱的四種基本類型問題的解法．即：1°點關于點的對稱問題；2°直線關于點的對稱問題；3°點關于直線的對稱問題；4°直線關于直線的對稱問題．
3．在由兩直線的位置關系確定有關字母的值或討論直線Ax+By+C=0中各系數間的關系和直線所在直角坐標系中的象限等問題時，要充分利用分類討論、數形結合、特殊值檢驗等基本的數學方法和思想．
4．平面解析幾何的核心是坐標法。它需要運用運動變化的觀點，運用代數的方法研究幾何問題，因此解析幾何問題無論從知識上還是研究方法上都要注意與函數、方程、不等式、三角及平面幾何內容相聯系，本部分內容在這方面體現的也很明顯．
5．兩條直線的位置關系是解析幾何的基礎。同時本部分內容所涉及的“數形結合”對稱”化歸”等方法也是解析幾何的重要思想方法．因此對于本部分內容要切實學好、學透、用活．
6．在歷年的高考試題中，本部分內容也是常考問題的熱點之一。多以選擇題、填空題形式出現，也與圓錐曲線內容及代數有關知識結合在一起命題，成為試卷中的中等題和難題
3.要點詮釋
精題精講
例1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
⑴兩個焦點坐標分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離
之和等于10；
(2)兩個焦點坐標分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.
(3)兩個焦點坐標分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經過點(5，0).
(4)與橢圓有相同焦點，且過點（,）
解：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為
　　　　
所以所求橢圓標準方程為
選題意圖：該題訓練焦點在不同坐標軸上的橢圓標準方程，考查關系掌握情況.
解：(1)∵橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為：

∵，2c=6.
∴
∴
∴所求橢圓的方程為：.
(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為
.
∴
∴所求橢圓方程為：
因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為

由橢圓的定義知，
＋
　
　又
所以所求標準方程為
另法：∵
∴可設所求方程，后將點（,）的坐標代入可求出，從而求出橢圓方程
點評：題（１）根據定義求 若將焦點改為(0,-4)、（0，4）其結果如何；
題（２）由學生的思考與練習，總結有兩種求法：其一由定義求出長軸與短軸長，根據條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關系，設出橢圓方程，由點在橢圓上的條件，用待定系數的辦法得出方程
例2求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)焦點在軸上，且經過點(2，0)和點(0，1).
(2)焦點在軸上，與軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.
(3)已知橢圓經過兩點（，求橢圓的標準方程
選題意圖：訓練待定系數法求方程的思想方法，考查橢圓上離焦點最近的點為長軸一端點等基本知識.
解：(1)因為橢圓的焦點在軸上，所以可設它的標準方程為：
∵橢圓經過點(2，0)和(0，1)
∴
故所求橢圓的標準方程為
（２）∵橢圓的焦點在軸上，所以可設它的標準方程為：
∵Ｐ（０，－１０）在橢圓上，∴＝１０.
又∵P到它較近的一焦點的距離等于2，
∴－c－（－１０）＝２，故c=8.
∴.
∴所求橢圓的標準方程是.
(3)解：設橢圓的標準方程
則有 ，解得
所以，所求橢圓的標準方程為
說明：(1)標準方程決定的橢圓中，與坐標軸的交點
橫坐標(或縱坐標)實際即為與的值.
(2)后面的學習中將證明橢圓長軸端點距焦點最遠
或最近.
例3已知B，C是兩個定點，｜BC｜＝6，且的
周長等于16，求頂點A的軌跡方程
解：以BC所在直線為軸，BC中垂線為軸建立直角坐標系，設頂點，根據已知條件得|AB|+|AC|=10
再根據橢圓定義得
所以頂點A的軌跡方程為
（≠0）（特別強調檢驗)
因為A為△ABC的頂點，故點A不在軸上，所以方程中要注明≠0的條件
例4如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PPˊ，求線段PPˊ的中點M的軌跡（若M分 PPˊ之比為，求點M的軌跡）
解：（1）當M是線段PPˊ的中點時，設動點的坐標為，則的坐標為
因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，
所以有 ，即
所以點的軌跡是橢圓，方程是
（2）當M分 PPˊ之比為時，設動點的坐標為，則的坐標為
因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，
所以有 ，即
所以點的軌跡是橢圓，方程是
例5已知軸上的一定點A（1,0），Q為橢圓上的動點，求AQ中點M的軌跡方程
解：設動點的坐標為，則的坐標為
因為點為橢圓上的點，
所以有 ，即
所以點的軌跡方程是
例6長度為5的線段AB的兩個端點A、B分別在軸、軸上滑動，點M在線段AB上，且，求點M的軌跡方程
解：設動點的坐標為，則的坐標為 的坐標為
因為，
所以有 ，即
所以點的軌跡方程是
例7（1）已知定圓，動圓M和已知圓內切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程
（2）已知兩圓，動圓在圓的內部且和圓內切，和圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程。
分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用數學符號表示此結論：
上式可以變形為，又因為，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓

解 已知圓可化為：
圓心Q(3，0)，，所以P在定圓內 設動圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內切，所以，
即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以，，故動圓圓心M的軌跡方程是：
例8.點P是橢圓=1上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積等于8，求點P的坐標.
【解】 設點P的坐標為(x,y),
∵c2=a2－b2=25－9=16,∴2c=8.
∵S=8,∴×8×|y|=8,∴y=±2，
把y=±2代入方程：=1，
并解出x得：x=±.
∴點P的坐標為(，2)、(，－2)、(－，2)、(－，－2).
例9.已知橢圓的焦點是F1（－1，0）、F2（1，0），P為橢圓上一點，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項.
(1)求橢圓的方程；
(2)若點P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2.
【解】 (1)由題設2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又2c=2,∴b＝
∴橢圓的方程為＝1.
（2）設∠F1PF2＝θ，則∠PF2F1＝60°－θ
由正弦定理得：
由等比定理得：
∴,整理得：5sinθ＝（1＋cosθ）
∴故,tanF1PF2＝tanθ＝.
例10.若一個動點P(x,y)到兩個定點A（－1，0），A′（1，0）的距離的和為定值m，試求P點的軌跡方程.
【解】 ∵｜PA｜+｜PA′｜=m,｜AA′｜=2,｜PA｜+｜PA′｜≥｜AA′｜，
∴m≥2.
（1）當m=2時，P點的軌跡就是線段AA′.
∴其方程為y=0(－1≤x≤1).
(2)當m＞2時，由橢圓的定義知，點P的軌跡是以A、A′為焦點的橢圓.
∵2c=2,2a=m,
∴a=,c=1,b2=a2－c2=－1
∴點P的軌跡方程為+=1.
基礎達標
1.橢圓2x2+3y2=12的兩焦點之間的距離是（ ）
A.2 B. C. D.2
【解析】 把橢圓的方程寫成標準形式=1,則c2=6－4=2,∴2c=2.
【答案】 D
2.橢圓=1的焦距等于2，則m的值為（ ）
A.5或3 B.8 C.5 D.16
【解析】 當焦點在x軸上時，c2=m－4，即1=m－4,∴m=5.當焦點在y軸上時，c2=4－m，即1=4－m,∴m=3.
【答案】 A
3.若△ABC的兩個頂點坐標A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為（ ）
A.=1 B.=1(y≠0)
C. =1(y≠0) D. =1(y≠0)
【解析】 ∵｜AB｜=8,∴｜CA｜+｜CB｜=10,∴頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓去掉與焦點所在直線的交點（∵C與A、B不共線），并且2a=10,2c=8,∴b=3.∴頂點C的軌跡方程為=1(y≠0).
【答案】 D
4.過點（－3，2）且與=1有相同焦點的橢圓的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【解析】 ∵c2=9－4=5,∴設橢圓的方程為=1,
∵點（－3,2）在橢圓上，∴=1,a2=15,
∴所求橢圓的方程為：=1.
【答案】 A
5.若α∈(0,)，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是（ ）
A.(0,) B.(0,) C.(,) D.［,)
【解析】 ∵橢圓的焦點在y軸上，∴sinα＞cosα,
∵α∈(0, ),∴＜α＜.
【答案】 C
6.若方程ax2＋by2＝c（ab≠0，c＞0）表示焦點在x軸上的橢圓，則（ ）
A.a＞b＞0 B.a＞0,b＞0 C.b＞a＞0 D.＞
【解析】 將原方程整理成標準形式=1
則應滿足＞＞0，又c＞0，
∴b＞a＞0.
【答案】 C
7.已知圓x2＋y2＝1，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，則線段PP′的中點M的軌跡方程是（ ）
A.4x2+y2=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1
【解析】 設點M的坐標為(x,y)，點P的坐標為(x0,y0)，則x=,y=y0.
∵P(x0,y0)在圓x2+y2=1上，
∴x02+y02=1. ①
將x0=2x,y0=y代入方程①得：4x2+y2=1,即+y2=1.
∴點M的軌跡是一個橢圓４x2＋y2＝1.
【答案】 A
8.△ABC兩個頂點的坐標分別是B（6，0）和C（－6，0），另兩邊AB、AC的斜率的積是－，則頂點A的軌跡方程是（ ）
A.+=1(y≠±6) B.+=1(y≠±6)
C.+=1(x≠±6) D.+=1(x≠±6)
【解析】 設頂點A（x,y),則,
∴頂點A的軌跡方程為+=1(x≠±6).
【答案】 D
9.已知A（0，－1）、B（0，1）兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（ ）
A.+=1(x≠±2) B.+=1(y≠±2)
C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0)
【解析】 ∵2a+2c=6,c=1,∴a=2,b2=3.
∵C點不在y軸上，∴C點的軌跡方程為+=1(y≠±2).
【答案】 B
10.若圓x2+y2=9上每個點的橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的，則所得曲線的方程是（ ）
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+=1
【解析】 圓橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的后，所得曲線為橢圓，且a=3,b=,焦點在x軸上，∴所得曲線的方程為+y2=1.
【答案】 C
11.已知橢圓上一點P與橢圓兩焦點F1、F2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|= .
【解析】兩焦點的坐標分別為F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1⊥PF2得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，∴(|PF1|+|PF2|)2=196，100+2|PF1|·|PF2|=196，|PF1|·|PF2|=48.
【答案】48
12.若線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=60，點M是AB上一點，且|AM|=36，則點M的軌跡方程是 .
【解析】設A（x0，0）、B（0，y0）、M（x，y），則x02+y02=3600，x0=x，y0=y.
∴x2+y2=3600，即.
【答案】
13.已知動圓C和定圓C1：x2+(y-4)2=64內切而和定圓C2：x2+(y+4)2=4外切，設C（x，y），則25x2+9y2= .
【解析】∵圓C與圓C1內切，圓C與圓C2外切，∴|CC1|=8-r，|CC2|=2+r.
∴|CC1|+|CC2|=10(>|C1C2|=8).∴動點C的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓.
∵C1（0，4）、C2（0，-4），a=5，∴b2=25-16=9.
∴動圓圓心C（x，y）滿足.∴25x2+9y2=225.
【答案】225
14.已知F1、F2是平面α內的定點，并且｜F1F2｜=2c（c＞0）,M是α內的動點，且｜MF1｜+｜MF2｜=2a，判斷動點M的軌跡.
【解】 ①當2a＞2c，即a＞c時，動點M到兩定點的距離之和大于兩定點之間的距離，由橢圓的定義知動點M的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓.
②當2a=2c即a=c時，動點M到兩定點F1、F2的距離之和等于線段F1F2的長，所以點M是線段F1F2上的點，所以動點M的軌跡是線段F1F2.
綜上所述，當a>c時，動點的軌跡是橢圓，當a=c時，動點的軌跡是線段.
15.設橢圓=1與坐標軸的交點分別為A、B、C、D，求四邊形ABCD的面積.
【解】 在方程=1中分別令x=0,y=0,
得橢圓與坐標軸的交點分別是(5,0)、(－5,0)、（0，4）、（0，－4）.
∴四邊形ABCD的面積為：4××5×4=40.
16.已知圓A：x2+(y+6)2=400，圓A內一定點B（0，6），圓C過B點且與圓A內切，求圓心C的軌跡方程.
【解】設|CB|=r.∵圓C與圓A內切，圓A的半徑為20，∴兩圓的圓心距|CA|=20-r，|CA|+|CB|=20.∴點C的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓，2a=20，2c=|AB|=12.∴a=10，c=6.∴b=8.∵AB兩點的坐標分別為A（0，-6）、B（0，6），∴C點的軌跡方程為.
綜合發展
第1節 橢圓及其標準方程
撰寫：劉一博 審核：冬焱
三點剖析：
一、教學大綱及考試大綱要求：
1. 理解橢圓的定義 明確焦點、焦距的概念
2. 熟練掌握橢圓的標準方程，會根據所給的條件畫出橢圓的草圖并確定橢圓的標準方程
3. 能由橢圓定義推導橢圓的方程
4. 能正確運用橢圓的定義與標準方程解題；
5. 學會用待定系數法與定義法求曲線的方程
6. 掌握轉移法（代換法，中間變量法，相關點法）求動點軌跡方程的方法與解決橢圓有關問題
二、重點與難點
1．重點是橢圓的定義和標準方程；用待定系數法與定義法求曲線的方程運用中間變量法求動點的軌跡
2．橢圓標準方程的推導; 待定系數法 運用中間變量法求動點的軌跡
三、本節知識理解
1.平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（大于｜F1F2｜）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點；兩個焦點的距離叫做橢圓的焦距.
2.方程(a＞b＞0)和(a＞b＞0)叫做橢圓的標準方程.
3.橢圓的標準方程中a、b、c之間的關系是a2=b2+c2.
4.平面內與兩個定點F1、F2的距離和等于常數2a，當2a＞｜F1F2｜時，動點的軌跡為橢圓；（反過來，橢圓上的點到兩定點的距離和為常數）當2a=｜F1F2｜時，動點的軌跡為線段F1F2（反過來，線段上的點到線段兩端的距離和為線段F1F2的長）.橢圓的標準方程是=1和=1（a＞b＞0）.求橢圓的標準方程，就是求a2、b2的值.焦點所在的坐標軸由x2、y2分母的大小確定.
精題精講
【例1】寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：
⑴兩個焦點坐標分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；
(2)兩個焦點坐標分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點P到兩焦點的距離和為26.
(3)兩個焦點坐標分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經過點(5，0).
(4)與橢圓有相同焦點，且過點（,）
【例2】求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)焦點在軸上，且經過點(2，0)和點(0，1).
(2)焦點在軸上，與軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.
(3)已知橢圓經過兩點（，求橢圓的標準方程
【例3】已知B，C是兩個定點，｜BC｜＝6，且的
周長等于16，求頂點A的軌跡方程
【例4】如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PPˊ，求線段PPˊ的中點M的軌跡（若M分 PPˊ之比為，求點M的軌跡）
【例5】已知軸上的一定點A（1,0），Q為橢圓上的動點，求AQ中點M的軌跡方程
【例6】長度為5的線段AB的兩個端點A、B分別在軸、軸上滑動，點M在線段AB上，且，求點M的軌跡方程
【例7】（1）已知定圓，動圓M和已知圓內切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程
（2）已知兩圓，動圓在圓的內部且和圓內切，和圓相外切，求動圓圓心的軌跡方程。
【例8】.點P是橢圓=1上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積等于8，求點P的坐標.
【例9】已知橢圓的焦點是F1（－1，0）、F2（1，0），P為橢圓上一點，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項.
(1)求橢圓的方程；
(2)若點P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2.
【例10】若一個動點P(x,y)到兩個定點A（－1，0），A′（1，0）的距離的和為定值m，試求P點的軌跡方程.
基礎達標
1.橢圓=1上一點P到兩個焦點的距離的和為（ ）
A.26 B.24 C.2 D.2
2.橢圓=1的焦點坐標是（ ）
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
3.已知橢圓的方程為=1，焦點在x軸上，則m的范圍是（ ）
A.－4≤m≤4 B.－4＜m＜4 C.m＞4或m＜－4 D.0＜m＜4
4.a=6,c=1的橢圓的標準方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.以上都不對
5.橢圓=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ）
A.5 B.6 C.4 D.10
6.方程=1表示橢圓，則α的取值范圍是（ ）
A.－＜α＜0 B.π＜α＜2π
C.2kπ－＜α＜2kπ(k∈Z) D.2kπ+π＜α＜2kπ+2π(k∈Z)
7.已知橢圓過點P(，－4)和點Q(－，3)，則此橢圓的標準方程是（ ）
A.+x2=1 B.+y2=1
C.+y2=1或x2+=1 D.以上都不對
8.已知橢圓的方程是+=1(a＞5)，它的兩個焦點分別為F1、F2，且｜F1F2｜=8，弦AB過F1，則△ABF2的周長為（ ）
A.10 B.20 C.2 D.4
9.橢圓的兩焦點為(－2，0)和(2，0)，且橢圓過點()，則橢圓方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
10.已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，則線段PP′中點M的軌跡是（ ）
A.圓 B.橢圓 C.可能是圓也可能是橢圓 D.以上都有可能
11.點P是橢圓上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積等于4，則P點的坐標是 .
12.若長度為8的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，點M是AB的中點，則點M的軌跡方程是 .
綜合發展
1.橢圓2x2+3y2=12的兩焦點之間的距離是（ ）
A.2 B. C. D.2
2.橢圓=1的焦距等于2，則m的值為（ ）
A.5或3 B.8 C.5 D.16
3.若△ABC的兩個頂點坐標A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為（ ）
A.=1 B.=1(y≠0)
C. =1(y≠0) D. =1(y≠0)
4.過點（－3，2）且與=1有相同焦點的橢圓的方程是（ ）
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
5.若α∈(0,)，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是（ ）
A.(0,) B.(0,) C.(,) D.［,)
6.若方程ax2＋by2＝c（ab≠0，c＞0）表示焦點在x軸上的橢圓，則（ ）
A.a＞b＞0 B.a＞0,b＞0 C.b＞a＞0 D.＞
7.已知圓x2＋y2＝1，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，則線段PP′的中點M的軌跡方程是（ ）
A.4x2+y2=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.x2+=1
8.△ABC兩個頂點的坐標分別是B（6，0）和C（－6，0），另兩邊AB、AC的斜率的積是－，則頂點A的軌跡方程是（ ）
A.+=1(y≠±6) B.+=1(y≠±6)
C.+=1(x≠±6) D.+=1(x≠±6)
9.已知A（0，－1）、B（0，1）兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（ ）
A.+=1(x≠±2) B.+=1(y≠±2)
C.+=1(x≠0) D.+=1(y≠0)
10.若圓x2+y2=9上每個點的橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的，則所得曲線的方程是（ ）
A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1
11.已知橢圓上一點P與橢圓兩焦點F1、F2連線的夾角為直角，則|PF1|·|PF2|= .
12.若線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=60，點M是AB上一點，且|AM|=36，則點M的軌跡方程是 .
13.已知動圓C和定圓C1：x2+(y-4)2=64內切而和定圓C2：x2+(y+4)2=4外切，設C（x，y），則25x2+9y2= .
14.已知F1、F2是平面α內的定點，并且｜F1F2｜=2c（c＞0）,M是α內的動點，且｜MF1｜+｜MF2｜=2a，判斷動點M的軌跡.
15.設橢圓=1與坐標軸的交點分別為A、B、C、D，求四邊形ABCD的面積.
16.已知圓A：x2+(y+6)2=400，圓A內一定點B（0，6），圓C過B點且與圓A內切，求圓心C的軌跡方程.

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