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專題11.4 多邊形及其內角和【十大題型】
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【題型1 多邊形及正多邊形的概念辨析】 1
【題型2 多邊形的不穩定性】 2
【題型3 多邊形的對角線】 3
【題型4 多邊形的內角和】 4
【題型5 多邊形的外角和】 6
【題型6 截角問題】 7
【題型7 多邊形內角和和外角和-平行線】 7
【題型8 多邊形內角和和外角和-角平分線】 8
【題型9 多邊形內角和和外角和的實際應用】 9
【題型10 多邊形內角和和外角和的的綜合應用】 10
【知識點1 多邊形的概念】
平面內，由一些線段 首尾順次相接 所 組成的封閉圖形，叫做多邊形.
【知識點2 正多邊形的概念】
各個角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.
【題型1 多邊形及正多邊形的概念辨析】
【例1】（2022 秦都區校級月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【變式1-1】（2022春 煙臺期中）下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊數是不小于4的自然數；③從一個多邊形（邊數為n）的同一個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成（n﹣2）個三角形；④半圓是扇形，其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-2】（2022 瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊形；④正方形，其中正多邊形的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-3】（2022 肥西縣期末）如圖，下列圖形是多邊形的有　 　（填序號）．
【知識點3 多邊形的不穩定性】
多邊形具有不穩定性.
【題型2 多邊形的不穩定性】
【例2】（2022 瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（　　）
A．三角形的穩定性 B．四邊形的不穩定性
C．兩點之間線段最短 D．兩點確定一條直線
【變式2-1】（2022春 霞山區校級期末）下列圖形中具有穩定性有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式2-2】（2022 長春月考）如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩定性，要把它固定下來，至少要釘上幾根木條，請畫出相應木條所在線段．
【變式2-3】（2022春 浦東新區校級月考）以線段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10為邊作四邊形，可以作（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
【知識點4 多邊形的對角線】
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
從一個n邊形的某個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n-2）個三角形，
共有n（n﹣3）條對角線.
【題型3 多邊形的對角線】
【例3】（2022春 單縣期末）已知從n邊形的一個頂點出發的對角線將該多邊形分成7個三角形，則該多邊形對角線一共有（　　）
A．14條 B．18條 C．20條 D．27條
【變式3-1】（2022 北流市期中）三角形具有穩定性，要使一個四邊形框架穩定不變形，至少需要釘　　根木條．
【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，如圖所示畫出的是四邊形、五邊形、六邊形的所有對角線請回答下列問題：
（1）尋找規律，試用含n的代數式表示n邊形的所有對角線的條數；
（2）求20邊形的所有對角線的條數．
【變式3-3】（2021秋 長春月考）【教材重現】如圖是數學教材第135頁的部分截圖．
在多邊形中，三角形是最基本的圖形．如圖所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形．
數一數每個多邊形中三角形的個數，你能發現什么規律？
在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點，所得到的線段稱為多邊形的對角線．
【問題思考】結合如圖思考，從多邊形的一個頂點出發，可以得到的對角線的數量，并填寫表：
多邊形邊數 四 五 六 … 十二 … n
從一個頂點出發，得到對角線的數量 1條 　　 　　 … 　　 … 　　
【問題探究】n邊形有n個頂點，每個頂點分別連接對角線后，每條對角線重復連接了一次，由此可推導出，n邊形共有 　　條對角線（用含有n的代數式表示）．
【問題拓展】
（1）已知平面上4個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　　條線段．
（2）已知平面上共有15個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　　條線段．
（3）已知平面上共有x個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　 　條線段（用含有x的代數式表示，不必化簡）．
【知識點5 多邊形的內角和】
n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．
【題型4 多邊形的內角和】
【例4】（2022 孝感月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度數．
【變式4-1】（2022 梁園區校級期中）已知n邊形的內角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同學說，θ能取720°；而乙同學說，θ也能取820°，甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數n，若不對，說明理由；
（2）若n邊形變為（n+x）邊形，發現內角和增加了360°，用列方程的方法確定x．
【變式4-2】（2022 西平縣期中）一個多邊形，除一個內角外，其余各內角之和等于2012°，求這個內角的度數及多邊形的邊數．
【變式4-3】（2022春 寶應縣校級月考）小馬虎同學在計算某個多邊形的內角和時得到1840°，老師說他算錯了，于是小馬虎認真地檢查了一遍
（1）若他檢查發現其中一個內角多算了一次，求這個多邊形的邊數是多少？
（2）若他檢查發現漏算了一個內角，求漏算的那個內角是多少度？這個多邊形是幾邊形？
【知識點6 多邊形的外角和】
在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
【題型5 多邊形的外角和】
【例5】（2022 蒼溪縣月考）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的四個外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數．
【變式5-1】（2022 路北區期末）已知，正多邊形的一個外角是30°，則這個正多邊形是（　　）
A．六邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形
【變式5-2】（2022 海口模擬）六邊形的外角和為（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【變式5-3】（2022 河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（　　）
A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小
【題型6 截角問題】
【例6】（2022 驛城區校級期末）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【變式6-1】（2022 安陸市期末）一個四邊形剪去一個角后，它不可能是（　　）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式6-2】（2022春 雨花區校級期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【變式6-3】（2022 懷柔區期末）如圖是一個正方形，把此正方形沿虛線AB剪去一個角，得到一個五邊形，則這個五邊形的周長　　原來正方形的周長．（填“大于”“小于”或“等于”），理由是　 　．
【題型7 多邊形內角和和外角和-平行線】
【例7】（2022春 侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等．
（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度數；
（2）AB與ED有怎樣的位置關系？為什么？
【變式7-1】（2022 平山縣期末）嘉淇在折幸運星時將一張長方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內部有一個正五邊形），則∠1的度數為（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【變式7-2】（2022春 市中區期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝108°，∠C＝82°，M、N分別是AB、BC上的點，將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，若ME∥AD，EN∥DC，則∠E的度數為（　　）
A．88° B．87° C．86° D．85°
【變式7-3】（2022 臨清市三模）如圖，正五邊形ABCDE，點D、E分別在直線m、n上．若m∥n，∠1＝20°，則∠2為（　　）
A．52° B．60° C．58° D．56°
【題型8 多邊形內角和和外角和-角平分線】
【例8】（2022 藁城區二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點P，則∠P的度數是（　　）
A．55° B．56° C．57° D．60°
【變式8-1】（2022 興化市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數為（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【變式8-2】（2022春 蘇州月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分線交于點O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點O2，則∠O2的度數為 　 　．
【變式8-3】（2022春 惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點O，則∠AOG的度數為（　　）
A．144° B．126° C．120° D．108°
【題型9 多邊形內角和和外角和的實際應用】
【例9】（2022春 井研縣期末）如圖，大建從A點出發沿直線前進8米到達B點后向左旋轉的角度為α，再沿直線前進8米，到達點C后，又向左旋轉α角度，照這樣走下去，第一次回到出發地點時，他共走了72米，則每次旋轉的角度α為（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【變式9-1】（2022春 昌平區校級期中）科技館為某機器人編制了一段程序，如果機器人在平地上按圖所示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（　　）
A．12米 B．8米 C．6米 D．不能確定
【變式9-2】（2022 桓臺縣期末）如圖，桐桐從A點出發，前進3m到點B處后向右轉20°，再前進3m到點C處后又向右轉20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發點A時，一共走了（　　）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【變式9-3】（2022 株洲模擬）如圖，若干相同正五邊形排成環狀．圖中已經排好前3個五邊形，還需　　個五邊形完成這一圓環．
【題型10 多邊形內角和和外角和的的綜合應用】
【例10】（2022春 臨汾期末）在五邊形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度數之比為3：5：3：4：3，則∠D的外角等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【變式10-1】（2022春 定陶縣期末）請根據下面x與y的對話解答下列各小題：
x：我和y都是多邊形，我們倆的內角和相加的結果為1440°；
y：x的邊數與我的邊數之比為1：3．
（1）求x與y的外角和相加的度數？
（2）分別求出x與y的邊數？
（3）試求出y共有多少條對角線？
【變式10-2】（2022 富縣月考）一個多邊形的每個內角都相等，每個內角與相鄰外角的差為100°，求這個多邊形內角和的度數和邊數．
【變式10-3】（2022 孝昌縣期中）小明計算一個多邊形的內角和時誤把一個外角加進去了，得其和為2620°．
（1）求這個多加的外角的度數；
（2）求這個多邊形的邊數．
專題11.4 多邊形及其內角和【十大題型】
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【題型1 多邊形及正多邊形的概念辨析】 1
【題型2 多邊形的不穩定性】 3
【題型3 多邊形的對角線】 4
【題型4 多邊形的內角和】 7
【題型5 多邊形的外角和】 9
【題型6 截角問題】 10
【題型7 多邊形內角和和外角和-平行線】 12
【題型8 多邊形內角和和外角和-角平分線】 15
【題型9 多邊形內角和和外角和的實際應用】 18
【題型10 多邊形內角和和外角和的的綜合應用】 20
【知識點1 多邊形的概念】
平面內，由一些線段 首尾順次相接 所 組成的封閉圖形，叫做多邊形.
【知識點2 正多邊形的概念】
各個角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.
【題型1 多邊形及正多邊形的概念辨析】
【例1】（2022 秦都區校級月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【分析】根據多邊形的定義：平面內不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個、第二個、第四個．
【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個、第二個、第四個，共有3個．
故選：A．
【變式1-1】（2022春 煙臺期中）下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊數是不小于4的自然數；③從一個多邊形（邊數為n）的同一個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成（n﹣2）個三角形；④半圓是扇形，其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據多邊形的定義以及弧的定義即可判斷．
【解答】解：①由許多條線段首尾順次連接而成的圖形叫做多邊形，命題錯誤；
②多邊形的邊數是不小于3的自然數，命題錯誤；
③從一個多邊形（邊數為n）的同一個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成（n﹣2）個三角形，命題正確；
④半圓是弧，不是扇形，命題錯誤．
故選：A．
【變式1-2】（2022 瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊形；④正方形，其中正多邊形的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．依據正多邊形的概念進行判斷即可．
【解答】解：①等邊三角形是正多邊形，正確；
②直角三角形不是正多邊形，錯誤；
③平行四邊形不是正多邊形，錯誤；
④正方形是正多邊形，正確．
故選：B．
【變式1-3】（2022 肥西縣期末）如圖，下列圖形是多邊形的有　③④　（填序號）．
【分析】根據多邊形的定義，可得答案．
【解答】解：下列圖形是多邊形的有③④，
故答案為：③④．
【知識點3 多邊形的不穩定性】
多邊形具有不穩定性.
【題型2 多邊形的不穩定性】
【例2】（2022 瀘西縣期末）如圖的伸縮門，其原理是（　　）
A．三角形的穩定性 B．四邊形的不穩定性
C．兩點之間線段最短 D．兩點確定一條直線
【分析】根據四邊形的不穩定性，可得答案．
【解答】解：如圖的伸縮門，其原理是四邊形的不穩定性，
故選：B．
【變式2-1】（2022春 霞山區校級期末）下列圖形中具有穩定性有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據三角形具有穩定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩定性．
【解答】解：根據三角形具有穩定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩定性．顯然（2）、（4）、（5）三個．故選B．
【變式2-2】（2022 長春月考）如圖，一個六邊形木框顯然不具有穩定性，要把它固定下來，至少要釘上幾根木條，請畫出相應木條所在線段．
【分析】三角形具有穩定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條．
【解答】解：如圖所示：
，
至少要定3根木條．
【變式2-3】（2022春 浦東新區校級月考）以線段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10為邊作四邊形，可以作（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
【分析】根據四邊形具有不穩定性，可知四條線段組成的四邊形可有無數種變化．
【解答】解：四條線段組成的四邊形可有無數種變化．
故選：D．
【知識點4 多邊形的對角線】
連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
從一個n邊形的某個頂點出發，分別連接這個點與其余各頂點，可以把一個n邊形分割成（n-2）個三角形，
共有n（n﹣3）條對角線.
【題型3 多邊形的對角線】
【例3】（2022春 單縣期末）已知從n邊形的一個頂點出發的對角線將該多邊形分成7個三角形，則該多邊形對角線一共有（　　）
A．14條 B．18條 C．20條 D．27條
【分析】根據對角線分多邊形成三角形的個數，得出多邊形的邊數，從而求解．
【解答】解：從n邊形的一個頂點可引出（n﹣3）條對角線，得到（n﹣2）個三角形，
所以n﹣2＝7，
解得n＝9，
所以共有0.5×9×（9﹣3）＝27條對角線．
故選：D．
【變式3-1】（2022 北流市期中）三角形具有穩定性，要使一個四邊形框架穩定不變形，至少需要釘　1　根木條．
【分析】根據三角形的穩定性可得答案．
【解答】解：如圖所示：
要使這個木架不變形，他至少還要再釘上1個木條，
故答案為：1
【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，如圖所示畫出的是四邊形、五邊形、六邊形的所有對角線請回答下列問題：
（1）尋找規律，試用含n的代數式表示n邊形的所有對角線的條數；
（2）求20邊形的所有對角線的條數．
【分析】（1）根據三角形以及對角線的概念，不難發現：從一個頂點出發的對角線除了和2邊不能組成三角形外，其余都能組成三角形，故從一個頂點出發的對角線有（n﹣3）條，所以n邊形的所有對角線的條數為；
（2）把n＝20代入（1）的結論即可．
【解答】解：（1）正方形的對角線的條數為：；
五邊形的對角線的條數為：；
六邊形的對角線的條數為：；
..．
n邊形的所有對角線的條數為：；
（2）當n＝20時，170，
即20邊形的所有對角線的條數為170．
【變式3-3】（2021秋 長春月考）【教材重現】如圖是數學教材第135頁的部分截圖．
在多邊形中，三角形是最基本的圖形．如圖所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形．
數一數每個多邊形中三角形的個數，你能發現什么規律？
在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點，所得到的線段稱為多邊形的對角線．
【問題思考】結合如圖思考，從多邊形的一個頂點出發，可以得到的對角線的數量，并填寫表：
多邊形邊數 四 五 六 … 十二 … n
從一個頂點出發，得到對角線的數量 1條 　2　 　3　 … 　9　 … 　n﹣3　
【問題探究】n邊形有n個頂點，每個頂點分別連接對角線后，每條對角線重復連接了一次，由此可推導出，n邊形共有 　n（n﹣3）　條對角線（用含有n的代數式表示）．
【問題拓展】
（1）已知平面上4個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　6　條線段．
（2）已知平面上共有15個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　105　條線段．
（3）已知平面上共有x個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接 　x（x﹣1）　條線段（用含有x的代數式表示，不必化簡）．
【分析】【問題思考】利用圖象法解決問題即可；
【問題探究】利用規律解決問題即可．
【問題拓展】（1）利用圖象法可得結論；
（2）過一個點可以連接14條線段，15個點，有15×14＝105條；
（3）過一個點可以連接（x﹣1）條線段，x個點，有x（x﹣1）條．
【解答】解：【問題思考】從一個頂點出發，五邊形有2條對角線，六邊形有3條對角線，十二邊形有9條對角線，n邊形有（n﹣3）條對角線．
故答案為：2，3，9，n﹣3；
【問題探究】n邊形有n個頂點，每個頂點分別連接對角線后，每條對角線重復連接了一次，由此可推導出，n邊形共有n（n﹣3）條對角線．
故答案為：n（n﹣3）；
【問題拓展】（1）已知平面上4個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接4×3＝6條線段．
（2）已知平面上共有15個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接15×14＝105條線段．
（3）已知平面上共有x個點，任意三點不在同一直線上，一共可以連接條線段x（x﹣1）．
故答案為：6，105，x（x﹣1）．
【知識點5 多邊形的內角和】
n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．
【題型4 多邊形的內角和】
【例4】（2022 孝感月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度數．
【分析】由多邊形的內角和公式，即可求得六邊形ABCDEF的內角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度數，繼而求得答案．
【解答】解：∵六邊形ABCDEF的內角和為：180°×（6﹣2）＝720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣400°＝320°，
∴∠G＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝40°．
【變式4-1】（2022 梁園區校級期中）已知n邊形的內角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同學說，θ能取720°；而乙同學說，θ也能取820°，甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數n，若不對，說明理由；
（2）若n邊形變為（n+x）邊形，發現內角和增加了360°，用列方程的方法確定x．
【分析】（1）根據多邊形內角和公式，列出方程求得θ的值，判斷是否為整數即可；
（2）根據題意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．
【解答】解：（1）甲對，乙不對．
理由：∵當θ取720°時，720°＝（n﹣2）×180°，
解得θ＝6；
當θ取820°時，820°＝（n﹣2）×180°，
解得θ；
∵n為整數，
∴θ不能取820°；
（2）依題意得，
（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，
解得x＝2．
【變式4-2】（2022 西平縣期中）一個多邊形，除一個內角外，其余各內角之和等于2012°，求這個內角的度數及多邊形的邊數．
【分析】根據多邊形內角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3）且n為整數），可得：多邊形的內角和一定是180°的倍數，而多邊形的內角一定大于0°，并且小于180°，用2012除以180，根據商和余數的情況，求出這個多邊形的邊數與2的差是多少，即可求出這個多邊形的邊數，再用這個多邊形的內角和減去2012°，求出這個內角的度數是多少即可．
【解答】解：∵2012÷180＝11…32，
∴這個多邊形的邊數與2的差是12，
∴這個多邊形的邊數是：12+2＝14，
∴這個內角的度數是：
180°×12﹣2012°
＝2160°﹣2012°
＝148°
答：這個內角的度數為148°，多邊形的邊數為14．
【變式4-3】（2022春 寶應縣校級月考）小馬虎同學在計算某個多邊形的內角和時得到1840°，老師說他算錯了，于是小馬虎認真地檢查了一遍
（1）若他檢查發現其中一個內角多算了一次，求這個多邊形的邊數是多少？
（2）若他檢查發現漏算了一個內角，求漏算的那個內角是多少度？這個多邊形是幾邊形？
【分析】（1）設這個多邊形的邊數是n，重復計算的內角的度數是x，根據多邊形的內角和公式（n﹣2） 180°可知，多邊形的內角度數是180°的倍數，然后利用數的整除性進行求解
（2）設這個多邊形的邊數是n，沒有計算在內的內角的度數是x，根據多邊形的內角和公式（n﹣2） 180°可知，多邊形的內角度數是180°的倍數，然后利用數的整除性進行求解．
【解答】解：（1）設這個多邊形的邊數是n，重復計算的內角的度數是x，
則（n﹣2） 180°＝1840°﹣x，
n＝12…40°．
故這個多邊形的邊數是12．
（2）設這個多邊形的邊數是n，沒有計算在內的內角的度數是x，
則（n﹣2） 180°＝1840°+x，
n＝12…40°．
180°﹣40°＝140°，
故漏算的那個內角是140度，這個多邊形是十三邊形．
【知識點6 多邊形的外角和】
在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.
【題型5 多邊形的外角和】
【例5】（2022 蒼溪縣月考）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的四個外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數．
【分析】先求出∠A對應的外角度數，根據多邊形的外角和等于360°求出即可．
【解答】解：
∵∠A＝120°，
∴∠5＝180°﹣∠A＝60°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°．
【變式5-1】（2022 路北區期末）已知，正多邊形的一個外角是30°，則這個正多邊形是（　　）
A．六邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形
【分析】多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個外角都相等，且一個外角的度數為30°，由此即可求出答案．
【解答】解：因為360÷30＝12，
則正多邊形的邊數為12．
故選：D．
【變式5-2】（2022 海口模擬）六邊形的外角和為（　　）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【分析】根據多邊形的外角和為360°直接得出答案．
【解答】解：由多邊形的外角和為360°可知，六邊形的外角和為360°，
故選：A．
【變式5-3】（2022 河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數分別為α，β，則正確的是（　　）
A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小
【分析】利用多邊形的外角和都等于360°，即可得出結論．
【解答】解：∵任意多邊形的外角和為360°，
∴α＝β＝360°．
∴α﹣β＝0．
故選：A．
【題型6 截角問題】
【例6】（2022 驛城區校級期末）若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數可能是（　　）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
【分析】實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到．
【解答】解：如圖可知，原來多邊形的邊數可能是5，6，7．
故選：C．
【變式6-1】（2022 安陸市期末）一個四邊形剪去一個角后，它不可能是（　　）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【分析】根據一個四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數即可得出結果．
【解答】解：一個四邊形沿對角線截一刀后得到的多邊形是三角形；
一個四邊形沿平行于邊的直線截一刀后得到的多邊形是四邊形；
一個四邊形沿除上述兩種情況的位置截一刀后得到的多邊形是五邊形；
所以不可能是六邊形，
故選：D．
【變式6-2】（2022春 雨花區校級期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n﹣1）邊形．
【解答】解：當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，
則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形．
故選：A．
【變式6-3】（2022 懷柔區期末）如圖是一個正方形，把此正方形沿虛線AB剪去一個角，得到一個五邊形，則這個五邊形的周長　小于　原來正方形的周長．（填“大于”“小于”或“等于”），理由是　兩點之間線段最短　．
【分析】利用兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短，可以得出結論．
【解答】解：將正方形沿虛線裁去一個角得到五邊形，則這個五邊形的周長小于原來正方形的周長，
理由是兩點之間線段最短．
故答案為：小于；兩點之間線段最短．
【題型7 多邊形內角和和外角和-平行線】
【例7】（2022春 侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等．
（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度數；
（2）AB與ED有怎樣的位置關系？為什么？
【分析】（1）由于六邊形的內角和為720°，然后利用六邊形ABCDEF的內角都相等得到每個內角的度數為120°，而∠1＝60°，四邊形ABCD的內角和為360°，由此即可分別求出∠ADC的度數；
（2）四邊形ABCD的內角和為360°，求出∠ADC的度數，進一步求出∠EDA的度數，利用平行線的判定方法即可求解．
【解答】解：（1）六邊形的內角和為：（6﹣2）×180°＝720°，
∵六邊形ABCDEF的內角都相等，
∴每個內角的度數為：720°÷6＝120°，
又∵∠1＝60°，四邊形ABCD的內角和為360°，
∴∠CDA＝360°﹣∠DAB﹣∠B﹣∠C＝360°﹣60°﹣120°﹣120°＝60°；
（2）AB∥ED，
理由如下：
∵∠CDA＝60°，∠EDC＝120°，
∴∠EDA＝120°﹣∠CDA＝120°﹣60°＝60°，
∴∠EDA＝∠1＝60°，
∴AB∥ED．
【變式7-1】（2022 平山縣期末）嘉淇在折幸運星時將一張長方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內部有一個正五邊形），則∠1的度數為（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【分析】根據五邊形的內角和是540°可得∠BAC的度數，再利用角的和差解決此題．
【解答】解：如圖，
由題意得：多邊形ABDEC是正五邊形，
∴∠BAC＝∠ABD108°，
∠ABC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠1＝108°﹣36°＝72°．
故選：D．
【變式7-2】（2022春 市中區期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝108°，∠C＝82°，M、N分別是AB、BC上的點，將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，若ME∥AD，EN∥DC，則∠E的度數為（　　）
A．88° B．87° C．86° D．85°
【分析】根據平行線的性質得∠BME＝∠A＝108°，∠ENB＝∠C＝82°，再利用四邊形內角和定理可得答案．
【解答】解：∵ME∥AD，
∴∠BME＝∠A＝108°，
∵NE∥CD，
∴∠ENB＝∠C＝82°，
∵將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，
∴∠B＝∠E，
∴∠E＝[360°﹣（∠EMB+∠ENB）]÷2＝（360°﹣190°）÷2＝85°，
故選：D．
【變式7-3】（2022 臨清市三模）如圖，正五邊形ABCDE，點D、E分別在直線m、n上．若m∥n，∠1＝20°，則∠2為（　　）
A．52° B．60° C．58° D．56°
【分析】先根據五邊形的內角和求得每個內角度數，在計算∠GED的度數，根據平行線計算∠HDE，接著計算∠CDH，最后根據三角形內角和計算得∠CHD的度數，從而得∠2度數．
【解答】解：如圖：
直線m交AB 于G，直線n交BC于H，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠C＝∠AED＝∠CDE108°，
∵∠1＝20°，
∴∠DEG＝∠AED﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，
∵m∥n，
∴∠HDE＝180°﹣∠GED＝180°﹣88°＝92°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝108°﹣92°＝16°，
在△CDH中，
∠CHD＝180°﹣∠CDH﹣∠C
＝180°﹣16°﹣108°
＝56°，
∴∠2＝∠CHD＝56°，
故選：D．
【題型8 多邊形內角和和外角和-角平分線】
【例8】（2022 藁城區二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點P，則∠P的度數是（　　）
A．55° B．56° C．57° D．60°
【分析】根據多邊形的外角和定理可得∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，再根據鄰補角的性質可得∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°，可得∠AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4，進而求出∠EPF+∠EFP的度數，再求出∠P的度數即可．
【解答】解：∵∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°，
∴AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4＝248°，
∵分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點P，
∴∠EPF+∠EFP（∠AFE+∠DEF）＝124°，
∴∠P＝180°﹣（∠EPF+∠EFP）
＝180°﹣124°
＝56°，
故選：B．
【變式8-1】（2022 興化市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，則∠BOD的度數為（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】根據角平分線的定義得出∠ADOADC，∠ABOABC，根據∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°求出∠ABC+∠ADC＝150°，求出∠ADO+∠ABO＝75°，根據四邊形的內角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵∠ABC與∠ADC的平分線交于點O，
∴∠ADOADC，∠ABOABC，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝150°，∠C＝60°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
∴∠ADO+∠ABO°＝75°，
∴∠BOD＝360°﹣∠A﹣（∠ABO+∠ADO）＝360°﹣150°﹣75°＝135°，
故選：D．
【變式8-2】（2022春 蘇州月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分線交于點O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點O2，則∠O2的度數為 　142.5°　．
【分析】根據四邊形的內角和為360°可得∠ACD+∠BCD＝150°，再根據角平分線的定義可得∠CDO2+∠DCO2＝37.5°，再根據內角和定理可得答案．
【解答】解：∵四邊形的內角和是360°，∠A+∠B＝210°，
∴∠ACD+∠BCD＝150°，
∵∠ADC、∠BCD的平分線交于點O1，∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點O2，
∴∠CDO2∠CDO1∠ADC，∠DCO2∠DCO1∠BCD，
∴∠CDO2+∠DCO2（∠ADC+∠BCD）＝37.5°，
∴∠O2＝180°﹣37.5°＝142.5°．
故答案為：142.5°．
【變式8-3】（2022春 惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點O，則∠AOG的度數為（　　）
A．144° B．126° C．120° D．108°
【分析】欲求∠AOG，可求∠AOC，則需求∠BCO、∠OAB、∠B．因為五邊形ABCDE是正五邊形，所以∠EAB＝∠E＝∠BCD＝108°．又因為AO平分∠EAB，CG平分∠DCF，所以可求得∠OAB＝54°，∠BCG＝108°144°．
【解答】解：∵任意多邊形的外角和等于360°，
∴∠DCF＝360°÷5＝72°．
∴這個正五邊形的每個內角為180°﹣72°＝108°．
∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°．
又∵AO平分∠EAB，
∴∠OAB．
又∵CG平分∠DCF，
∴∠DCG．
∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°．
∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°．
∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°．
故選：B．
【題型9 多邊形內角和和外角和的實際應用】
【例9】（2022春 井研縣期末）如圖，大建從A點出發沿直線前進8米到達B點后向左旋轉的角度為α，再沿直線前進8米，到達點C后，又向左旋轉α角度，照這樣走下去，第一次回到出發地點時，他共走了72米，則每次旋轉的角度α為（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】根據多邊形的外角的定義解決此題．
【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋轉的角度α＝40°．
故選：B．
【變式9-1】（2022春 昌平區校級期中）科技館為某機器人編制了一段程序，如果機器人在平地上按圖所示的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為（　　）
A．12米 B．8米 C．6米 D．不能確定
【分析】根據正多邊形外角和等于360°即可求解．
【解答】解：由程序圖知：機器人走過的圖形為正多邊形，且外角為60°，
故邊數＝360°÷60°＝6．
∴走過的路程＝6×1＝6米
故選：C．
【變式9-2】（2022 桓臺縣期末）如圖，桐桐從A點出發，前進3m到點B處后向右轉20°，再前進3m到點C處后又向右轉20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發點A時，一共走了（　　）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【分析】根據多邊形的外角和及每一個外角的度數，可求出多邊形的邊數，再根據題意求出正多邊形的周長即可．
【解答】解：由題意可知，當她第一次回到出發點A時，所走過的圖形是一個正多邊形，
由于正多邊形的外角和是360°，且每一個外角為20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一個正18邊形，
因此所走的路程為18×3＝54（m），
故選：C．
【變式9-3】（2022 株洲模擬）如圖，若干相同正五邊形排成環狀．圖中已經排好前3個五邊形，還需　7　個五邊形完成這一圓環．
【分析】延長正五邊形的相鄰兩邊交于圓心，求得該圓心角的度數后，用360°除以該圓心角的度數即可得到正五邊形的個數，減去3后即可得到本題答案．
【解答】解：延長正五邊形的相鄰兩邊，交于圓心，
∵正五邊形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延長正五邊形的相鄰兩邊圍成的角的度數為：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圓環需要10個正五邊形，
故排成圓環還需7個五邊形．
故答案為7．
【題型10 多邊形內角和和外角和的的綜合應用】
【例10】（2022春 臨汾期末）在五邊形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度數之比為3：5：3：4：3，則∠D的外角等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】設∠A＝3x°，根據四邊形內角和為360°即可得出關于x的一元一次方程，解方程即可得出x的值，將其代入∠D中，再結合內外角之和為180°即可得出結論．
【解答】解：設∠A＝3x°，則∠B＝5x°，∠C＝3x°，∠D＝4x°，∠E＝3x°，
∴（3x°+5x°+3x°+4x°+3x°）＝540°，
解得：x＝30．
∴∠D＝4×30°＝120°．
∵180°﹣120°＝60°，
∴∠D的外角等于60°．
故選：A．
【變式10-1】（2022春 定陶縣期末）請根據下面x與y的對話解答下列各小題：
x：我和y都是多邊形，我們倆的內角和相加的結果為1440°；
y：x的邊數與我的邊數之比為1：3．
（1）求x與y的外角和相加的度數？
（2）分別求出x與y的邊數？
（3）試求出y共有多少條對角線？
【分析】（1）根據多邊形的外角和定理可得多邊形的外角和為360°，進而可得答案；
（2）設x的邊數為n，y的邊數為3n，根據多邊形的內角和定理結合題意可得方程180（n﹣2）+180（3n﹣2）＝1440，解出x的值，進而可得n的值，然后可得答案；
（3）根據求多邊形的對角線的公式即可得到結果．
【解答】解：（1）360°+360°＝720°；
（2）設x的邊數為n，y的邊數為3n，由題意得：
180（n﹣2）+180（3n﹣2）＝1440，
解得：n＝3，
∴3n＝9，
∴x與y的邊數分別為3和9；
（3）9×（9﹣3）＝27條，
答：y共有27條對角線．
【變式10-2】（2022 富縣月考）一個多邊形的每個內角都相等，每個內角與相鄰外角的差為100°，求這個多邊形內角和的度數和邊數．
【分析】設這個多邊形的內角為n°，則根據題意列出方程求出n的值，再根據多邊形的外角和等于360度和多邊形的內角和公式求出多邊形的邊數和內角和．
【解答】解：設這個多邊形的內角為n°，則根據題意可得：
n﹣（180﹣n）＝100，
解得：n＝140．
故多邊形的外角度數為：180﹣140＝40°，
∵多邊形的外角和等于360度，
∴這個多邊形的邊數為：360°÷40°＝9，
內角和為：（9﹣2）×180°＝1260°．
故這個多邊形的內角和度數為1260°，邊數為9．
【變式10-3】（2022 孝昌縣期中）小明計算一個多邊形的內角和時誤把一個外角加進去了，得其和為2620°．
（1）求這個多加的外角的度數；
（2）求這個多邊形的邊數．
【分析】根據多邊形的內角和公式（n﹣2） 180°可知，多邊形的內角和是180°的倍數，然后求出多邊形的邊數以及多加的外角的度數即可得解．
【解答】解：設多邊形的邊數為n，多加的外角度數為α，則
（n﹣2） 180°＝2620°﹣α，
∵2620°＝14×180°+100°，內角和應是180°的倍數，
∴小明多加的一個外角為100°，
∴這是14+2＝16邊形的內角和．
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