資源簡介

《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊簡介
一、教科書內容安排
?　　《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級上冊包括全等三角形，軸對稱，實數，一次函數，整式的乘除與因式分解五章內容。
?　　本書供義務教育八年級上學期使用，全書需約62課時，具體分配如下：
?　　第11章? 全等三角形?? ????????????????????????????????約11課時
?　　第12章? 軸對稱?????????????????? ????????????????????約13課時
?　　第13章? 實數????????????????????????????? ???????????約8課時
?　　第14章?? 一次函數???? ???????????????????????????????約17課時
?　　第15章? 整式的乘除與因式分解?????? ??????????????????約13課時
?　“全等三角形”一章首先讓學生認識形狀、大小相同的圖形，給出全等三角形的概念，然后讓學生探索兩個三角形全等的條件，并運用有關結論進行證明，最后掌握角的平分線的性質。
?　　“軸對稱”一章首先讓學生認識軸對稱，探索它的性質。然后讓學生能夠按要求作出簡單圖形經過軸對稱后的圖形，從而能利用軸對稱進行圖案設計。在此基礎上，學習等腰三角形的有關概念和性質。這樣，學生就可以從軸對稱的角度把握等腰三角形的有關內容。
?　　“實數”一章首先讓學生了解算術平方根、平方根的概念，會用平方運算求某些非負數的算術平方根、平方根。然后讓學生了解立方根的概念，會用立方運算求某些數的立方根。最后讓學生了解無理數和實數的概念。
?　　我們生活在變化的世界中，時間推移、人口增長、財富積累，都是變化的例子。函數就是描述這些變化的一種數學工具。通過分析實際問題中的變量關系，就得到了實際問題的一種新的數學模型，并能利用它解決非常廣泛的問題。對于函數的內容，本套教科書是分散安排的，本冊安排一次函數一章，八年級下冊安排反比例函數，九年級下冊安排二次函數、銳角三角函數。這樣安排可以使學生不斷加深對函數思想的理解。在本冊“一次函數”一章，首先讓學生探索具體問題中的數量關系和變化規律，了解常量，變量的意義，了解函數的概念和三種表示方法。在此基礎上，再來學習一次函數的內容。在“一次函數”一章，專門安排“用函數觀點看方程（組）與不等式”一節，分別探討一次函數與一元一次方程，一次函數與一元一次不等式，一次函數與二元一次方程（組）之間的關系。由此可以看出本章在全套教科書中承上啟下的作用。最后安排“課題學習? 選擇方案”。
?　　學生已經知道，可以用字母表示數，用含有字母的式子表示實際問題中的數量關系。對整式的進一步討論，將使學生能夠解決更多與數量關系有關的問題，加深對“從數到式”這個由具體到抽象的過程的認識。在“整式的乘除與因式分解”一章，首先讓學生學會簡單的整式乘除運算。在此基礎上，讓學生了解因式分解的概念，會用提公因式法，公式法分解因式。這些內容為以后內容，特別是下一章分式的學習作好了準備。
?　　二、本書編寫特點
?　　（一）加強與實際的聯系
?　　1．從實際出發引入有關內容
?　　在“全等三角形”一章，教科書從實際例子引入全等形的概念，并讓學生舉出一些例子。在我們的周圍，經常可以看到形狀，大小相同的圖形，這樣做既可以使學生易于理解相關概念，也可以調動他們學習的積極性。又如，從分析平分角的儀器的原理引入角的平分線的畫法。再如，通過確定集貿市場的位置的問題引出“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的結論，使學生看到理論來自實際的需要。
?　　從自然景觀到微型模型，從建筑物到藝術作品，甚至日常生活用品，都可以找到軸對稱的例子，在“軸對稱”一章，教科書從實際出發引入軸對稱、軸對稱變換，使學生具體感受。又如，從海上救生問題引入“等角對等邊”的結論。再如，借助將兩個含30°角的三角尺擺放在一起的圖形，找到直角三角形中30°角所對的直角邊與斜邊之間的數量關系。
?　　在“實數”一章，教科書從實際問題（抽象出的數學問題是已知正方形的面積求邊長）出發介紹算術平方根，給出算術平方根的概念和它的符號表示。通過探究“將兩個面積的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，并求這個大正方形的邊長”引出；等等。
?　　在“一次函數”一章，教科書通過勻速行駛的汽車的行駛里程隨時間的變化而變化，電影院的票房收入隨售出票數的變化而變化，彈簧的長度隨懸掛重物的質量的變化而變化等實例引入變量、常量以及函數的概念。用列表法、圖象法表示函數也是結合中國人口統計表、心電圖說明的。正比例函數、一次函數則分別由燕鷗飛行、氣溫變化等問題引入。這樣安排的目的是使學生通過簡單實例了解變量、常量的意義，結合實例了解函數的概念和三種表示方法，結合具體情境體會一次函數的意義。
?　　在“整式的乘除與因式分解”一章，整式的運算是結合實際例子引入的。也是類似處理的，例如，由計算機處理運算問題引入同底數冪的乘法，由連鎖店銷售收入的計算問題引出單項式與多項式的乘法，由計算機存儲問題引入同底數冪的除法，由木星的質量與地球質量的比較引入單項式的除法等等。
?　　總之，本冊教科書各章都關注從具體的問題情境中抽象出數學問題，以有利于學生理解相關的數學內容。
?　　2．運用有關內容解決實際問題
?　　在“全等三角形”一章，用三角形全等說明實際測量方法的道理，例如，測量池塘兩端的距離，測量河兩岸相對兩點的距離，用卡鉗測量工件的內槽寬。還安排了利用三角形全等測量旗桿高度的數學活動。
?　　在“軸對稱”一章，則在學完軸對稱的有關知識以后，讓學生利用軸對稱設計圖案。在這一章，還運用特殊三角形的性質解決實際問題，例如，用等腰三角形解決求繩長問題，用等邊三角形解決測量中的問題。
?　　在“一次函數”一章，讓學生用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系，例如，運用函數分析耗油量與行駛里程的關系，水位隨時間的變化，以及運費、上網費。在這一章，還注重從圖象分析有關信息。
?　　總之，各章都注重讓學生運用所學知識解決實際問題，加深對所學內容的理解。
?　　（二）留給學生思考、探索的空間
?　　本冊內容與七年級兩冊相比有所加深，各章都注重讓學生經歷探索知識的過程。
?　編寫“全等三角形”一章時，在“三角形全等的判定”一節設計了8個探究，讓學生經歷三角形全等條件的探索過程，突出體現新教材的設計思想。首先讓學生探索兩個三角形滿足三條邊對應相等，三個角對應相等這六個條件中的一個或兩個，兩個三角形是否一定全等。然后讓學生探索兩個三角形滿足上述六個條件中的三個，兩個三角形是否一定全等，并按如下的順序展開：
?　　（1）三邊對應相等；
?　　（2）兩邊及其夾角對應相等；
?　　（3）兩邊及其中一邊所對的角對應相等；
?　　（4）兩角和它們的夾邊對應相等；
? 　（5）兩角和其中一個角的對邊對應相等；
?　　（6）三個角對應相等。
?　　總的發展脈絡是三邊，兩邊一角（包括（2），（3）兩種情況），一邊兩角（包括（4），（5）兩種情況），三個角，這樣學生容易把握探索的過程。這樣的處理也與先給出可判定全等的情況，再給出不一定能判定全等的情況的處理不同，盡量排除人為安排的因素，呈現更為自然。最后讓學生將三角形全等的條件運用于直角三角形，討論得出直角三角形全等的條件。其中，斜邊和一條直角邊對應相等不能運用三角形全等的條件，又需要學生進一步加以實驗探索。
?　　在“軸對稱”一章，與軸對稱有關的性質是讓學生通過觀察、探究得到的。對于關于坐標軸對稱的點的坐標的關系，教科書是通過讓學生畫出一些已知點及其對稱點，確定對稱點的坐標，比較每對對稱點的坐標得到的。對于等腰三角形的性質，則是讓學生把等腰三角形適當對折，找出其中重合的線段和角，自己去發現有關的結論。
?　　在“實數”一章，，增加了讓學生通過探索活動歸納得出結論的過程。例如在討論數的立方根的特點時，教科書首先設置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學生計算一些具體的正數、負數和0的立方根，尋找它們各自的特點，通過學生討論交流，歸納得出“正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數”的結論，培養了學生的探究能力和創新意識。
?　　在“一次函數”一章，先讓學生思考反映不同事物變化過程的一些問題，再給出變量，常量的概念。不僅讓學生通過式子體會變量之間的聯系，而且讓學生觀察中國人口統計表、心電圖認識這種聯系，再給出函數的概念。對于函數的三種表示方法的比較，教科書沒有直接給出，而是提出一個問題，讓學生結合例子自己思考。而一次函數的概念和性質則分別通過列出一些函數的解析式，畫出一些一次函數的圖象歸納得出。
?　在“整式的乘除與因式分解”一章，同底數冪的乘法都是通過一些具體計算進而發現規律的。教科書讓學生將多項式的乘法法則運用到某些特殊形式的多項式相乘，自己發現規律。反過來，讓學生利用乘法公式分解某些特殊形式的多項式，又可以得出分解因式的公式法。
?　　總之，教科書的各章都力圖講清知識的來龍去脈，將知識的形成和應用過程呈現給學生。
?　　（三）加強知識間的聯系
?　　在“全等三角形”一章，三角形的畫法與三角形全等條件的探索相結合，也就是說，三角形全等條件不是直接給出的，而是讓學生畫出與已知三角形某些元素對應相等的三角形，畫完以后，再剪剪量量，在這個基礎上啟發學生想一想，判定兩個三角形全等需要什么條件。這樣讓學生自己動手畫圖實驗，就會對相關結論印象深刻。將三角形的畫法與三角形全等條件的探索相結合，也比單獨講三角形的畫法效果好，單講容易單調枯燥。
?　　在“軸對稱”一章，圖形的變換與圖形的認識相結合，本冊書先安排軸對稱的內容，再安排等腰三角形的內容。這樣就可以從變換的角度認識等腰三角形，從而加強兩者之間的聯系。另外，在本章中安排“用坐標表示軸對稱”的內容，也是為了數形結合，加強知識之間的聯系。
?　　在“一次函數”一章，專門安排“用函數觀點看方程（組）與不等式”一節，分別探討一次函數與一元一次方程，一次函數與一元一次不等式，一次函數與二元一次方程（組）之間的關系。這樣就可以讓學生發現一次函數，一元一次方程，一元一次不等式之間的聯系，用函數的觀點把互相聯系的方程（組）、不等式、函數統一起來。
?　　在“整式的乘除與因式分解”一章，將整式的乘法與因式分解安排在同一章，也是加強它們之間的聯系。另外，讓學生用面積說明乘法公式，可以使學生從數與形的角度把握有關內容，例如，從圖形的角度，學生很容易避免的錯誤。
?　　（四）培養推理能力
?　　在“全等三角形”一章，安排了較多的證明的內容。七年級兩冊教科書中安排了一些說理的內容，就是為現在正規練習證明作準備的。要求學生有理有據地推理證明，精練準確地表達推理過程，是比較困難的。為了解決這個難點，教科書做了一些努力。
?　　1．注意減緩坡度，循序漸進。開始階段，證明的方向明確，過程簡單，書寫容易規范化。這一階段要求學生體會例題的證明思路及格式，然后再逐步增加題目的復雜程度，小步前進，每一步都為下一步作準備，下一步又注意復習前一步訓練的內容。特別是在第十一章里，通過精心選擇全等三角形的證明問題，減緩學生學習幾何證明的坡度。
?　　2．在不同的階段，安排不同的練習內容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。例如，在“全等三角形”一章，讓學生會證明兩個三角形全等，通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等，從而熟悉證明的步驟和方法。在第十二章與等腰三角形有關的內容中，重點培養學生會分析思路，會根據需要選擇有關的結論去證明。
?　　3．注重分析思路，讓學生學會思考問題，注重書寫格式，讓學生學會清楚地表達思考的過程。
?　　4．在與“數與代數”有關的章節安排證明的內容。例如，在“整式的乘除與因式分解”一章，讓學生發現一些規律并加以證明（習題15．4第10題及數學活動），或直接讓學生證明一些結論（復習題15第13題）。
?　　三、幾個值得關注的問題
?　　（一）關注學生的情感態度
?　　在本書的教學中，注意培養學生學習的興趣與良好的個性品質。本書中數形結合的內容較多，如函數和它的圖象、數據與統計圖、對稱點與它的坐標等，要利用這些內容的特點，引發學生學習的興趣。要通過循序漸進的教學，使學生掌握基礎知識，基本技能，發展能力，同時使他們具有頑強的學習毅力，充分的學習信心，實事求是的科學態度，獨立思考，勇于探索創造的精神。
?　　本書內容蘊含了數學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點，蘊含了運動變化，相互聯系，相互轉化等觀點。如由于實際的需要產生了函數，并使函數的理論豐富和發展，同時這些理論又用于解決實際問題。而函數、軸對稱等內容則生動地反映了運動變化、相互聯系、相互轉化的觀點。教學中，要利用這些內容對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，使學生形成科學的世界觀。
?　　（二）加強信息技術的應用
?　　隨著知識內容的展開，用信息技術處理相關內容的作用也越來越明顯。本冊中，可從以下兩個方面關注信息技術的應用。
?　　1．探索軸對稱的性質
?　　利用計算機軟件可以方便地畫出一個圖形的軸對稱圖形，由此可以觀察對稱點所連線段與對稱軸的關系，使軸對稱圖形或對稱軸的位置發生變化，觀察結論是否仍然成立。類似地，可以探索對稱點的坐標的特點，線段垂直平分線的性質。另一方面，利用計算機可以進行圖案設計。
?　　總之，運用信息技術可以豐富學生學習的內容，在條件許可的情況下，可以開展這方面的研究，提高教學效率。
?　　2．用計算機畫函數圖象
?　　畫出函數的圖象可以直觀地反映變量之間的關系，也便于由圖象研究函數的性質（單調性、極值、奇偶性、函數的零點）。與手工計算、描點繪制函數圖象相比，利用某些計算機軟件可以方便地得到函數圖象：只要輸入函數的解析式，計算機就會自動生成函數的圖象。這樣學生就可以通過函數圖象了解更多的函數。
第十一章　“全等三角形”簡介
“全等三角形”一章首先讓學生認識形狀、大小相同的圖形，給出全等三角形的概念，然后讓學生探索兩個三角形全等的判定方法，并利用三角形全等進行證明，最后學習角的平分線的性質及相關證明。
?　　本章教學時間約需11課時，具體分配如下（僅供參考）：
?　　11．1 全等三角形? ??????????????????????????????????????1課時
?　　11．2 三角形全等的判定??????????????????????? ???????????6課時
?　　11．3 角的平分線的性質?? ????????????????????????????????2課時
?　　數學活動
?　　小結??????????????? ?????????????????????????????????????2課時
?　　一、教科書內容和課程學習目標
?　　本章知識結構框圖：
?
?　　本章的主要內容是全等三角形，主要學習全等三角形的性質及各種三角形全等的判定方法，同時學會如何利用全等三角形進行證明。本章分三節，第一節介紹全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性質。第二節介紹一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一個特殊的判定方法。在第三節，利用三角形全等的判定方法證明了角平分線的性質，并利用角的平分線的性質進行證明。
?　　學生已學過線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關知識，七年級兩冊教科書中安排了一些說理的內容，這些為學習全等三角形的有關內容作好了準備。通過本章的學習，可以豐富和加深學生對已學圖形的認識（如兩個三角形滿足一定的條件就完全一樣了，角的平分線上的一點到角的兩邊的距離相等），同時為學習其他圖形知識打好基礎。全等三角形是研究圖形的重要工具，學生只有掌握好全等三角形的內容，并且能靈活地運用它們，才能學好四邊形、圓等內容。
?　　從本章開始，要使學生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式。這既是本章的重點，也是教學的難點。教科書把研究三角形全等條件的重點放在第一個條件（“邊邊邊”條件）上，使學生以“邊邊邊”條件為例，理解什么是三角形的判定，怎樣判定。在掌握了“邊邊邊”條件的基礎上，使學生學會怎樣運用“邊邊邊”條件進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程。“邊邊邊”條件掌握好了，再學習其他條件就不困難了。
?
　　在“三角形全等的判定”一節中，得出如下結論：三邊對應相等的兩個三角形全等；兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等；兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。用這些結論可以判定兩個三角形全等。三角形全等的這些判定方法都是可以證明的，都可以作為定理處理。但是，這些定理（除“邊邊邊”定理外）的證明方法都比較特殊。學生開始學習這些判定定理時，掌握定理的內容并不困難，困難的是定理的證明，而這些特殊的證明方法，在正式學習推理證明的開始階段，并不要求學生掌握。所以為了突出重點，突出判定方法這條主線，本章中上述判定方法都是作為基本事實（公理）提出來的，通過畫圖和實驗，使學生確信它們的正確性。值得注意的是，本節中的另一個判定方法“兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等”，則是利用“兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等”證明的。
?　　運用三角形全等的條件可以判定兩個直角三角形全等。還可以利用“斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”判定兩個直角三角形全等。本章中這個判定方法是作為基本事實（公理）提出來的，也是通過畫圖和實驗，使學生確信它的正確性。
?　　在“角的平分線的性質”一節中，介紹了角的平分線的作法，以及“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”兩個結論。教科書用三角形全等證明了前一個結論，并結合證明過程總結了證明一個幾何命題的一般步驟。這兩個結論是互逆定理。為了保證學生在本章學好簡單證明的重點，本章暫不介紹互逆命題、互逆定理等內容，這些內容在八年級下冊“勾股定理”一章中介紹。本節例題讓學生證明三角形兩條對角線的交點到三角形三邊的距離相等，并進一步讓學生得出這個交點在第三條角平分線上，即三角形的三條角平分線交于一點。這也為學生今后在“圓”一章學習內心作好了準備。
?　　本章的學習目標如下：
?　　1．了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素。
?　　2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式。
?　　3．了解角的平分線的性質，能利用三角形全等證明角的平分線的性質，會利用角的平分線的性質進行證明。
?　　二、本章編寫特點
?　　（一）注重探索結論
?　　在“三角形全等的判定”一節設計了8個探究，讓學生經歷三角形全等條件的探索過程，突出體現新教材的設計思想：
?　　探究1：兩個三角形滿足三條邊對應相等，三個角對應相等這六個條件中的一個或兩個，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究2：三邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究3：兩邊及其夾角對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究4：兩邊及其中一邊所對的角對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究5：兩角和它們的夾邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究6：兩角和其中一個角的對邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究7：三個角對應相等，兩個三角形是否一定全等；
?　　探究8：斜邊和一條直角邊對應相等，兩個直角三角形是否一定全等。
?　　探究2～7讓學生探索兩個三角形滿足三條邊對應相等，三個角對應相等六個條件中的三個，兩個三角形是否一定全等。總的發展脈絡是三邊，兩邊一角（包括探究3，探究4兩種情況），一邊兩角（包括探究5，探究6兩種情況），三個角，這樣學生容易把握探索的過程。
?　　探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情況，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情況。這樣的處理也與先給出可判定全等的情況再給出不一定能判定全等的情況的處理不同，盡量排除人為安排的因素，呈現更為自然。
?　　學完三角形全等的判定方法，讓學生將三角形全等的判定方法運用于直角三角形，討論得出直角三角形全等的判定方法。其中，斜邊和一條直角邊對應相等不能運用三角形全等的判定方法，又需要學生進一步加以實驗探索。
?　　（二）注重推理能力的培養
?　　本章在七年級下冊第七章出現證明和證明格式的基礎上，進一步介紹推理論證的方法。要求學生有理有據地推理證明，精練準確地表達推理過程，是比較困難的。為了解決這個難點，教科書做了一些努力。
?　　1．注意減緩坡度，循序漸進。開始階段，證明的方向明確，過程簡單，書寫容易規范化。這一階段要求學生體會例題的證明思路及格式，然后再逐步增加題目的復雜程度，小步前進，每一步都為下一步做準備，下一步又注意復習前一步訓練的內容。通過精心選擇全等三角形的證明問題，減緩學生學習幾何證明的坡度。
?　　2．在不同的階段，安排不同的練習內容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。先讓學生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。在此之后安排的問題涉及以前學過的平行線等內容，重點培養學生分析問題、根據需要選擇有關的結論去證明的能力。
?　　3．注重分析思路，讓學生學會思考問題，注重書寫格式，讓學生學會清楚地表達思考的過程。例如，在“三角形全等的判定”一節證明例1的結論“△ABD≌△ACD”以前，首先指出證題的思路：“要證△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應相等。”為了清楚地表達上述思考過程，引入“∵”“∴”及綜合法證明的格式，把證明的過程簡明地表達出來。
?　　（三）注重聯系實際
?　　在“全等三角形”一節，教科書從實際例子引入全等形的概念，并讓學生舉出一些例子。這樣做既可以使學生易于理解相關概念，也可以調動他們學習的積極性。又如，從分析平分角的儀器的原理引入角的平分線的畫法。再如，通過確定集貿市場的位置的問題引出“角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的結論，使學生看到理論來自實際的需要。
?　　用三角形全等可以說明實際測量方法的道理，教科書在例題和習題中安排了測量池塘兩端的距離、測量河兩岸相對兩點的距離、用卡鉗測量工件的內槽寬等內容，還安排了利用三角形全等測量旗桿高度的數學活動。
?　　三、幾個值得關注的問題
?　　（一）關于內容之間的聯系
?　　在“全等三角形”一節，讓學生通過觀察、思考得出平移、翻折、旋轉前后的圖形全等的結論。這樣處理一方面可以復習鞏固全等三角形的概念，另一方面也使學生在某些情況下容易找到全等三角形的對應元素。
?　　在“三角形全等的判定”一節，把三角形的畫法與三角形全等判定方法的探索相結合。也就是說，不直接給出三角形全等的判定方法，而是讓學生畫出與已知三角形某些元素對應相等的三角形，畫完以后，再剪剪量量，在這個基礎上啟發學生思考，判定兩個三角形全等需要什么條件。這樣讓學生自己動手畫圖實驗，就會對相關結論印象深刻。這樣做的另一個好處是，避免單獨講三角形畫法的單調枯燥。
?　　為了使學生更全面地認識“全等”和“全等三角形”，教科書安排了“閱讀與思考 全等與全等三角形”。這篇閱讀材料以師生對話的形式對“全等”和“全等三角形”的相關問題作了進一步的介紹。全等是幾何中的重要概念，是學生今后幾何學習的重要基礎。以三角形為載體介紹全等的知識，原因主要包括兩個方面：一是三角形是最簡單的多邊形，可使學生在相對簡單的圖形環境中學習全等；二是任意多邊形都可以分解為若干三角形，從而有利于把全等的知識推廣到其他多邊形。對全等三角形的研究分為“性質”和“判定”兩個方面，這兩個方面是相輔相成的。認識到這一點，有利于學生今后對如平行四邊形的性質和判定等知識的學習。
?　　作圖內容在本章中是分散安排的，小結時應注意復習本章中涉及的下面幾種作圖：
?　　（1）已知三邊作三角形；
?　　（2）作一個角等于已知角；
?　　（3）已知兩邊和它們的夾角作三角形；
?　　（4）已知兩角和它們的夾邊作三角形；
?　　（5）已知斜邊和一條直角邊作直角三角形；
?　　（6）作已知角的平分線。
?　　（二）關于證明
?　　解決推理入門難是本章的難點，除了教科書作了一些安排外，教師在教學中要特別注意調動學生動腦思考。只有學生自己思考了，才能逐步熟悉推理的過程，掌握推理的方法。課堂上要注意與學生共同活動，不要形成教師講，學生聽的局面。教師課堂上多提些問題，并注意留給學生足夠的思考時間。
?　　一般情況下，證明一個幾何中的命題有以下步驟：
?　　（1）明確命題中的已知和求證；
?　　（2）根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；
?　　（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。
?　　分析證明命題的途徑，這一步學生比較困難，需要在學習中逐步培養學生的分析能力。在一般情況下，不要求寫出分析的過程。有些題目已經畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了。
?　　證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”。這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經學過的重要結論。
?　　在本章中還會遇到通過舉反例說明兩個三角形滿足某些條件不一定全等。判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例。找反例對學生來說是比較困難的，學生在一般情況下不容易發現反例。教師要根據學生的情況進行指導，盡量多發現幾個反例，使學生學會舉反例。
第十三章　“實數”簡介
從《數學課程標準》看，關于數的內容，第三學段主要學習有理數和實數，它們是“數與代數”領域的重要內容。對于有理數和實數，本套教課書安排3章內容，分別是7年級上冊第1章“有理數”，8年級上冊第13章“實數”和9年級上冊第21章“二次根式”。本章是在有理數的基礎上認識實數，對于實數的學習，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運算，進一步認識實數的運算。
?　　本章的主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的有關概念和運算。通過本章的學習，學生對數的認識就由有理數范圍擴大到實數范圍，本章之前的數學內容都是在有理數范圍內討論的，學習本章之后，將在實數范圍內研究問題。雖然本章的內容不多，篇幅不大，但在中學數學中占有重要的地位，本章內容不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，也為學習高中數學中不等式、函數以及解析幾何等的大部分知識作好準備。
?　　本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：
13．1　平方根　　　??????? ??????????????????????????????3課時
13．2? 立方根　　　??????????????????????? ??????????????2課時
13．3　實　數　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2課時
?　　數學活動
?　　小　結????????? ??????????????????????????????????????????1課時
?　　一、教科書內容和課程學習目標
?　　（一）本章知識結構框圖
?　　1．本章知識的內在結構如下圖所示：
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?　　2．本章知識的展開順序如下圖所示：
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?　　（二）教科書內容
?　　本章主要內容包括算術平方根、平方根、立方根以及實數的有關概念和運算。本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，本章難點是平方根和實數的概念。
?　　教科書的第一節是平方根，本節先研究算術平方根，再研究平方根。教科書首先創設一個問題情景，抽象出這個情景中的數學問題，即已知正方形的面積求邊長的問題，這是一個典型的求算術平方根的問題，這與學生以前熟悉的已知邊長求面積是一個互逆的過程。通過對這類問題的探討，引出算術平方根，給出算術平方根的概念和它的符號表示，這時教科書所涉及到的被開方數都是完全平方數。接著，教科書設置一個“探究”欄目，要求學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，并求出這個大正方形的邊長。這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2，根據前面學過的算術平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是，這樣教科書就引進了用根號形式表示的無理數（但暫時不出現無理數的概念），這是教科書第一次出現這樣的數。另外，通過學生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形的活動，也使學生感受到無理數是從現實世界中抽象出來的，是一種不同于有理數的數。出現以后，一個很自然的問題，就是要討論的大小。教科書采用夾逼的方法，利用不足近似和過剩近似來估計的大小，通過一步一步的估計，得到的越來越精確的近似值，進而指出是一個無限不循環小數的事實，同時指出，，等也是無限不循環小數等，這就為后面認識無理數打下基礎。會使用計算器求數的算術平方根是本章的一個教學要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計算器求算術平方根的方法。用有理數估計無理數的大小，也是學習本章應該注意的一個問題，教科書結合一個實際例子介紹了用有理數估計無理數的常用方法。至此，教科書討論了有關算術平方根的內容，包括算術平方根的概念、求法，無限不循環小數以及用有理數估計無理數等內容。接著，教科書設置一個“思考”欄目，對平方根展開討論。在這個“思考”欄目中，要求學生算出平方等于9的數，通過對這個問題的探討，找到解決問題的方法，利用這種方法進一步求出平方等于1，16，36……的數，由此歸納給出平方根的概念，進而引出開平方運算。開平方運算與平方運算是互逆運算，教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程，并用圖示進一步說明。最后，教科書結合具體例子，通過具體計算一些數的平方根，探討了數的平方根的特征，并通過一個“歸納”欄目，要求學生自己歸納給出“正數的平方根有兩個，它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根”等這些數的平方根的特征。
?　　教科書第二節是立方根。對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進行討論。首先設置一個問題情景，從這個問題情景中抽象出數學問題，就是已知立方體的體積求它邊長的問題，這是一個典型的求數的立方根的問題。這樣教科書就從這個典型問題引出立方根的概念和開立方運算。接著，教科書類比著平方運算與開平方運算的互逆關系，探討了立方運算與開立方運算的互逆關系，并通過一個“探究”欄目，學習求數的立方根的方法。在這個“探究”欄目中，要求學生分別計算一些正數、負數和0的立方根，通過這些計算，一方面讓學生學習利用立方運算與開立方運算的互逆關系求立方根的方法，另一方面也為下面探討數的立方根的特征作準備。緊接著這個“探究”欄目，教科書設置了一個“歸納”欄目，由學生歸納給出“正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0”等這些數的立方根的特征。最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質（）。
?　　學習了平方根、立方根以及開方運算后，教科書在第三節安排了實數。本節首先設置一個“探究”攔目，要求學生將一些有理數轉化為小數的形式，分析這些小數的共同特點，通過分析發現有理數都可以化成有限小數或無限循環小數的形式，然后指出反過來的結論也成立，即任何有限小數和無限循環小數都是有理數，這樣教科書就將有理數與有限小數和無限循環小數統一起來。在此基礎上可以指出，像，，等只能化成無限不循環小數的數就是無理數，從而引出無理數的概念。教科書采用這種與有理數對照的方法引出無理數，有利于揭示有理數和無理數的本質區別，也有助于學生理解“有理數和無理數統稱實數”這個構造性定義。接下去，教科書根據不同的標準對實數進行分類，揭示實數的內部結構。隨著無理數的引入，實數概念的出現，數的范圍由有理數擴充到實數，在這個擴充過程中，既體現了概念、運算等的一致性，又體現了它們的發展變化。教科書通過幾方面的例子說明了這種一致性和發展變化。首先，教科書通過探究在數軸上畫出表示和的點，說明了無理數也可以用數軸上的點來表示，并指出當數由有理數擴充到實數后，直線上的點與實數就是一一對應的、平面上的點與有序實數對也是一一對應的；接著，教科書通過設置思考問題，讓學生體會，在有理數范圍內成立的一些概念（如絕對值、相反數等）在實數范圍內仍然成立；最后，教科書結合具體例子說明，有理數的運算（如加、減、乘、除、乘方運算等），以及運算律、運算性質（如交換律、分配律、結合律等）在實數范圍內仍然成立，并且可以進行新的運算（如正數和0可以進行開平方運算、任何一個實數可以進行開立方運算）等。
?　　與原教科書相比，本章內容在原教科書“數的開方”一章的基礎上，適當增加了有關實數運算的內容（實數的運算在本套書“二次根式”一章繼續學習），說明了平面內點與有序實數對一一對應以及在實數范圍內的平移變換等；從內容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實際出發，先講算術平方根，再將平方根，加強了與實際的聯系；在教學目標方面，強調所有學生都應會使用計算器進行開方運算，加強對估算的要求等。
?　　（三）課程學習目標
?　　1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的算術平方根、平方根、立方根；
?　　2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根；
?　　3．了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的范圍由有理數擴大到實數后，一些概念、運算等的一致性及其發展變化；
?　　4．能用有理數估計一個無理數的大致范圍。
?　　二、本章編寫特點
?　　（一）加強與實際的聯系
?　　本章內容與實際的聯系是非常密切的。例如，無理數是從現實世界中抽象出來的一種數，開平方運算和開立方運算也是實際中經常用到的兩種運算，用有理數估計無理數的大小在現實生活中經常遇到等等。因此，本章內容在編寫時注意聯系實際，對于一些重要的概念和運算緊密結合實際生活展開，例如算術平方根是從已知正方形的面積求它邊長、立方根是從已知立方體的體積求它邊長等典型的實際問題引出的，再如用有理數估計無理數的大小也是緊密結合實際進行的。編寫時，將本章內容與實際緊密聯系起來，可以使學生在解決實際問題的過程中，認識實數的有關概念和運算。
?　　（二）加強知識間的縱向聯系
?　　本章內容屬于“數與代數”這個領域，有關數的內容，學生在七年級上冊已經系統地學過有理數，對有理數的概念和運算等有了較深刻的認識，本章是在有理數的基礎上學習實數的初步知識，本章很多內容是有理數相關內容的延續和推廣，因此，本章編寫時，注意加強知識間的相互聯系，使學生更好地體會數的擴充過程中表現出來的概念、運算等的一致性和發展變化。例如，對于絕對值和相反數的概念，實數的運算法則和運算性質，平方與開平方、立方與開立方的互為逆運算關系等都是在有理數的基礎上展開的。另外，本章前兩節“平方根”“立方根”在內容上基本是平行的，因此，編寫“立方根”這節時，充分利用了類比的方法，例如類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類比開平方運算給出開立方運算，類比平方與開平方運算的互逆關系研究立方與開立方運算的互逆關系等。這樣的編寫方法，有助于加強知識間的相互聯系，通過類比已學的知識學習新知識，使學生的學習形成正遷移。
?　　（三）留給學生探索交流的空間
?　　根據本章內容的特點，對于一些重要的概念和結論，編寫時注意了讓學生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結論的過程。例如，對于平方根概念的引入，教科書首先通過一個問題情景，引出已知正方形的面積求邊長的問題，接著又讓學生通過填表的方式，計算幾個不同面積的正方形的邊長，使學生感受到這些問題與以前學過的已知正方形的邊長求面積的問題是一個相反的過程，并由此指出，這些問題抽象成數學問題就是已知一個正數的平方，求這個正數的問題，并在此基礎上給出算術平方根的概念，這樣就讓學生通過一些具體活動，在對算術平方根有些感性認識的基礎上歸納給出這個概念。再比如，在討論數的立方根的特征時，教材首先設置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學生計算一些具體的正數、負數和0的立方根，尋找它們各自的特點，通過學生討論交流等活動，歸納得出“正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數”的結論，這樣就讓學生通過探究活動經歷了一個由特殊到一般的認識過程，在探究活動的過程中發展思維能力，有效改變學生的學習方式。
?　　三、幾個值得關注的問題
?　　（一）把握教學要求
?　　本冊書對于某些內容采用提前滲透、逐步提高的編寫方式。例如，對于平面直角坐標系，在第6章“平面直角坐標系”中研究了平面內的點與有序數對的對應關系，其中點的坐標都是有理數，在本章將把點的坐標由有理數的情形擴展到實數范圍，并建立平面內的點與有序實數對的一一對應關系，為后續學習函數的圖象、函數與方程和不等式的關系等打下基礎。
?　　對于平移變換，教課書在第5章“相交線與平行線”中安排了一節“平移”，探討得出“平移前后的兩個圖形的對應點的連線平行且相等”等平移變換的基本性質，又在第6章“平面直角坐標系”中安排了用坐標方法研究平移的內容，從坐標的角度進一步認識平移變換，這時平移中遇到的坐標都是有理數的情況。在本章，由于建立了點與有序實數對的一一對應關系，本章又在實數范圍內研究平移的內容，為后續學習利用平移變換探索平面圖形的幾何性質以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉、軸對稱、相似等）進行圖案設計等打下基礎。
?　　本章還通過一個例題學習了實數的簡單運算，安排這個例題的目的是要說明有理數的運算法則和運算性質等在實數范圍內仍然成立，關于實數的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續研究。
?　　另外，本章也提前滲透了一些數學思想和方法。比如，本章的數學活動1，涉及到勾股定理的內容，讓學生利用勾股定理，在數軸上畫出表示幾個無理數的點。這里只是結合無理數滲透了勾股定理，關于勾股定理以后還要進行專門的研究。
?　　綜上所述，本章教學時要注意把握教學要求，以一種發展的、動態的觀點看待教學要求，不能要求一次到位。
?　　（二）發揮計算器的作用，加強估算能力的培養
?　　使用計算器進行復雜運算，可以使學習的重點更好地集中到理解數學的本質上來，估算是一種具有實際應用價值的運算能力。提倡使用計算器進行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養學生的運算能力，是本章的一個教學要求。為了達到這個教學目的，本章專門安排了利用計算器求數的平方根和立方根以及利用有理數估計無理數的大致范圍等內容。因此，教學中可以結合具體內容，綜合利用各種途徑培養學生的運算能力。
?　　（三）重視人文教育
?　　無理數的發現引發了數學史上的第一次危機，是數學發展史上的重要里程碑。無理數的發現經歷了一個漫長而艱苦的過程，在發現無理數的過程中，體現了人類為追求真理而不懈努力的精神。因此，教學時可以結合無理數的發現，挖掘數學知識的文化內涵，使學生感受豐富的數學文化，開闊他們的眼界，增長他們的見識。
?　　另外，本章編寫時注意加強與實際的聯系，在選擇素材時，力求選取學生感興趣的和富有時代氣息的實際問題。例如，本章選擇了我國神舟5號載人飛船取得圓滿成功的素材，通過這個素材可以使學生從數學的角度更多地了解航天知識，培養學生的民族自豪感和愛國主義情操，激勵學生更加努力地學習，這樣使學生在學習數學的同時，也得到了人文方面的教育。
第十二章　“軸對稱”簡介
八年級上冊第12章是“軸對稱”，主要包括軸對稱和等腰三角形的有關內容。本章共安排了三個小節和兩個選學內容，教學時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：
?　　12．1 軸對稱???? ?????????????????????????????????3課時
?　　12．2 作軸對稱圖形? ??????????????????????????????3課時
?　　12．3 等腰三角形??? ??????????????????????????????5課時
?　　數學活動
?　　小結?????????????? ???????????????????????????????2課時
?　一、教科書內容和課程學習目標
?　　（一）本章知識結構框圖
?　　本章知識結構如下圖所示：
?
?
　　（二）教科書內容
?　　本章的主要內容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性質，欣賞、體驗軸對稱在現實生活中的廣泛應用。在此基礎上，利用軸對稱，探索等腰三角形的性質，學習它的判定方法，并進一步學習等邊三角形。
?　　軸對稱是現實生活中廣泛存在的一種現象，是密切數學與現實聯系的重要內容。在本章第1小節“軸對稱”中，教科書立足于學生的生活經驗和數學活動經歷，從觀察現實生活中的對稱現象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱的概念，從整體上概括出軸對稱的特征。結合探索對稱點的關系，歸納得出對應點連線被對稱軸垂直平分的性質，并結合這一性質的得出，討論了垂直平分線的性質定理及其逆定理。接下來，在第2小節“作軸對稱圖形”中，通過作軸對稱圖形、簡單的圖案設計、確定最短路線等活動，讓學生進一步體會軸對稱的應用價值和豐富內涵。用坐標表示軸對稱，從數量關系的角度刻畫了軸對稱。教科書從觀察和實驗入手，歸納得出坐標平面上一個點關于x軸或y軸對稱的點的坐標的規律，并進一步探討了如何利用這種規律在平面直角坐標系中作出一個圖形關于x軸或y軸對稱的圖形。
?　　等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質。由于它的這些特殊性質，使它比一般三角形應用更廣泛。而等腰三角形的許多特殊性質，又都和它是軸對稱圖形有關，這也是教科書把這部分內容安排在本章的一個重要原因。在本章第3小節“等腰三角形”中，利用等腰三角形的軸對稱性，得出了“等邊對等角”“三線合一”等性質，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質與判定方法的內容。
?　　在本章，軸對稱的性質是本章的重點，軸對稱的應用，利用軸對稱設計圖案，用坐標表示軸對稱等都是圍繞這一性質進行的。另外，等腰三角形的性質和判定也是本章的重點，它們是證明線段和角相等的重要根據，應用也比較廣泛。
?　　按照整套教科書對于推理證明的安排，在“全等三角形”已經要求讓學生會用符號表示推理（證明）的基礎上，對于一些圖形的性質（如線段垂直平分線的性質、等腰（邊）三角形的性質與判定等），仍是要求學生證明。由于學生剛開始接觸用符號表示推理，雖然教科書控制了證明難度，但是相對于上一章，推理的依據多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使一些學生感到無處下手，這是本章教學的一個難點，要注意幫助學生克服這一難點。
?　　（三）課程學習目標
?　　1．通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質；
?　　2．探索簡單圖形之間的軸對稱關系，能夠按照要求作出簡單圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；認識和欣賞軸對稱在現實生活中的應用，能利用軸對稱進行簡單的圖案設計；
?　　3．了解線段垂直平分線的概念，探索并掌握其性質；了解等腰三角形、等邊三角的有關概念，探索并掌握它們的性質以及判定方法；
?　　4．能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現象及解決簡單的實際問題，觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發展空間觀念，激發學習空間與圖形的興趣。
　　二、本章編寫特點
　　1．有機的整合“圖形與幾何”領域的相關內容，利用變換研究圖形的性質
　在以往的教科書中，等腰三角形的有關內容一般安排于介紹三角形的內容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性質和判定。在本套教科書中，等腰三角形的有關內容安排在了“軸對稱”一章，學生學完了軸對稱的相關性質之后，利用軸對稱的有關知識研究等腰三角形的性質，再利用三角形的全等的知識給以證明，這是本章編排上的一個特點。
　　等腰三角形是一個很好的軸對稱圖形，它的許多性質都與它是軸對稱圖形有關。利用它的軸對稱性，不僅有助于發現等腰三角形的一些性質，而且也能為利用三角形全等的知識證明一些性質提供思路，在教科書的編寫中，充分重視了這一點。例如，教科書引出等腰三角形概念時，不是直接給出定義，而是直接通過一個“探究”欄目，讓學生自己剪出一個三角形。這個剪三角形的過程，就是利用軸對稱得到一個等腰三角形的過程。這個過程還保留下了中間折疊的痕跡，它就是等腰三角形的對稱軸。接下來教科書安排的“思考”欄目是前面“探究”的繼續，受剪出等腰三角形的過程的啟發，學生很容易想到它是一個軸對稱圖形，折痕就是它的對稱軸。通過找出其中重合的線段和重合的角利用軸對稱變換的性質，可以很容易的引導學生得出等腰三角形的兩個性質：“等邊對等角”以及“三線合一”。在進一步證明這兩個性質的過程中，關鍵是要添加輔助線，而有了前面的“探究”“思考”的鋪墊，如何添加這個輔助線也就是水到渠成的了。
　　再如，利用等腰三角形的軸對稱性，可以發現等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線、兩腰的高等。教科書也安排了這樣一個“數學活動”，讓學生利用等腰三角形的軸對稱性去發現一些等腰三角形中的相等的線段和角，利用圖形的運動研究圖形的性質。等腰三角形是一種軸對稱圖形，教科書將等腰三角形的相關內容安排在軸對稱之后，就是要利用軸對稱研究等腰三角形的有關性質，并進一步利用三角形的全等證明這些性質。將圖形的運動與圖形的認識、圖形的證明有機整合，利用運動研究圖形，得到圖形的性質，再通過推理證明這些結論。
?　　2．注意聯系實際
?　　人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“圖形與幾何”的學習提供了大量真實的素材。本章的內容具有豐富的實際背景，在現實世界中也有著廣泛的應用，因此在教學中要注意聯系實際，從實際出發引入概念，并將所學知識應用到實際生活中。
?　　例如，軸對稱現象在生活中是很常見的，教科書選用了從天安門到故宮的鳥瞰圖作為章頭圖，在第1節的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結構、建筑物、藝術作品、日常生活用品、窗花等實際例子，讓學生感受對稱現象的無處不在，通過觀察這些圖形，引出軸對稱的概念。在實際教學中，可以結合當地實際選擇一些軸對稱圖形的例子，這些素材不僅應包括人們所習慣的標準幾何圖形，更應包括豐富多彩的現實世界中的二、三維圖形，使學生欣賞現實世界中與軸對稱有關的圖案，并能夠從中發現軸對稱的特征。
?　　除了注意從實際例子引出軸對稱內容的學習以外，教科書也給出了一些應用軸對稱的例子，如利用軸對稱的觀點來解釋現實生活中的有關現象、簡單的利用軸對稱設計圖案、利用軸對稱解決一些有關最大、最小的選址問題等等，教科書也注意體現所學知識的應用，體現一個具體──抽象──具體的過程。
?　　3．注意讓學生經歷觀察、實驗、歸納、論證的過程
?　　在內容處理上，教科書加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結合。論證幾何在培養人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實驗幾何則是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養人的直覺思維和創造性思維方面起著重大的作用。對于本章中的一些概念、性質、公理和定理，教科書大多是通過“留空”、設問、設置“思考”“探究”“歸納”以及“數學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做試驗等活動，探索發現幾何結論，經歷知識的“再發現”過程，在探究活動的過程中發展創新思維能力，改變學生的學習方式．在發現結論的基礎上，再經過推理證明這些結論，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，使圖形的認識與圖形的證明有機整合。
?　　例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質的得出，教科書通過設置一個“探究”“思考”欄目，讓學生剪出等腰三角形，并進一步利用軸對稱的性質思考其中相等的線段和相等的角，進而發現等腰三角形的性質。接下來，從上面的操作過程啟發，通過做出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這兩個性質。這種處理，將實驗幾何與論證幾何有機的整合在一起，使學生經歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、推理、證明的認識圖形的全過程，把推理證明作為學生觀察、實驗、探究得出結論之后的自然延續，完成好由實驗幾何到論證幾何的過渡。
?　　三、幾個值得關注的問題
?　　1．注意知識間的聯系
?　　本章的內容較多，課程標準“圖形與幾何”領域中圖形的性質、圖形的運動、圖形與坐標各個部分的內容在本章都有涉及，教學時要注意把握各個部分內容之間的聯系，有機的整合各個部分的內容。
?　　本章從認識軸對稱圖形開始，又進一步介紹了兩個圖形關于某條直線對稱（兩個圖形成軸對稱），要注意這兩個概念間的區別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，說的是一個具有特殊形狀的圖形，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合。它們的聯系：定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩個圖形就是關于這條直線成軸對稱，反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。從運動的角度來看，成軸對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經過軸對稱得到，一個軸對稱圖形由它的一部分為基礎，經過軸對稱拓展而成。
?　　另外，教科書還安排了用坐標表示軸對稱的內容，從數的角度刻畫軸對稱的內容。包括關于坐標軸對稱的點或圖形的坐標的變化以及由點或圖形坐標的變化引起點或圖形軸對稱的內容。這里的關鍵是要讓學生感受圖形軸對稱之后點的坐標的變化，把“形”和“數”緊密的結合在一起，把坐標思想和圖形變換的思想聯系起來。
?　　2．滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和空間
?　　本章內容中有許多需要發揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸對稱圖案，利軸對稱進行圖案設計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂直）時軸對稱的坐標特點，發現等腰三角形中相等的線段等等，這些內容都為學生個性化的學習提供了空間。教學時應有意識地滿足學生多樣化的學習需求真正為學生提供個性化學習的時間和空間。例如，對于利用軸對稱設計圖案，不同學生可能會有不同的創意，也會有不同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創意，教師應該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷全體學生的成果，要把關注點放在活動中的數學層面上，看學生是否真正理解了軸對稱變換的特點。
?　　3．注意推理證明的教學
?　　對于推理證明的要求，教科書是按“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等分層次安排的。在這一章，不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續，進一步體會證明的必要性。
?　　學過等腰三角形后，推理的依據逐漸多了，題目的復雜程度也增加了，因此，如何尋找證明的思路也成為本章教學的一個難點。教學時，要克服這一難點，關鍵是要加強證明題前分析的教學，幫助學生學會分析證題思路，找出證明的途徑。因為學過的定理多了，從已知出發可以有多種途徑選擇，分析問題時要結合結論一起考慮，采用“兩頭湊”，教學時可向學生介紹這種方法。
?　　另外，以前學生證明問題時，主要考慮利用全等三角形，也總習慣于找全等三角形。雖然涉及利用等腰三角形性質的問題都可以利用全等三角形來解決，但要注意糾正這種不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢。可結合具體問題讓學生自己分析，尋找證明方法。對于可以直接利用等腰三角形性質、判定，垂直平分線的性質的問題，應當讓學生選擇簡便方法。在與等腰三角形有關的一些命題的證明過程中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線。雖然“三線和一”，但添加輔助線時，有時作那條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度也不同，需要具體問題具體分析，這一點要注意。
?　　3．重視現代信息技術工具的應用
?　　信息技術工具的使用能為學生的數學學習和發展提供豐富多彩的教育環境和有力的學習工具。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形的運動變化的過程中去發現其中的不變的位置關系和數量關系，有利于發現圖形的性質，這可以使得許多傳統的數學教學做不到或做不好的事情變得容易起來。
?　　在這一章，信息技術工具是大有用武之地的，許多計算機軟件都有進行軸對稱變換的功能，利用這個功能，可以方便的做出軸對稱圖形，并研究它的性質，教科書也專門安排了一個“信息技術應用”的選學欄目，利用計算機軟件探索軸對稱的性質，探索軸對稱的點的坐標的特點，探索線段垂直平分線的性質，利用計算機軟件進行圖案設計等。有條件的學校，應盡可能多的使用計算機或圖形計算器等信息技術工具，幫助學生的數學學習。
第十五章　“整式的乘除與因式分解”簡介
人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》第十五章是“整式的乘除與因式分解”。本章的主要內容是整式的乘除運算、乘法公式以及因式分解。本章內容建立在已經學習了的有理數運算、列簡單的代數式、一次方程及不等式、整式的加減運算等知識的基礎上。整式的乘除運算和因式分解是基本而重要的代數初步知識，這些知識是以后學習分式和根式運算、函數等知識的基礎，在后續的數學學習中具有重要意義，同時，這些知識也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學基礎知識。
本章共安排了4個小節，教學時間約需13課時（供參考）：
本章共安排了4個小節，教學時間約需13課時（供參考）：
?　　15．1? 整式的乘法????????????????????????????????????????? 4課時
?　　15．2? 乘法公式??????????????????????????????????????????? 2課時
?　　15．3? 整式的除法????????????????????????????????????????? 2課時
?　　15．4? 因式分解???????????????? ???????????????????????????3課時
數學活動
?　　小結???????????????????????????????????????????????????? 2課時
　一、教科書內容和課程學習目標
（一）本章知識結構框圖
?　　
（二）教科書內容
本章共包括4節
?　　15．1 整式的乘法
?　　整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分。本節分為四個小節，主要內容是整式的乘法，這些內容是在學生掌握了有理數運算、整式加減運算等知識的基礎上學習的。其中，冪的運算性質，即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎，教科書把它們依次安排在前三個小節中，教學中應適當復習冪、指數、底數等概念，特別要弄清正整數指數冪的意義。
?　　在學生掌握了冪的運算性質后，作為它們的一個直接應用，教科書在第四小節安排一般整式乘法的教學內容。首先是單項式與單項式相乘，由于進行單項式與多項式、多項式與多項式相乘的前提是熟練地進行單項式與單項式相乘，因此，對于單項式與單項式相乘的教學應該予以充分重視。在學生掌握了單項式與單項式相乘的基礎上，教科書利用分配律等進一步引入單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘，這樣使整式乘法運算的教學從簡到繁，由易到難，層層遞進。
?　　15．2? 乘法公式
?　　本節分為兩個小節，分別介紹平方差公式與完全平方公式。
?　　乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在學習了一般的整式乘法知識的基礎上學習的，運用乘法公式能簡化一些特定類型的整式相乘的運算問題，教科書在本節開始首先指出了這一點。接著，在第一小節安排了平方差公式的教學，教科書首先安排了下一個“探究”欄目，安排了3個題目，讓學生通過計算，總結三個題目結果的共同點，發現其中的規律。接著，教科書推證了平方差公式，并進一步借助于幾何圖形對公式作了直觀解釋，讓學生能更好地理解此公式。最后，舉例說明運用平方差公式進行有關的計算。第二小節教科書設計了與第一小節類似的教學過程，引進了乘法的完全平方公式。
?　　為了滿足整式運算的需要，在本小節引進了添括號法則，這也是很重要的整式運算知識。
?　　15．3? 整式的除法
?　　整式的除法也是整式四則運算的重要組成部分。本節也分為兩個小節。同底數冪的除法是學習整式除法的基礎和關鍵，因此教科書在第一小節中首先介紹同底數冪除法的性質。對于同底數冪除法，這里只先討論所得商仍是整式的情形，對于所得商是分式的情形將在后續內容引入負整數指數冪的概念以后再討論。
?　　能熟練地進行單項式除以單項式的除法是進行多項式除以單項式等一般的整式除法的前提。在第二小節，教科書根據乘、除互為逆運算的關系，并以分配律、同底數冪的除法為依據，由計算具體的實例得到單項式除以單項式的除法法則。同樣地，對于單項式除以單項式的除法，討論的問題也都在被除式中字母的指數大于或等于除式中字母的指數的限制條件范圍內。
?　　對于多項式除以單項式，教科書是從計算來導出運算法則的，根據是乘除法互為逆運算以及分配律。可以看出，法則的基本點是把多項式除以單項式轉化為單項式的除法，而單項式除法是已經學習并掌握了的。
?　　在本章中，不討論多項式除以多項式等一般性的問題。
　　15．4? 因式分解
?　　因式分解是解析式的一種恒等變形，因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用，是重要的數學基礎知識。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數法等。本教科書安排了多項式因式分解比較基本的知識和方法，它包括因式分解的有關概念，整式乘法與因式分解的區別與聯系，因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法。兩種方法分別安排在第1和第2小節。
?　　（三）課程學習目標
?　　通過本章教學要求達到以下的教學目標：
?　　1．使學生掌握正整數冪的乘、除運算性質，能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，并能運用它們熟練地進行運算。使學生掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算。
?　　2．使學生會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算。
?　　3．使學生掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。
?　　4．使學生理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。
?
　　二、本章編寫特點
?　　（一）強調重要數學思想方法的滲透
?　　根據數與式之間的聯系，教材通過類比的思想方法，由數的運算引出式的運算規律，體現了數學知識間具體與抽象的內在聯系和數學的內在統一性。
?　　對于整式乘法法則的教學，教科書注意滲透“轉化”的思想方法。例如，多項式與多項式相乘的法則，第一步是轉化為多項式與單項式相乘，第二步則是轉化為單項式與單項式相乘，而單項式與單項式相乘則轉化為有理數的乘法與同底數冪的乘法。
?　　在整式除法的教學中教科書也注意滲透“轉化”的思想方法，多項式與單項式相除第一步是轉化為單項式與單項式相除，第二步是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法。
?　　由上可知，整式的乘、除法教學要循序漸進，打好各項知識的基礎，并運用好轉化的思想方法，就能夠很好地完成后面的教學內容，取得較好的教學效果。
?　　此外，本章教材注意了代數與幾何之間的聯系，體現了數形結合的重要數學思想和方法，如在整式乘法和乘法公式部分，借助于幾何圖形對運算法則及公式作了直觀解釋，體現了代數與幾何之間的內在聯系和統一，能讓學生更好地理解有關知識。
?　　（二）充分體現從具體到抽象再到具體的認知過程
?　　從具體的實際問題出發，歸納出相關的數學概念，或抽象出隱含在具體問題中的數學思想和規律，這是本章的一個突出特點。密切聯系實際，體現知識的形成和應用過程，這是本章編寫中很重視的一個問題。
?　　以第15．1節為例，無論同底數冪相乘、冪的乘方還是積的乘方，都是從具體、簡單題目的運算出發，最后歸納出運算性質，然后再用歸納得出的結果進一步指導比較復雜的實際問題。而整式的乘、除法也是從具體的問題出發，歸納出運算法則，再進一步用于解決實際問題。這種從具體到抽象，再由抽象到具體的編排方式，可以循序漸進地向學生呈現教學內容，有助于學生的理解和掌握，符合現階段學生的認知水平。
?　　（三）根據數學知識的邏輯關系循序漸進安排教學內容
?　　本章所涉及的數學教學內容之間不僅具有密切的聯系，且具有很強的邏輯關系。整式的乘法與除法是互為逆運算，乘法公式是具有特殊形式的整式乘法問題，整式的乘法與因式分解是方向相反的恒等變形，在涉及的這些內容中，整式的乘法是引入后續內容教學的基礎，學好一般整式乘法的知識是進一步學習本章其他知識的前提。本章根據知識之間的這種邏輯關系，把教學重點放在整式乘法的教學上，符合邏輯、循序漸進地安排了單項式與單項式相乘、多項式與單項式相乘、多項式與多項式相乘、乘法公式的教學內容。再如，根據數與式之間的聯系，教科書通過類比的思想方法，由數的運算引出式的運算規律；引入乘法公式時，指出研究的是某些特殊形式的多項式相乘問題；根據整式乘法與整式除法的關系導出整式除法法則。在本章的教學中也應該注意本章知識之間的這種邏輯關系，使學生能從整體上把握本章知識。
?　　三、本章教學中幾個值得關注的問題
?　　1．重視運算性質和公式的發生和歸納過程的教學
?　　本章整式乘法運算性質、除法運算性質、乘法公式的得出過程，教科書是從某些具體的數與式計算，歸納得到一般的式的運算法則，是一個由特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程。在性質和公式的教學中，要重視上述歸納過程的教學，使學生在這個過程中理解和掌握性質和公式，并能用代數式和文字語言正確地表述這些性質，運用它們熟練地進行運算。應使學生在理解的基礎上加以記憶，在運用、練習的過程中進一步加以鞏固，并加深理解。另外，教科書在得到某些運算法則的過程中在邏輯上看也并不具備嚴密性，在教學中則應該考慮學生思維能力發展的年齡特點，把握好邏輯的適度嚴密性。
?　　2．重視發揮學生的主觀能動性
?　　充分信任學生，努力發揮他們的主觀能動性，讓他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動地進行學習。勤于思考，善于思考，是學好數學的先決條件。
?　　在本章中，教材安排了大量的“探究”和“思考”欄目。通過“探究”欄目讓學生體驗研究問題，解決問題，最后得出一般結論的過程，加深學生對問題的理解，使其既知其然，又知其所以然。本章共安排了9個“探究”欄目，許多重要結論或概念都是通過這個欄目歸納和總結出來的。在教學過程中應該充分發揮“探究”欄目的作用。通過這個欄目，學生一方面可以體驗獲得結論的過程，另一方面可以獲得成功的喜悅。
?　　課程改革的目的之一是促進學習方式的轉變，加強學習的主動性和探究性，培養學生的創新精神和自學意識，而“思考”欄目的安排也是為實現上述的目標所做的設計之一。例如，在15．2．1節，通過對面積的討論，可以發現平方差公式與面積之間的內在聯系，進而感受到幾何與代數內在的統一性。又如，在15．3．2節，通過“思考”欄目，讓學生在思考具體問題的基礎上自己歸納出單項式相除的法則。總之，通過“思考”欄目，學生們可以開動腦筋，加強發現探索，培養探究精神。
　　在本章的教學中，還要有意識地鼓勵學生尋找“富有挑戰性”的學習材料，適當地進行數學活動和交流，在探究、討論、思考的過程中獲得知識，培養能力。在本章的“數學活動”和“拓廣探索”欄目中都設計了一些探究性的問題，老師們應該適當地安排這些問題，鼓勵學生積極思維，努力探索，提高數學思維水平。
?　　3．注意把握教學要求
?　　根據課程標準，本章要求學生會進行簡單的整式乘法（其中的多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）運算和除法運算。會推導平方差公式和完全平方公式，并了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算。會用提公因式法和公式法進行因式分解（指數是正整數）。
?　　應該看到，本章的內容都是重要的數學基礎知識，應用極其廣泛，對于后續學習影響很大。所以，一方面，要重視本章知識的教學，把教學要求落到實處。另一方面也應該看到，本章的教學內容與傳統的教學比較，在教學要求上有了一些降低，如對于整式乘除運算的教學要求，乘法公式的教學要求，對于因式分解的介紹等，都在一定程度上降低了內容的廣度和深度。教學中，老師們可能會受到教學傳統習慣和思想的影響，不自覺地拓寬教學內容范圍、提高教學要求。老師們要認真學習領會課程標準的思想，貫徹教科書的編寫意圖，在教學中按照教科書的要求組織教學，努力克服教學傳統觀念的影響。例如，對于因式分解，教科書只要求學生會靈活地運用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）兩種分解方法，對分組分解法和十字相乘法則不做要求。對于其他因式分解方法，教科書只在選學欄目中給出了一種，即型式子的因式分解（十字相乘法），供學有余力的同學參考。教學中就應該把握好這樣的教學要求。
?　　4．抓住教學重點和關鍵，突破教學難點
?　　本章的教學重點之一是整式的乘除，包括乘法公式。從整式乘除的地位和作用可知，如果不掌握好這部分內容，會給以后的學習帶來極大的困難。因此要有針對性地加強練習，務必使學生對整式的乘除運算，包括其中運用乘法公式進行計算達到熟練的程度。
?　　在整式的乘除中，單項式的乘除是關鍵。這是因為其他乘除都要轉化為單項式的乘除。實際上，單項式的乘除進行的是冪的運算與有理數的運算，因此冪的運算是學好整式乘除的基石。
?　　乘法公式的結構特征以及公式中字母的廣泛含義學生不易掌握，運用時容易混淆，因此乘法公式的靈活運用是本部分的難點。在教學中要引導學生分析公式的結構特征，并在練習中與所運用公式的結構特征聯系起來，對所發生的錯誤多做具體分析，以加深學生對公式結構特征的理解。
?　　添括號時，括號內符號的確定是本部分的另一個難點。掌握添括號法則的關鍵是要把添上括號后括號內的多項式與括號前面的符號看成統一體，對于這一點學生不易理解，要結合例題進行分析。學生在學習添括號時，感覺添括號比去括號要難，括號前是“—”號比括號前是“+”號要難。遇到括號前是“—”號時，學生容易漏掉括號內一部分項的變號，在講解例題時要強調法則中“各項”的含義。
?　　因式分解一直是初中數學教學的一個難點，原因在于分解因式的方法很多，變化技巧較高，且沒有一種一般有效的方法。教學中要注意把握教學要求，防止隨意拓寬內容和加深題目的難度。教科書對于因式分解這部分內容要求僅限于因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法，教學中則應讓學生牢固地掌握。
?　　5．注意安排學生對選學內容的學習
?　　教學中除了要關注學生在數學知識和數學能力方面的提高外，還要考慮在傳承數學史知識及數學文化修養方面做出努力，以使學生在獲得數學知識的同時人文精神也得到陶冶。
?　　本章安排了“閱讀與思考”“觀察與猜想”兩個選學欄目，這些選學內容是本章有關內容的拓展與延伸。不失時機地安排學生閱讀這些材料，可以開闊他們的視野，拓展他們的知識面。
?　　“閱讀與思考”欄目中的“楊輝三角”，不但可以使學生了解一些二項展開式中各項系數的知識從而增強他們的數學修養，還可以潛移默化地培養他們的愛國情懷。“觀察與猜想”欄目，讓學生初步感受分解因式的另一種方法──十字相乘方法，這有利于學生理解必修內容。
第十四章　“一次函數”簡介
一、教科書內容和課程學習目標
?　　（一）教科書內容
?　　本章的主要內容包括：變量與函數的概念，函數的三種表示法，正比例函數和一次函數的概念、圖象、性質和應用舉例，用函數觀點再認識一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組，以及以建立一次函數模型來選擇最優方案為主要內容的課題學習。
?　　全章共包括三節：
?　　14．1? 變量與函數
?　　14．2? 一次函數
?　　14．3? 用函數觀點看方程（組）與不等式
?　　14．4? 課題學習 ?選擇方案
?　　其中，14．1節是全章的基礎部分，14．2節是全章的重點內容，14．3節是引申的內容，起加強知識前后聯系的作用，14．4節是探究性學習的內容，以課題學習的形式呈現，突出建立數學模型的實際意義和思想方法。
?　　函數的概念是數學中極為重要的基本概念，它的抽象性較強，接受并理解它有一定難度，這也是本章的難點。
?　　變化與對應的思想體現在函數概念之中，用運動變化的眼光，以函數為工具，從數量關系和圖象兩方面動態地分析問題，是本章學習的特點．
?　　（二）本章知識結構框圖
?
?　　（三）課程學習目標
?　　本章內容的設計與編寫以下列目標為出發點：
?　　1．以探索實際問題中的數量關系和變化規律為背景，經歷“找出常量和變量，建立并表示函數模型，討論函數模型，解決實際問題”的過程，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型；
?　　2．結合實例，了解常量、變量和函數的概念，體會“變化與對應”的思想，了解函數的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數形結合地分析簡單的函數關系；
?　　3．理解正比例函數和一次函數的概念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決簡單實際問題；
?　　4．通過討論一次函數與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數的觀點加深對已經學習過的方程（組）及不等式等內容的認識，構建和發展相互聯系的知識體系；
?　　5．在課題學習中，以選擇方案為問題情境，進行探究性學習，進一步體會建立數學模型的方法與作用，提高綜合運用函數知識分析和解決實際問題的能力。
?　　（四）課時安排
?　　本章教學時間約需17課時，具體分配如下（僅供參考）：
14．1 變量與函數????? ???????????????????????????????????????5課時
14．2 一次函數?????????????????????????????????????????????? 5課時
14．3 用函數觀點看方程（組）與不等式? ???????????????????????3課時
14．4 課題學習? 選擇方案? ???????????????????????????????????2課時
數學活動
?小結????????????????????????? ??????????????????????????????2課時
?　　二、本章的編寫特點
?　　（一）反映函數概念的實際背景，滲透“變化與對應”的思想
?　　在建立和運用函數這種數學模型的過程之中，“變化與對應”的思想是重要的基礎，所謂變化與對應的思想包括兩個基本意思：
?　　1．世界是變化的，客觀事物中存在大量的變量；
?　　2．在同一個變化過程中，變量之間不是孤立的，而是相互聯系的，一個變量的變化會引起其他變量的相應變化，這些變化之間存在對應關系。
?　　函數是數量化地表達變化與對應思想的數學工具，變化規律表現在變量（自變量與函數）之間的對應關系上，函數通過數或形定量地描述這種對應關系。變化與對應思想正是本章內容中蘊涵的基本思想。
?　　人的認識過程是波浪式前進、螺旋式上升的。學習數學中的一個重要的基本概念，需要分階段地完成，逐步深化認識程度。本套教科書將對代數函數的學習分三章安排，即八年級上學期學習第十四章“一次函數”，八年級下學期學習第十七章“反比例函數”，九年級下學期學習第二十六章“二次函數”。在學習這些內容之前，分別安排了學習一次方程（組）、分式方程和一元二次方程，即按代數運算類型劃分階段，將函數作為方程的后續內容。
?　　本章是學習函數的第一階段，其教學目標如前所述，重點在于初步認識函數概念，并具體討論最簡單的初等函數──一次函數。本章教科書力求能在具體的數學內容中滲透體現變化與對應的思想，使學生能潛移默化地感觸體會函數內容中最基本的東西，在對數學思想方法的學習方面有所收獲。
?　　本章在學生對一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式等以一次（線性）運算為基礎的數學模型的已有認識上，從變化和對應的角度，對一次運算進行更深入的討論。
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　　教科書在進入專門對一次函數的討論之前，安排學生先了解函數的一般概念。第14．1節首先從5個具有實際背景的問題入手，引導學生通過填表和列式表示問題中相關的量，從中認識常量和變量的主要特征，學會區別它們。接著，教科書通過“歸納”欄目總結出這些問題中變量間關系的共同特點，即問題中的兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一變量有唯一確定的對應值。教科書又繼續用心電圖、人口統計表等問題對這種變化與對應關系進行了補充和強化，這也為后面的函數表示法寫下伏筆。在此基礎上，教科書第一次給出了函數的一般概念以及自變量、函數值等概念。教科書中給出的函數定義是突出變化與對應的，其中主要有兩層意思：
?　　1．兩個變量互相聯系，一個變量變化時另一個變量也發生變化；
?　　2．函數與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數的值是唯一確定的。
?　　這是關于函數的最基本、最樸素的刻畫。這一節的最后部分重點討論了函數圖象的概念，圖象是直觀地描述和研究函數的重要工具。三種常見的函數表示法，即列表法、解析式法和圖象法，是反映函數的三種不同形式。
?　　（二）從特殊到一般地認識一次函數
?　　人們認識事物往往經歷“從特殊到一般”的過程，教科書對本章重點內容的安排正是按照這樣的過程展現的。
?　　在對函數概念初步討論后，教科書轉入對一種具體的初等函數的討論，第14．2節的標題“一次函數”點出了這一節的核心對象。這一節首先從討論正比例函數開始，正比例函數是特殊的一次函數，即中的類型。對正比例函數的定義、圖象和性質的討論，可以為討論一般的一次函數奠定基礎。
?　　在分析具體問題時，教科書注意了引導學生利用事物之間的聯系從特殊到一般地認識問題，例如討論一次函數的圖象時，教科書先對比函數和的區別，由直線的平移變換過渡到直線，然后再得出由兩點確定直線的一般方法。采用這種處理方式能夠展示解決問題的一種基本策略，即“先特殊化、簡單化，再一般化、復雜化”的做法。
?　　（三）用函數觀點回顧與審視相關內容，加強知識體系的構建
?　　在學習過程中，人們需要不斷地提高認識問題的水平，這包括對過去已認識過的事物的再認識，也包括對新認識的事物與已認識的事物之間的聯系的認識。這種認識水平的提高，是構建知識體系的過程中不可缺少的。
?　　本章最后的第14．3節“用函數觀點看方程（組）與不等式”，從函數的角度對前面學習過的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組重新進行了分析，這種再認識不是原來水平上的回顧復習，而是站在更高的起點上的動態分析。用一次函數可以把上述三個不同的數學對象統一認識，由此可見函數的重要性。“水漲船高”，隨著知識積累的增加，認識事物的水平也會相應提高。“站得高看得遠”，通過學習本節內容，不僅可以加深對方程（組）與不等式等數學對象的理解，而且可以加大對已經學過的相關內容之間的聯系的認識，加強知識間橫縱向的融會貫通，提高靈活地分析解決問題的能力，這也從一個側面反映了函數概念的作用。
?　　（四）注重聯系實際問題，體現數學建模的作用
　　世界是運動變化的，函數是研究運動變化的重要數學模型，它來源于客觀實際又服務于客觀實際。本章教科書中實際問題貫穿于始終，它們中有些是作為函數的實際背景，為降低學習抽象概念的難度服務的。例如，在引入函數概念時，教科書通過對一系列實際問題中變量間關系的分析與描述，歸納出一般性的規律要點，得出函數的定義。這樣的過程是由具體到抽象，由特殊到一般的過程，是以實際問題抽象為數學模型為線索的展現過程。有些實際問題是作為應用舉例體現函數的廣泛的應用性，為培養應用數學解決實際問題的意識和能力服務的。例如，第14．4節中的3個問題都是具有實際背景的選擇最優方案的問題，要解決這些問題，需要先確定問題中起關鍵作用的變量，再列出函數解析式，然后分析這些函數解析式或相應的圖象，找出問題中要考慮的最小（大）值。在這個過程中，把實際問題中的數量關系用一次函數來表示發揮了重要作用，分析和解決這個問題的過程，對體現數學建模的作用具有比較典型的意義。
?　　本章的數學活動中，安排了根據表格中實際問題的數據信息用函數進行預測估計或選擇方案的問題。安排這些問題的目的在于：一方面通過實際生活中的問題，進一步突出函數這種數學模型應用的廣泛性和有效性；另一方面使學生能在解決實際問題的情境中運用所學數學知識，進一步提高分析問題和解決問題的綜合能力。本章在學生已有的建立方程或不等式這樣的數學模型的基礎上，繼續重視數學與實際的關系，在建立函數這種應用更廣泛的數學模型的過程中繼續體現建模思想。
?　　此外，教科書對于數學與其他科學技術的聯系也予以關注。例如，“閱讀與思考 科學家如何測算地球的年齡”中，介紹了放射性物質蛻變過程中指數函數變化曲線對確定半衰期的作用等。編者希望學生通過學習本章不僅進一步學習數學，而且也能擴大對相關科技知識的了解。
?　　三、幾個值得關注的問題
?　　（一）重視數學概念中蘊涵的思想，注意從運動變化和聯系對應的角度認識函數
?　　數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的科學，數量關系和空間形式是從現實世界中抽象出來的，世界永遠是處于運動變化之中的，因此無論是數量關系中還是空間形式中都充滿了有關運動變化的問題。函數正是研究運動變化的重要數學模型，它反映的是變量之間的對應規律，它對研究數量關系的作用是十分顯然的。由于空間形式可以代數化（解析幾何的產生就是典型例證），所以在對于空間形式的研究中函數也能發揮巨大作用，數學史的發展對此有充分的證明，函數在當今數學的各個領域都是極為重要的角色。
?　　函數概念來源于客觀實際需要，也來自數學內部發展的需要。它是以變化與對應的思想為基礎的數學概念。怎樣認識函數概念呢？學習函數概念不能只注重背記定義而不關注它的實質，要使學生理解定義的真正含義，即函數概念的實質就是運動變化與聯系對應。使學生了解對于許多客觀事物必須從運動變化的角度研究，許多問題中的各種變量是相互聯系的，變量之間存在對應規律。變量的值之間存在對應關系，其中就有單值對應關系，刻畫這種關系的數學模型就是函數。本章所討論的是最簡單、最基本的函數，但是函數不分簡單還是復雜，在本質上都是上面所說的那樣的數學模型。作為關于函數的初始教學，應有意識地體現函數的本質，這正是本章內容中蘊涵的基本思想。當然，對于運動變化與聯系對應的思想的認識也是需要逐步理解的，所以教學中應注意在不同階段對這一思想的滲透介紹要有不同的做法和要求，要逐步深化，要從具體到抽象，從特殊到一般地引導學生認識它。
?　　本套教科書在本章中首次正式出現函數概念，通過本章教學，學生應對函數形成初步的正確認識，即認識到雖然函數的表示方法有多種，因問題不同函數的具體形式可以形形色色，但是各種函數都是反映變化規律的數學工具，現在學習的函數都是刻畫同一個變化過程中兩個變量之間的對應關系的模型，對于同一類問題可以用同一類函數進行研究（例如用一次函數研究線性規劃問題）。
?　　（二）借助實際問題情景，由具體到抽象地認識函數；通過函數應用舉例，體現數學建模思想
?　　現實中存在大量問題涉及具有簡單函數關系的變量，其中許多問題中的數量關系是一次（也稱線性）的，這為學習本章內容提供了大量的現實素材。在本章教科書中，實際問題情境多次出現，其作用主要體現在以下方面：
?　　1．引入或解釋函數等概念，例如通過候鳥飛行問題引入正比例函數，通過登山問題引入一次函數，通過第14．1節中一系列具體例子解釋變量間的對應關系等，這樣做的目的是借助直觀的、具體的事物為理解抽象的內容服務。
?　　2．作為函數的應用舉例的一些內容，例如第14．1節中例4的水位預測，第14．4節中的3個選擇方案問題等，都可以體現數學建模思想，反映函數的廣泛應用性。
?　　本章明確提出“為了更深刻地認識千變萬化的世界，人們經歸納總結得出一個重要的數學工具──函數，用它描述變化中的數量關系，函數的應用極其廣泛。”在本章的教學和學習中，要充分注意有關現實背景，通過它們反映出函數來自實際又服務于實際，加強對函數是解決現實問題的一種重要數學模型的認識。?
　　找出問題中相關變量之間的關系，并以數學形式表現這種關系，是本章中用數學模型表示和解決實際問題的關鍵步驟，而正確地理解問題情境是基礎。在本章的教學和學習中，可以從多種角度思考，借助圖象、表格、式子等進行分析，尋找變量之間的關系，檢驗所建立的函數的合理性。教師還可以結合實際情況選擇更貼近學生生活的各種問題，引導學生用函數分析解決它們。
?　　（三）重視數形結合的研究方法
?　　本章所討論的對象是函數，函數的表示法之一是圖象法，即通過坐標系中的曲線上點的坐標反映變量之間的對應關系。這種表示方法的產生，將數量關系直觀化、形象化，提供了數形結合地研究問題的重要方法，這在數學發展中具有重要地位。恩格斯說：“笛卡兒變數的出現，是數學中的一個轉折點，從此運動和辯證法進入了數學。”
?　　在本章的教學和學習中，不能僅僅著眼于具體題目的解題過程，而應不斷加深對相關數學思想方法的領會，從整體上認識問題的本質。以前我們曾多次提到數學思想方法是通過數學知識的載體來體現的，而對于它們的認識需要一個較長的過程，既需要教材的滲透，也需要教師的點撥，最后還需要學生自身的感受和理解。結合本章內容可以對數形結合的方法順勢自然地理解，并逐步加以靈活運用，發揮從數和形兩個方面共同分析解決問題的優勢。教學過程中，在函數解析式與圖象的結合方面應有細致的安排設計，注意兩者的互補作用，體現兩者的聯系，突出兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用。學習了本章之后不僅要知道有關函數的圖象，更要體驗圖象的作用和數形結合的方法。數學思想方法是具體的數學知識的靈魂，數學思想方法對一個人的影響往往要大于具體的數學知識。
?　　（四）加強對知識之間內在聯系的認識，體會函數觀點的統領作用
?　　設計本章教科書的內容和結構時，注意了函數與以前所學習的其他代數知識的關系，力求能夠在發展和構建一個較好的知識體系方面起到一定引導作用。為此，本章安排了第14．3節“用函數觀點看方程（組）與不等式”，用函數的觀點對前面學習過的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（組）重新進行了分析。教學中應能感受到這種再認識不是原來水平上的回顧復習，而是站在更高處進行動態的分析。教師需要明確安排這一節的目的，把握這些內容的要求尺度。教科書的設計者希望能通過這些內容的教學，加強知識間橫向和縱向的聯系，發揮函數對相關內容的統領作用，使學生能用一次函數可以把以前學習的方程和不等式等不同的數學對象統一起來認識，逐步達到新舊知識的融會貫通，進一步體驗函數的重要性，提高靈活地分析解決問題的能力。
?　　由于14．3節是以新帶故的內容，其中多數內容學生并不生疏，所以這部分內容很適合探究性學習方式，希望教學中注意加強學習的主動性，注意鼓勵學生積極探究，教師為啟發誘導設計必要的鋪墊，讓學生能在經過自己的努力來體驗知識間的內在聯系。
?　　從特殊到一般地認識問題，是學習的一種途徑。本章在討論一次函數時，教科書在函數解析式、圖象、性質等問題上，注意了對比函數和的區別，并對這些問題進行了由特殊到一般的討論。教學中應注意這種安排的前后聯系，體現解決問題時“先特殊化、簡單化，再一般化、復雜化”的基本策略。
?　　（五）注重對于基礎知識和基本技能的掌握，提高基本能力
?　　本章中函數的基本概念，函數的一般表示法和一次函數的概念、圖象、性質等是基礎知識；會畫一次函數（包括正比例函數）的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質等是基本技能；能利用這些函數分析和解決簡單實際問題是基本能力。對于基礎知識和基本技能的掌握和基本能力的提高，都應在教學中得到落實。例如，第14．1節中對于描點法畫函數圖象的一般步驟進行了歸納，這對后續學習很重要，應使學生熟悉它。又如，一次函數中的正負對函數的增減性（圖象的升降）的影響等，是一次函數的基本性質，應使學生從數形兩方面理解。
?　　（六）結合課題學習，提高實踐意識與綜合應用數學知識的能力
?　　本章第14．4節“課題學習選擇方案”是以一次函數為主要知識點的專題內容。尋求最佳方案是數學知識大有用武之地的問題，這一節討論的三個問題，與客觀實際的接近程度很高，并且可以綜合運用函數的解析式、圖象等知識，對問題進行分析。因此，這些問題具有一定的實踐性、綜合性、探究性、趣味性，是檢驗和提高學習能力的較好素材。本節的教學應特別關注引導學生獨立思考，分析實際問題中所包含的變量及其關系，并以函數形式表示它們，即建立函數模型。在獨立思考的基礎上，可以進行合作交流式的學習活動，深化對問題的認識。本節的教學形式應與一般例題教學有所區別，要更強調學生的主動性，使他們通過研究問題進一步感受建立數學模型的思想方法，切實提高實踐意識與綜合應用數學知識的能力。

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