資源簡介

目錄
第一章：統(tǒng)計(jì)案例
1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用…………………… （）
1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及初步應(yīng)用…………………… （ ）
本章測試……………………………………………………… （ ）
第二章：推理與證明
2.1 合情推理與演繹推理………………………………… （ ）
2.1.1 合情推理…………………………………………… （ ）
2.1.2 演繹推理…………………………………………… （ ）
2.2 直接證明與間接證明……………………………… （ ）
2.2.1 綜合法……………………………………………… （ ）
2.2.2 分析法……………………………………………… （ ）
2.2.3 反證法……………………………………………… （ ）
本章測試…………………………………………………… （ ）
第三章：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的的概念………………………… （ ）
3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念………………………… （ ）
3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義…………………………………… （ ）
3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算…………………………… （ ）
3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義………… （ ）
3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算………………………… （ ）
本章測試…………………………………………………… （ ）

第四章：框圖
4.1 流程圖………………………………………………… （ ）
4.2 結(jié)構(gòu)圖………………………………………………… （ ）
本章測試……………………………………………………… （ ）

第一章：統(tǒng)計(jì)案例
1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用
例題:
1. 在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面哪個(gè)敘述是正確的( )
(A)預(yù)報(bào)變量在軸上，解釋變量在軸上
(B)解釋變量在軸上，預(yù)報(bào)變量在軸上
(C)可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上
(D)可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上
解析：通常把自變量稱為解析變量,因變量稱為預(yù)報(bào)變量.選B
2. 若一組觀測值（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）之間滿足yi=bxi+a+ei (i=1、2. …n)若ei恒為0，則R2為
解析: ei恒為0，說明隨機(jī)誤差對(duì)yi貢獻(xiàn)為0.
答案:1.
3. 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：
x
2
3
4
5
6
y
22
38
55
65
70
若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系試求：
（1）線性回歸方程；
（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？
　解：（1）列表如下：　　
i
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
22
38
55
65
70
44
114
220
325
420
4
9
16
25
36
， ， ，
　　
于是，
　
∴線性回歸方程為： （2）當(dāng)x=10時(shí)，（萬元）
　　即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是1238萬元
課后練習(xí):
1. 一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93
用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（ ）
A.身高一定是145.83cm;
B.身高在145.83cm以上;
C.身高在145.83cm以下;
D.身高在145.83cm左右.
2. 兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)如下 ，其中擬合效果最好的模型是( )
A.模型1的相關(guān)指數(shù)為0.98
B.模型2的相關(guān)指數(shù)為0.80
C.模型3的相關(guān)指數(shù)為0.50
D.模型4的相關(guān)指數(shù)為0.25
3.在回歸分析中，代表了數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異的是( )
A.總偏差平方和 B.殘差平方和
C.回歸平方和 D.相關(guān)指數(shù)R2
4.工人月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為，下列判斷正確的是（）
A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為50元
B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高150元
C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高90元
D.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為90元
5.線性回歸模型y=bx+a+e中，b=_______,a=_________e稱為_________
6. 若有一組數(shù)據(jù)的總偏差平方和為100，相關(guān)指數(shù)為0.5，則期殘差平方和為_______ 回歸平方和為____________
7. 一臺(tái)機(jī)器使用的時(shí)間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果：
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)
16
14
12
8
每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y（件）
11
9
8
5
（1）變量y對(duì)x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)； （2）如果y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程； （3）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用
例題:
1.三維柱形圖中柱的高度表示的是（ )
A ．各分類變量的頻數(shù)B ．分類變量的百分比C ．分類變量的樣本數(shù)D ．分類變量的具體值
解析: 三維柱形圖中柱的高度表示圖中各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小.選A
2. 統(tǒng)計(jì)推斷，當(dāng)______時(shí)，有95 ％的把握說事件A 與B 有關(guān)；當(dāng)______時(shí)，認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示事件A 與B 是有關(guān)的.
解析:當(dāng)時(shí),就有95 ％的把握說事件A 與B 有關(guān),當(dāng)時(shí)認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示事件A 與B 是有關(guān)的.
3.為了探究患慢性氣管炎與吸煙有無關(guān)系,調(diào)查了卻339名50歲以上的人,結(jié)果如下表所示,據(jù)此數(shù)據(jù)請(qǐng)問:50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)系嗎?
患慢性氣管炎
未患慢性氣管炎
合計(jì)
吸煙
43
162
205
不吸煙
13
121
134
合計(jì)
56
283
339
分析:有表中所給的數(shù)據(jù)來計(jì)算的觀測值k,再確定其中的具體關(guān)系.
解:設(shè)患慢性氣管炎與吸煙無關(guān).
a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134,
a+c=56,b+d=283,n=339
所以的觀測值為.因此,故有99%的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).
課后練習(xí):
1. 在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形的高度的乘積相差越大兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性就（ ）
A.越大 B.越小 C.無法判斷 D.以上都不對(duì)
2.下列關(guān)于三維柱形圖和二維條形圖的敘述正確的是: ( )
A .從三維柱形圖可以精確地看出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系
B .從二維條形圖中可以看出兩個(gè)變量頻數(shù)的相對(duì)大小，從三維柱形圖中無法看出相對(duì)頻數(shù)的大小
C .從三維柱形圖和二維條形圖可以粗略地看出兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系
D .以上說法都不對(duì)
3．對(duì)分類變量X 與Y 的隨機(jī)變量的觀測值K ,說法正確的是（)
A . k 越大，" X 與Y 有關(guān)系”可信程度越小;
B . k 越小，" X 與Y 有關(guān)系”可信程度越小;
C . k 越接近于0，" X 與Y 無關(guān)”程度越小
D . k 越大，" X 與Y 無關(guān)”程度越大
4. 在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是（ ）
A.若K2的觀測值為k=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病;
B.從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病;
C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95% 的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5% 的可能性使得推判出現(xiàn)錯(cuò)誤;
D.以上三種說法都不正確.
5.若由一個(gè)2*2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得k2=4.013,那么有 把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系
6.某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：
性別 專業(yè)
非統(tǒng)計(jì)專業(yè)
統(tǒng)計(jì)專業(yè)
男
13
10
女
7
20
為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到
因?yàn)椋耘卸ㄖ餍藿y(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為 ____;
7.在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)。
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；
（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系。
本章測試
一.選擇題
1. 煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間有( )
A.確定性關(guān)系 B.相關(guān)關(guān)系
C.函數(shù)關(guān)系 D.無任何關(guān)系
2.下列說法正確的有( )
①回歸方程適用于一切樣本和總體。 ②回歸方程一般都有時(shí)間性。③樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍。④回歸方程得到的預(yù)報(bào)值是預(yù)報(bào)變量的精確值。
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ①③
3.下列結(jié)論正確的是( )
①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系； ②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系
③回歸分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法
④回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
4. 設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（ ）
A.y平均增加2.5個(gè)單位 B.y平均增加2個(gè)單位
C.y平均減少2.5個(gè)單位 D.y平均減少2個(gè)單位
5.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4，5)，則回歸直線的方程是( )
A.=1.23x＋4 B. =1.23x+5
C. =1.23x+0.08 D. =0.08x+1.23
6. 已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過（ ）
A.（2，2）點(diǎn) B.（1.5，0）點(diǎn)
C.（1，2）點(diǎn) D.（1.5，4）點(diǎn)
7. 在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形的高度的乘積相差越大兩個(gè)變量有關(guān)系的可能性就（ ）
A. 越大 B.越小
C.無法判斷 D. 以上都不對(duì)
8.身高與體重有關(guān)系可以用（ ）分析來分析
A.殘差 B.回歸
C.二維條形圖 D.獨(dú)立檢驗(yàn)
9. 設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有（ ）
A. b與r的符號(hào)相同 B. a與r的符號(hào)相同
C. b與r的相反 D. a與r的符號(hào)相反
10. 為研究變量和的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線方程和，兩人計(jì)算知相同，也相同，下列正確的是( )
A. 與重合 B. 與一定平行
C. 與相交于點(diǎn)
D. 無法判斷和是否相交
11. 考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到如下表數(shù)據(jù)：
種子處理
種子未處理
合計(jì)
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合計(jì)
93
314
407
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則( )
A.種子經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān) B. 種子經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)
C.種子是否經(jīng)過處理決定是否生病 D. 以上都是錯(cuò)誤的
12.變量與具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)取值16,14,12,8時(shí)，通過觀測得到的值分別為11,9，8,5，若在實(shí)際問題中，的預(yù)報(bào)最大取值是10，則的最大取值不能超過( )
A.16 B.17 C.15 D.12
二.填空題
13 .有下列關(guān)系：（1）人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；（2）曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；（3）蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；（4）森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；（5）學(xué)生與他（她）的學(xué)號(hào)之間的關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是
14. 歸直線方程為y=0.5x-0.81，則x=25時(shí)，y的估計(jì)值為
15. 在兩個(gè)變量的回歸分析中，作散點(diǎn)圖的目的是______________________________
16. 許多因素都會(huì)影響貧窮，教育也許是其中之一，在研究這兩個(gè)因素的關(guān)系時(shí)收集了美國50個(gè)州的成年人受過9年或更少教育的百分比()和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比()的數(shù)據(jù)，建立的回歸直線方程如下，斜率的估計(jì)等于0.8說明 ，成年人受過9年或更少教育的百分比()和收入低于官方的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比()之間的相關(guān)系數(shù) (填充“大于0”或“小于0”)
三.解答題
17. 在回歸分析中，通過模型由解釋變量計(jì)算預(yù)報(bào)變量時(shí)，應(yīng)注意什么問題？
18.若,
求
19.某企業(yè)為考察生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品合格率，同時(shí)各抽取100件產(chǎn)品，檢驗(yàn)后得到如下聯(lián)表：
生產(chǎn)線與產(chǎn)品合格率列聯(lián)表
合格
不合格
總計(jì)
甲線
97
3
100
乙線
95
5
100
總計(jì)
192
8
200
請(qǐng)問甲、乙兩線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率在多大程度上有關(guān)系？
20.為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化，繁殖的個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：
天數(shù)x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)
6
12
25
49
95
190
用天數(shù)作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖
描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系
計(jì)算殘差、相關(guān)指數(shù)R2.
第一章：統(tǒng)計(jì)案例答案
1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用
1. D 2.A 3.B 4.C
5.
a=，e稱為隨機(jī)誤差
6. 50，50
7. （1）r=0.995,所以y與x有線性性相關(guān)關(guān)系
（2）y=0.7286x-0.8571
（3）x小于等于14.9013
1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用
1.A 2.C 3.B 4.C
5. 95% 6. 5%
7.解：（1）2×2的列聯(lián)表
性別 休閑方式
看電視
運(yùn)動(dòng)
總計(jì)
女
43
27
70
男
21
33
54
總計(jì)
64
60
124
（2）假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”
計(jì)算

因?yàn)椋杂欣碛烧J(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的，
即有97.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”
本章測試答案
1~5 BBCCC 6~10 DABAC 11~12 BC
13.（1）（3）（4） 14. 11.69
15. (1)判斷兩變量是否線性相關(guān)
(2)判斷兩變量更近似于什么函數(shù)關(guān)系
16. 一個(gè)地區(qū)受過9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比將增加0.8%左右
大于0
17. 答：應(yīng)注意：(1)回歸模型只適用于所研究的總體。(2)回歸方程具有時(shí)效性。(3)樣本的取值范圍影響回歸方程的適用范圍。(4)預(yù)報(bào)值是預(yù)報(bào)變量可能取值的平均值。
18.解析:
19. 甲乙生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率有關(guān)的可能是50%
20.
(1)略
(2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)y=的周圍，于是令Z=lny,則
x
1
2
3
4
5
6
Z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由計(jì)數(shù)器算得 則有
(3)
6.06
12.09
24.09
48.04
95.77
190.9
y
6
12
25
49
95
190
==3.1643 ==25553.3 R2=1-=0.9999
即解釋變量天數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)變量繁殖細(xì)菌得個(gè)數(shù)解釋了99.99%.
第二章 推理與證明
2．1 合情推理與演繹推理
2．1．1 合情推理
典型例題
例1 觀察下列數(shù)的特點(diǎn)
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100項(xiàng)是( )
（A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100
解析 由規(guī)律可得:數(shù)字相同的數(shù)依次個(gè)數(shù)為
1,2,3,4,… n 由≤100 n ∈ 得,n=14,所以應(yīng)選（C）
例2 對(duì)于平面幾何中的命題“如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”,在立體幾何中,類比上述命題,可以得到命題: 。
解析 由類比推理 如果兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)
例3、觀察以下各等式：
，分析上述各式的共同特點(diǎn)，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明。
解析 猜想：。 證明
練習(xí)
一、選擇題
1、 觀察下列數(shù):1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )
(A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
2、在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3、已知 ，猜想的表達(dá)式為 ( )
A. B. C. D.
二、填空題
4、依次有下列等式：，按此規(guī)律下去，第8個(gè)等式為 。
5、（2000年上海卷）在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立.
三、解答題
6 （2004年上海春招高考題）在DEF中有余弦定理：
. 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.
7、已知數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同（2）類似的問題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？
2．1．2演繹推理
典行例題
例1 （1） 由①正方形的對(duì)角線相等；②平行四邊形的對(duì)角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是 （ ）
(A) 正方形的對(duì)角線相等 (B) 平行四邊形的對(duì)角線相等
(C) 正方形是平行四邊形 (D)其它
（2）下列表述正確的是（ ）。
①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理。
（A）①②③； （B）②③④； （C）②④⑤； （D）①③⑤。
（3） 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”
結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋? ）。
（A）大前提錯(cuò)誤 （B）小前提錯(cuò)誤 （C）推理形式錯(cuò)誤 （D）非以上錯(cuò)誤
（4） 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?（ ）。
A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤
答案 （1）選（A） （2）選（D） （3）選（A） （4）選（A）
例2 （1）在演繹推理中，只要 是正確的，結(jié)論必定是正確的。
（2）用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時(shí)的大前提是 。
答案 （1）大前提和推理過程 （2）增函數(shù)的定義
例3 如圖，S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。
證明：如圖，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，
∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，
∵SAAE=A，SA平面SAB，AE平面SAB，
∴BC⊥平面SAB，
∴AB⊥BC.
練習(xí)
一、選擇題
1、小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。
小王說：“我肯定考上重點(diǎn)大學(xué)。”
小劉說：“重點(diǎn)大學(xué)我是考不上了。”
小張說：“要是不論重點(diǎn)不重點(diǎn)，我考上肯定沒問題。”
發(fā)榜結(jié)果表明，三人中考取重點(diǎn)大學(xué)、一般大學(xué)和沒考上大學(xué)的各有一個(gè)，并且他們?nèi)齻€(gè)人的預(yù)言只有一個(gè)人是對(duì)的，另外兩個(gè)人的預(yù)言都同事實(shí)恰好相反。可見：（ ）
（A）小王沒考上，小劉考上一般大學(xué)，小張考上重點(diǎn)大學(xué)
（B）小王考上一般大學(xué)，小劉沒考上，小張考上重點(diǎn)大學(xué)
（C）小王沒考上，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張考上一般大學(xué)
（D）小王考上一般大學(xué)，小劉考上重點(diǎn)大學(xué)，小張沒考上
2、已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，給出下列四個(gè)命題：
（1）若α∥β，則l⊥m； （2）若l⊥m，則α∥β；
（3）若α⊥β，則l∥m； （4）若l∥m，則α⊥β；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3、給出下列三個(gè)命題：①若；②若正整數(shù)滿足，則；③設(shè)上任意一點(diǎn)，圓以為圓心且半徑為1。當(dāng)時(shí)，圓相切。
其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3
二、填空題
4、設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為 .
5、函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是 .
.三、解答題
6、已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
7、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；②當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)≤
③f(x)在R上的最小值為0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x.
2．2直接證明與間接證明2．2．1綜合法
典型例題
下列四個(gè)命題：①若01+a>;③若x、yR，
滿足y=x,則log的最小值是；④若a、bR，則。其中正確的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④
解析 用綜合法可得應(yīng)選（B）
例2 函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是 .
解析∵函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，
∴　0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函數(shù)y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函數(shù)，
又∵函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f(x+2) 在（0，2）上是減函數(shù)
由圖象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故應(yīng)填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
例3 已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證
解析∵ a，b，c全不相等
∴ 與，與，與全不相等。
∴
三式相加得
∴
即
練習(xí)
一、選擇題
1．如果數(shù)列是等差數(shù)列，則（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2．在△ABC中若b=2asinB　則A等于( )
(A) (B) (C) (D)
3．下面的四個(gè)不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有
（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)
二、填空題
4． 已知 ，向量的 夾角為，則=
5. 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足
條件 （或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件，例如ABCD是
正方形、菱形等）時(shí)，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的一種條
件即可，不必考慮所有可能的情形）
三、解答題
6．證明：已知：，求證：
7．已知求的最大值。
2．2．2分析法
典型例題
例1 設(shè)m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，則x與y的大小關(guān)系為（ ）。
（A）x>y； （B）x=y； （C）x解析 由分析法可得選（A）
例2 的大小關(guān)系是__________.
解析 由分析法可得應(yīng)填
例3 設(shè)若函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求證為偶函數(shù)。
解析 記
欲證 為偶函數(shù)，只須證
，
即只須證
由已知，函數(shù)與的圖象關(guān)于軸y對(duì)稱，而函數(shù)與的圖象也是關(guān)于y軸對(duì)稱的
∴=
于是有=
∴為偶函數(shù)。
練習(xí)
一、選擇題
1．已知，則正確的結(jié)論是（ ）。
(A)a＞b (B)a＜b (C)a=b (D)a、b大小不定
2．設(shè)a、b、m都是正整數(shù)，且a＜b，則下列不等式中恒不成立的是（ ）。
(A) (B) (D) (D)
3．已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，則f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（ ）。
(A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B)
(C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1）
二、填空題
4．在十進(jìn)制中，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為 。
5設(shè)，那么P, Q, R的大小順序是 。
三、解答題
6．自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響，用表示某魚群在第年年初的總量，，且＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù).
（Ⅰ）求與的關(guān)系式；
（Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
7．設(shè)函數(shù).
（1）證明：；
（2）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明.
2.2.2反證法
典型例題
例1（1）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ）
( A ) 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； (B) 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；
(C) 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度； (D) 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。
（2）已知＝2，關(guān)于p＋q的取值范圍的說法正確的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反證法可得（1）應(yīng)選（B） （2）應(yīng)選（A）
例2 用反證法證明命題“如果那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_____________.
解析 用反證法可得應(yīng)填 或
例3 若、，
(1)求證：；
(2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.
解：（1）（采用反證法）. 若，即, 解得
從而與題設(shè),相矛盾，
故成立.
(2) 、、、、, .
（3）因?yàn)?又,
所以,
因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、
練習(xí)
一、選擇題
1．否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說法中，正確的是 ( )
（A）有一個(gè)解 （B）有兩個(gè)解 （C）至少有三個(gè)解 （D）至少有兩個(gè)解
2．設(shè)大于0，則3個(gè)數(shù)：，，的值 ( )
（A）都大于2 （B）至少有一個(gè)不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一個(gè)不小于2
3．已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b為異面直線，則 ( )
（A） a、b都與l相交 （B） a、b中至少一條與l相交
（C） a、b中至多有一條與l相交 （D） a、b都與l相交
二、填空題
4．用反證法證明“，求證：中至少有一個(gè)不小于”時(shí)的假設(shè)為
5．用反證法證明“若＞0，則 ”時(shí)的假設(shè)為
三、解答題
6．證明：不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).
7．對(duì)于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對(duì)稱？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
推理與證明測試題
一、選擇題（每題5分，共50分）
1、由數(shù)列1，10，100，1000，……猜測該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是（ ）。
A．10n; B．10n-1; C．10n+1; D．11n.
2、類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵? ）。
①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等。
A．①； B．①②； C．①②③； D．③。
3、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 ( )
(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15
4、、在下列表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值是( )
1
2
0.5
1
a
b
c
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列，，……，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，，……，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，，……，的“理想數(shù)”為（ ）
A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000
6、計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0 ～9和字母A ～F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
十六進(jìn)制
0
1
2
3
4
5
6
7
十進(jìn)制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六進(jìn)制
8
9
A
B
C
D
E
F
十進(jìn)制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六進(jìn)制表示E+D=1B,則（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
7、若數(shù)列的前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中，可取遍的前8項(xiàng)值的數(shù)列是（ ）
A B C D
8、設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝，若關(guān)于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2、x3，則等于（ ）
A．5 B． C．13 D．
9、正實(shí)數(shù)及函數(shù)滿足，且，則 的最小值為 （ ）
4 2
10．設(shè)函數(shù) 則的值為（ ）txjy
A. a B. b C. a, b中較小的數(shù) D. a, b中較大的數(shù)
二、填空題（每題5分，共20分）
11、設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則
12、設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f(n)表示n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)= , 當(dāng)n>4時(shí)，f(n)=
13、若數(shù)列{}，(n∈N)是等差數(shù)列,則有數(shù)列b=(n∈N)也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{c}是等比數(shù)列,且c＞0(n∈N),則有d=____________ (n∈N)也是等比數(shù)列。
14、定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫
做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和. 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么值
為______________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為________________。
三、解答題
.15．設(shè)都是正數(shù)，求證。
16．（12分）已知：，求證：
（1）；
（2）中至少有一個(gè)不小于。
17（14分）如圖是所在平面外一點(diǎn)，平面，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，。求證：。
18（14分）已知：
通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題：
_____________________________________________________= （ * ）
并給出（ * ）式的證明。
19．（14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋渲衋、b為常數(shù)，a1=0，b1=1．
（1）若a=1，求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若，要使數(shù)列{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值；
20．（14分）對(duì)于函數(shù)，若存在成立，則稱
不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù) 有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；
（3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立。
第二章 推理與證明
參 考 答 案
2．1 合情推理與演繹推理
2．1．1 合情推理
一、選擇題
（1）（A） 觀察各項(xiàng)我們可以發(fā)現(xiàn)：x為前一項(xiàng)的3倍即14×3，y為前一項(xiàng)減1，z為前一項(xiàng)的3倍，故應(yīng)選42，41，123，選（A）。
（2）分析 關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對(duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比： 多面體 多邊形； 面 邊
體 積 面 積 ； 二面角 平面角
面 積 線段長； … …
由此，可類比猜測本題的答案：
，故選（C）。
（3）由歸納猜想可得選（B）。
二、填空題
（4）由歸納猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=
（5）猜測本題的答案為：
事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列，如果，則
. 所以有：
）（）.從而對(duì)等比數(shù)列，如果，則有等式：成立
三、解答題
6．分析 根據(jù)類比猜想得出.
其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角.
證明： 作斜三棱柱的直截面DEF，則為面與面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得
即
7．解：（1）
（2）
，
當(dāng)時(shí)，.
（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. …… 12分
研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.
研究的結(jié)論可以是：由，
依次類推可得
當(dāng)時(shí)，的取值范圍為等.
1. 2 演繹推理
一、選擇題
（1）由推理知識(shí)，可知應(yīng)選（C）
（2）由直線和平面以及平面和平面平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理，可知應(yīng)選（B）
（3）由不等式的基本性質(zhì)以及圓方程的性質(zhì)，可知應(yīng)選（B）
二、填空題
（4）分析 此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的倒序相加法，觀察每一個(gè)因式的特點(diǎn)，嘗試著計(jì)算： ，
，
，
發(fā)現(xiàn)正好是一個(gè)定值， ，.
（5）∵函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，
∴　0＜x+2＜2即-2＜x＜0
∴函數(shù)y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函數(shù)，
又∵函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f(x+2) 在（0，2）上是減函數(shù)
由圖象可得
f(2.5)>f(1)>f(3.5)
故應(yīng)填f(2.5)>f(1)>f(3.5)
三、解答題
6．直線BD和平面ABD的位置關(guān)系是平行
證明：如圖，連接BD，
∵在△ABC中，
BE=CE DF=CF
∴EF∥BD
又BD平面ABD
∴BD∥平面ABD
7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于x= -1對(duì)稱
∴ 即b=2a
由③知當(dāng)x= 1時(shí),y=0，即ab+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1.
∴f(1)=1，即a+b+c=1，又ab+c=0
∴a= b= c= ，∴f(x)=
假設(shè)存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1時(shí)，有f(t+1)≤1(t+1)2+(t+1)+≤1-4≤t≤0
對(duì)固定的t∈[-4,0]，取x=m，有
f(t?+m)≤m(t+m)2+(t+m)+≤m+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0
≤m≤ ∴m≤≤=9
當(dāng)t= -4時(shí)，對(duì)任意的x∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴m的最大值為9.
解法二：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱
∴ b=2a
由③知當(dāng)x=1時(shí),y=0，即a b+c=0；由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1
∴f(1)=1，即a+b+c=1，a b+c=0
∴a= b= c=∴f(x)==(x+1)2
由f(x+t)=(x+t+1)2≤x 在x∈[1,m]上恒成立
∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0當(dāng)x∈[1,m]時(shí)，恒成立
令 x=1有t2+4t≤0-4≤t≤0
令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2≤0當(dāng)t∈[-4,0]時(shí)，恒有解
令t= -4得，- 10m+9≤01≤m≤9
即當(dāng)t= -4時(shí)，任取x∈[1,9]恒有f(x-4)-x=(-10x+9)=(x-1)(x-9)≤0
∴ mmax=9
2．2直接證明
2．2．1 綜合法
一、選擇題
（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q 則可知應(yīng)填（B）。
（2）由正弦定理得sinB=2sinAsinBsinA=A=故應(yīng)選（D）。
（3）由不等式的性質(zhì)可知應(yīng)選（A）。
二、填空題
（4）由向量性質(zhì)以及向量的數(shù)量積公式，故應(yīng)填13 （5）AC⊥BD
三、解答題
6．證明：（用綜合法） ∵，
7．解：∵ ∴ 則
即
2．2．2 分析法
一、選擇題
（1）B
（2）B
（3）D
二、填空題
（4）254（5）P＜R＜Q
三、解答題
6．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得
因?yàn)閤1>0，
所以a>b. 猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.
7證明：1）
==
2)
① 又 ②
由①②知= 所以
2．2．3 反證法
一、選擇題
（1）C（2）D（3）B
二、填空題
（4）假設(shè)都小于，即
（5）
三、解答題
6證明：假設(shè)、、為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m,n滿足
① ②
①n-②m得：n-m=(n-m) 兩邊平方得： 3n2+5m2-2mn=2(n-m)2
左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無理數(shù)
所以，假設(shè)不正確。即 、、不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。
7證明：（反證法）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3與①矛盾。
故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱。
推理與證明測試題參考答案
一、選擇題
（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）A（7）B（8）D（9）C（10）D
二、填空題
11．0
12. 5 ，
13.
14. 3 , ( 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， )
三、解答題
15證明：
16（1）證明：∵
∴
（2）假設(shè)都小于，則
，
即有
∴
由（1）可知，與矛盾，
∴假設(shè)不成立，即原命題成立
17證明：取PB的中點(diǎn)，連結(jié)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∴MQ⊥AB，取的中點(diǎn)，連結(jié)QD，則QD∥PA，∵∴QD=QB，又，∴，∴，∴AB⊥平面QMN，∴
18 一般形式:
證明 左邊 =
=
=
=
=
∴原式得證
（將一般形式寫成
等均正確。）
19解：⑴∵a＝1>0，∴f(x)＝ax＋b在R上為增函數(shù)，
∴an＝a·an－1＋b＝an－1＋b，bn＝bn－1＋b(n≥2)，
∴數(shù)列{an}，{bn}都是公差為b的等差數(shù)列。
又a1=0，b1=1,∴an=(n－1)b,bn＝1＋(n－1)b(n≥2)
⑵∵a>0，bn＝abn－1＋b，∴，
由{bn}是等比數(shù)列知為常數(shù)。又∵{bn}是公比不為1的等比數(shù)列，則bn－1不為常數(shù)，
∴必有b＝0。
20。解：依題意有,化簡為 由違達(dá)定理, 得
解得 代入表達(dá)式，
由得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
（2）由題設(shè)得 （*）
且 （**）
由（*）與（**）兩式相減得：
解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，；
（3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知
,有
，而當(dāng)
這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.
關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上:
由得<0或
結(jié)論成立；
若，此時(shí)從而即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.
比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長進(jìn).
第三章：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
典型例題:
1．設(shè)z＝為實(shí)數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是（ A ）
A.3 B.－5
C.3或－5 D.－3或5
2．設(shè)關(guān)于的方程,若方程有實(shí)數(shù)根，則銳角和實(shí)數(shù)根______________________________________.
解：，
3．設(shè)復(fù)數(shù)，試求m取何值時(shí)
（1）Z是實(shí)數(shù)； （2）Z是純虛數(shù)； （3）Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第一象限
解：。。 Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第一象限。
練習(xí):
一．選擇題：
1．復(fù)平面上的正方形的三個(gè)頂點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)有三個(gè)為那么第四
個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．若復(fù)數(shù)(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m滿足　　　　　　　（　 　 ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6 (D) m≠－1且m≠6
3．下列命題中，假命題是( )
（A）兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小 （ B）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小
（ C ）兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小 （ D ）一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小
二．填空題：
4．復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，則有__________________.
5．已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z =
三．解答題：
6．已知復(fù)數(shù)，滿足，且為純虛數(shù)，求證： 為實(shí)數(shù)。
7．已知關(guān)于的方程組有實(shí)數(shù)，求的值。

3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義
典型例題：
1. 若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是（ C ）
A. 圓 B. 線段
C. 焦點(diǎn)在虛軸上的橢圓 D. 焦點(diǎn)在實(shí)軸上的橢圓
2. 滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是________________(圓)
3. 設(shè)滿足條件的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合表示什么圖形?
練習(xí):
一．選擇題：
1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 設(shè)O是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）

3. 復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，則有（ ）

二．填空題：
4. 設(shè)，，復(fù)數(shù)和在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，O為原點(diǎn)，則的面積為 。
5. 已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z =
三．解答題：
6. 設(shè)R，若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上。求m的值。
7. 已知兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z1=3和z2=-5+5i，求向量與的夾角。
3.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算
3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義
典型例題:
1．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），則D點(diǎn)的坐標(biāo)_____________________.
解：,
而表示的復(fù)數(shù)為, 即表示的復(fù)數(shù)為
又, 表示的復(fù)數(shù)為
，
3．
解：，
，
練習(xí):
一．選擇題：
1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 設(shè)復(fù)數(shù)= （ ）
A． B． C． D．
3. 兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是實(shí)數(shù)且z1≠0，z2≠0），對(duì)應(yīng)的向量在同一直線上的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
二．填空題：
4. 向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+4i，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是______________。
5. 如果復(fù)數(shù)滿足,則的最大值是
三．解答題：
6. 已知為復(fù)數(shù)，若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7. 已知關(guān)于x的方程有實(shí)根，求的最小值。
3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
典型例題:
1. “”是“”的（ A ）條件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
2. 計(jì)算：_________
解:原式
3.
解法一：
，
，
。

解法二：， ，
，
， ，，， ，。


練習(xí):
一．選擇題：
1. 計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 若，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A. 圓 B. 兩點(diǎn) C. 線段 D. 直線
3. 復(fù)數(shù)，且，則是（ ）
A. 實(shí)數(shù) B. 純虛數(shù) C. 非純虛數(shù) D. 復(fù)數(shù)
二．填空題：
4. _________________.
5. 在復(fù)數(shù)集內(nèi)分解因式：____________
三．解答題：
6.
7.

第三章：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入測試題
一、選擇題:
1. 設(shè)為復(fù)數(shù)，則“”是“”的 （ ）
(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分又不必要條件
2. 已知，則的值為 （ ）
(A)-1 (B)4 (C)0 (D)2
3. 已知，，則的關(guān)系是　　（　 　）
(A) (B) (C) (D)
4. 復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）

5. 復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）

6. 設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
7. 計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 若，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A. 圓 B. 兩點(diǎn) C. 線段 D. 直線
9. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
10. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足 （ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）2
二、填空題:
11. 設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則+=_________.
12. 已知復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)滿足則復(fù)數(shù)=______.
13. 若 , ，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
14. 已知虛數(shù)()的模為,則的最大值是 ，
的最小值為 .
三、解答題:
15.
16.
17.
18. 若復(fù)數(shù)z滿足，求證：
19. 若復(fù)數(shù)z滿足，求的最大、最小值。
20. 設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，求的值.

參考答案
3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
1.C 2.Ｄ　3.A 4.a≠0且a≠2 5. 6.
7. a=1, b=2
3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義
1. D 2.B 3.C 4. 5. 6. m=2 7. α=
3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義
1.D 2.C 3.D 4.0 5.
6. 當(dāng)； 當(dāng)，；當(dāng)，可得.
7. 解：設(shè)是方程的實(shí)根，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，|z|取最小值
3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
1.D 2.A 3.B 4. i 5.
6. ；
7．，，


第三章：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入測試題答案
１．A　　２．B　３．D　４．D　５．D　6．C 7. D 8. A 9.B 10.　C 11.4 12. 13. 14． 15. 證明：充分性：
, ,。
必要性：
，。
16. 解：

，
17.
方法一：，
（這是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，消元略顯繁瑣，因此代數(shù)解法不簡明，換角度看問題。）
方法二：，

方法三：（可利用復(fù)數(shù)運(yùn)算幾何意義化歸為幾何問題）
，
而|z|則表示該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離，
由平面幾何知識(shí)可知，使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離取最大（最小）值的點(diǎn)在直線OC與圓的交點(diǎn)處。

注：對(duì)比以上三種方法，幾何法，即方法三更為直觀便捷，應(yīng)是解此類最值問題的首選方法。
18. 證明：設(shè)
， ，

19. 解法一：數(shù)形結(jié)合法
設(shè)，則，
化簡，得，。
表示點(diǎn)到原點(diǎn)O（0，0）的距離，而點(diǎn)（x，y）在圓C上。
由平面幾何知識(shí)，可知|z|的最大值為，最小值為。
解法二：利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)
，即，去絕對(duì)值，得
解這個(gè)關(guān)于的不等式，得，當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)
由，把代入得，解得或
當(dāng)時(shí)，取最大值； 當(dāng)時(shí)，取最小值。
20. ，
（1）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根：，，
(a)當(dāng)時(shí)，==2；
(b)當(dāng)時(shí)，=；
（2）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根：，
=.
綜上所述：=.
第四章：框圖
4.1 流程圖
例題:
1．表示旅客搭乘火車的流程正確的是( )
A.買票候車上車檢票
B.候車買票上車檢票
C.買票候車檢票上車
D.修車買票檢票上車
解析:根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn),選C.
2. 流程圖是由________構(gòu)成的圖示.流程圖常用來表示一些________過程，通常會(huì)有一個(gè)_________一個(gè)或多個(gè)______通常按照______,_______的順序來畫流程圖.
解析: 圖形符號(hào)和文字說明 動(dòng)態(tài) 起點(diǎn) 終點(diǎn) 從左到右 從上到下
3. 一些實(shí)際問題通常可以建立數(shù)學(xué)模型來解決，具體方法是：從實(shí)際情境中提出問題，根據(jù)問題建立數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)果，經(jīng)檢驗(yàn)，若不合乎實(shí)際，則要修改，合乎實(shí)際，則該數(shù)學(xué)結(jié)果即為可用結(jié)果，請(qǐng)用流程圖表示數(shù)學(xué)建模的過程．
解析:

課后練習(xí):
1 ．下列說法正確的是( )
A .流程圖只有1 個(gè)起點(diǎn)和1 個(gè)終點(diǎn)
B .程序框圖只有1 個(gè)起點(diǎn)和1 個(gè)終點(diǎn)
C .工序圖只有1 個(gè)起點(diǎn)和1 個(gè)終點(diǎn)
D .以上都不對(duì)
2.下列關(guān)于邏輯結(jié)構(gòu)與流程圖的說法正確的是
A .一個(gè)流程圖一定會(huì)有順序結(jié)構(gòu)
B .一個(gè)流程圖一定含有條件結(jié)構(gòu)
C .一個(gè)流程圖一定含有循環(huán)結(jié)構(gòu)
D.以上說法都不對(duì)
3.給出以下一個(gè)算法的程序框圖,該程序框圖的功能是( )
A .求出a 、b 、c三數(shù)中的最大數(shù)B .求出a、b 、c三數(shù)中的最小數(shù)C .將a 、b 、c 按從小到大排列D .將a 、b 、c按從大到小排列
4. 某同學(xué)一天上午的活動(dòng)經(jīng)歷有：上課、早鍛煉、用早餐、起床、洗漱、午餐、上學(xué)．用流程圖表示他這天上午活動(dòng)的經(jīng)歷的過程．
5.設(shè)計(jì)一個(gè)算法求,并畫出流程圖.
6. 若一個(gè)數(shù)列的遞推公式為.畫出打印這個(gè)數(shù)列的前10 項(xiàng)的程序框圖.
7.某招生單位制定了如下的考生考試程序：
1.進(jìn)考點(diǎn)：到達(dá)考點(diǎn)開考前30 分鐘到開考后15 分鐘之間允許進(jìn)考點(diǎn)，否則不得進(jìn)考點(diǎn)出示考試證件檢查有證件者進(jìn)考點(diǎn)，否則不得進(jìn)考點(diǎn)進(jìn)考點(diǎn)．
2.進(jìn)考點(diǎn)：到達(dá)考場驗(yàn)指紋，查證件，符合者進(jìn)考場，否則不得進(jìn)場再考15 分鐘前允許進(jìn)場，否則不得進(jìn)場．
3.考試：考試作弊者收繳試卷，給出相應(yīng)處罰并離場交卷離場．
設(shè)計(jì)流程圖表述上述考生考試程序．
4.2 結(jié)構(gòu)圖
例題:
1.下列關(guān)于結(jié)構(gòu)圖的說法不正確的是（ ）
A .結(jié)構(gòu)圖中各要素之間通常表現(xiàn)為概念上的從屬
關(guān)系和邏輯上的先后關(guān)系
B .結(jié)構(gòu)圖都是“樹形”結(jié)構(gòu)
C.簡潔的結(jié)構(gòu)圖能更好地反映主體要素之間關(guān)系和系統(tǒng)的整體特點(diǎn)
D.復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖能更詳細(xì)地反映系統(tǒng)中各細(xì)節(jié)要素及其關(guān)系
解析:組織結(jié)構(gòu)圖一般都呈“樹形”結(jié)構(gòu),但在結(jié)構(gòu)圖中也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)其他形結(jié)構(gòu),如“環(huán)”形結(jié)構(gòu).
2. 在工商管理學(xué)中，MRP ( Material Requirement Planning ）指的是物資需求計(jì)劃，基本MRP 的體系結(jié)構(gòu)如圖所示．
從圖中可以看出，基本MRP 直接受______,______和________的影響．
解析:從圖中的箭頭可以看出影響基本MRP的因素主要有主生產(chǎn)計(jì)劃,產(chǎn)品結(jié)構(gòu),庫存狀態(tài).
3. 用結(jié)構(gòu)圖描述本章“框圖”的知識(shí)結(jié)構(gòu).
解析:
點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)用“樹形”結(jié)構(gòu)描述的本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，箭頭表示各要素之間的從屬關(guān)系，與課本P93 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖比較，此結(jié)構(gòu)圖更詳細(xì)復(fù)雜，事實(shí)上，簡潔的結(jié)構(gòu)圖可以進(jìn)一步地細(xì)化，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖也可以簡化.
課后練習(xí):
1.下列關(guān)于流程圖和結(jié)構(gòu)圖的說法中不正確的是( ) A .流程圖用來描述一個(gè)動(dòng)態(tài)過程
B .結(jié)構(gòu)圖用來刻畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
C.流程圖只能用帶箭頭的流程線表示各單元的先后關(guān)系
D.結(jié)構(gòu)圖只能用帶箭頭的連線表示各要素之間的從屬關(guān)系或邏輯上的先后關(guān)系
2. 下列結(jié)構(gòu)圖中，體現(xiàn)要素之間是邏輯先后關(guān)系的是( )
3. 下列結(jié)構(gòu)圖中要素之間表示從屬關(guān)系的是( )
4. 要描述一工廠的組成情況，應(yīng)用（ ）
A .程序框圖 B .工序流程圖
C .知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 D .組織結(jié)構(gòu)圖
5. 流程圖和結(jié)構(gòu)圖都是按照________,________的順序繪制，流程圖只有_______起點(diǎn),________終點(diǎn)．
6. 一般情況下，“下位”要素比“上位”要素更為_________，上位要素比下位要素更為________，下位要素越多，結(jié)構(gòu)圖越_________.
7. 有下列要素：哺乳動(dòng)物、狗、飛行動(dòng)物、麻雀、蛇、地龜、狼、動(dòng)物、鷹、爬行動(dòng)物，設(shè)計(jì)一個(gè)結(jié)構(gòu)圖表示這些要素及其關(guān)系.
本章測試
一.選擇題
1.以下說法正確的是（ ）
A.工序流程圖中不可能出現(xiàn)閉合回路
B.程序流程圖中不可能出現(xiàn)閉合回路
C.在一個(gè)程序流程圖中三種程序結(jié)構(gòu)可以都不出現(xiàn)D.在一個(gè)程序流程圖中三種程序結(jié)構(gòu)必須都出現(xiàn)
2. 下述流程圖，如圖所示，輸出d 的含義是( )
A.點(diǎn)到直線的距離
B.點(diǎn)到直線距離的平方
C.點(diǎn)到直線距離的倒數(shù)
D.兩條平行線間的距離
3. 要解決下面的四個(gè)問題，只用順序結(jié)構(gòu)畫不出其流程圖的是( )
A.利用公式,計(jì)算的值.
B. 當(dāng)圓面積已知時(shí)，求圓的周長
C. 當(dāng)給定一個(gè)數(shù)x ，求其絕對(duì)值
D. 求函數(shù)的函數(shù)值
4. 下列框圖中，是流程圖的是 ( )
5. 程序框圖中的判斷框，有一個(gè)人口和（ ）個(gè)出口，而在流程圖中，可以有一個(gè)或多個(gè)終點(diǎn)．
A . 1 B . 2
C . 3 D . 4
6. 以下給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖,如左下圖所示,其中判斷框內(nèi)填入的條件是( )
A . i > 10 B . i＜10 C . i > 20 D . i < 20
7. 在如右上圖的程序圖中，輸出結(jié)果是
A .5 B .10 C .20 D .15
8. 下面框圖中的錯(cuò)誤是 ( )
A . i 未賦值 B.循環(huán)結(jié)構(gòu)有錯(cuò)
C . s的計(jì)算不對(duì) D.判斷條件不成立
二.填空題
9.如圖輸出的是________.
10. 景泰藍(lán)是深受人民喜愛的手工藝品．現(xiàn)在我們把它的制作流程敘述一下：
第一步制胎，第二步掐絲，第三步點(diǎn)藍(lán)，第四步燒藍(lán)，第五步打磨，第六步鍍金．請(qǐng)你用工序流程圖畫出以上工序：
三.解答題
11. 用流程圖描述解的算法.
12. 請(qǐng)畫出你從寫信到發(fā)信的全過程的流程圖．
13. 有下列要素：糖、鹽、堿、有機(jī)物、物質(zhì)、醋、無機(jī)物、酒精，設(shè)計(jì)一個(gè)結(jié)構(gòu)圖表示這些要素及其關(guān)系．
14. 已知函數(shù),試用流程圖表示.
15.對(duì)任意函數(shù),可按如圖所示,構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:
①輸入數(shù)據(jù),經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出;
②若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作;若,將反饋加輸入端,再輸出,并依此規(guī)律進(jìn)行下去.
現(xiàn)定義.
(1).若輸入,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列,寫出的所有項(xiàng).
(2).若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無窮的常數(shù)列,試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值.

第四章：框圖答案
4.1 流程圖
1.B 2.C 3. B
4.
5.流程圖
6. 解析:
7. 解析:
4.2 結(jié)構(gòu)圖
1.D 2.C 3.C 4.D
5. 從上到下 從左到右 一個(gè) 一個(gè)或多個(gè)
6. 具體 抽象 復(fù)雜
7.
本章測試答案
1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7. C 8.A
9. 63
10. 制胎；掐絲；點(diǎn)藍(lán)；燒藍(lán)；打磨；鍍金
11. 解析:
12. 解析:
13.解析:
14. 解析:
15.解: (1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域.所以數(shù)列只有3項(xiàng).
(2).令即
解得
故當(dāng)時(shí),
所以輸入的初始數(shù)據(jù)時(shí),
得到常數(shù)列;
時(shí), 得到常數(shù)列.

展開更多......

收起↑