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專題三十九 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
知識歸納
一、條件概率
1、定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
2、性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
二、相互獨立與條件概率的關系
1、相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
2、事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
三、全概率公式
1、全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且．
2、貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
典例分析
題型一、條件概率
【例1-1】若將整個樣本空間想象成一個1×1的正方形，任何事件都對應樣本空間的一個子集，且事件發生的概率對應子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（ ）
A．事件A發生的概率 B．事件B發生的概率
C．事件B不發生條件下事件A發生的概率 D．事件A、B同時發生的概率
【例1-2】已知事件A和B是互斥事件，，，，則______．
【例1-3】如果不是等差數列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數列.已知數列的項數為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數列，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】我國中醫藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫生從“三藥三方”中隨機選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．事件與事件B相互獨立
C． D．
【例1-6】英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件存在如下關系：，賀歲檔電影精彩紛呈，有幾部影片是小明期待想去影院看的．小明同學家附近有甲 乙兩家影院，小明第一天去甲 乙兩家影院觀影的概率分別為0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為0.5，則小明同學（ ）
A．第二天去甲影院的概率為0.44 B．第二天去乙影院的概率為0.44
C．第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為
D．第二天去了乙影院，則第一天去甲影院的概率為
【例1-7】“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例1-8】2022年3月，全國大部分省份出現了新冠疫情，對于出現確診病例的社區，受到了全社會的關注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗．假設在接受檢驗的人群中，隨機抽一人核酸檢測呈陽性概率為，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是相互獨立的．
(1)若該社區約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；
(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認，因為有假陽性的可能；已知該社區人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數據：（，）
題型二、相互獨立事件的判斷
【例2-1】設為兩個隨機事件，給出以下命題：
（1）若為互斥事件，且，，則；
（2）若，，，則為相互獨立事件；
（3）若，，，則為相互獨立事件；
（4）若，，，則為相互獨立事件；
（5）若，，，則為相互獨立事件，
其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2-2】已知事件，滿足，，則不能說明事件，相互獨立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】奧密克戎變異毒株傳染性強、傳播速度快隱蔽性強，導致上海疫情嚴重，牽動了全國人民的心．某醫院抽調了包括甲、乙在內5名醫生隨機派往上海①，②，③，④四個醫院，每個醫院至少派1名醫生，“醫生甲派往①醫院”記為事件A：“醫生乙派往①醫院”記為事件B；“醫生乙派往②醫院”記為事件C，則（ ）
A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立
C． D．
【例2-4】袋內有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關系是（ ）
A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立
【例2-5】袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標有數字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數字是1”，表示事件“第二次取出的球上數字是2”，表示事件“兩次取出的球上數字之和是5”，表示事件“兩次取出的球上數字之和是6”，通過計算，則可以得出（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
題型三、相互獨立事件概率的計算
【例3-1】甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為（ ）
A． B． C． D．1
【例3-2】某中學組織高三學生進行一項能力測試，測試內容包括、、三個類型問題，這三個類型所含題目的個數分別占總數的，，.現有3名同學獨立地從中任選一個題目作答，則他們選擇的題目所屬類型互不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC） 三個環節．已知某產品IQC的單獨通過率為，IPQC的單獨通過率為，規定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立，則一件該產品能進入OQC環節的概率為 ．
【例3-4】某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為 .
【例3-5】某校高二年級學生舉行中國象棋比賽，經過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學進入決賽.決賽規則如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結束.若經抽簽，已知第一場甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，則（ ）
A．甲獲得冠軍的概率最大 B．甲比乙獲得冠軍的概率大
C．丙獲得冠軍的概率最大 D．甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等
【例3-6】重慶的8月份是一段讓人難忘的時光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應，在政府的主導與支持下，各大電商平臺也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務，用戶在平臺上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺進行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區在隔離期間主要使用的電商平臺有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺并不能準時送達，根據統計三家平臺的準點率分別為，，，各平臺送貨相互獨立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點了一份配送貨，則至少有兩家準點送到的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例3-7】2019年底，武漢發生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛健委緊急部署，從多省調派醫務工作者前去支援，正值農歷春節舉家團圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者 疑似的新冠肺炎患者 無法明確排除新冠肺炎的發熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶 不漏一人．若在排查期間，某小區有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”，現醫護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現一例陽性，則將該小區確定為“感染高危小區”．假設每人被確診的概率均為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率取得最大值，則 ．
【例3-8】電子競技（Electronic Sports）是電子游戲比賽達到“競技”層面的體育項目，其利用電子設備作為運動器械進行的、人與人之間的智力和體力結合的比拼.電子競技可以鍛煉和提高參與者的思維能力、反應能力、四肢協調能力和意志力，培養團隊精神.第19屆亞運會將于2022年9月10日至25日在浙江杭州舉行，本屆亞運會增設電子競技競賽項目，比賽采取“雙敗淘汰制”.以一個4支戰隊參加的“雙敗淘汰制”為例，規則如下：
首輪比賽：抽簽決定4支戰隊兩兩對陣，共兩場比賽.根據比賽結果（每場比賽只有勝、敗兩種結果），兩支獲勝戰隊進入勝者組，另外兩支戰隊進入敗者組；
第二輪比賽：敗者組兩支戰隊進行比賽，并淘汰1支戰隊（該戰隊獲得殿軍）；勝者組兩支戰隊進行比賽，獲勝戰隊進入總決賽，失敗戰隊進入敗者組；
第三輪比賽：上一輪比賽中敗者組的獲勝戰隊與勝者組的失敗戰隊進行比賽，并淘汰1支戰隊（該戰隊獲得季軍）；
第四輪比賽：剩下的兩支戰隊進行總決賽，獲勝戰隊獲得冠軍，失敗戰隊獲得亞軍.
現有包括戰隊在內的4支戰隊參加比賽，采用“雙敗淘汰制”.已知戰隊每場比賽獲勝的概率為，且各場比賽互不影響.
(1)估計戰隊獲得冠軍的概率；
(2)某公司是戰隊的贊助商之一，賽前提出了兩種獎勵方案：
方案1：獲得冠軍則獎勵24萬元，獲得亞軍或季軍則獎勵15萬元，獲得殿軍則不獎勵；
方案2：獲得冠軍則獎勵（其中以全勝的戰績獲得冠軍獎勵40萬元，否則獎勵30萬元），其他情況不獎勵.
請以獲獎金額的期望為依據，選擇獎勵方案，并說明理由.
【例3-9】公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫（Demere）向另一位著名的數學家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答．該問題如下：設兩名運動員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止．獎金該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．
(1)規定如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．若，，，，求．
(2)記事件為“比賽繼續進行下去乙贏得全部獎金”，試求當，，時比賽繼續進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由．規定：若隨機事件發生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件．
題型四、相互獨立事件概率的綜合應用
【例4-1】“五一”勞動節放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】一個電路如圖所示，，，，，，，為7個開關，其閉合的概率均為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（多選題）九月伊始，佛山市某中學社團招新活動開展得如火如茶，小王、小李、小張三位同學計劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（ ）
A．三人選擇社團一樣的概率為
B．三人選擇社團各不相同的概率為
C．至少有兩人選擇籃球社的概率為
D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
【例4-4】（多選題）以石墨烯電池、量子計算、AI等顛覆性技術為引領的前沿趨勢，正在或將重塑世界工業的發展模式，對人類生產力的創新提升意義重大，我國某公司為了搶抓機遇，成立了A、B、C三個科研小組針對某技術難題同時進行科研攻關，攻克技術難題的小組會受到獎勵．已知A、B、C三個小組攻克該技術難題的概率分別為，，，且三個小組各自獨立進行科研攻關．下列說法正確的（ ）
A．三個小組都受到獎勵的概率是 B．只有A小組受到獎勵的概率是
C．只有C小組受到獎勵的概率是 D．受到獎勵的小組數的期望值是
【例4-5】女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝.在比賽中，每一個回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發球權，輸球的一方不得分.現有甲乙兩隊進行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；
(2)若前四局比賽中甲 乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分均為14分，且甲已獲得下一發球權.若甲發球時甲贏1分的概率為，乙發球時甲贏1分的概率為.求甲隊在4個球以內（含4個球）贏得整場比賽的概率.
【例4-6】甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.
【例4-7】某獵人發現在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.
(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發現某次射擊擊中的概率小于時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數的概率分布列與數學期望.
(2)如果獵人直接連續射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續射擊多少次
附:.
【例4-8】手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環節，簡記為工序A，工序，工序.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.
(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.
題型五、全概率公式及其應用
【例5-1】設甲乘汽車 動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為，則甲正點到達目的地的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．根據貝葉斯統計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關系：．若某地區一種疾病的患病率是，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結果呈現陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】某種電路開關閉合后會出現紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現紅燈和綠燈的概率都是．從開關第一次閉合起，若前次出現紅燈，則下一次出現紅燈的概率是，出現綠燈的概率是；若前次出現綠燈，則下一次出現紅燈的概率是，出現綠燈的概率是，那么第二次閉合后出現紅燈的概率是____________．
【例5-4】盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的．第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）．第二次比賽時再從盒中取出3個來用，則第二次取出的3個球均為新球的概率是 ．
【例5-5】若一個點從三棱柱下底面頂點出發，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是 .
【例5-6】鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經典點心代表，鮮花餅的保質期一般在三至四天.據統計，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為，賣出箱的概率為，賣出箱的概率為，沒有賣出的概率為，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規定當天結束營業后檢查貨架上存貨，若賣出箱及以上，則需補貨至箱，否則不補貨.假設第一天該超市開始營業時貨架上有箱鮮花餅.
(1)在第一天結束營業后貨架上有箱鮮花餅的條件下，求第二天結束營業時貨架上有箱存貨的概率；
(2)求第二天結束營業時貨架上有箱存貨的概率.
題型六、貝葉斯公式及其應用
【例6-1】有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2 3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1 2 3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%，現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第1臺車床加工的概率為___________.
【例6-2】閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達和寫作能力.某校全體學生參加的期末過程性評價中大約有的學生寫作能力被評為優秀等級.經調查知，該校大約有的學生每天閱讀時間超過小時，這些學生中寫作能力被評為優秀等級的占.現從每天閱讀時間不超過小時的學生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優秀等級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
【例6-4】某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示
到家時間 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 晚于5：54
乘地鐵到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽車到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為 ．
題型七、全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【例7-1】一道考題有4個答案，要求學生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機會被他選擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（多選題）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為
B．第二次抽到3號球的概率為
C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大
D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種
【例7-3】（多選題）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（ ）
A．事件與事件相互獨立 B．
C． D．
【例7-4】甲，乙，丙三個廠家生產的手機充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．
(1)當地工商質檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數目記為，求的概率分布列，期望和方差；
(2)現從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發現它是不合格品，求它是由甲廠生產的概率．
【例7-5】新高考數學試卷中有多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這四個選項，四個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.某次多項選擇題專項訓練中，共有道題，正確選項設計如下：第一題正確選項為兩個的概率為，并且規定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；若第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.
(1)求第n題正確選項為兩個的概率；
(2)請根據期望值來判斷：第二題是選一個選項還是選兩個選項，更能獲得較高分.
【例7-6】在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【例7-7】在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【例7-8】某品牌汽車廠今年計劃生產10萬輛轎車，生產每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產的配件M可以滿足20%的生產需要，其余的要向甲、乙兩個配件廠家訂購．已知本廠生產配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．
(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數量；
(2)已知甲廠、乙廠和本廠自主生產的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；
(3)現有一輛轎車由于使用了次品配件M出現了質量問題，需要返廠維修，維修費用為14 000元，若維修費用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔，則它們各自應該承擔的維修費用分別為多少？
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專題三十九 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
知識歸納
一、條件概率
1、定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
2、性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
二、相互獨立與條件概率的關系
1、相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
2、事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
三、全概率公式
1、全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
2、貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
典例分析
題型一、條件概率
【例1-1】若將整個樣本空間想象成一個1×1的正方形，任何事件都對應樣本空間的一個子集，且事件發生的概率對應子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（ ）
A．事件A發生的概率 B．事件B發生的概率
C．事件B不發生條件下事件A發生的概率 D．事件A、B同時發生的概率
【答案】A
【解析】如圖所示的涂色部分的面積為
.
【例1-2】已知事件A和B是互斥事件，，，，則______．
【答案】
【解析】由題意知，，，
則．
【例1-3】如果不是等差數列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數列.已知數列的項數為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數列，則條件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，事件共有=120個基本事件，事件“局部等差”數列共有以下24個基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個， 含3，2，1的局部等差數列的同理也有3個，共6個.
含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2個，
含4，3，2的同理也有2個.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個，
含5，3，1的也有上述4個，共24個，
=.
【例1-4】我國中醫藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫生從“三藥三方”中隨機選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可得，，，所以．
【例1-5】甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．事件與事件B相互獨立
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，所以A錯誤；
因為，，
所以，即，
故事件事件與事件B不相互獨立，所以B錯誤，D正確；
，所以C錯誤.
【例1-6】英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件存在如下關系：，賀歲檔電影精彩紛呈，有幾部影片是小明期待想去影院看的．小明同學家附近有甲 乙兩家影院，小明第一天去甲 乙兩家影院觀影的概率分別為0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為0.5，則小明同學（ ）
A．第二天去甲影院的概率為0.44
B．第二天去乙影院的概率為0.44
C．第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為
D．第二天去了乙影院，則第一天去甲影院的概率為
【答案】D
【詳解】設:第一天去甲影院，:第二天去甲影院，
:第一天去乙影院，:第二天去乙影院，
所以，，，
因為，
所以，
所以有,
因此選項A不正確；
，因此選項B不正確；
，所以選項C不正確；
，所以選項D正確.
【例1-7】“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，
則，，，，
則，，
故，故.
【例1-8】2022年3月，全國大部分省份出現了新冠疫情，對于出現確診病例的社區，受到了全社會的關注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗．假設在接受檢驗的人群中，隨機抽一人核酸檢測呈陽性概率為，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是相互獨立的．
(1)若該社區約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；
(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認，因為有假陽性的可能；已知該社區人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數據：（，）
【解析】(1)設方案一中每組的化驗次數為，則的取值為1，11，
∴，，
∴的分布列為：
1 11
p 0.970 0.030
．
故方案一的化驗總次數的期望值為：次．
設方案二中每組的化驗次數為，則的取值為1，9
，，
∴的分布列為：
1 2
p 0.976 0.024
∴．
∴方案二的化驗總次數的期望為次．∵260<298，
∴方案一工作量更少．故選擇方案一.
(2)設事件A：核酸檢測呈陽性，事件B：被感染，
則由題意得，
由條件概率公式可得，
∴該人被感染的概率為.
題型二、相互獨立事件的判斷
【例2-1】設為兩個隨機事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨立事件；（3）若，，，則為相互獨立事件；（4）若，，，則為相互獨立事件；（5）若，，，則為相互獨立事件；其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】若為互斥事件，且， 則 ，故（1）正確；
若 ，則由相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（2）正確；
若，則
由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（3）正確；
若 ，
當為相互獨立事件時，，故（4）錯誤；
若 則
由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知為相互獨立事件，故（5）正確.
【例2-2】已知事件，滿足，，則不能說明事件，相互獨立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A，擲一枚質地均勻的骰子，事件A為向上的點數不超過4，事件B為向上的點數為4或5，即，，，滿足，但，，所以事件不相互獨立，故A錯誤；
對于B，因為，所以，所以事件相互獨立，故B正確；
對于C，因為，所以，所以事件相互獨立，故C正確；
對于D，因為，所以，整理得，所以事件相互獨立，故D正確.
【例2-3】奧密克戎變異毒株傳染性強、傳播速度快隱蔽性強，導致上海疫情嚴重，牽動了全國人民的心．某醫院抽調了包括甲、乙在內5名醫生隨機派往上海①，②，③，④四個醫院，每個醫院至少派1名醫生，“醫生甲派往①醫院”記為事件A：“醫生乙派往①醫院”記為事件B；“醫生乙派往②醫院”記為事件C，則（ ）
A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C相互獨立
C． D．
【答案】C
【解析】將甲、乙在內5名醫生派往①，②，③，④四個醫院，每個醫院至少派1名醫生有個基本事件，它們等可能．
事件A含有的基本事件數為，則，同理，
事件AB含有的基本事件數為，則
事件AC含有的基本事件數為，則
，
即事件A與B相互不獨立，事件A與C相互不獨立，故A、B不正確；
，．
【例2-4】袋內有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關系是（ ）
A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥
C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立
【答案】A
【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響，故與，與C均相互獨立．而與，與均能同時發生，從而不互斥．
方法二：標記1，2，3表示3個白球，4，5表示2個黑球，全體樣本點為，
用古典概型概率計算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以與相互獨立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以與相互獨立．
【例2-5】袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標有數字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數字是1”，表示事件“第二次取出的球上數字是2”，表示事件“兩次取出的球上數字之和是5”，表示事件“兩次取出的球上數字之和是6”，通過計算，則可以得出（ ）
A．與相互獨立 B．與相互獨立
C．與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】C
【解析】由題意可得：,
有放回的隨機取兩次，每次取1個球，兩次取出的球上數字之和是5的情況有 共4種，所以;
兩次取出的球上數字之和是6的情況有共3種，故,
對于A, ,則，
故與不是相互獨立事件，故A錯誤；
對于B, ,則,
故A與不是相互獨立事件，故B錯誤；
對于C, ,則，
故與是相互獨立事件，故C正確；
對于D, ,則，
故C與D不是相互獨立事件，故D錯誤.
題型三、相互獨立事件概率的計算
【例3-1】甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，.則謎題被破解的概率為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】設“甲獨立地破解謎題”為事件，“乙獨立地破解謎題”為事件，“謎題被破解”為事件，
且事件相互獨立，則.
【例3-2】某中學組織高三學生進行一項能力測試，測試內容包括、、三個類型問題，這三個類型所含題目的個數分別占總數的，，.現有3名同學獨立地從中任選一個題目作答，則他們選擇的題目所屬類型互不相同的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】3名同學選擇的題目所屬類型互不相同，則、、三個類型的問題都要入選，
則3名同學的選法共有種情況，每個類型入選的可能為，，，所以全部入選的概率為，
則3名同學所選不同類型的概率為.
【例3-3】某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC） 三個環節．已知某產品IQC的單獨通過率為，IPQC的單獨通過率為，規定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立，則一件該產品能進入OQC環節的概率為 ．
【答案】/0.9
【解析】設表示第i次通過進貨檢驗，表示第i次通過生產過程檢驗（），C表示該產品能進入出貨檢驗環節，由題意得
．
【例3-4】某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為 .
【答案】/0.04608
【解析】由該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪，說明他第4、第5兩個問題是連續答對的，第3個問題沒有答對，第1和第2兩個問題也沒有全部答對，即他答題結果可能有三種情況：或或，根據獨立事件同時發生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為
【例3-5】某校高二年級學生舉行中國象棋比賽，經過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學進入決賽.決賽規則如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結束.若經抽簽，已知第一場甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，則（ ）
A．甲獲得冠軍的概率最大 B．甲比乙獲得冠軍的概率大
C．丙獲得冠軍的概率最大 D．甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等
【答案】C
【詳解】根據決賽規則，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽，
（1）甲獲得冠軍有兩種情況：
①共比賽四場結束，甲四連勝奪冠，概率為
②共比賽五場結束，并且甲獲得冠軍．則甲的勝、負、輪空結果共有四種情況∶勝勝勝負勝，
勝勝負空勝，勝負空勝勝，負空勝勝勝，概率分別為，即，
因此，甲最終獲得冠軍的概率為；
（2）乙獲得冠軍，與（1）同理，概率也為；
（3）丙獲得冠軍，概率為，
由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A，B，D錯誤，C正確．
【例3-6】重慶的8月份是一段讓人難忘的時光，我們遭遇了高溫與山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們再次居家隔離．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應，在政府的主導與支持下，各大電商平臺也紛紛上線，開辟了一種無接觸式送貨服務，用戶在平臺上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺進行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區在隔離期間主要使用的電商平臺有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺并不能準時送達，根據統計三家平臺的準點率分別為，，，各平臺送貨相互獨立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點了一份配送貨，則至少有兩家準點送到的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為各平臺送貨相互獨立，互不影響，所以
有兩家準點送到的概率為,
有三家準點送到的概率為，則至少有兩家準點送到的概率為.
【例3-7】2019年底，武漢發生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛健委緊急部署，從多省調派醫務工作者前去支援，正值農歷春節舉家團圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者 疑似的新冠肺炎患者 無法明確排除新冠肺炎的發熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶 不漏一人．若在排查期間，某小區有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”，現醫護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現一例陽性，則將該小區確定為“感染高危小區”．假設每人被確診的概率均為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率取得最大值，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率
，，
令，解得，故在上單調遞增，
在上單調遞減，故當時，取得最大值．
【例3-8】電子競技（Electronic Sports）是電子游戲比賽達到“競技”層面的體育項目，其利用電子設備作為運動器械進行的、人與人之間的智力和體力結合的比拼.電子競技可以鍛煉和提高參與者的思維能力、反應能力、四肢協調能力和意志力，培養團隊精神.第19屆亞運會將于2022年9月10日至25日在浙江杭州舉行，本屆亞運會增設電子競技競賽項目，比賽采取“雙敗淘汰制”.以一個4支戰隊參加的“雙敗淘汰制”為例，規則如下：
首輪比賽：抽簽決定4支戰隊兩兩對陣，共兩場比賽.根據比賽結果（每場比賽只有勝、敗兩種結果），兩支獲勝戰隊進入勝者組，另外兩支戰隊進入敗者組；
第二輪比賽：敗者組兩支戰隊進行比賽，并淘汰1支戰隊（該戰隊獲得殿軍）；勝者組兩支戰隊進行比賽，獲勝戰隊進入總決賽，失敗戰隊進入敗者組；
第三輪比賽：上一輪比賽中敗者組的獲勝戰隊與勝者組的失敗戰隊進行比賽，并淘汰1支戰隊（該戰隊獲得季軍）；
第四輪比賽：剩下的兩支戰隊進行總決賽，獲勝戰隊獲得冠軍，失敗戰隊獲得亞軍.
現有包括戰隊在內的4支戰隊參加比賽，采用“雙敗淘汰制”.已知戰隊每場比賽獲勝的概率為，且各場比賽互不影響.
(1)估計戰隊獲得冠軍的概率；
(2)某公司是戰隊的贊助商之一，賽前提出了兩種獎勵方案：
方案1：獲得冠軍則獎勵24萬元，獲得亞軍或季軍則獎勵15萬元，獲得殿軍則不獎勵；
方案2：獲得冠軍則獎勵（其中以全勝的戰績獲得冠軍獎勵40萬元，否則獎勵30萬元），其他情況不獎勵.
請以獲獎金額的期望為依據，選擇獎勵方案，并說明理由.
【解析】(1)由題意可知，戰隊獲得冠軍有以下3種可能情況：
①“勝勝勝”概率為
②“敗勝勝勝”概率為
③“勝敗勝勝”概率為
則戰隊獲得冠軍的概率為；
(2)戰隊獲得殿軍的情況是“敗敗”，故戰隊獲得殿軍的概率為，
則獲得亞軍或季軍的概率為，
設方案1中戰隊獲獎金額為，則其分布列為
24 15 0
若選擇方案1，則戰隊獲獎金額的期望為（萬元）
設方案2中戰隊獲獎金額為，則其分布列為
40 30 0
若選擇方案2，則戰隊獲獎金額的期望為（萬元）
∵，故選擇方案1、方案2均可.
【例3-9】公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫（Demere）向另一位著名的數學家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答．該問題如下：設兩名運動員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止．獎金該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．
(1)規定如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．若，，，，求．
(2)記事件為“比賽繼續進行下去乙贏得全部獎金”，試求當，，時比賽繼續進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由．規定：若隨機事件發生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件．
【解析】(1)設比賽再繼續進行局甲贏得全部獎金，則，2．
，，故，
從而．
(2)設比賽繼續進行局甲贏得全部獎金，則，3．
，，
故，即，則，
當時，，因此在上單調遞增，從而，
所以，故事件是小概率事件．
題型四、相互獨立事件概率的綜合應用
【例4-1】“五一”勞動節放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，．
∴他們不去北京旅游的概率分別為，，．
∵至少有1人去北京旅游的對立事件是沒有人去北京旅游，
∴至少有1人去北京旅游的概率為：．
【例4-2】一個電路如圖所示，，，，，，，為7個開關，其閉合的概率均為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】電路由上到下有3個分支并聯，開關所在的分支不通的概率為，
開關所在的分支不通的概率為，
開關，，所在的分支不通的概率為，
所以燈亮的概率是.
【例4-3】（多選題）九月伊始，佛山市某中學社團招新活動開展得如火如茶，小王、小李、小張三位同學計劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（ ）
A．三人選擇社團一樣的概率為
B．三人選擇社團各不相同的概率為
C．至少有兩人選擇籃球社的概率為
D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
【答案】ACD
【解析】對于A，三人選擇社團一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，
三人選擇社團一樣的概率為，A正確；
對于B，三人選擇社團各不相同的事件，是小王從3個社團中任選1個，小李從余下兩個中任選1個，
最后1個社團給小張的事件，共6個不同結果，因此三人選擇社團各不相同的概率為，B不正確；
對于C，至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事件和，其概率為，C正確；
對于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A，由選項C知，，小王選擇羽毛球社的事件為B，
則事件AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事件和3人都擇羽毛球社的事件和，
其概率，
所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.
【例4-4】（多選題）以石墨烯電池、量子計算、AI等顛覆性技術為引領的前沿趨勢，正在或將重塑世界工業的發展模式，對人類生產力的創新提升意義重大，我國某公司為了搶抓機遇，成立了A、B、C三個科研小組針對某技術難題同時進行科研攻關，攻克技術難題的小組會受到獎勵．已知A、B、C三個小組攻克該技術難題的概率分別為，，，且三個小組各自獨立進行科研攻關．下列說法正確的（ ）
A．三個小組都受到獎勵的概率是 B．只有A小組受到獎勵的概率是
C．只有C小組受到獎勵的概率是 D．受到獎勵的小組數的期望值是
【答案】AD
【解析】設三個小組攻克該技術難題分別為事件，
即，相互獨立，
，A正確；
，B錯；
只有丙小組受到獎勵的概率是，C錯；
設受到獎勵的小組數為，則的值為，
，
，
，
．
所以．D正確．
【例4-5】女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝.在比賽中，每一個回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發球權，輸球的一方不得分.現有甲乙兩隊進行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；
(2)若前四局比賽中甲 乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分均為14分，且甲已獲得下一發球權.若甲發球時甲贏1分的概率為，乙發球時甲贏1分的概率為.求甲隊在4個球以內（含4個球）贏得整場比賽的概率.
【解析】（1）甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸第五局贏，所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為.
（2）設甲隊x個球后贏得比賽，根據比賽規則，x的取值只能為2或4,對應比分為
兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發球甲得分，
打第二個球甲發球甲得分，此時概率為；
兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發球甲得分，
打第二個球甲發球甲失分，打第三個球乙發球甲得分，打第四個球甲發球甲得分，
或打第一個球甲發球甲失分，打第二個球乙發球甲得分，打第三個球甲發球甲得分，
打第四個球甲發球甲得分，此時概率為.
故所求概率為：
【例4-6】甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.
【解析】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.
設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨立，
設比賽完3局時，甲、乙、丙各勝1局為事件，則，
則，
所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.
（2）設甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，
設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比賽進行5局后結束，甲獲得最終勝利的概率為 .
【例4-7】某獵人發現在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.
(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發現某次射擊擊中的概率小于時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數的概率分布列與數學期望.
(2)如果獵人直接連續射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續射擊多少次
附:.
【解析】（1）因為獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，
設第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，
則(k為常數)，∵，，∴，
∴，∴，，．
當時，，停止射擊．
設獵人的射擊次數為X，則X的所有取值為1，2，3，4
，，
，，
∴X的分布列為
x 1 2 3 4
P
∴X的數學期望為.
（2）記“第i次射擊擊中獵物”為事件，i=1，2，…，
則n次連續射擊至少擊中獵物一次的概率為，
故，所以至少要連續射擊5次．
【例4-8】手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環節，簡記為工序A，工序，工序.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.
(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.
【解析】（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”，
當技術員完成工序A時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員完成工序C時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：，
故小李成功完成三道工序的概率為；
（2）設小李最終收益為X，小李聘請兩位技術員參與比賽，
有如下幾種情況：
兩位技術員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，；
兩位技術員都參與補救并成功完成三道工序，此時，；
只有一位技術員參與補救后成功完成三道工序，此時，;
技術員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，；
故.
題型五、全概率公式及其應用
【例5-1】設甲乘汽車 動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點到達目的地的概率分別為，則甲正點到達目的地的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設事件A表示甲正點到達目的地，事件B表示甲乘動車到達目的地，事件C表示甲乘汽車到達目的地，
由題意知.
由全概率公式得。
【例5-2】英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．根據貝葉斯統計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關系：．若某地區一種疾病的患病率是，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結果呈現陽性的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設用該試劑檢測呈現陽性為事件，被檢測者患病為事件，未患病為事件，
則，，，，
故所求概率．
【例5-3】某種電路開關閉合后會出現紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現紅燈和綠燈的概率都是．從開關第一次閉合起，若前次出現紅燈，則下一次出現紅燈的概率是，出現綠燈的概率是；若前次出現綠燈，則下一次出現紅燈的概率是，出現綠燈的概率是，那么第二次閉合后出現紅燈的概率是____________．
【答案】
【解析】記第一次閉合后出現紅燈為事件，則第一次出現綠燈為事件，
第二次閉合后出現紅燈為事件，出現綠燈為，
，，，
所以．
【例5-4】盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的．第一次比賽時，從中任意取出了3個來用，用完后仍放回盒中（新球用后成了舊球）．第二次比賽時再從盒中取出3個來用，則第二次取出的3個球均為新球的概率是 ．
【答案】
【解析】設A表示第二次取出3個球均為新球，為第一次取出3球中有i個新球，i＝0，1，2，3，
則，，，，
，，，，
所以．
【例5-5】若一個點從三棱柱下底面頂點出發，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是 .
【答案】
【解析】這個點每次運動后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對立事件，可記事件“第次運動后這個點停留在下底面”，則“第次運動后這個點停留在上底面”，
設，則，由題意知，，
則由全概率公式可得，，則，
即，兩邊同減去可得，，又已知，
故數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，即，故當時，.
【例5-6】鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經典點心代表，鮮花餅的保質期一般在三至四天.據統計，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為，賣出箱的概率為，賣出箱的概率為，沒有賣出的概率為，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規定當天結束營業后檢查貨架上存貨，若賣出箱及以上，則需補貨至箱，否則不補貨.假設第一天該超市開始營業時貨架上有箱鮮花餅.
(1)在第一天結束營業后貨架上有箱鮮花餅的條件下，求第二天結束營業時貨架上有箱存貨的概率；
(2)求第二天結束營業時貨架上有箱存貨的概率.
【解析】（1）設事件：“第二天開始營業時貨架上有箱鮮花餅”，事件：“第二天開始營業時貨架上有箱鮮花餅”，，事件：“第二天結束營業時貨架上有箱存貨”，
因為第一天結束營業后貨架上有箱鮮花餅，故第二天只賣出箱，故；
（2）由題意，，，
由全概率公式得.
【例5-7】某支足球隊在對球員的使用上總是進行數據分析，根據以往的數據統計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛以及守門員四個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，且當乙球員擔當前鋒、中鋒、后衛以及守門員時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2.從以上數據可知，當乙球員參加比賽時，求該球隊某場比賽不輸球的概率.
【解析】設表示“乙球員擔當前鋒”，表示“乙球員擔當中鋒”，表示“乙球員擔當后衛”，表示“乙球員擔當守門員”，B表示“當乙球員參加比賽時，球隊輸球根據題意，則
，所以當乙球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為.
變式19．（2022·全國·高三專題練習）有3箱同種型號零件，里面分別裝有50件、30件、40件，而且一等品分別有20件、12件和24件，現在任取一箱，從中不放回地先后取出2個零件．
(1)求先取出的零件是一等品的概率；
(2)求兩次取出的零件均為一等品的概率．（結果保留兩位小數）
【解析】（1）記事件表示“任取的一箱為第箱零件”，則；
記事件表示“第次取到的是一等品”，則，
由題意得，
，，，
由全概率公式得：；
（2），，，
由全概率公式得： ．
題型六、貝葉斯公式及其應用
【例6-1】有3臺車床加工同一型專的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2 3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1 2 3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%，現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第1臺車床加工的概率為___________.
【答案】
【解析】記為事件“零件為第（）臺車床加工，為事件“任取一個零件為次品”，則
所以
所以.
【例6-2】閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達和寫作能力.某校全體學生參加的期末過程性評價中大約有的學生寫作能力被評為優秀等級.經調查知，該校大約有的學生每天閱讀時間超過小時，這些學生中寫作能力被評為優秀等級的占.現從每天閱讀時間不超過小時的學生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優秀等級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設寫作能力被評為優秀等級為事件，每天閱讀時間超過小時為事件，
則，，；
，
，
即從每天閱讀時間不超過小時的學生中隨機抽查一名，該生寫作能力被評為優秀等級的概率為.
【例6-3】隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
【答案】
【解析】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，
事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，
則；
，
小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，
法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率．
【例6-4】某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示
到家時間 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 晚于5：54
乘地鐵到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽車到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為 ．
【答案】
【解析】設事件H表示“乘地鐵回家”，則事件表示“乘汽車回家”．
到家時間為5：47，屬于區間5：45~5：49，
設事件T表示“到家時間在5：45~5：49之間”，則所求概率為．
易知，，因為他是由擲硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，
所以．
由貝葉斯公式得．
題型七、全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
【例7-1】一道考題有4個答案，要求學生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機會被他選擇，若他答對了，則他確實知道正確答案的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設表示“考生答對”，表示“考生知道正確答案”，
由全概率公式得.
又由貝葉斯公式得.
【例7-2】（多選題）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為
B．第二次抽到3號球的概率為
C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大
D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種
【答案】AB
【解析】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，
對于A，在第一次抽到2號球的條件下，則2號球放入2號盒子內，
因此第二次抽到1號球的概率為，A正確；
對于B，記第二次在第i號盒內抽到3號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，
，記第二次抽到3號球的事件為，
，B正確；
對于C，記第二次在第i號盒內抽到1號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，
，記第二次抽到1號球的事件為，
，
第二次的球取自盒子的編號與第一次取的球的號數相同，
，，，
即第二次抽到的是1號球，則它來自1號盒子的概率最大，C不正確；
對于D，把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數是種，
將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有種不同放法，
由分步乘法計數原理得不同的放法種數是種，D不正確.
【例7-3】（多選題）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（ ）
A．事件與事件相互獨立 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由題意，，，
先發生，此時乙袋有5個紅球，3個白球和3個黑球，則，
先發生，此時乙袋有4個紅球，4個白球和3個黑球，則，
先發生，此時乙袋有4個紅球，3個白球和4個黑球，則，
所以，B正確；，，
，C錯誤；
則，，，A錯誤；
，D正確.
【例7-4】甲，乙，丙三個廠家生產的手機充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．
(1)當地工商質檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數目記為，求的概率分布列，期望和方差；
(2)現從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發現它是不合格品，求它是由甲廠生產的概率．
【解析】（1）設“該手機充電器由甲廠生產”為事件，“該手機充電器由乙廠生產”為事件，“該手機充電器由丙廠生產”為事件，“該手機充電器是合格品”為事件，“該手機充電器是不合格品”為事件，
則，，，，，，，，，
的取值為0，1，2，
，
，
所以分布列為
0 1 2 3
且，故，，
答：的期望是，方差是
（2）

答：它是由甲廠生產的概率是．
【例7-5】新高考數學試卷中有多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這四個選項，四個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.某次多項選擇題專項訓練中，共有道題，正確選項設計如下：第一題正確選項為兩個的概率為，并且規定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；若第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.
(1)求第n題正確選項為兩個的概率；
(2)請根據期望值來判斷：第二題是選一個選項還是選兩個選項，更能獲得較高分.
【解析】（1）設第n題正確選項為兩個的概率為，則，
當時，有，
因此數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，顯然適合，
故.
（2）由（1）可知：，
設選一個選項的得分為，，
，，
因此，
設選二個選項的得分為，，
，，，
所以，
因為，
所以第二題選一個選項更能獲得較高分.
【例7-6】在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【解析】（1）設事件“種子選手第局上場”，
事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”.
由全概率公式知，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，，.
所以，
所以甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率為.
（2）設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，
，，，
，
因為.
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.
【例7-7】在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【解析】（1）設事件“種子選手第局上場”，
事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”.
由全概率公式知，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，，.
所以，
所以甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率為.
（2）設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，
，，，
，
因為.
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.
【例7-8】某品牌汽車廠今年計劃生產10萬輛轎車，生產每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產的配件M可以滿足20%的生產需要，其余的要向甲、乙兩個配件廠家訂購．已知本廠生產配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．
(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數量；
(2)已知甲廠、乙廠和本廠自主生產的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；
(3)現有一輛轎車由于使用了次品配件M出現了質量問題，需要返廠維修，維修費用為14 000元，若維修費用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔，則它們各自應該承擔的維修費用分別為多少？
【解析】（1）設使用甲廠生產的配件M的比例為a，則使用乙廠生產的配件M的比例為0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要從甲廠訂購配件M的數量為100.5＝5萬個；
從乙廠訂購配件M的數量為＝3萬個．
（2）由（1）知甲廠、乙廠和本廠自主生產的配件M的比例分別為0.5，0.3，0.2，
所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計值為
，
所以該廠生產的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為0.028．
（3）設A＝“該轎車使用了次品配件”，“配件M來自甲廠”，“配件M來自乙廠”，“配件M來自本廠”．由（2）可知 ．
該次品配件M來自甲廠的概率為： ，
該次品配件M來自乙廠的概率為： ，
該次品配件M來自本廠的概率為： ，
所以甲廠應承擔的費用為元，
乙廠應承擔的費用為元，
本廠應承擔的費用為元．
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