資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題四十 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征
知識(shí)歸納
一、離散型隨機(jī)變量的分布列
1、隨機(jī)變量
在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．
（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．
（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1），；（2）．
注意：
①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．
②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；
（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．
2、均值的性質(zhì)
（1）（為常數(shù)）．
（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨(dú)立，則．
3、方差
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小；
（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．
4、方差的性質(zhì)
（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（2）方差公式的變形：．
典例分析
題型一、離散型隨機(jī)變量
【例1-1】下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（　　）
A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和
B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間
C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)
D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性
【例1-2】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局 B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次 D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
題型二、求離散型隨機(jī)變量的分布列
【例2-1】隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.
【例2-2】設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
則（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為 ．
【例2-4】數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)的分布列 ．
【例2-5】假如一段樓梯有11個(gè)臺(tái)階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是 ．
【例2-6】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分布列是 ．
【例2-7】甲 乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.
題型三、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
【例3-1】已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
1 2 3
若，則 .
【例3-2】隨機(jī)變量X的分布列為
X
P
若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是______．
【例3-3】隨機(jī)變量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
則___________.
【例3-4】設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，；
②當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，公差；
③當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，；
④當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，時(shí)，.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
題型四、離散型隨機(jī)變量的均值
【例4-1】已知隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P m
若，則___________.
【例4-2】隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【例4-3】已知隨機(jī)變量的分布列為：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
則等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【例4-4】從裝有3個(gè)白球m個(gè)紅球n個(gè)黃球（這些小球除顏色外完全相同）的布袋中任取兩個(gè)球，記取出的白球的個(gè)數(shù)為X，若，取出一白一紅的概率為，則取出一紅一黃的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例4-5】甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望為（ ）
A． B． C． D．
【例4-6】2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動(dòng)力，這其實(shí)是我黨的一貫政策．某材料學(xué)博士畢業(yè)時(shí)恰逢國家大力倡導(dǎo)“開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強(qiáng)陶瓷基、樹脂基三大類復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)計(jì)到今年年底這三大類復(fù)合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復(fù)合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨(dú)立，記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學(xué)期望 ．
【例4-7】一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)黑球，2個(gè)白球.第一步：從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【例4-8】如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機(jī)的初始位置為0號(hào)格，拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點(diǎn)數(shù)為1，2，飛機(jī)在原地不動(dòng)；若拋出的點(diǎn)數(shù)為3，4，飛機(jī)向前移一格；若拋出的點(diǎn)數(shù)為5，6，飛機(jī)向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格為事件．
(1)求；
(2)判斷事件是否獨(dú)立，并說明理由；
(3)拋擲骰子2次后，記飛機(jī)所在格子的號(hào)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【例4-9】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi)．
（1）如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)球槽的概率；
（2）某商場店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客只要在商場購物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如消費(fèi)400元沒有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)等，一次抽獎(jiǎng)小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為（元），其中．
（ⅰ）求一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金（元）的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）已知某顧客在商場消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為（元），求．
【例4-10】甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級(jí)參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人投中，則“虎隊(duì)”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊(duì)”得0分．已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．
（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；
（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為，求的分布列；
②設(shè)“虎隊(duì)”輪得分之和為，求的期望值．（參考公式）
【例4-11】有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白色小球，2個(gè)紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個(gè)小球，摸后不放回，摸到第2個(gè)紅球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．
(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；
(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【例4-12】某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場就算勝利（即每兩個(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．
(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．
題型五、離散型隨機(jī)變量的方差
【例5-1】已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
則下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個(gè)和白色小球個(gè)，從中任取3個(gè)，記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則（ ）
A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無關(guān)
C．與m無關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無關(guān)
【例5-4】從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無放回任取個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例5-5】如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X，則X的方差為（ ）
A．0 B． C．3 D．5
【例5-6】已知投資甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，和的分布列分別為表1：
表2：
(1)若在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，和分別表示投資甲 乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲 乙兩項(xiàng)目的利弊；
(2)若在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬元，求在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬元時(shí)，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.
【例5-7】一個(gè)不透明袋子里裝有紅色小球x個(gè)，綠色小球y個(gè)，藍(lán)色小球z個(gè)，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個(gè)小球，規(guī)定取出的小球是藍(lán)色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.
(1)若，從該袋子中隨機(jī)有放回的抽取2個(gè)小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；
(2)從該袋子中隨機(jī)取一個(gè)小球，記Y為此小球的對應(yīng)積分，若，求.
【例5-8】某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則，已知完成各工序所需時(shí)長(小時(shí))如下表：
原料工序 原料1 原料2 原料3 原料4 原料5 原料6
工序1 1 1 2 3 2 4
工序2 6 4 3 1 4 1
工序3 5 3 4 6 3 2
由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長最長的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：.
（1）從6件原料中任選一件，求的概率；
（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）
題型六、決策問題
【例6-1】為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識(shí)的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識(shí)競賽.競賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出10道題，編號(hào)為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯(cuò)得0分.團(tuán)體賽以班級(jí)為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級(jí)選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個(gè)小組都順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
方案二：將班級(jí)選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
(1)郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；
(2)在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請說明理由.
【例6-2】從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.
(2)對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
【例6-3】統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.
(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;
(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號(hào)后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.
（ⅰ）請從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).
（ⅱ）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).
【例6-4】為貫徹落實(shí)黨的二十大精神，促進(jìn)群眾體育全面發(fā)展.奮進(jìn)中學(xué)舉行了趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有一個(gè)項(xiàng)目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機(jī)地?cái)S向前方的三個(gè)箱子中的任意一個(gè)，每名選手?jǐn)S5個(gè)大小形狀質(zhì)量相同 編號(hào)不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進(jìn)1號(hào) 2號(hào) 3號(hào)箱分別可得3分 4分 5分，沒有投中計(jì)0分.每名選手將累計(jì)得分作為最終成績.
(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進(jìn)入不同箱子的方法數(shù)；
(2)賽前參賽選手經(jīng)過一段時(shí)間的練習(xí)，選手每次投中1號(hào) 2號(hào) 3號(hào)箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨(dú)立，且投擲時(shí)不會(huì)出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.
（i）若以比賽結(jié)束時(shí)累計(jì)得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號(hào)箱？
（ii）假設(shè)選手得了23分，請你幫設(shè)計(jì)一種可能贏的投擲方案，并計(jì)算該方案獲勝的概率.
【例6-5】據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
【例6-6】2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，
商品日銷售量（單位：件） 6 7 8 9 10
甲平臺(tái)的天數(shù) 14 26 26 24 10
乙平臺(tái)的天數(shù) 10 25 35 20 10
假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
【例6-7】某新華書店將在六一兒童節(jié)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡在該書店購書達(dá)到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個(gè)號(hào)碼分別為、、、、的小球（小球除號(hào)碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個(gè)小球（摸球者無法摸出小球號(hào)碼）．若雙方摸出的兩球號(hào)碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個(gè)積分，乙增加個(gè)積分；若號(hào)碼之差為偶數(shù)，則甲增加個(gè)積分，乙被扣除個(gè)積分．游戲開始時(shí)，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．
(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)以（1）中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，記正整數(shù)的最小值為．
①求的值，并說明理由；
②當(dāng)時(shí)，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率．
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專題四十 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征
知識(shí)歸納
一、離散型隨機(jī)變量的分布列
1、隨機(jī)變量
在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．
（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．
（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1），；（2）．
注意：
①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．
②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；
（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．
2、均值的性質(zhì)
（1）（為常數(shù)）．
（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨(dú)立，則．
3、方差
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小；
（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．
4、方差的性質(zhì)
（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（2）方差公式的變形：．
典例分析
題型一、離散型隨機(jī)變量
【例1-1】下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（　　）
A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和
B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間
C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)
D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性
【答案】C
【解析】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；
對于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；
對于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；
對于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.
【例1-2】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局 B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次 D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，
所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．
題型二、求離散型隨機(jī)變量的分布列
【例2-1】隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.
【答案】1024
【解析】由題意.
【例2-2】設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，則．
【例2-3】設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為 ．
【答案】
ξ 0 1
P
【解析】正方體的12條棱中任取兩條共有種情況，若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，共有對相交棱，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，ξ的可能取值為0，1，，分別求出其概率即可.ξ的可能取值為0，1，.
若兩條棱相交，則交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，所以P(ξ＝0)＝＝，
若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，則P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：
ξ 0 1
P
【例2-4】數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)的分布列 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】的可能取值是0、1、2、4，
，，，.
的分布列為：
0 1 2 4
P
【例2-5】假如一段樓梯有11個(gè)臺(tái)階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是 ．
【答案】
1 3 5 7 9 11
P
【解析】據(jù)題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，
＝1時(shí)，還需走5個(gè)兩階，共六步走完，所以共有種不同的走法；
同理，＝3時(shí)，有種；＝5時(shí)，有種；＝7時(shí)，有種；
＝9時(shí)，有種；＝11時(shí)，有1種，
所以，走完這段樓梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144種不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
【例2-6】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分布列是 ．
【答案】
2 3 4 5 6
P
【解析】分別記為甲、乙、丙在第局獲勝，則.
由已知，可取.
表示事件“甲連勝兩局”或“乙連勝兩局”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝丙勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝甲勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝甲勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝乙勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝丙勝”或“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝甲勝”，
所以
.
所以，的分布列是
2 3 4 5 6
P
【例2-7】甲 乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依題意可得的可能取值為，，，
所以，
，
，
所以的分布列為
0 1
（2）依題意可得的可能取值為，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列為
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以．
題型三、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
【例3-1】已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
1 2 3
若，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)?① 且,②，
所以①②可得，.
【例3-2】隨機(jī)變量X的分布列為
X
P
若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范圍是
【例3-3】隨機(jī)變量的概率分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
則___________.
【答案】64
【解析】根據(jù)概率分布列的概率性質(zhì)可知，
所以，即，解得.
【例3-4】設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，；
②當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，公差；
③當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，；
④當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，時(shí)，.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】①③④
【解析】由題意可得：，且,，，2，，10，
對①：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則，
可得，故，①正確；
對②：當(dāng)為等差數(shù)列時(shí),由①知，所以，
由于,，所以，解得：，故②錯(cuò)誤；
對③：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，滿足，，，2，，10，
則，可得,，③正確；
對④：當(dāng)數(shù)列滿足，2，時(shí)，則，
可得，,3，時(shí),
所以，
由于，所以，
因此，
由于，所以，因此，
當(dāng)也符合，故，④正確．
題型四、離散型隨機(jī)變量的均值
【例4-1】已知隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2
P m
若，則___________.
【答案】
【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，解得，
∴.
由，得，即.
【例4-2】隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【答案】0
【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得解得，
所以，
所以.
【例4-3】已知隨機(jī)變量的分布列為：
X 1 2 4
P 0.4 0.3 0.3
則等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
【答案】A
【解析】由隨機(jī)變量的分布列，可得期望，
所以.
【例4-4】從裝有3個(gè)白球m個(gè)紅球n個(gè)黃球（這些小球除顏色外完全相同）的布袋中任取兩個(gè)球，記取出的白球的個(gè)數(shù)為X，若，取出一白一紅的概率為，則取出一紅一黃的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，X的可能值為0，1，2，則有，，，
于是得，解得，袋中共有10個(gè)球，
因此，取出一白一紅的概率為，解得，則，
所以取出一紅一黃的概率為.
【例4-5】甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，隨機(jī)變量X的可能取值是2，4，6，
設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪比賽停止的概率為，
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)該輪比賽結(jié)果對下一輪比賽是否停止沒有影響，
所以，，，
所以期望為．
【例4-6】2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動(dòng)力，這其實(shí)是我黨的一貫政策．某材料學(xué)博士畢業(yè)時(shí)恰逢國家大力倡導(dǎo)“開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強(qiáng)陶瓷基、樹脂基三大類復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)計(jì)到今年年底這三大類復(fù)合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復(fù)合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨(dú)立，記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學(xué)期望 ．
【答案】
【解析】記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則，
，
，
，
，
則的分布列為：
故答案為：1.7
【例4-7】一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)黑球，2個(gè)白球.第一步：從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①計(jì)第一步取出2個(gè)白球?yàn)槭录嗀，即第二步袋子有4個(gè)黑球，則
②計(jì)第一步取出兩球?yàn)?黑1白為事件，即第二步袋子有3個(gè)黑球1個(gè)白球，則
③計(jì)第一步取出兩個(gè)黑球?yàn)槭录﨏，即第二步袋子有2個(gè)黑球2個(gè)白球，則
故由全概率公式，，
同理，
【例4-8】如圖是飛行棋部分棋盤圖示，飛機(jī)的初始位置為0號(hào)格，拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點(diǎn)數(shù)為1，2，飛機(jī)在原地不動(dòng)；若拋出的點(diǎn)數(shù)為3，4，飛機(jī)向前移一格；若拋出的點(diǎn)數(shù)為5，6，飛機(jī)向前移兩格．記拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格為事件．記拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格為事件．
(1)求；
(2)判斷事件是否獨(dú)立，并說明理由；
(3)拋擲骰子2次后，記飛機(jī)所在格子的號(hào)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）由題意，因?yàn)轱w機(jī)每前移一格的概率為，故；
（2）由題意，事件拋擲骰子一次后，飛機(jī)到達(dá)1號(hào)格，只能是前移了1格；事件拋擲骰子兩次后，飛機(jī)到達(dá)2號(hào)格可能前移了兩次一格，或一次前移兩格一次原地不動(dòng).
故，，
因此，所以事件，相互獨(dú)立．
（3）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，
，，
，，，
所以隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2 3 4
所以．
【例4-9】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi)．
（1）如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)球槽的概率；
（2）某商場店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客只要在商場購物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如消費(fèi)400元沒有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)等，一次抽獎(jiǎng)小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為（元），其中．
（ⅰ）求一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金（元）的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）已知某顧客在商場消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為（元），求．
【解析】（1）記事件A：小球落入6號(hào)球槽，需要在6次碰撞中有1次向左，5次向右．
所以．
（2）（i）記隨機(jī)變量M：小球掉入號(hào)球槽，則M的可能取值為：1，2，3，4，5，6，7．
由題意可得；；；；
所以M的分布列為：
M 1 2 3 4 5 6 7
P
因?yàn)椋訶的可能取值為：0，40，80，120．
其中，，，．
所以一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金（元）的分布列為：
X 0 40 80 120
P
所以數(shù)學(xué)期望為．
（ii）某顧客在商場消費(fèi)2000元，可以抽獎(jiǎng)2次，所以他所得的獎(jiǎng)金為．
因?yàn)椋裕?br/>【例4-10】甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級(jí)參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人投中，則“虎隊(duì)”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊(duì)”得0分．已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．
（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；
（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為，求的分布列；
②設(shè)“虎隊(duì)”輪得分之和為，求的期望值．（參考公式）
【解析】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)記作事件，
則
．
（2）①“虎隊(duì)”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，
則，
，
，
，
，．
故的分布列如下圖所示：
0 1 2 3 4 6
②，，
，，
∴，．
【例4-11】有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白色小球，2個(gè)紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個(gè)小球，摸后不放回，摸到第2個(gè)紅球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．
(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；
(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）記小胡“第一輪摸到白球”為事件A，“小胡獲勝”為事件B，
則，，
故；
（2）記一次游戲中“先摸球者獲勝”為事件C，
則，
則X的可能取值為，
則，，
,
，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故.
【例4-12】某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場就算勝利（即每兩個(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．
(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．
【解析】（1）設(shè)高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級(jí)的事件為，
則
（2）根據(jù)題意得高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6
的分布列為
0 3 6
題型五、離散型隨機(jī)變量的方差
【例5-1】已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：,.
【例5-2】設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
則下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，得，則，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大.
【例5-3】已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個(gè)和白色小球個(gè)，從中任取3個(gè)，記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)，則（ ）
A．都與m有關(guān) B．與m有關(guān)，與m無關(guān)
C．與m無關(guān)，與m有關(guān) D．都與m無關(guān)
【答案】C
【解析】由題可知：
，
，
故，
==．
【例5-4】從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無放回任取個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，，，，分布列如下：
根據(jù)題意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，.
【例5-5】如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X，則X的方差為（ ）
A．0 B． C．3 D．5
【答案】C
【解析】X可能取值為1，，3，
，
則，
．
【例5-6】已知投資甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，和的分布列分別為表1：
表2：
(1)若在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，和分別表示投資甲 乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲 乙兩項(xiàng)目的利弊；
(2)若在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬元，求在甲 乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬元時(shí)，可使所獲利潤的方差和最小？注：利潤率.
【解析】（1）由題意，得，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩(wěn)定.若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙.
（2）設(shè)萬元投資甲，則萬元投資了乙，
則投資甲的利潤，投資乙的利潤
設(shè)為投資甲所獲利潤的方差與投資乙所獲利潤的方差和，
則
當(dāng)時(shí)，的值最小.
故此時(shí)甲項(xiàng)目投資25萬元，乙項(xiàng)目投資75萬元，可使所獲利潤的方差和最小.
【例5-7】一個(gè)不透明袋子里裝有紅色小球x個(gè)，綠色小球y個(gè)，藍(lán)色小球z個(gè)，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個(gè)小球，規(guī)定取出的小球是藍(lán)色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.
(1)若，從該袋子中隨機(jī)有放回的抽取2個(gè)小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；
(2)從該袋子中隨機(jī)取一個(gè)小球，記Y為此小球的對應(yīng)積分，若，求.
【解析】(1)由題意，抽取2個(gè)小球可能為{紅，紅}，{綠，綠}，{藍(lán)，藍(lán)}，{紅，綠}，{紅，藍(lán)}，{綠，藍(lán)}，則X可能為2、3、4、5、6，
又每次抽到紅、綠、藍(lán)球的概率分別、、，
∴，，，
，，
∴X的分布列如下：
2 3 4 5 6
(2)由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，
∴，
，
，
∴，則，，，
∴.
【例5-8】某工藝坊要將6件工藝原料加工成工藝品，每天完成一件工藝品，每件原料需先后完成1、2、3三道工序，工序1、2、3分別由工藝師甲、乙、丙完成，三位工藝師同時(shí)到崗，完成負(fù)責(zé)工序即可離崗，等待時(shí)按每小時(shí)10元進(jìn)行補(bǔ)貼，記加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：加工原料1時(shí)工藝師乙等待1小時(shí)，獲得補(bǔ)貼10元，丙等待7小時(shí)，獲得補(bǔ)貼70元，則，已知完成各工序所需時(shí)長(小時(shí))如下表：
原料工序 原料1 原料2 原料3 原料4 原料5 原料6
工序1 1 1 2 3 2 4
工序2 6 4 3 1 4 1
工序3 5 3 4 6 3 2
由于客戶催單，需要將每件原料時(shí)長最長的工序時(shí)間減少1小時(shí)，記此時(shí)加工原料時(shí)工藝師乙、丙獲得的總補(bǔ)貼為（單位：元），例如：.
（1）從6件原料中任選一件，求的概率；
（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，試比較，的大小.（只需寫出結(jié)果）
【解析】（1）由題意得，，，，，，
，，，，，，
所以從6件原料中任選一件，有，，，，
所以從6件原料中任選一件，的概率為；
（2）從6件原料中任選三件，記為滿足“”的件數(shù)，則，
則；；，
X的分布列為
X
P
所以X的數(shù)學(xué)期望為；
（3）>．
題型六、決策問題
【例6-1】為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識(shí)的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識(shí)競賽.競賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出10道題，編號(hào)為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯(cuò)得0分.團(tuán)體賽以班級(jí)為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級(jí)選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個(gè)小組都順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
方案二：將班級(jí)選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
(1)郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；
(2)在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請說明理由.
【解析】（1）設(shè)郭靖同學(xué)答對的題目數(shù)為X，得分為Y，則，
由題意可知,則;
.
（2）設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的概率分別為，
當(dāng)選擇方案一時(shí)，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，
故；
當(dāng)選擇方案二時(shí)，一個(gè)小組順利出線的概率為，則小組沒有出線的概率為，
故；
故，
令，
則
，
因?yàn)椋裕剩?br/>則，即，故為單調(diào)增函數(shù)，
因?yàn)椋?br/>由于各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，即，
此時(shí)
故A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇方案一參賽.
【例6-2】從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.
(2)對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
【解析】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：
：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯(cuò)，即甲得20分，乙得7分.
：甲三道全對，一道部分選對；乙兩道部分選對，兩道選錯(cuò)，即甲得17分，乙得4分.
：甲三道全對，一道選錯(cuò)；乙一道部分選對，三道選錯(cuò)，即甲得15分，乙得2分.
.
.
.
.
（2）若為甲出方案.
則甲可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.
記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，則期望為.
記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，
，，，
此時(shí)期望為.
記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5
，，
此時(shí)期望為.
∵，.
∴甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績.
若為乙出方案，則乙可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.
記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，類比甲的情況，則
記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，
此時(shí).
記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，此時(shí).
∵，
∴當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績.
當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績，
當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2或3個(gè)選項(xiàng)都有希望得到更理想的成績.
【例6-3】統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.
(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;
(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號(hào)后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.
（ⅰ）請從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).
（ⅱ）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).
【解析】（1）,
故分布列為：
0 1 2
.
（2）（i）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,則,解得,故池塘乙中的魚數(shù)為200.
（ii）設(shè)池塘乙中魚數(shù)為,令事件“再捉20條魚,5條有記號(hào)”,事件“池塘乙中魚數(shù)為”
則,由最大似然估計(jì)法,即求最大時(shí)的值,其中,
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)
所以池塘乙中的魚數(shù)為199或200.
【例6-4】為貫徹落實(shí)黨的二十大精神，促進(jìn)群眾體育全面發(fā)展.奮進(jìn)中學(xué)舉行了趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有一個(gè)項(xiàng)目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機(jī)地?cái)S向前方的三個(gè)箱子中的任意一個(gè)，每名選手?jǐn)S5個(gè)大小形狀質(zhì)量相同 編號(hào)不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進(jìn)1號(hào) 2號(hào) 3號(hào)箱分別可得3分 4分 5分，沒有投中計(jì)0分.每名選手將累計(jì)得分作為最終成績.
(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進(jìn)入不同箱子的方法數(shù)；
(2)賽前參賽選手經(jīng)過一段時(shí)間的練習(xí)，選手每次投中1號(hào) 2號(hào) 3號(hào)箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨(dú)立，且投擲時(shí)不會(huì)出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.
（i）若以比賽結(jié)束時(shí)累計(jì)得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號(hào)箱？
（ii）假設(shè)選手得了23分，請你幫設(shè)計(jì)一種可能贏的投擲方案，并計(jì)算該方案獲勝的概率.
【解析】（1）設(shè)5次投擲投中1號(hào)次，2號(hào)次，3號(hào)次，未投中次，
則，解得或或或
不同的方法數(shù).
（2）（i）設(shè)選手選擇1號(hào) 2號(hào) 3號(hào)箱作為目標(biāo)箱，5次投中的次數(shù)依次為，
最終的得分分別為.則
建議選手選擇1號(hào)箱.
（ii）方案一：連續(xù)5次選擇投擲3號(hào)箱
最終獲勝的概率為.
方案二：前4次均選擇投擲3號(hào)箱，第5次投2號(hào)箱
最終獲勝的概率為
【例6-5】據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件，則；
該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件，則．
（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，
依題意，，則，
該同學(xué)報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，3．
，
，，
隨機(jī)變量的分布列：
0 1 2 3
，
因?yàn)樵摽忌ＭM(jìn)入甲大學(xué)的面試，則，即，解得，
所以的范圍為：.
【例6-6】2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，
商品日銷售量（單位：件） 6 7 8 9 10
甲平臺(tái)的天數(shù) 14 26 26 24 10
乙平臺(tái)的天數(shù) 10 25 35 20 10
假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
【解析】（1）令事件“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”，則，
令事件“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，
則
（2）設(shè)甲平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為
所以，的分布列為
所以，，
設(shè)乙平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為
所以，的分布列為：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，當(dāng)時(shí)，選擇甲平臺(tái)；當(dāng)時(shí)，甲乙平臺(tái)均可；當(dāng)時(shí)，選擇乙平臺(tái).
【例6-7】某新華書店將在六一兒童節(jié)進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡在該書店購書達(dá)到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個(gè)號(hào)碼分別為、、、、的小球（小球除號(hào)碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個(gè)小球（摸球者無法摸出小球號(hào)碼）．若雙方摸出的兩球號(hào)碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個(gè)積分，乙增加個(gè)積分；若號(hào)碼之差為偶數(shù)，則甲增加個(gè)積分，乙被扣除個(gè)積分．游戲開始時(shí)，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．
(1)設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)以（1）中的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，記正整數(shù)的最小值為．
①求的值，并說明理由；
②當(dāng)時(shí)，求在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率．
【解析】(1)記“一局游戲后甲被扣除個(gè)積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個(gè)積分”為事件，
由題可知，則，
當(dāng)三局均為甲被扣除個(gè)積分時(shí)，，
當(dāng)兩局為甲被扣除個(gè)積分，一局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，
當(dāng)一局為甲被扣除個(gè)積分，兩局為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，
當(dāng)三局均為乙被扣除個(gè)積分時(shí)，，
所以，，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列為
－6
P
(2)①由（1）易得，
顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零，
當(dāng)游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)更為有利時(shí)，則需，
所以，，即正整數(shù)的最小值；
②當(dāng)時(shí)，記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，則，
由題設(shè)可知若甲獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)則甲被扣除積分的局?jǐn)?shù)至多為，
記“甲獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)”為事件，易知事件為“甲恰好有一局被扣除積分”，
則，所以，，
即在甲至少有一局被扣除積分的情況下，甲仍獲得“購書券”獎(jiǎng)勵(lì)的概率為．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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