資源簡介

　為什么y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線
1．雙曲線的漸近線的定義
若存在一條直線l，使得曲線C趨向無窮遠處時與直線l越來越近，則稱直線l為曲線C的漸近線．
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的探討
當x>0，y>0時，由－＝1得y＝b＝x，
當x→＋∞時，→1，故猜測在第一象限內，x→＋∞時雙曲線無限地接近于直線y＝x.
3．在第一象限內，如何證明直線l：y＝x是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線？
如圖所示，過M作MQ⊥l于Q，過M作PM⊥x軸交l于點P，
則|PM|≥|QM|.設M點的坐標為(xM，yM)，則yM＝，yP＝xM.
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝.
當xM→＋∞時，xM＋→＋∞，所以|PM|→0，
即點M到直線l的距離|QM|→0，
故在第一象限內，直線l為雙曲線的漸近線．
根據雙曲線的對稱性，y＝±x是雙曲線－＝1的漸近線．
4．共漸近線的雙曲線方程的探索
(1)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程是－＝λ(λ≠0)，當λ>0時，其焦點在x軸上；當λ<0時，其焦點在y軸上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線方程是±＝0，即y＝±x.
【典例】　(1)如圖所示，已知F1，F2為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點，過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2＝30°，則雙曲線的漸近線方程為________．
(2)(2022·全國甲卷)若雙曲線y2－＝1(m＞0)的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝________．
(1)y＝±x　(2)　[(1)設F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)，
則－＝1，解得y0＝±.
∴|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
則|PF1|＝2|PF2|.　①
由雙曲線的定義，得
|PF1|－|PF2|＝2a.　②
由①②得|PF2|＝2a.
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2.
∴＝.
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
(2)雙曲線y2－＝1(m＞0)的漸近線為y＝±，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圓心為(0，2)，半徑r＝1，
依題意圓心(0，2)到漸近線x＋my＝0的距離d＝＝1，
解得m＝或m＝－(舍去)．]
1．(2021·全國甲卷)點(3，0)到雙曲線－＝1的一條漸近線的距離為(　　)
A．　　　　　　C．　　　
A　[由雙曲線的方程知，a＝4，b＝3，焦點在x軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即3x－4y＝0，由點到直線的距離公式得，點(3，0)到雙曲線的一條漸近線的距離為＝.故選A．]
2．(2021·全國乙卷)已知雙曲線C：－y2＝1(m＞0)的一條漸近線為x＋my＝0，則C的焦距為________．
4　[雙曲線－y2＝1(m＞0)的漸近線為y＝±x，即x±y＝0，又雙曲線的一條漸近線為x＋my＝0，即x＋y＝0，對比兩式可得，m＝3.設雙曲線的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2＝4．]　圓錐曲線的光學性質及其應用
1．拋物線的光學性質
(1)焦點：光線的聚集點．
(2)拋物面：由拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面，叫做拋物面．
(3)拋物線的性質：從焦點發出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．
(4)拋物線性質的實際應用：
一束平行于拋物線的軸的光線，經過拋物面的反射集中于它的焦點．人們應用這個原理，設計了太陽灶等生活用具．
2．橢圓的光學性質
從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上．膠片放映機的聚光燈反射鏡的形狀是旋轉橢圓面．
3．雙曲線的光學性質
從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們好像是從另一個焦點射出的．
【典例】　(1)電影放映機上的聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分 (如圖所示)，燈絲在焦點F2處，由橢圓的光學性質知當片門安放在另一焦點F1處時，電影片門才能獲得最強光．現測定某一型號電影放映機聚光燈泡的反射鏡軸截面所在橢圓方程為＋＝1，你能根據所給橢圓方程確定電影放映機的片門應安裝在距燈絲多遠的地方嗎？
(2)如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉的拋物面形狀的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為12 m，鏡深2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作點，求每根鐵筋的長度．
[解]　(1)由反射鏡軸截面所在橢圓方程為＋＝1，知a2＝169，b2＝144，所以c2＝25，即橢圓的焦距2c＝10.故電影放映機的片門應安裝在距燈絲10個單位長度的地方．
(2)如圖，在反光鏡的軸截面內建立平面直角坐標系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于鏡口圓的直徑．
由已知，得A點坐標是(2，6)，
設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則36＝2p×2，解得p＝9.
所以所求拋物線的標準方程是y2＝18x，
焦點坐標是F.因為盛水和食物的容器在焦點處，所以A，F兩點間的距離即為每根鐵筋長．
|AF|＝＝6.5，故每根鐵筋的長度是6.5 m．
　(1)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，其焦點分別為F(c，0)，F′(－c，0)，則由一個焦點射向橢圓上任意一點的光波或聲波，經該橢圓反射后必經過另一個焦點，橢圓的這一獨特的光學性質在現實生活中有著廣泛的應用．
(2)解決與拋物線有關的實際應用問題時，一般可根據題意(或圖形)建立平面直角坐標系，設出拋物線的標準方程，依據題意得到拋物線上一點的坐標，從而可求出拋物線的標準方程，進而利用其幾何性質進行推理、運算．
1．(2022·河南省開封市模擬)一種衛星接收天線如圖1所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點F處，如圖2所示．已知接收天線的口徑AB為4.8 m，深度為1 m．若P為接收天線上一點，則點P與焦點F間的最短距離為(　　)
A．0.72 m B．1.44 m
C．2.44 m D．2.88 m
B　[以線段AB的中垂線為x軸，拋物線與x軸的交點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則由題意可得A(1，2.4)．
設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，
將A點的坐標代入得2.42＝2p，即2p＝5.76，
所以p＝2.88，拋物線的方程為y2＝5.76x.
設P(x0，y0)，則點P到焦點F的距離等于點P到準線的距離，即|PF|＝x0＋＝x0＋1.44≥1.44.故選B．]
2．汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197 mm，反光曲面的頂點到燈口的距離是69 mm.由拋物線的性質可知，當燈泡安裝在拋物線的焦點處時，經反光曲面反射后的光線是平行光線．為了獲得平行光線，應怎樣安裝燈泡？(精確到1 mm)
[解]　如圖所示，在車燈的一個軸截面上建立平面直角坐標系，設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，燈泡應安裝在其焦點F處．在x軸上取一點C，使|OC|＝69 mm，過點C作x軸的垂線，交拋物線于A，B兩點，線段AB就是燈口的直徑，即|AB|＝197 mm，則點A的坐標為.
將點A的坐標代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此時焦點F的坐標約為(35，0)．
因此，燈泡應安裝在對稱軸上距頂點約35 mm 處．微專題3　軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成x，y間的關系式．
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程．
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可求得動點的軌跡方程．
類型1　直接法求軌跡方程
【例1】　已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是(－5，0)，(5，0)，邊AC，BC所在直線的斜率之積等于－，則頂點C的軌跡方程為________．
＋＝1(y≠0)　[設點C(x，y)，則kAC·kBC＝×＝(y≠0)，
所以＝－(y≠0)，
化簡得＋＝1(y≠0)．]
類型2　定義法求軌跡方程
【例2】　已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內一定點B(3，0)，圓P過點B且與圓A內切，求圓心P的軌跡方程．
[解]　如圖，設圓P的半徑為r，又因為圓P過點B，
所以|PB|＝r.又因為圓P與圓A內切，圓A的半徑為10，所以兩圓的圓心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)，
所以圓心P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．
所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以圓心P的軌跡方程為＋＝1.
類型3　相關點法(代入法)求軌跡方程
【例3】　已知在平面直角坐標系中，動點M到定點(－，0)的距離與它到定直線l：x＝－的距離之比為常數.
(1)求動點M的軌跡Γ的方程；
(2)設點A，若P是(1)中軌跡Γ上的動點，求線段PA的中點B的軌跡方程．
[解]　(1)設動點M(x，y)，由已知可得＝，
即x2＋2x＋3＋y2＝，化簡得＋y2＝1，
即所求動點M的軌跡Γ的方程為＋y2＝1.
(2)設點B(x，y)，點P(x0，y0)，
由得
由點P在軌跡Γ上，得＋＝1，
整理得＋4＝1，
∴線段PA的中點B的軌跡方程是
＋4＝1.微專題4　破解圓錐曲線的離心率問題
離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質，求離心率的方法主要有：
(1)通過已知條件列出方程組，解出a，c的值；
(2)由a，b的關系求離心率e＝(橢圓)或e＝(雙曲線)；
(3)由已知條件得關于a，b的齊次式，再轉化為關于e的一元二次方程；
(4)通過特殊值或特殊位置求離心率；
(5)在焦點三角形內求離心率．
類型1　定義法
【例1】　(1)(2022·山東省聊城市模擬)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F，該橢圓上有一點A，滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標原點)，則橢圓的離心率是________．
(2)設F1，F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為________．
(1)－1　(2)　[(1)設橢圓左、右焦點分別為F1，F，點A在第一象限，如圖所示．
由題意知，|OA|＝|F1F|，所以△F1AF是直角三角形，|AF|＝c，
所以|AF1|＝c，2a＝c＋c，所以＝＝－1.
(2)由雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2a，
由|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，
則有(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝9b2－9ab＝4a2，
即有(3b－4a)(3b＋a)＝0.所以3b＝4a，
所以＝，
則e＝＝＝＝．]
類型2　幾何法
【例2】　設F1，F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為(　　)
A． 　　　B．　　　C． 　　　D．
A　[如圖，設PF1的中點為M，連接PF2.
因為O為F1F2的中點，
所以OM為△PF1F2的中位線．
所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因為∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.
由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，
即c＝，
則e＝＝＝．]
類型3　尋求齊次方程求離心率
【例3】　(1)(2022·江西省上饒市模擬)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，右頂點為A，虛軸的一個端點為B，若△ABF為等腰三角形，則雙曲線C的離心率是(　　)
A． B．
C．或 D．1＋
(2)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．
(1)D　(2)　[(1)由題意易知F(－c，0)，A(a，0)，設B(0，b)，
則|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2.
由△ABF為等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，
即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，變形可得c2－2a2－2ac＝0，
又e＝，則有e2－2e－2＝0，解得e＝1±，
又雙曲線中e>1，所以e＝1＋.
(2)在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，
將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝.
因為0類型4　求離心率的取值范圍
【例4】　若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分別為橢圓的左、右焦點)，則橢圓的離心率e的取值范圍為________．
　[法一：設點M的坐標是(x0，y0)，則|x0|≤a，
由F1(－c，0)，F2(c，0)知＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
∵∠F1MF2＝90°，∴＝＝0，即＝c2.
又點M在橢圓上，即＝b2－＝b2＋∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0故橢圓的離心率e的取值范圍是.
法二：設橢圓與y軸的一個交點為P，
∵橢圓上存在一點M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，則c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0故橢圓的離心率e的取值范圍是．]微專題5　圓錐曲線中的綜合問題
圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點、熱點和難點，涉及的知識面廣，題目綜合性強，對思維能力要求比較高．解決的基本思路是利用代數法，從分析問題的數量關系入手，利用直線系或曲線系方程或函數方程思想，通過聯想與類比，使問題獲解．解答過程中主要注意以下三點：
(1)根據條件設出合適的直線方程，當不知道直線是否有斜率時，需要分兩種情況討論；
(2)具體求解時，常用到“根與系數的關系”及“設而不求，整體代入”的方法；
(3)不要忽視判別式的作用，在解題過程中，判別式起到了限制參數范圍的作用．
類型1　范圍與最值問題
【例1】　(2021·全國乙卷)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到準線的距離為2.
(1)求C的方程；
(2)已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足＝9，求直線OQ斜率的最大值．
[解]　(1)由拋物線的定義可知，焦點F到準線的距離為p，故p＝2，所以C的方程為y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，
因為＝9，
所以可得
又點P在拋物線C上，所以＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化簡得＝x2－，則點Q的軌跡方程為y2＝x－.
設直線OQ的方程為y＝kx，易知當直線OQ與曲線y2＝x－相切時，斜率可以取最大，
聯立y＝kx與y2＝x－并化簡，
得k2x2－x＋＝0，令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直線OQ斜率的最大值為.
類型2　定點與定值問題
【例2】　設拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為點F，過點F作直線l交拋物線E于A，B兩點．當l與x軸垂直時，△AOB的面積為8，其中O為坐標原點．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)若l的斜率存在且為k1，點P(3，0)，直線AP與拋物線E的另一交點為C，直線BP與拋物線E的另一交點為D，設直線CD的斜率為k2，證明：為定值．
[解]　(1)由題意當l與x軸垂直時，不妨設A，B，∴·2p·＝8，解得p＝4.
則拋物線E的標準方程為y2＝8x.
(2)[證明]　設A．(x1，y1)，B．(x2，y2)，C．(x3，y3)，D．(x4，y4)，
則k1＝＝＝，
同理k2＝，
∴直線l的方程為y－y1＝(x－x1)．
即(y1＋y2)y－y1y2＝8x.
∵拋物線E的焦點F(2，0)在直線l上，
∴－y1y2＝16.
設直線BD的方程為x＝ty＋3.
聯立得方程組
消去x并整理得y2－8ty－24＝0，
∴y2y4＝－24.
同理可得y1y3＝－24.
∴＝＝＝＝＝.
故為定值．
類型3　探索性問題
【例3】　如圖，在平面直角坐標系中，點F(－1，0)，過直線l：x＝－2右側的動點P作PA⊥l于點A，∠APF的平分線交x軸于點B，|PA|＝|BF|.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)過點F的直線q交曲線C于M，N兩點，x軸正半軸上是否存在點E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點，使∠RFS為直角？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
[解]　(1)設P(x，y)，x>－2.由PA⊥l，PB為∠APF的平分線可知|PF|＝|BF|，
故＝＝，
即＝，化簡得＋y2＝1，
所以動點P的軌跡C的方程為＋y2＝1(x≠±)．
(2)假設滿足條件的點E(n，0)(n>0)存在．
設直線q的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(－2，y3)，S(－2，y4)．
由消去x，
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，Δ>0，
根據一元二次方程根與系數的關系有y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－2＝－.
由kME＝kRE，知＝，
則y3＝－.同理y4＝－.
kRF＝＝－y3，kSF＝＝－y4.
因為∠RFS為直角，
所以kRF·kSF＝y3y4＝－1，
所以(2＋n)2y1y2＝－[x1x2－n(x1＋x2)＋n2]，
即(2＋n)2＝＋＋n2，
所以(n2－2)(m2＋1)＝0，
解得n＝或－(舍)，
故滿足條件的點E存在，其坐標為(，0)．第3章 圓錐曲線的方程 章末綜合提升
類型1　圓錐曲線的定義及標準方程
1．圓錐曲線的定義是相應標準方程和幾何性質的“源”，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略．
2．求圓錐曲線標準方程的常用方法
(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關系，只需把這種關系“翻譯”成含x，y的等式就得到動點的軌跡方程．
(2)待定系數法：根據條件能確定曲線的類型，可設出方程形式，再根據條件確定待定的系數．
3．圓錐曲線定義的應用及標準方程的求解體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象的數學學科素養．
【例1】　(1)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1　　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(2)雙曲線16x2－9y2＝144的左、右兩焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|＝64，則∠F1PF2＝________．
(1)C　(2)60°　[(1)法一：因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以
解得所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.依題意，不妨設A，B到直線y＝x的距離分別為d1，d2，
因為d1＋d2＝6，
所以＋＝6，
所以＋＝6，
解得a＝，所以b＝3，
所以雙曲線的方程為－＝1，故選C．
法二：因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以
解得如圖所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以雙曲線的方程為－＝1.
(2)雙曲線方程16x2－9y2＝144，
化簡為－＝1，
即a2＝9，b2＝16，
所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，
所以F1(－5，0)，F2(5，0)．
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由雙曲線的定義知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos ∠F1PF2＝
＝
＝
＝＝.
所以∠F1PF2＝60°．]
類型2　圓錐曲線的性質及應用
1．本類問題主要有兩種考查類型：
(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質，其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點．
(2)已知圓錐曲線的性質求其方程，基本方法是待定系數法，其步驟可以概括為“先定位、后定量”．
2．圓錐曲線的性質的討論和應用充分體現了直觀想象和邏輯推理的數學素養．
【例2】　(1)(2022·江蘇省南通市模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為12，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，過右焦點F作雙曲線在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線C的左、右支的交點分別為點A，B．
①求證：P在直線x＝上；
②求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
③若|AP|＝3|PB|，求離心率e.
(1)D　[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12.
所以a＝3.因為橢圓的離心率e＝＝，所以c＝2.
所以b2＝a2－c2＝5.所以橢圓C的方程為＋＝1．]
(2)[解]　①證明：由題意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，聯立解得點P的坐標為，所以點P在直線x＝上．
②由
消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1·x2＝.
由于點A，B分別在兩支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>.
③由題意知：P分AB所成的比λ＝3，
所以＝，即x1＋3x2＝.
又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
從而·＝，
化簡得4a2＝b2，
所以e＝＝＝.
類型3　直線與圓錐曲線的位置關系
1．直線與圓錐曲線的位置關系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點個數、求弦長、求最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質與直線的基礎知識的綜合應用，涉及數形結合、函數與方程、分類討論等數學思想方法．直線與圓錐曲線的位置關系主要有：(1)有關直線與圓錐曲線公共點的個數問題，應注意數形結合．(2)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數的關系．(3)有關垂直問題，要注意運用斜率關系及根與系數的關系，設而不求，簡化運算．
2．借用直線與圓錐曲線的位置關系問題培養直觀想象和數學運算的學科素養．
【例3】　已知橢圓＋＝1(a>b>0)經過點(0，)，離心率為，左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足＝，求直線l的方程．
[解]　(1)由題設知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，
∴圓心到直線l的距離d＝，
由d<1得|m|<.①
∴|CD|＝2＝2＝.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②
由根與系數的關系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，經檢驗滿足①②.
∴直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－.
類型4　圓錐曲線的綜合問題
1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關系證明及定值、最值問題，解決的基本思路是利用代數法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．
2．圓錐曲線的綜合問題的解決培養邏輯推理和數學運算素養．
【例4】　已知點F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于D，E兩點，當直線l與x軸垂直時，|DE|＝4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)如圖所示，設點R(x0，2)在拋物線C上，過點Q(1，1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B，若直線AR，BR分別交直線y＝2x＋2于M，N兩點，求|MN|最小時直線AB的方程．
[解]　(1)∵點F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，∴F，又∵當l與x軸垂直時，|DE|＝4，∴D.
又∵點D在拋物線上，∴4＝2p×＝p2，∴p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)∵點R(x0，2)在拋物線C上，∴x0＝1，∴R(1，2)．
設直線AB的方程為x＝m(y－1)＋1(m≠0)，
A，B.
由得y2－4my＋4m－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.
又直線AR的方程為y－2＝(x－1)＝(x－1)．
由
得xM＝－，同理可得xN＝－，
∴|MN|＝|xM－xN|＝2
＝2＝2
＝2≥2×
＝，當且僅當m＝－1時，等號成立，
∴|MN|min＝，此時直線AB的方程為x＋y－2＝0.

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