資源簡介

正確的模仿與錯誤的經歷
——關注學生的思維進程
浙教版數學12冊《按比例分配》
《按比例分配》這一節課的學習內容，難度不高，所以將例1與例2的內容整合在一起教學，結果學生也能輕松的掌握。不過其中有一道練習題，歷屆以來，學生練習的錯誤率總是極高的，題型如練一練5：一根鐵絲長36厘米，把它圍成一個長方形，長與寬的比是5：4，這個長方形的面積是多少平方厘米？上一屆的情景記憶猶新：全班50人中第一次做時僅4人做對，正確率8%。正確率之所以這樣低，主要原因是受已有知識經驗定勢的影響。按照建構主義理論，在新的學習中，學習者通常基于以往的經驗去推出合乎邏輯的假設，新知識是以已有知識經驗為生長點而“生長”起來的。因為前面的按比例分配都是這樣做的，而且都是正確的，所以學生這一題也這樣做。今年又教到這一題時，當然會估計到學生會犯錯誤而有所防范，并做了一個有心人，對課堂上產生的情況做了大致統計，教學片段如下：
第一班
第一環節：嘗試，失敗。
出示：一根鐵絲長36厘米，把它圍成一個長方形，長與寬的比是5：4，這個長方形的面積是多少平方厘米？
師（提示）：做完之后，請同學們檢驗一下。
學生：練習；教師：巡回觀察。
練習反饋結果統計：
班級人數
做對人數
用重做來驗證的人數
無從下手人數
其他人數
51
9（17.6%）
25
10
原本以為有了我的提示正確率會大幅度提高，但17.6%的正確率令我大失所望，而且發現接近一半的學生檢驗的方法僅僅是重做一遍而已，說明學生關注的只是計算的正確與否，而并沒有關注結果與條件是否相符。鑒于錯誤率如此之高，教師引導如下：
師：你們按比例分配得到的長與寬與條件是否相符？請同學們討論一下如何驗證？并且請驗證一下。
生1：周長不對了。
生2：按比例分配出來的周長是原來的2倍了。
師：為什么？
生1：周長36厘米是兩條長與兩條寬的總長，所以按比例分配出來的20厘米是兩條長的長度，16厘米是兩條寬的長度。
生2：我們求面積是需要的是一條長與一條寬的長度。
所有的學生：恍然大悟。
師：怎么辦呢？你們會訂正了嗎？
學生：會。然后訂正。
師：你們是怎么辦的？
生1：先按比例分配，然后分別把結果除以2，所得到的就是長與寬的實際長度。
生2：我還有其他方法，先把36厘米除以2，得到18厘米，再把18厘米按比例分配。
師：贊同。
第二環節：趁熱打鐵。
師：（出示）一個長方體長、寬、高的比為3：2：1，所有棱長的和是72厘米，它的體積是多少？
學生：練習。
反饋結果統計：
班級人數
做對人數
先按比例分配再除以4
先除以4再按比例分配
錯誤情況
分配后除以2或除以2再分配的
分配后除以3或除以3再分配的
51
45（88.2%）
25
20
3
1
88.2%的正確率是比較令人滿意的，況且出現的錯誤情況僅僅說明這4位學生對長方體的特征有點模糊。
第二班
第二天，在后一個班級練習到同一題時，鑒于前一班級的提示使有的學生“無從下手”或者檢驗效果不佳，所以我的提示語改變了。
第一環節：嘗試，成功
出示：一根鐵絲長36厘米，把它圍成一個長方形，長與寬的比是5：4，這個長方形的面積是多少平方厘米？
師（提示）：按比例分配后，請同學們先驗證一下周長對不對，然后再計算面積。
生：練習。
師：巡回觀察，發現許多學生驗證后發現周長不對，除以2才計算面積。（此時我的心里非常滿意，為我的提示到位而滿意）
練習反饋結果統計：
班級人數
做對人數
重做驗證人數
無從下手人數
驗證周長發現錯誤，除以2再計算
52
40（76.9%）
0
0
38
76.9%的正確率是非常令人滿意的，況且這是第一環節。由于正確率這么高，所以我決定直接進入“趁熱打鐵”這個環節。
第二環節：趁熱打鐵。
師：（出示）一個長方體長、寬、高的比為3：2：1，所有棱長的和是72厘米，它的體積是多少？
學生：練習。
反饋結果統計：
班級人數
做對人數
先按比例分配再除以4，最后求體積的人數
先除以4再按比例分配，最后求體積的人數
錯誤情況
分配后除以2再求體積
分配后除以3再求體積
分配后直接求出體積
52
24（46.1%）
20
12
2
3
15
正確率只有46.1%的真是令人費解，而且犯“分配后直接求出體積”這種錯誤的學生會有15名之多，更是令人費解。
１、實錄與簡單描述結合
２、實事求是地回顧教學事件，不事修飾，不作演繹
分析與反思
一、正確，可能只是一種模仿；錯誤，卻絕對是一種經歷。
在第一個環節中前班的正確率是17.6%，后班是76.9%，真是有天壤之別。這是為什么呢？我想主要在于提示語的不同。前班：“做完之后，請同學們驗證一下”。這樣的提示使絕大部分的學生無從下手，從而導致大面積的錯誤。后班：“按比例分配后，請同學們先驗證一下周長對不對，然后再計算面積”，這樣的提示為學生指明了驗證的方向，使學生有法可依，從而使正確率大面積提高。
照常理而言，在第二環節里，后班的正確率應更高，可事實恰好相反，后班的正確率卻大大低于前班。后班為什么在“趁熱打鐵”這個環節里沒有取得教師預期的效果呢？這是很值得我反思的。我想最主要的原因是他們在第一個環節里的成功來得過于一帆風順。有了教師過于“到位”的提示，使學生有法可依，大部分只是照章行事，并沒有想想“為什么”。學生沒有反思的自己的行為，思維當然不會參與到“驗證”上來，在思維上沒有多大的提升，建構是膚淺的。而前班卻由于教師的提示不夠“到位”，使學生無從下手；雖無從下手，但學生仍舊在積極的探索、思考，思維沒有停止；而最重要的是他們都做錯了，這個“打擊”應比“勝利”的印象更深。正所謂“正確，可能只是一種模仿；錯誤，卻絕對是一種經歷。”因此后班在第一環節里的“正確”可能就是一種模仿，模仿時思維的參與度是不積極的；而前班在第一個環節里的“錯誤”卻絕對是一種經歷，有了這種經歷再加上教師的引導，學生就會積極的反思自己為什么錯，思維的參與度一定是高的。當然，我并不贊同錯誤都是美麗的說法，但我承認有些錯誤讓學生經歷一下還是必要的。
二、分析正確與錯誤的信息，關注學生的思維進程。
課后仔細回憶了一下，發覺前后班兩個環節之間各自的過渡處理也存在著不同。后班由于第一環節的正確率太高，使我被這暫時的“勝利”沖昏的頭腦，認為任何分析都是多余的，所以直接進入“趁熱打鐵”這一環節，但“假像”畢竟是“假像”，終于使后班學生從第二個環節里敗下陣來。
鄭毓信先生說過：現代教學思想的一個重要觀點，就是認為學生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復的練習得到糾正，而必須是一個“自我否定”的過程。又由于所說的“自我否定”是以“自我反省”，特別是內在的“觀念沖突”作為必要的前提。在前班中，由于大面積的錯誤，使得我不得不進行“撥亂返正”。在這個過程中，教師首先創設了一個問題情境：“你們按比例分配得到的長與寬與條件是否相符？請同學們討論驗證一下”。這個問題情境促使學生進行“自我否定”。在“自我否定”的過程中，教師又以“為什么”、“怎么辦”等問題引導、促進學生的“自我反省”與“觀念沖突”，實際上就是促進學生思維的充分參與，促進學生的有效建構。比如，通過驗證、討論，使學生領悟到：“36厘米是兩條長與兩條寬的總長，所以按比例分配出來的20厘米是兩條長的長度，16厘米是兩條寬的長度。”特別是“怎么辦”之后，有的學生找到了“先按比例分配，然后除以幾”的方法，而有的學生找到了“先除以幾，再按比例分配”的方法，這正是通過“自我否定”之后的自我建構的結果。而在后班，我們可以分析一下正確與錯誤的情況，得到一些有用信息，從而了解到學生的思維進程。學生們在兩題中都只用了：“先按比例分配，然后除以幾”的方法，始終沒有出現過“先除以幾，再按比例分配”的方法。方法的單一說明在后班學生的頭腦里并未產生過激烈的“觀念沖突”，思維尚處于模仿的階段，思維的進程尚未達到教師預期的程度。而“分配后直接求出體積”這種錯法仍舊有15名學生之多，這充分說明了后班這些學生沒有經過“自我否定”這一過程，思維根本沒有參與進來，也更說明了學生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復的練習得到糾正，而要有效地糾正錯誤最好是依靠學生的自我否定。
真實的事件　　典型的材料　　具體的情節　　強烈的對比
有效的分析　　辯證的反思　　理性的提升　　效率的提高

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