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專題四十一 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布
知識(shí)歸納
一、兩點(diǎn)分布
1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為
0 1
其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．
注意：
（1）兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；
（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．
2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．
二、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1、定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2、特點(diǎn)
（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；
（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．
三、二項(xiàng)分布
1、定義
一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．
2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3、二項(xiàng)分布的期望、方差
若，則，．
四、超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
0 1 …
…
2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
五、正態(tài)曲線
1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2、正態(tài)曲線的性質(zhì)
（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；
（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；
（4）曲線與軸之間的面積為1；
（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：
（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：
　
甲 乙
六、正態(tài)分布
1、定義
隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．
一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．
其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．
2、原則
若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周?chē)母怕试酱?br/>特別地，有；；．
由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．
解題方法總結(jié)
1、超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；
而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.
2、在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個(gè)范圍就說(shuō)明出現(xiàn)了意外情況．
3、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：
（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．
（2）將待求問(wèn)題向，，這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．
4、假設(shè)檢驗(yàn)的思想
（1）統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測(cè)的個(gè)體的數(shù)值，對(duì)事先所作的統(tǒng)計(jì)假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．
（2）若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說(shuō)明不服從正態(tài)分布．
（3）對(duì)于小概率事件要有一個(gè)正確的理解：
小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對(duì)于這類事件來(lái)說(shuō)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過(guò)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，也有犯錯(cuò)的可能性．
典例分析
題型一、兩點(diǎn)分布
【例1-1】若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】有一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球，現(xiàn)將（）個(gè)黑球放入盒子后，再?gòu)暮凶永镫S機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著（）的增加，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．減小，增加 B．增加，減小
C．增加，增加 D．減小，減小
【例1-3】某高校“植物營(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù) 9 20 9 2
第2組雞冠花株數(shù) 4 16 16 4
第3組雞冠花株數(shù) 13 12 13 2
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【例1-4】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每 件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢 驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次 數(shù)為．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；
（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．
【例1-5】某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元 元 元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元 100萬(wàn)元 50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.
(1)若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.
(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
題型二、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
【例2-1】進(jìn)入2021年以來(lái)，國(guó)家提倡大學(xué)生畢業(yè)自主創(chuàng)業(yè)，根據(jù)已知的調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】體育課上進(jìn)行投籃測(cè)試，每人投籃3次，至少投中1次則通過(guò)測(cè)試．某同學(xué)每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（ ）
A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936
【例2-3】“數(shù)字華容道”是一款流行的益智游戲．n×n的正方形盤(pán)中有個(gè)小滑塊，對(duì)應(yīng)數(shù)字1至．初始狀態(tài)下，所有滑塊打亂位置，并保證第n行第n列為空格．游戲規(guī)則如下：玩家經(jīng)過(guò)移動(dòng)小方塊，將“1”歸位，即將“1”由初始狀態(tài)移動(dòng)至“目標(biāo)位置”（第一行第一列），如圖情況下最少3步即可（“初始”至“移動(dòng)3”）．假設(shè)所有玩家始終用最少的移動(dòng)步數(shù)進(jìn)行移動(dòng)．
(1)如圖，圖1，圖2分別為二階、三階華容道，數(shù)字表示“以該處為‘1’的初始位置，將其移動(dòng)到‘目標(biāo)位置’（第一行第一列）所需的最少移動(dòng)次數(shù)”，請(qǐng)?jiān)趫D2三階華容道的空格里填上相應(yīng)數(shù)字；
(2)對(duì)于3階華容道，從8個(gè)可能位置中的某個(gè)出發(fā)，若最終需要的最少移動(dòng)次數(shù)不超過(guò)7，則獲得1積分，求甲同學(xué)三輪之后不低于2分的概率；
(3)對(duì)于3階華容道，若A、B兩人各持一個(gè)華容道游戲盤(pán)，雙方各自獨(dú)立地從中間列初始位置中隨機(jī)選取一個(gè)開(kāi)始游戲，設(shè)兩人的步數(shù)之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【例2-4】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得分，設(shè)備次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為.且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.
(1)若一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；
(2)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.設(shè)每盤(pán)游戲的得分為隨機(jī)變量；請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.
【例2-5】甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.
(1)若，，比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若比對(duì)甲更有利，求p的取值范圍.
題型三、二項(xiàng)分布
【例3-1】已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則 .
【例3-2】高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊（如圖所示），并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)小木塊正好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩個(gè)相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩個(gè)小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時(shí)，于是碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過(guò)間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個(gè)格子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大．
【例3-4】假設(shè)某型號(hào)的每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，若使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，則p的取值范圍是 ．
【例3-5】為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，有關(guān)部門(mén)要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則（ ）
A． B． C． D．
【例3-6】某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：
用時(shí)/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
男性人數(shù) 15 22 14 9
女性人數(shù) 5 11 17 7
以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3-7】一個(gè)袋子中裝有大小相同的球，其中有個(gè)黃球，個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).
(1)若采取不放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體黃球的比例，求誤差不超過(guò)的概率(用分?jǐn)?shù)表示).
【例3-8】甲、乙兩位同學(xué)決定進(jìn)行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨(dú)立，經(jīng)商定共設(shè)定5個(gè)投籃點(diǎn)，每個(gè)投籃點(diǎn)投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個(gè)投籃點(diǎn)投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點(diǎn)順序依次投球，如投中可繼續(xù)進(jìn)行下一次投籃，如沒(méi)有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計(jì)得分高低確定勝負(fù)．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）問(wèn)中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰(shuí)獲勝的可能性大？
【例3-9】艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測(cè)試，指測(cè)試者與被測(cè)試者在隔開(kāi)的情況下，通過(guò)一些裝置（如鍵盤(pán)）向被測(cè)試者隨意提問(wèn)．已知在某一輪圖靈測(cè)試中有甲、乙、丙、丁4名測(cè)試者，每名測(cè)試者向一臺(tái)機(jī)器（記為）和一個(gè)人（記為）各提出一個(gè)問(wèn)題，并根據(jù)機(jī)器和人的作答來(lái)判斷誰(shuí)是機(jī)器，若機(jī)器能讓至少一半的測(cè)試者產(chǎn)生誤判，則機(jī)器通過(guò)本輪的圖靈測(cè)試．假設(shè)每名測(cè)試者提問(wèn)相互獨(dú)立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問(wèn)互不相同，而每名測(cè)試者有的可能性會(huì)向和問(wèn)同一個(gè)題．當(dāng)同一名測(cè)試者提出的兩個(gè)問(wèn)題相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為，當(dāng)同一名測(cè)試者提的兩個(gè)問(wèn)題不相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為．

(1)當(dāng)回答一名測(cè)試者的問(wèn)題時(shí)，求機(jī)器被誤判的概率；
(2)按現(xiàn)有設(shè)置程序，求機(jī)器通過(guò)本輪圖靈測(cè)試的概率．
【例3-10】某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過(guò)前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).
已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè)，每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，顯示有效的份數(shù)不超過(guò)60份，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.
【例3-11】年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，某地很多中小學(xué)開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)都超過(guò)人的學(xué)校可以作為“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)校”，現(xiàn)在從這所學(xué)校中隨機(jī)選出所，記為選出“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)校”的學(xué)校個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、跳躍、停止”這個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這個(gè)動(dòng)作中至少有個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)“滑行”這個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，其余每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率都為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？
【例3-12】為了加強(qiáng)食品安全監(jiān)管，某縣市場(chǎng)監(jiān)管局計(jì)劃添購(gòu)一批食品檢測(cè)儀器，符合這次采購(gòu)要求的檢測(cè)儀器只有甲、乙兩種型號(hào)，下表是該縣市場(chǎng)監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計(jì)表．
使用年限 1年 2年 3年 4年 合計(jì)
甲型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái) 2 8 7 3 20
乙型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái) 3 9 6 2 20
以頻率估計(jì)概率．
(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，求甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年的概率；
(2)若該縣市場(chǎng)監(jiān)管局購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器各2臺(tái)，記2年后仍可使用的檢測(cè)儀器的臺(tái)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值．
題型四、超幾何分布
【例4-1】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是 ．
【例4-2】莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買(mǎi)莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是 ．
【例4-3】袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)= ．
【例4-4】一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球．采取不放回摸球，從中隨機(jī)摸出22個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．當(dāng)最大時(shí)， ．
【例4-5】某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【例4-6】溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護(hù)結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長(zhǎng)的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見(jiàn)的技術(shù)，它具有較好的保溫性能，使人們?cè)谌魏螘r(shí)間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛(ài).溫室蔬菜生長(zhǎng)和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標(biāo)，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級(jí)劃定如表所示.
環(huán)境質(zhì)量等級(jí) 土壤各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 灌溉水各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 環(huán)境空氣各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 等級(jí)名稱
清潔
尚清潔
超標(biāo)
各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標(biāo)，灌溉水、環(huán)境空氣可認(rèn)為污染，土壤則應(yīng)做進(jìn)一步調(diào)研，若確對(duì)其所影響的植物（生長(zhǎng)發(fā)育、可食部分超標(biāo)或用作飲料部分超標(biāo)）或周?chē)h(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計(jì)劃對(duì)所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個(gè)村發(fā)展溫室蔬菜種植，對(duì)各村試驗(yàn)溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測(cè)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)若從這個(gè)村中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行調(diào)查，求抽取的個(gè)村應(yīng)對(duì)土壤做進(jìn)一步調(diào)研的概率；
(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這個(gè)村中隨機(jī)選取個(gè)進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，記為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級(jí)為尚清潔的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【例4-7】某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲 乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.
(1)在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；
(2)求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.
【例4-8】我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.
(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；
(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.
題型五、二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
【例5-1】2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀 大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀 大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.
（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？
【例5-2】某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).
(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過(guò)的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.
【例5-4】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．
(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．
【例5-3】某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膬山M的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，求.
題型六、正態(tài)密度函數(shù)
【例6-1】設(shè)隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6-2】已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)，則的圖像大致為（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．甲學(xué)科總體的均值最小
B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中
C．丙學(xué)科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
【例6-4】已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．P(X1≤μ2)P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)【例6-5】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等
題型七、正態(tài)曲線的性質(zhì)
【例7-1】若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-2】某校高二年級(jí)1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的．則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【例7-3】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例7-4】南沿江高鐵即將開(kāi)通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過(guò)市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車(chē)到地鐵站，乘地鐵前往，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車(chē)站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（ ）
A．① ① B．① ② C．② ① D．② ②
【例7-5】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一個(gè)是假命題，那么該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【例7-6】已知隨機(jī)變量，則（ ）
A． B．
C． D．
題型八、正態(tài)曲線概率的計(jì)算
【例8-1】設(shè)，且，那么的值是（ ）
A．p B． C． D．
【例8-2】已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【例8-3】山東煙臺(tái)某地種植的蘋(píng)果按果徑（單位：）的大小分級(jí)，其中的蘋(píng)果為特級(jí)，且該地種植的蘋(píng)果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬(wàn)個(gè)蘋(píng)果，則其中特級(jí)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，．，）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【例8-4】已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增的概率為，且隨機(jī)變量．則等于（ ）[附：若，則，．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【例8-5】設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【例8-6】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，如果，則（ ）
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794
【例8-7】已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
題型九、根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)
【例9-1】已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【例9-2】隨機(jī)變量，，若，那么實(shí)數(shù)的值為 .
【例9-3】已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為 .
【例9-4】已知隨機(jī)變量，則的最小值為 ．
【例9-5】某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值為 .
題型十、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
【例10-1】某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);
(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);
(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，
【例10-2】零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：
零件直徑（單位：厘米）
零件個(gè)數(shù) 10 25 30 25 10
已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.
(1)分別求，的值；
(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；
(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.
【例10-3】在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場(chǎng)舞與樂(lè)的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機(jī)抽取40位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．
(1)若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；
(2)若該文藝匯演對(duì)所有參賽者的表演作品進(jìn)行評(píng)級(jí)，每位參賽者只有一個(gè)表演作品且每位參賽者作品有的概率評(píng)為A類，的概率評(píng)為B類，每位參賽者作品的評(píng)級(jí)結(jié)果相互獨(dú)立．記上述40位幸運(yùn)嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點(diǎn)；
(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運(yùn)嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對(duì)這些幸運(yùn)嘉賓進(jìn)行頒獎(jiǎng)，現(xiàn)有兩種頒獎(jiǎng)方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)．根據(jù)獎(jiǎng)金期望判斷主辦方選擇何種頒獎(jiǎng)方式，成本可能更低．
附：若，則．
【例10-4】2022年中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利召開(kāi)之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加入員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望．
(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【例10-5】N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95%以上．某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率服從正態(tài)分布．
(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測(cè)量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率為93．6%時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù)．
(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95．1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”．
（ⅰ）求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；
（ⅱ）該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當(dāng)為多少時(shí)可能性最大（即概率最大）？
題型十一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用
【例11-1】2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：，則，，.
【例11-2】《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門(mén)選考科目組成，將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．
(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．
附：當(dāng)時(shí)，，．
【例11-3】已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；
（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時(shí)，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個(gè)座位？
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專題四十一 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布
知識(shí)歸納
一、兩點(diǎn)分布
1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為
0 1
其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．
注意：
（1）兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；
（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．
2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．
二、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1、定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2、特點(diǎn)
（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；
（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．
三、二項(xiàng)分布
1、定義
一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．
2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3、二項(xiàng)分布的期望、方差
若，則，．
四、超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
0 1 …
…
2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
五、正態(tài)曲線
1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2、正態(tài)曲線的性質(zhì)
（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；
（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；
（4）曲線與軸之間的面積為1；
（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：
（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：
　
甲 乙
六、正態(tài)分布
1、定義
隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．
一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．
其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．
2、原則
若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周?chē)母怕试酱?br/>特別地，有；；．
由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．
解題方法總結(jié)
1、超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；
而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.
2、在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個(gè)范圍就說(shuō)明出現(xiàn)了意外情況．
3、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：
（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．
（2）將待求問(wèn)題向，，這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．
4、假設(shè)檢驗(yàn)的思想
（1）統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測(cè)的個(gè)體的數(shù)值，對(duì)事先所作的統(tǒng)計(jì)假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．
（2）若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說(shuō)明不服從正態(tài)分布．
（3）對(duì)于小概率事件要有一個(gè)正確的理解：
小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對(duì)于這類事件來(lái)說(shuō)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過(guò)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，也有犯錯(cuò)的可能性．
典例分析
題型一、兩點(diǎn)分布
【例1-1】若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，，
，，
在A中，，故A正確；
在B中，，故B正確；
在C中，，故C錯(cuò)誤；
在D中，，故D正確.
【例1-2】有一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球，現(xiàn)將（）個(gè)黑球放入盒子后，再?gòu)暮凶永镫S機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著（）的增加，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．減小，增加 B．增加，減小
C．增加，增加 D．減小，減小
【答案】D
【解析】取到紅球個(gè)數(shù)服從兩點(diǎn)分布，其中，
所以，顯然隨著n的增大而減小.
，
記，
，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，隨著n的增大而減小.
【例1-3】某高校“植物營(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù) 9 20 9 2
第2組雞冠花株數(shù) 4 16 16 4
第3組雞冠花株數(shù) 13 12 13 2
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【解析】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,
所以估計(jì)為；
（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為， 估計(jì)為，
根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.3，且
；
；
；
，
則的分布列為：
0 1 2 3
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
【例1-4】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每 件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢 驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次 數(shù)為．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；
（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．
【解析】（1）由題，的可能取值為 和
，故的分布列為
由記，因?yàn)椋?br/>所以 在上單調(diào)遞增 ，
故越小，越小，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少，該方案越合理
記
當(dāng)且取最小值時(shí)，該方案最合理，
因?yàn)椋?br/>所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，約為次．
【例1-5】某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元 元 元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元 100萬(wàn)元 50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.
(1)若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.
(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
【解析】（1）設(shè)工種，，對(duì)應(yīng)職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益分別為隨機(jī)變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為
，
，
.
所以
，
整理得.
（2）方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開(kāi)支共為
（元）.
方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，則單位支出金額為
（元）.
因?yàn)椋越ㄗh單位選擇方案二.
題型二、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
【例2-1】進(jìn)入2021年以來(lái)，國(guó)家提倡大學(xué)生畢業(yè)自主創(chuàng)業(yè)，根據(jù)已知的調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，解得，則四名大學(xué)生至少有兩名創(chuàng)業(yè)成功的概率．
【例2-2】體育課上進(jìn)行投籃測(cè)試，每人投籃3次，至少投中1次則通過(guò)測(cè)試．某同學(xué)每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（ ）
A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936
【答案】D
【解析】該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為.
【例2-3】“數(shù)字華容道”是一款流行的益智游戲．n×n的正方形盤(pán)中有個(gè)小滑塊，對(duì)應(yīng)數(shù)字1至．初始狀態(tài)下，所有滑塊打亂位置，并保證第n行第n列為空格．游戲規(guī)則如下：玩家經(jīng)過(guò)移動(dòng)小方塊，將“1”歸位，即將“1”由初始狀態(tài)移動(dòng)至“目標(biāo)位置”（第一行第一列），如圖情況下最少3步即可（“初始”至“移動(dòng)3”）．假設(shè)所有玩家始終用最少的移動(dòng)步數(shù)進(jìn)行移動(dòng)．
(1)如圖，圖1，圖2分別為二階、三階華容道，數(shù)字表示“以該處為‘1’的初始位置，將其移動(dòng)到‘目標(biāo)位置’（第一行第一列）所需的最少移動(dòng)次數(shù)”，請(qǐng)?jiān)趫D2三階華容道的空格里填上相應(yīng)數(shù)字；
(2)對(duì)于3階華容道，從8個(gè)可能位置中的某個(gè)出發(fā)，若最終需要的最少移動(dòng)次數(shù)不超過(guò)7，則獲得1積分，求甲同學(xué)三輪之后不低于2分的概率；
(3)對(duì)于3階華容道，若A、B兩人各持一個(gè)華容道游戲盤(pán)，雙方各自獨(dú)立地從中間列初始位置中隨機(jī)選取一個(gè)開(kāi)始游戲，設(shè)兩人的步數(shù)之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）“數(shù)字華容道”位置關(guān)于中間斜道（正方形的左上角到右下角）對(duì)稱，則數(shù)字填寫(xiě)如圖：
0 5 9
5 7 9
9 9
（2）由（1）知，3階華容道，最少移動(dòng)次數(shù)不超過(guò)7的概率，即甲同學(xué)獲得1積分的概率為，
甲同學(xué)玩三階華容道3輪獲得的積分為，則，
所以甲同學(xué)三輪之后不低于2分的概率為.
（3）A，B各自獨(dú)立地從3階華容道中間列隨機(jī)選取初始位置，概率均為，
3階華容道中間列的數(shù)字從上到下為5，7，9，則X的所有可能值為：10，12，14，16，18，
，，，
，，
所以X的分布列為：
10 12 14 16 18
數(shù)學(xué)期望.
【例2-4】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得分，設(shè)備次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為.且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.
(1)若一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；
(2)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.設(shè)每盤(pán)游戲的得分為隨機(jī)變量；請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.
【解析】（1）由題可知，一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，
，由得，或(舍)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即的最大值點(diǎn)；
（2）由題可設(shè)每盤(pán)游戲的得分為隨機(jī)變量，則的可能值為，
，
，
所以，
令，則，
所以在單調(diào)遞增；
∴，故有，
這說(shuō)明每盤(pán)游戲平均得分是負(fù)分，由概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知：
許多人經(jīng)過(guò)若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而會(huì)減少.
【例2-5】甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.
(1)若，，比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若比對(duì)甲更有利，求p的取值范圍.
【解析】（1）依題意得，隨機(jī)變量所有可能取值為，
可得，，
所以隨機(jī)變量的分布列為
2 3
所以的數(shù)學(xué)期望.
（2）解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為，
若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：
，
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，則，
即
，
解得.
解法二：采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則，
甲最終獲勝的概率為：
，
采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù)，則，
甲最終獲勝的概率為：
，
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，則，
即
，
解得.
題型三、二項(xiàng)分布
【例3-1】已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則 .
【答案】
【解析】表示做了4次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，
，
故答案為：
【例3-2】高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊（如圖所示），并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)小木塊正好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩個(gè)相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩個(gè)小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時(shí)，于是碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過(guò)間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個(gè)格子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球落到第⑤個(gè)格子的概率是.
【例3-3】設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大．
【答案】17
【解析】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1次數(shù)服從二項(xiàng)分布，
由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，
即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.
【例3-4】假設(shè)某型號(hào)的每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，若使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，則p的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由已知可得，飛機(jī)引擎運(yùn)行正常的個(gè)數(shù)，
所以4引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率為.
2引擎飛機(jī)正常運(yùn)行的概率為.
所以，.
因?yàn)?引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，所以，即.
因?yàn)椋?
【例3-5】為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，有關(guān)部門(mén)要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為，
易知X的所有可能取值為﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
設(shè)表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則，
所以，
所以，，
，
故．
【例3-6】某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：
用時(shí)/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
男性人數(shù) 15 22 14 9
女性人數(shù) 5 11 17 7
以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)為，
則，其中，，
當(dāng)時(shí)，由，得，化簡(jiǎn)得，
解得，又，∴，∴這20名盲擰魔方愛(ài)好者中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能是4.
【例3-7】一個(gè)袋子中裝有大小相同的球，其中有個(gè)黃球，個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).
(1)若采取不放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體黃球的比例，求誤差不超過(guò)的概率(用分?jǐn)?shù)表示).
【解析】（1）對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，服從超幾何分布，
且，，
則，，，
則分布列為
0 1 2
（2）對(duì)于有放回摸球，各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，且每次摸到黃球的概率為，服從二項(xiàng)分布，即，且，，
樣本中黃球的比例為一個(gè)隨機(jī)變量，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體黃球的比例誤差不超過(guò)的概率
.
【例3-8】甲、乙兩位同學(xué)決定進(jìn)行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨(dú)立，經(jīng)商定共設(shè)定5個(gè)投籃點(diǎn)，每個(gè)投籃點(diǎn)投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個(gè)投籃點(diǎn)投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點(diǎn)順序依次投球，如投中可繼續(xù)進(jìn)行下一次投籃，如沒(méi)有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計(jì)得分高低確定勝負(fù)．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）問(wèn)中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰(shuí)獲勝的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，則需乙前3個(gè)投籃投中，第4個(gè)投籃未中，
其概率為，又，
故，解得；
（2）設(shè)為甲累計(jì)獲得的分?jǐn)?shù)，則，所以，
設(shè)為乙累計(jì)獲得的分?jǐn)?shù)，則的可能取值為0，2，4，6，8，10，
，，
，，
，，
所以的分布列為：
0
所以，
因?yàn)椋约撰@勝的可能性大
【例3-9】艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測(cè)試，指測(cè)試者與被測(cè)試者在隔開(kāi)的情況下，通過(guò)一些裝置（如鍵盤(pán)）向被測(cè)試者隨意提問(wèn)．已知在某一輪圖靈測(cè)試中有甲、乙、丙、丁4名測(cè)試者，每名測(cè)試者向一臺(tái)機(jī)器（記為）和一個(gè)人（記為）各提出一個(gè)問(wèn)題，并根據(jù)機(jī)器和人的作答來(lái)判斷誰(shuí)是機(jī)器，若機(jī)器能讓至少一半的測(cè)試者產(chǎn)生誤判，則機(jī)器通過(guò)本輪的圖靈測(cè)試．假設(shè)每名測(cè)試者提問(wèn)相互獨(dú)立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問(wèn)互不相同，而每名測(cè)試者有的可能性會(huì)向和問(wèn)同一個(gè)題．當(dāng)同一名測(cè)試者提出的兩個(gè)問(wèn)題相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為，當(dāng)同一名測(cè)試者提的兩個(gè)問(wèn)題不相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為．

(1)當(dāng)回答一名測(cè)試者的問(wèn)題時(shí)，求機(jī)器被誤判的概率；
(2)按現(xiàn)有設(shè)置程序，求機(jī)器通過(guò)本輪圖靈測(cè)試的概率．
【解析】（1）用表示事件“測(cè)試者提出的兩個(gè)問(wèn)題相同”，表示事件“測(cè)試者對(duì)機(jī)器產(chǎn)生誤判”，則
．
（2）設(shè)為4名測(cè)試者中產(chǎn)生誤判的人數(shù)，由（1）可知，，
若機(jī)器通過(guò)本輪的圖靈測(cè)試，則4名測(cè)試者中至少有2名產(chǎn)生誤判，所以機(jī)器通過(guò)圖靈測(cè)試的概率
．
【例3-10】某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過(guò)前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).
已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè)，每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，顯示有效的份數(shù)不超過(guò)60份，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.
【解析】（1）設(shè)批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率為
.
（2）設(shè)份血液樣本中檢測(cè)有效的份數(shù)為，假設(shè)該企業(yè)關(guān)于此新試劑有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，，
，
由切比雪夫不等式，有，
即在假設(shè)下，100份血液樣本中顯示有效的份數(shù)不超過(guò)60份的概率不超過(guò)0.04，此概率很小，
據(jù)此我們有理由推斷該企業(yè)的宣傳內(nèi)容不可信.
【例3-11】年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，某地很多中小學(xué)開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)都超過(guò)人的學(xué)校可以作為“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)校”，現(xiàn)在從這所學(xué)校中隨機(jī)選出所，記為選出“參與冬奧運(yùn)動(dòng)積極學(xué)校”的學(xué)校個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、跳躍、停止”這個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這個(gè)動(dòng)作中至少有個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)“滑行”這個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，其余每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率都為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？
【解析】（1）“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項(xiàng)參與人數(shù)超過(guò)人的學(xué)校共所，的所有可能取值為、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：
所以．
（2）記“小明同學(xué)在一輪測(cè)試中要想獲得優(yōu)秀”為事件，
，
由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，
由題意可得，得到，因?yàn)椋缘淖钚≈禐椋手辽僖M(jìn)行27輪測(cè)試．
【例3-12】為了加強(qiáng)食品安全監(jiān)管，某縣市場(chǎng)監(jiān)管局計(jì)劃添購(gòu)一批食品檢測(cè)儀器，符合這次采購(gòu)要求的檢測(cè)儀器只有甲、乙兩種型號(hào)，下表是該縣市場(chǎng)監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計(jì)表．
使用年限 1年 2年 3年 4年 合計(jì)
甲型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái) 2 8 7 3 20
乙型號(hào)檢測(cè)儀器數(shù)量/臺(tái) 3 9 6 2 20
以頻率估計(jì)概率．
(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，求甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年的概率；
(2)若該縣市場(chǎng)監(jiān)管局購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器各2臺(tái)，記2年后仍可使用的檢測(cè)儀器的臺(tái)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值．
解析　(1)記事件Ai為“從以往使用的甲型號(hào)檢測(cè)儀器中隨機(jī)抽取一臺(tái)，使用年限為i年”，
事件Bi為“從以往使用的乙型號(hào)檢測(cè)儀器中隨機(jī)抽取一臺(tái)，使用年限為i年”，i＝1,2,3,4，事件C為“從以往使用的甲、乙兩種型號(hào)檢測(cè)儀器中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，甲型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限比乙型號(hào)檢測(cè)儀器的使用年限恰好多1年”，則
P(C)＝P(A2B1)＋P(A3B2)＋P(A4B3)＝×＋×＋×＝.
(2)由題意知甲型號(hào)檢測(cè)儀器2年后仍可使用的概率為，
乙型號(hào)檢測(cè)儀器2年后仍可使用的概率為.
設(shè)2年后仍可使用的甲型號(hào)檢測(cè)儀器有X臺(tái)，乙型號(hào)檢測(cè)儀器有Y臺(tái)，
易知X～B，Y～B.
由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，
且P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＝C02×C02＝，
P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)＝C11×C02＋C02×C11＝，
P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＝C20×C11＋C11×C20＝，
P(ξ＝4)＝P(X＝2，Y＝2)＝C20×C×20＝，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)＝，
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
題型四、超幾何分布
【例4-1】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是 ．
【答案】
【解析】依題意，這20件產(chǎn)品中有件合格品，
所以該商家接收這批產(chǎn)品的概率為，
故商家拒收這批產(chǎn)品的概率為.
【例4-2】莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買(mǎi)莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是 ．
【答案】/0.5
【解析】已知8個(gè)開(kāi)放洞窟中有3個(gè)最值得參觀，隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟包括2個(gè)或3個(gè)兩種情況.
所求概率為.
【例4-3】袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)= ．
【答案】/
【解析】設(shè)袋中有個(gè)黑球，則白球有，
由題意可得：，解得或（舍去），
故X的可能取值有，則有：
，
可得X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故.
【例4-4】一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球．采取不放回摸球，從中隨機(jī)摸出22個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．當(dāng)最大時(shí)， ．
【答案】
【解析】不放回的摸球，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立，為超幾何分布
，
最大時(shí)，即最大，
超幾何分布最大項(xiàng)問(wèn)題，利用比值求最大項(xiàng)
設(shè)
則
令
故當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增加，
當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格下降，
即時(shí)取最大值，
此題中，
根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，
.
【例4-5】某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）由直方圖可知，
解得．
因?yàn)椋?br/>，
所以學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)在內(nèi)．
設(shè)學(xué)員該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)為，則，
解得．
（2）由題意可知抽取的12名學(xué)員中該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的有4名，在內(nèi)的有8名．
由題意可知的所有可能取值為．
，，
，，
，
則的分布列為
0 1 2 3 4
【例4-6】溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護(hù)結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長(zhǎng)的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見(jiàn)的技術(shù)，它具有較好的保溫性能，使人們?cè)谌魏螘r(shí)間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛(ài).溫室蔬菜生長(zhǎng)和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標(biāo)，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級(jí)劃定如表所示.
環(huán)境質(zhì)量等級(jí) 土壤各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 灌溉水各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 環(huán)境空氣各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù) 等級(jí)名稱
清潔
尚清潔
超標(biāo)
各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標(biāo)，灌溉水、環(huán)境空氣可認(rèn)為污染，土壤則應(yīng)做進(jìn)一步調(diào)研，若確對(duì)其所影響的植物（生長(zhǎng)發(fā)育、可食部分超標(biāo)或用作飲料部分超標(biāo)）或周?chē)h(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計(jì)劃對(duì)所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個(gè)村發(fā)展溫室蔬菜種植，對(duì)各村試驗(yàn)溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測(cè)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)若從這個(gè)村中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行調(diào)查，求抽取的個(gè)村應(yīng)對(duì)土壤做進(jìn)一步調(diào)研的概率；
(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這個(gè)村中隨機(jī)選取個(gè)進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，記為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級(jí)為尚清潔的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）由折線圖可知：應(yīng)對(duì)土壤做進(jìn)一步調(diào)研的村共個(gè)，
從個(gè)村中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行調(diào)查，基本事件總數(shù)有個(gè)；
其中抽取的個(gè)村應(yīng)對(duì)土壤做進(jìn)一步調(diào)研的基本事件個(gè)數(shù)有個(gè)，
所求概率.
（2）由折線圖可知：環(huán)境空氣等級(jí)為尚清潔的村共有個(gè)，則所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
【例4-7】某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲 乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.
(1)在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；
(2)求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.
【解析】（1）由題意可知，可能取值為，，， ，
當(dāng)時(shí)，則前三場(chǎng)比賽都輸或前三場(chǎng)比賽贏一場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽輸，
則，
當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽輸，
則；
當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽贏，
則，
當(dāng)時(shí)，前三場(chǎng)比賽都贏或前三場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽贏，
則，
故的概率分布列如下：
0 1 2 3
（2）設(shè)甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為事件，
則甲的三場(chǎng)比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為.
【例4-8】我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.
(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；
(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.
【解析】（1）依題意有，，
，
又事件與相互獨(dú)立，
則；
（2）設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，
，，，
設(shè)組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為，
，，
，
A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率
題型五、二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
【例5-1】2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀 大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀 大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.
（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；
（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？
【解析】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，
設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，
所以兩位顧客均享受到免單的概率為；
（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.
，，
，.
故的分布列為，
所以（元）.
若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，
由已知可得，故，
所以（元）.
因?yàn)椋栽擃櫩瓦x擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.
【例5-2】某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).
(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過(guò)的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.
【解析】（1）所有可能的取值為，且.
；
；
；
.
故的分布列為
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以.
（2）設(shè)事件為“被選出的人中恰好有位男生”，
則30個(gè)人中剩下個(gè)人為女生或者老師，事件包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
所以.
所以，解得.
所以，
故當(dāng)時(shí)，最大.
【例5-3】某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）
(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膬山M的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，求.
【解析】（1）由直方圖可知成績(jī)?cè)冢念l率和為，而成績(jī)?cè)诘念l率為，
則抽取的100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，
解得，所以該100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)約為；
（2）由頻率分布直方圖可得：競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢瑑山M的頻率之比為，
則10人中競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人；在的人數(shù)為人；
則X所有可能的取值為0，1，2，3，
于是，，
，，
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
數(shù)學(xué)期望為；
（3）用頻率估計(jì)概率，競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率，
則，
．
令，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或，最大.
【例5-4】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．
(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．
【解析】（1）“體育迷”對(duì)應(yīng)的頻率為：，
用頻率估計(jì)概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機(jī)抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；
所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（2）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，
；；；
的分布列為：
題型六、正態(tài)密度函數(shù)
【例6-1】設(shè)隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式知，.
【例6-2】已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)，則的圖像大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】或，因?yàn)椋?br/>所以或，即或，
或或
因?yàn)榉臉?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故排除AC；
當(dāng)時(shí)，，，所以或,因?yàn)椋渲校鶕?jù)原則可知，，所以排除B.
【例6-3】某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．甲學(xué)科總體的均值最小
B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中
C．丙學(xué)科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
【答案】C
【解析】由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.
【例6-4】已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
【答案】D
【解析】對(duì)于A：P(X1≤μ2)是第一條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第二條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，
P(X2≤μ1)是第二條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第一條虛線左側(cè)與x軸圍成的部分，
故由圖象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，則P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：與A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由于概率表示曲線和x軸圍成的部分，與是i還是i+1無(wú)關(guān)，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正確.
【例6-5】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等
【答案】A
【解析】為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小，故A錯(cuò)誤;
由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5，故B正確；
由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；
由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等，故D正確.
題型七、正態(tài)曲線的性質(zhì)
【例7-1】若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)隨機(jī)變量可知正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，均值為2，方差為4，
所以，故A正確，，故B正確，
，C正確，
，故D錯(cuò)誤.
【例7-2】某校高二年級(jí)1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的．則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【答案】D
【解析】由題意可知：成績(jī)，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的，
由對(duì)稱性知：成績(jī)不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的，
所以此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生約有：人．
【例7-3】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布分布曲線的對(duì)稱軸為直線，
則，，
，且，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).
【例7-4】南沿江高鐵即將開(kāi)通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過(guò)市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車(chē)到地鐵站，乘地鐵前往，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車(chē)站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（ ）
A．① ① B．① ② C．② ① D．② ②
【答案】C
【解析】由正態(tài)分布的區(qū)間概率知，
，
令路線①所需時(shí)間，路線②所需時(shí)間
對(duì)于甲：有分鐘可走，
走第一條路線：故，
走第二條路線：則，
所以，所以應(yīng)選擇路線②；
對(duì)于乙：有分鐘可走，
走第二條路線：
走第一條路線：則，
所以，所以選擇路線①.
故選：C
【例7-5】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一個(gè)是假命題，那么該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】因?yàn)椤⒕葍r(jià)于，
由題意可得：乙、丙均為真命題，且，
對(duì)于甲：因?yàn)椋始诪檎婷}；
對(duì)于丁：因?yàn)椋识榧倜}；
故選：D.
【例7-6】已知隨機(jī)變量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)可知，服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，服從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布.
事件“”的概率僅與正數(shù)有關(guān)，且越大，該事件的概率越大，因此：
和分別等價(jià)于和，故后者的概率更大，A正確，B錯(cuò)誤；
和分別等價(jià)于和，兩者概率相同，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；
故選：A.
題型八、正態(tài)曲線概率的計(jì)算
【例8-1】設(shè)，且，那么的值是（ ）
A．p B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，
∴.
【例8-2】已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，解得或（舍），
由，則，
所以.
【例8-3】山東煙臺(tái)某地種植的蘋(píng)果按果徑（單位：）的大小分級(jí)，其中的蘋(píng)果為特級(jí)，且該地種植的蘋(píng)果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬(wàn)個(gè)蘋(píng)果，則其中特級(jí)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，．，）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【答案】C
【解析】由，得，
，
，
所以，
所以特級(jí)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)約為個(gè).
【例8-4】已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增的概率為，且隨機(jī)變量．則等于（ ）[附：若，則，．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【解析】使在R上單調(diào)遞增的充要條件是，即，故.
由于隨機(jī)變量，則，即，即，.
故，
，
所以
．
【例8-5】設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【答案】A
【解析】由于，所以，
所以.
【例8-6】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，如果，則（ ）
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794
【答案】A
【解析】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，
∴，
.
故選：A.
【例8-7】已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【解析】由已知可得，.
又，
所以，，.
設(shè)，
則，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為.
題型九、根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)
【例9-1】已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】1
【解析】由隨機(jī)變量，且，
所以與關(guān)于對(duì)稱，
即，解得.
【例9-2】隨機(jī)變量，，若，那么實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】
【解析】，，，，
，，解得：.
【例9-3】已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為 .
【答案】8
【解析】由隨機(jī)變量，且知關(guān)于對(duì)稱，
故，由不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為8.
【例9-4】已知隨機(jī)變量，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，
所以，則，
因?yàn)椋裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
【例9-5】某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值為 .
【答案】（中的任意一個(gè)數(shù)均可）
【解析】因?yàn)椋?
則,且，
故若，則.
故答案為:（中的任意一個(gè)數(shù)均可）.
題型十、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
【例10-1】某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);
(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);
(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，
【解析】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為
則．
解得．所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62．
前三組的頻率和為，
前四組的頻率和為，
第四組的頻率為，
所以分位數(shù)為.
（2）因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中．
所以．所以．
所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為．
（3）由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為可知：．
則．
令．
．
當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．
所以．所以的最小值為．
【例10-2】零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：
零件直徑（單位：厘米）
零件個(gè)數(shù) 10 25 30 25 10
已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.
(1)分別求，的值；
(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；
(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.
【解析】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：
故，.
（2）設(shè)表示零件直徑，則，即.
，
由對(duì)稱性得， ，即.
同理，，
，即.
.
故這批零件直徑在的概率為0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的有個(gè).
【例10-3】在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場(chǎng)舞與樂(lè)的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機(jī)抽取40位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．
(1)若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；
(2)若該文藝匯演對(duì)所有參賽者的表演作品進(jìn)行評(píng)級(jí)，每位參賽者只有一個(gè)表演作品且每位參賽者作品有的概率評(píng)為A類，的概率評(píng)為B類，每位參賽者作品的評(píng)級(jí)結(jié)果相互獨(dú)立．記上述40位幸運(yùn)嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點(diǎn)；
(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運(yùn)嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對(duì)這些幸運(yùn)嘉賓進(jìn)行頒獎(jiǎng)，現(xiàn)有兩種頒獎(jiǎng)方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)．根據(jù)獎(jiǎng)金期望判斷主辦方選擇何種頒獎(jiǎng)方式，成本可能更低．
附：若，則．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>則.
所以參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)約為（人）.
（2）記，設(shè)， 其中為的極大值點(diǎn).
依題意可得，
則，
令，因?yàn)椋剩?br/>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值點(diǎn)；
（3）由題意知.
記分別為甲、乙兩種頒獎(jiǎng)方式各自所發(fā)獎(jiǎng)金總額，
因?yàn)?
所以，
所以.
故選擇甲方式成本更低.
【例10-4】2022年中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利召開(kāi)之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加入員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望．
(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【解析】（1）100人中得分不低于80分的人數(shù)為，
隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2．
又，，，
則的分布列為：
0 1 2
P
．
（2）．
，
∴
，
每位參賽者分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，其中，
所以恰好有k個(gè)參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為，．
由，得．
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由此可知，在這500名參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79．
【例10-5】N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95%以上．某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率服從正態(tài)分布．
(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測(cè)量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率為93．6%時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù)．
(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95．1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”．
（ⅰ）求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；
（ⅱ）該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當(dāng)為多少時(shí)可能性最大（即概率最大）？
【答案】(1)生產(chǎn)的口罩出現(xiàn)過(guò)濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應(yīng)該停止生產(chǎn)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取得最大值
【解析】
（1）已知過(guò)濾效率服從．而，所以，則，即生產(chǎn)的口罩出現(xiàn)過(guò)濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應(yīng)該停止生產(chǎn)．
（2）（ⅰ）不妨記“N95口罩的過(guò)濾效果”為，則一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率為
．
（ⅱ）依題意，記，，則
．
問(wèn)題等價(jià)于求當(dāng)取何值時(shí)取得最大值．
（解法1）由化簡(jiǎn)得
即，從而，解得．
（解法2）由于對(duì)，，
因此：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
由以上分析知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
代入數(shù)據(jù)得，而是正整數(shù)，所以且，故當(dāng)時(shí)，取得最大值．
【反思】
由于，記，，因此最可能成功次數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
題型十一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用
【例11-1】2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：，則，，.
【解析】（1），又，
所以.
因?yàn)椋鶕?jù)正態(tài)曲線對(duì)稱性，，
又因?yàn)椋?
（2），
.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).
所以的最大值點(diǎn)，從而.
（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列為
3 2 1 0
（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，
則11輪過(guò)后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，
則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.
【例11-2】《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門(mén)選考科目組成，將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．
(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．
附：當(dāng)時(shí)，，．
【解析】（1）由題意可知，學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目合格的比例為，
由且，可得，
由，可得，
估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.
（2）若，則，，
由題意可知，
，.
【例11-3】已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；
（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時(shí)，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個(gè)座位？
【解析】（1）由題意可得，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
則，
，
（2）①由于（1）中二項(xiàng)分布的n值增大，
故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
由（1）可得，，
可得，則，
則，
由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得，，
故，
故，
在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率為；
②查表可得，，則，
即，
又，
故座位數(shù)至少要1016個(gè)，
，
故閱覽室座位至少需要添加22個(gè)．
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