資源簡介

弧長和扇形的面積
【學習目標】
1．掌握弧長的計算公式；
2能靈活應用弧長的計算公式解決有關的問題，并在應用中培養學生的分析問題、解決問題的能力；
3．掌握扇形面積公式的推導過程，運用扇形面積公式進行一些有關計算；
4．通過弧長公式、扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力
自學并回答下列問題
1．圓的周長可以看作______度的圓心角所對的弧。
1°的圓心角所對的弧長是_______。
2°的圓心角所對的弧長是_______。
4°的圓心角所對的弧長是_______。
……
n°的圓心角所對的弧長是_______。
2．什么叫扇形？
3．圓的面積可以看作度圓心角所對的扇形的面積；
設圓的半徑為R，1°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。
設圓的半徑為R，2°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。
設圓的半徑為R，5°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。
……
設圓的半徑為R，n°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。
【學習重難點】
1．學習重點：是對弧長和扇形面積計算公式的靈活運用。
2．學習難點：是弧長和扇形面積計算公式的推導和組合圖形的面積計算。
【學習過程】
一、圓心角
1.圓心角所對弧長=；
n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；
n°圓心角所對弧長=
歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則（弧長公式）
例1．填空：
（1）半徑為3cm，120°的圓心角所對的弧長是_______cm；
（2）已知圓心角為150°，所對的弧長為20π，則圓的半徑為_______；
（3）已知半徑為3，則弧長為π的弧所對的圓心角為_______。
（在弧長公式中l、n、R知二求一。）
例2．如圖，圓心角為60°的扇形的半徑為10厘米，求這個扇形周長
例3．如圖：四邊形ABCD是正方形，曲線DAlBlClDl……叫做“正方形的漸開線”，其中中 、 、 、 …的圓心依次按A、B、C．D循環，它們依次連接。取AB=l，則曲線DAlBl…C2D2的長是______（結果保留π）。
二、扇形的面積
（1）圓面積S=πR2；（2）圓心角為1°的扇形的面積= ；
（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；
（4）圓心角為n°的扇形的面積= 。
歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則
S扇形= （扇形面積公式）
提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）
S扇形= lR
想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）
與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了。這樣對比，幫助學生記憶公式。實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限。要讓學生在理解的基礎上記住公式。
例題與練習：
1．扇形的面積為 cm2，扇形所在圓的半徑 cm，則圓心角為______度。
2．已知扇形的圓心角為210°，弧長是28π，則扇形的面積為______。
3．已知扇形的半徑為5cm，面積為20 cm2，則扇形弧長為______cm。
4．已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積。
三、思考應用
問題：正方形的邊長為4，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形（陰影部分）的面積。
反思：①對圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律。（3）求面積問題的常用方法有：直接公式法，和差法，割補法等。
四、作業與練習
1．如圖1所示，矩形中長和寬分別為10 cm和6cm，則陰影部分的面積為______。
2．如圖2所示，邊長為a的正三角形中，陰影部分的面積為______。
3如圖，在邊長l的正方形中，以各頂點為圓心，
對角線長的一半為半徑在正方形內畫弧，
則圖中陰影部分的面積為_______。
4．探究活動：已知由若干根鋼管的外直徑均為d，想用一根金屬帶緊密地捆在一起，求金屬帶的長度。
請根據下列特殊情況，找出規律，并加以證明。
提示：設鋼管的根數為n，金屬帶的長度為Ln如圖：
當n=2時，L2=（π+2）D．當n=3時，L3=（π+3）D．當n=4時，L4=（π+4）D．
當n=5時，L5=（π+5）D．當n=6時，L6=（π+6）D．當n=7時，L7=（π+6）D．
當n=8時，L8=（π+7）D．
猜測：若最外層有n根鋼管，兩兩相鄰接排列成一個向外凸的圈，相鄰兩圓是切，則金屬帶的長度為L=（π+n）D．
【學習小結】
這節課學習了哪些計算公式？你能靈活應用弧長與扇形的計算公式解決有關的問題嗎？

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