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10拋物線
【知識梳理】
一、拋物線的定義
1、拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
2、拋物線的數學表達式：(為點到準線的距離).
二、拋物線的標準方程和幾何性質
標準方程 （） （） （） （）
的幾何意義：焦點F到準線的距離
圖形
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點坐標
準線方程
焦半徑 （其中）
頂點坐標
離心率
通徑長
三、求拋物線標準方程的方法
在學習拋物線及其標準方程時，如何利用已知的拋物線方程研究其性質，以及已知某些性質求拋物線的方程是考查的重點. 主要方法有定義法、待定系數法等.
（1）定義法
根據拋物線的定義，確定的值(系數 是指焦點到準線的距離)，再結合焦點位置，求出拋物線方程.（拋物線標準方程有四種形式，要注意選擇.）
（2）待定系數法
①對于焦點在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為和兩種情況求解.
②焦點在x軸上的拋物線方程可設成，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；
若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個． 同理，焦點在y軸上的拋物線的方程可以設成.如果不確定焦點所在的坐標軸，應考慮x軸、y軸兩種情況分別設方程,
四、直線與拋物線的位置關系
1. 將直線方程與拋物線方程聯立組成方程組，消去一個未知數.
直線與拋物線無交點直線與拋物線相離；
直線與拋物線有1個交點直線與拋物線相切；
直線與拋物線有2個交點直線與拋物線相交.
直線與拋物線交于兩點時，
弦長
2. 拋物線的焦點弦的性質
①焦點弦：當直線通過拋物線的焦點所得弦稱為焦點弦.
②通徑：當直線過拋物線的焦點且與對稱軸垂直時所得的弦稱為通徑，其長度為.
③；
④
⑤
⑥以弦AB為直徑的圓與準線相切.
【題型精講】
題型一、拋物線的定義與方程
例1. 若點到點F（4,0）的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（ ）
A. B. C. D.
例2. 已知拋物線上一點到其焦點的距離為3，則（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
例3. 設O為坐標原點，F為拋物線的焦點，A是拋物線上一點，若，則點A的坐標是（ ）
A. B. C. D.
題型二、拋物線的焦半徑公式
例4. 已知拋物線的焦點弦AB被焦點分成長度為m，n的兩段，求證：.
例5. 過拋物線的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若，則
題型三、拋物線的焦點弦與焦點三角形
例6. 過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則，
例7. 過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，且，則（ ）.
A. 8 B. 2 C. 6 D. 4
例8. 過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點（A在第一象限），O為坐標原點，若的面積為，則（ ）.
A. B. C. D.
例9. 過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點（A在第一象限），O為坐標原點，若，則的面積為（ ）.
A. B. C. D.
例10．（2023上·廣東深圳·高二統考期末）已知拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，且經過．
(1)求的方程；
(2)若直線過的焦點，且與交于，兩點，，求的方程．
題型四、直線與拋物線綜合問題
例11 點P是以F為焦點的拋物線上的動點，則以P為圓心，以線段PF的長為半徑的圓與直線的位置關系是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相離 D. 隨點P的位置變化而變化
例12. 已知F是拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于兩點，記直線FA，FB的斜率分別為，則
題型五、與拋物線有關在最值問題
例題13．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上一個動點，點，則的最小值為______．

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