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如何考查數(shù)學(xué)推理？
我們（學(xué)數(shù)學(xué)的或不學(xué)數(shù)學(xué)的）都相信：數(shù)學(xué)使人聰明。這句話的含義常常是指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使人具有很強(qiáng)的邏輯性。所以，對于推理證明能力的考查一直都是數(shù)學(xué)考試中的重點。不過，新課程實驗以來，人們對此的認(rèn)識發(fā)生了一些變化，比如：就基礎(chǔ)教育而言，相對于數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)而言，推理過程的學(xué)習(xí)更為重要。因此，對學(xué)生推理能力的考查就開始受到關(guān)注了。
一、合情推理
問題1 如圖所示，用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，如下圖所示：第n個圖形中需用黑色瓷磚 塊.（用含n的代數(shù)式表示）?

說明：本題是一個探索規(guī)律的問題，其所考查的正是基于歸納方法的合情推理活動能力。
問題2 小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車。車修好后，因怕耽誤上課，他比修車前加快了騎車速度繼續(xù)勻速行駛。下面是行駛路程S（米）關(guān)于時間t（分）的函數(shù)圖像，那么符合這個同學(xué)行駛情況的圖像大致是------( )
說明：本題是一個種較為新穎的推理題，推斷是用圖像表達(dá)的信息與用文字表達(dá)的相關(guān)信息之間的一致性。因此，它是考查基于文字信息和圖像信息理解基礎(chǔ)之上的推理能力，而不是我們所熟悉的幾何證明能力。
問題3. 已知：如圖，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整數(shù)）的關(guān)系，分別在兩條鄰邊長為a、na的矩形ABCD各邊上運動。設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為S。
（1）當(dāng)n=1,2時，如圖，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到什么位置時，S=1/2S（矩形ABCD）；
（2）當(dāng)n=3時，如圖，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍），探索S隨x增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使S=1/2S（矩形ABCD）；
（3）當(dāng)n=k(k>=1)時，你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和猜想是否成立？請說明理由。
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說明：本題是讓學(xué)生尋找存在于圖形的運動變化過程中的數(shù)學(xué)規(guī)律。關(guān)注的是推理活動，特別是合情推理（依據(jù)動點的變化特征、有關(guān)n的表達(dá)式的特點等，概括出其中的數(shù)量關(guān)系及其變化趨勢），而不僅僅是數(shù)學(xué)證明、更不僅僅是幾何證明。
問題4要判斷如圖△ＡＢＣ的面積是△ＰＢＣ面積的幾倍，只用一把僅有刻度的直尺，需要度量的次數(shù)最少是------（ ）。
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說明：本題采用了一個全新的形式來考查學(xué)生的推理能力。因為其求解過程實際上就是一個推理過程——借助面積公式，做適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運算（就是推理?。@得最少的度量次數(shù)。
二、數(shù)學(xué)證明
數(shù)學(xué)證明畢竟是數(shù)學(xué)考試的要點之一，對此，任何人都不可能加以否定。但是，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)證明能力不能僅僅局限于能否按照邏輯程序，從一個（或幾個）結(jié)論出發(fā)，推出一個新的結(jié)論。事實上，獲得命題的過程與證明命題常常同樣重要，而且，獲得的具體過程也可以對證明帶來啟示；同樣，考查數(shù)學(xué)證明的題材也不能局限于幾何（代數(shù)或其他知識領(lǐng)域中也有）；近期的試題對這些觀點有所體現(xiàn).
問題1 借助計算器探索的結(jié)果。
說明：本題是以計算求解類問題的形式從事對邏輯推理能力的考查，學(xué)生的推理活動隱藏在估計結(jié)果的過程之中。
問題2 在一次數(shù)學(xué)實驗探究課中，需要研究兩個同心圓內(nèi)有關(guān)線段的關(guān)系問題，某同學(xué)完成了以下部分記錄單：
（1）???????? 請用計算器計算ＡＢ□ＢＣ的值，并填入上表的相應(yīng)位置；
（2）對半徑分別為Ｒ、ｒ的兩個同心圓，猜測ＡＢ□ＡＣ與Ｒ、ｒ的關(guān)系式，并加以證明。
說明：這是一道探索性問題。具有明顯的數(shù)學(xué)背景，明確的證明要求。讓學(xué)生在探索的過程中，借助估計、猜測、代數(shù)運算與幾何論證等活動進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。事實上，數(shù)學(xué)證明的過程，常常伴隨著歸納、猜想等獲得進(jìn)行，而不僅僅是純粹的邏輯證明。
問題3 某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形一定為正多邊形”這個命題是否成立時，進(jìn)行了一些討論。甲同學(xué)在討論中提到了圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)找來了這樣一個幾何事實：（圖一），△ABC是正三角形，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等。丙同學(xué)認(rèn)為當(dāng)邊數(shù)是5時這個命題是成立的，于是他猜想邊數(shù)是7時這個命題仍然成立。
（1）你認(rèn)為各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形嗎？簡要敘述你的理由。
（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（圖二）是正七邊形。
（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想（不必證明）．
說明：本題采用了“閱讀”這一新穎的形式著重于對證明理解的考查——理解證明過程中反例的作用，理解如何對證明過程中獲得的結(jié)論做進(jìn)一步的推廣；以及能否用簡單的邏輯推理證明一個命題是正確的。

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