資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2.4導(dǎo)數(shù)及綜合應(yīng)用
【備考指南】 1
【知識導(dǎo)圖】 2
【考點梳理】 4
考點一：導(dǎo)數(shù)證明不等式 4
考點二：導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立 9
考點三：導(dǎo)數(shù)研究方程的根 14
考點四：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì) 20
考點五：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（隱零點） 25
考點六：導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題 34
考點七：導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題 42
【真題在線】 48
【專項突破】 73
考點 考情分析 考頻
導(dǎo)數(shù)的幾何意義 2023年全國甲卷T8 2023年全國乙卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全國甲卷T20 2年5考
導(dǎo)數(shù)與極值、最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年新高考Ⅰ卷T10 2022年全國甲卷T8 2022年全國乙卷T16 2年4考
導(dǎo)數(shù)與證明不等式 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
導(dǎo)數(shù)與恒成立（能成立） 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全國甲卷T21 2023年全國乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
導(dǎo)數(shù)與零點 2023年全國乙卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2022年全國乙卷T21 2年3考
導(dǎo)數(shù)與雙變量問題 2022年全國甲卷T21
預(yù)測：導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用一般情況難度較大，對學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高，建議在二輪復(fù)習(xí)時，加強對學(xué)生思維能力的綜合訓(xùn)練.
考點一：導(dǎo)數(shù)證明不等式
【典例精析】（多選）（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線和曲線在點處的切線互相平行，則下列命題正確的有（ ）
A．有最大值是1 B．有最小值是1
C．有最小值是 D．若，則有最大值為
【答案】BD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值相等可得，進而分別構(gòu)造函數(shù)即可利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值求解.
【詳解】，
所以，故，進而
對于A，，
令，故當(dāng)單調(diào)遞增，
當(dāng)單調(diào)遞減，故，因此有最小值為1，A錯誤，
對于B，，
令，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故的最小值為1，B正確，
對于C，，令，
故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，故有最大值是，C錯誤，
對于D， ，令，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故
由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)
，故D正確，
故選：BD
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).
(1)證明：有且僅有一個極小值點；
(2)設(shè)是的唯一零點，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可由極值的定義求解，
（2）根據(jù)零點結(jié)合（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可結(jié)合零點存在性定理求證.
【詳解】（1）由題意，的定義域為，
得.
令，則，
所以在定義域上單調(diào)遞增.
又，且當(dāng)時，，
所以存在唯一的，使得.
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
故有且僅有一個極小值點.
（2）由（1）知，若是的唯一零點，則，且.
由，得；
由，得.
所以.
設(shè)函數(shù)，
則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
.
設(shè)函數(shù)，
則，
所以在定義域上單調(diào)遞增，
故，即，
所以.
由函數(shù)零點存在定理知，.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性
(2)若函數(shù)有兩個不相等的零點，求證：．
【答案】(1)分類討論，答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得.
（2）求出函數(shù)，利用零點的意義結(jié)合同構(gòu)的思想，把的兩個不同零點問題轉(zhuǎn)化為的兩個不同零點求解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
求導(dǎo)得，
①當(dāng)，即時，由，得，由，得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
③當(dāng)，即時，恒成立，因此在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)，即時，由，得或，由，得，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）依題意，，由，得，
顯然，令，則，有，
而，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，
求導(dǎo)得，當(dāng)或時，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，且恒有，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，方程有兩個不相等的正實根，
則關(guān)于的方程有兩個不等實根，且，，顯然有，
而，則要證明，可證，即證，只需證，
由，得，于是，
不妨令，則只需證，令，，
函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，即成立，所以成立．
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性
(2)若，求證：
①函數(shù)在上只有1個零點；
②.
【答案】(1)答案見解析
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，分別確定和函數(shù)的正負，結(jié)合分類討論，即可求解，
（2）根據(jù)函數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可求證只有一個零點，構(gòu)造函數(shù)，即可由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性求證.
【詳解】（1）因為，
所以.
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，若，則，所以單調(diào)遞減；
若或，則，所以單調(diào)遞增.
當(dāng)時，若，則，所以單調(diào)遞減；
若或，則，所以單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.
（2）①由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以在上沒有零點.
因為，所以
所以當(dāng)時，，
此時在上只有1個零點.
綜上可得，在上只有1個零點.
②由，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
設(shè)，則.
由（1）知，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，
所以.
【解題技巧】
利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
考點二：導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立
【典例精析】（多選）（2023上·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，則（ ）
A．函數(shù)在上無極值點
B．函數(shù)在上存在極值點
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值
D．若，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】對求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負可確定的單調(diào)性，由極值點定義可知AB正誤；由單調(diào)性可得，分離變量后，可知，利用導(dǎo)數(shù)可求得，知C正確；采用同構(gòu)法可確定，可將化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值，知D正確.
【詳解】對于A，定義域為，，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，在上單調(diào)遞增，無極值點，A正確；
對于B，定義域為，，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，在上單調(diào)遞增，無極值點，B錯誤；
對于C，由A知：在上單調(diào)遞增，
由得：，
則當(dāng)時，，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，即的最小值為，C正確；
對于D，若，則，
，，，
由AB知：均為定義域上的增函數(shù)，，，
由得：，，
；
令，則，
令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即的最大值為，D正確.
故選：ACD.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，從而得到不等式組，解得即可；
（2）依題意將不等式同構(gòu)變形為，構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性，得，參變分離可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，
令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是．
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
解得，即實數(shù)的取值范圍為．
（2）不等式恒成立，
即恒成立，整理得恒成立．
所以恒成立，即恒成立，
所以恒成立．
令，則上式即恒成立．
易知在上單調(diào)遞增，所以恒成立，
因此恒成立，
設(shè)，則，
令得，且當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最大值，
于是，解得，故實數(shù)的取值范圍是．
2．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)判斷是否存在x，使得，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；
(2)討論的單調(diào)性．
【答案】(1)不存在x，使得，理由見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）原不等式等價于，結(jié)合換元法即可證明這不可能成立.
（2）第二問首先換元，然后連續(xù)求導(dǎo)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及零點存在定理即可求解.
【詳解】（1）不存在x，使得，理由如下：
若成立，則，
整理得，
然而當(dāng)時，，
不妨設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即對于任意的，不可能成立，
綜上所述，不存在x，使得.
（2）當(dāng)時，，
所以此時，
求導(dǎo)得，
繼續(xù)求導(dǎo)得，
所以單調(diào)遞減，
而，，
所以存在唯一的使得，
且當(dāng)時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時關(guān)于單調(diào)遞增減，
又關(guān)于在上單調(diào)遞增，
所以存在唯一，使得，
且當(dāng)即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞增，
當(dāng)即時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時關(guān)于單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減，
其中，即滿足.
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求證：有解.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）化簡得出函數(shù)的解析式，利用可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則，
，則，
故當(dāng)時，在處的切線方程為，即.
（2）證明：當(dāng)時，，，
，
因為，故不等式有解.
【解題技巧】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
考點三：導(dǎo)數(shù)研究方程的根
【典例精析】（多選）（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【答案】AC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷AB選項；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項.
【詳解】因為，，
所以，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；
因為，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯誤；
因為，，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，
即，故C正確；
因為，函數(shù)大致圖象如圖，

要使方程在區(qū)間上有兩解，
則，故D錯誤.
故選：AC.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；
(2)若有兩個不同的極值點，求t的取值范圍．
【答案】(1)的極小值為，無極大值．
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）根據(jù)題意可得有兩個不同的變號零點，整理得，設(shè)函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可知直線與曲線有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，進而根據(jù)交點分析求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則的定義域為，且，
在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
所以的極小值為，無極大值．
（2）由題意可知：，則，
因為有兩個不同的極值點，則函數(shù)有兩個不同的變號零點，
可知方程有兩個不等實根，
此方程可變形為，即．
設(shè)函數(shù)，則，
又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，即．
設(shè)，則直線與曲線有兩個不同的交點，
可知的定義域為，且，
在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
若直線與曲線有兩個不同的交點，則，
故t的取值范圍為．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個不相等的實根，且，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）依題意可得，即可得到，設(shè)，則只需證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.
【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域為．
由，得．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，得．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知，且、，
根據(jù)題意可得，所以．
因為，設(shè)，則．
要證，即證，即證．
構(gòu)造函數(shù)，易得．
．
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時，，即，所以成立．
3．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求a的值
(2)若方程恰有2個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（2）依題意，構(gòu)造函數(shù)，運用分類討論思想，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)有2個零點時a的取值范圍.
【詳解】（1）因為，所以,由，，
得曲線在處的切線方程為.
因為該切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，
解得.
（2）令，則.
令，則.
若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.
因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
則，
即方程有且僅有1個實數(shù)根，不符合題意.
若，則由，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
則.
令，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
則.
若，則恒成立，
則在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，
即方程不可能有2個不同的實數(shù)根，不符合題意.
若，則，，顯然當(dāng)時，，故，.
又，所以當(dāng)和時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
因為，當(dāng)時，，所以，
則恰有2個零點，即方程恰有2個不同的實數(shù)根，符合題意.
若，則，，顯然當(dāng)時，，故，.
又，所以當(dāng)和時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
因為，當(dāng)時，，所以，，
則恰有2個零點，即方程恰有2個不同的實數(shù)根，符合題意.
綜上所述，的取值范圍為.
【解題技巧】
與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)；
②，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)；
③，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)．
考點四：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在兩個極值點，，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】BD
【分析】由題可得方程有兩個不相等的實數(shù)根，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖象，然后結(jié)合條件逐項分析即得.
【詳解】由題可得，則即，顯然，
若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，，
即的圖象與直線有兩個交點，且橫坐標(biāo)分別為，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
對A，要使函數(shù)存在兩個極值點，，則，A錯誤；
對B，當(dāng)時，的圖象如圖，易知，B正確；
對C，若，則，得，故，C錯誤；
對D，因為，所以，又，所以，，所以，故，所以，D正確．
故選：BD．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，其中．
(1)若有兩個零點，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由題可得方程有兩個解，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進而即得；
（2）由題知恒成立，進而轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可得只需證明即可，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即得.
【詳解】（1）由有兩個零點，得方程有兩個解，
設(shè)，則，
由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，當(dāng)時，當(dāng)時，，
所以可得函數(shù)的大致圖象，
所以，解得，
所以，有兩個零點時，的取值范圍是；
（2）設(shè)，即，則恒成立，
由，，可得，
下面證明當(dāng)時，，即證，
令，則證，，
令為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，
由（1）可知，故在時單調(diào)遞增，
則，
下面只需證明即可，即證，
令，則，
令，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，從而不等式得證，
綜上，的取值范圍是．
2．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若直線與曲線有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)，對求導(dǎo)，分和討論即可；
（2）分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其值域與圖像即可.
【詳解】（1）設(shè)的定義域為,.
當(dāng)時,在上為增函數(shù),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,令,得.
若,則單調(diào)遞增,
若,則單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）直線與曲線有兩個交點,即關(guān)于的方程有兩個解,
整理方程,得.
令,其中,
則.
令，則.
當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.
由,
得時,,則,
當(dāng)時,,則,
當(dāng)時,,則,
則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
則.
當(dāng)趨近于時,趨近于0,即當(dāng)時,;
當(dāng)趨近于0時,趨近于,
作出如圖所示圖象：
故要使直線與曲線有兩個交點,則需,
即的取值范圍是.
3．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)當(dāng)時，設(shè)，若既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，無極小值；
(2).
【分析】（1）由題可得導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值關(guān)系即得；
（2）由題可得有兩個不等正根，進而可得有兩個不等正根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的大致圖象利用數(shù)形結(jié)合即得.
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，
所以，
由，得，由，得，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
所以在處有極大值，極大值為，無極小值；
（2）因為，
所以，則有兩個變號零點，
由，可得，
所以有兩個不等正根，
設(shè)，則，
由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以在處有極大值，，
又，時；時，，
作出函數(shù)的大致圖象，
由圖象可知要使有兩個不等正根，則，
即a的取值范圍為.
【解題技巧】
函數(shù)由極值、極值點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.
考點五：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（隱零點）
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且），則（ ）
A．當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為
B．函數(shù)恒有1個極值點
C．若曲線有兩條過原點的切線，則
D．若有兩個零點，則
【答案】ACD
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線在點處的切線方程，可判定A正確；
由，當(dāng)時，得到恒成立，可得判定B錯誤；
設(shè)切點為，求得點處的切線方程，代入原點，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極大值，結(jié)合函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，求得的范圍，可判定C正確；
轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極大值，進而求得的范圍，可判定D正確；
【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為．
A中：當(dāng)時，，可得，
所以，所以曲線在點處的切線方程為，即，所以A正確；
B中：由，
當(dāng)時，，故在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，所以B錯誤；
C中：設(shè)切點為，則，
所以曲線在點處的切線方程為，又切線過原點，所以，即，即，所以，
設(shè)（且），則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
且的極大值為，
由題意可知，函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，
可得，所以，所以，所以C正確；
D中：要使有兩個零點，則方程有兩個解，即方程有兩個解，
即方程有兩個解，設(shè)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，
又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，解得，所以D正確．
故選：ACD.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)證明：存在實數(shù)，使得函數(shù)與各有2個零點，若各零點從小到大排列記為，，，，則滿足．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負，從而得單調(diào)性；
（2）由，可得，，然后按是或的零點分類討論證明．
【詳解】（1）因為，所以．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，令，解得．
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．
（2）結(jié)合（1）可知，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有2個零點，
則，即．
此時，當(dāng)時，．
所以存在，使得函數(shù)有2個零點．
因為，所以存在，
使得函數(shù)也有2個零點．
因此為函數(shù)的一個零點，為函數(shù)的一個零點．
①若為函數(shù)的另一個零點，為函數(shù)的另一個零點，
則，，
所以,所以，所以．
②若為函數(shù)的另一個零點，為函數(shù)的另一個零點，
則，，，
所以,所以，所以，
綜上可知，存在，使得函數(shù)與各有2個零點，且滿足．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)的兩個零點分別為，證明：；
(3)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）方法一：分類討論大于等于小于零的情況，再求導(dǎo)討論單調(diào)性，分析零點情況；方法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問題，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，求最值；
（2）考查極值點偏移問題.方法一：第一步：根據(jù)函數(shù)零點的含義得出；第二步：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到的范圍；第三步：根據(jù)所證不等式構(gòu)造函數(shù)并研究函數(shù)的單調(diào)性，得到；第四步：利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明.方法二：第一步：根據(jù)函數(shù)零點的含義，得到；第二步：將要證的不等式轉(zhuǎn)化為；第三步：利用換元法及函數(shù)的單調(diào)性進行證明.
（3）利用（2）的結(jié)論進行不等式放縮，得到，再用累加法證明即可.
【詳解】（1）解法一
由題，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以至多有一個零點.
當(dāng)時，由得，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以.
要使函數(shù)有兩個零點，必須滿足，得.
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上有且僅有1個零點.
，
記，則，記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
因為，所以，
所以函數(shù)在上有1個零點
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.所以實數(shù)a的取值范圍為.
解法二
因為有兩個零點，所以關(guān)于x的方程，即有兩個根，
所以直線與曲線有兩個不同的交點
令，
則，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
又，當(dāng)時，，所以，故實數(shù)a的取值范圍為.
（2）解法一
因為，所以.
設(shè)，則，
令，解得.
當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：
x 1
＋ 0 －
單調(diào)遞增 單調(diào)遞減
由（1）知，不妨設(shè)，則根據(jù)，得.
令，
則
因為，所以，所以，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時，，則，
又，所以.
因為，所以，
因為在上單調(diào)遞增，，所以，所以.
解法二
由（1）知，因為，所以，
所以，所以.
要證，只需證，即證；，
不妨設(shè)，要證上式，只需證，即證.
令，即證.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以成立，所以.
（3）由（2）中解法二可知，，
令，得.
所以，
即.
3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論在區(qū)間上的零點個數(shù)；
(3)比較與的大小，并說明理由.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)答案見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）求導(dǎo)可得，根據(jù)和即可求解；
（2）令，則，.易知當(dāng)時，從而單調(diào)遞減；當(dāng)時令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點的存在性定理分析函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得出零點的個數(shù)；
（3）由（2）可得當(dāng)時在上恒成立.利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合得，，即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，其定義域為，
，令，得.
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減.
因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）令，
則，.
因為，則，，則.
當(dāng)時，則，
故，從而在上單調(diào)遞減；
而，故當(dāng)時，，
故在區(qū)間上無零點；即在區(qū)間上無零點；
當(dāng)時，令，則，
因為，則，
從而，即在上單調(diào)遞減；
而，，
因此存在唯一的，使得，
并且當(dāng)時，；當(dāng)時，.
即當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.
而，故；
取，當(dāng)時，，
所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間上有唯一零點.
綜上所述，當(dāng)時，在上有唯一的零點；
當(dāng)時，在上沒有零點.
（3）
理由如下：
[解法一]由（2）可得，當(dāng)時，在上恒成立.
即當(dāng)時，，.
以下證明不等式：當(dāng)時，有.
令，則，故在上單調(diào)遞減，
則，即，，即有，
而，故，.
取，則有.
[解法二]顯然，故，
以下證明不等式：當(dāng)時，有.
令，則令，得.
故當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞減.
故是的極大值點，并且是最大值點，
故，即，.
取，則，故，
故，從而
【解題技巧】
方法策略：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題求參的求解策略：
1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉(zhuǎn)化為求解含有變量的表達式對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；
2、構(gòu)造函數(shù)法：轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而得出相應(yīng)的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；
3、圖象法：畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.
考點六：導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【典例精析】（多選）（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，，則（ ）
A．函數(shù)在上存在唯一極值點
B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為
D．若，則的最大值為
【答案】BCD
【分析】對于A：利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，可得A錯誤；對于B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得其圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，可得B正確；對于C：根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，可得C正確；對于D：根據(jù)以及指對同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可得D正確.
【詳解】對于A：，令，則，
令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，故在單調(diào)遞增，函數(shù)在上無極值點，故A錯誤；
對于B：，令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即，
又時，，作出函數(shù)的圖象，如圖：

若函數(shù)有兩個零點，得 有兩個實根，得函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，
由圖可知，，故B正確；
對于C：由B得：在上恒成立，則在單調(diào)遞增，則不等式恒成立，等價于恒成立，故，
設(shè)，則，
令，解得：，令，解得：，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，故，則實數(shù)的最小值為，故C正確；
對于D：若，則，
即，
∵，∴，，，
由A知，在上單調(diào)遞增，故，
所以，
設(shè)，則，
令，解得：，令，解得：，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，此時，
故的最大值是，故D正確；
故選：BCD
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；
(2)已知，函數(shù)存在兩個極值點，，證明：．
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)性得極值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，得極值點是的零點，然后構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性得出，則．再構(gòu)造函數(shù)，已知轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，交點的橫坐標(biāo)是，結(jié)合在上單調(diào)遞增，問題轉(zhuǎn)化為證明，即證（這里雙變量化為單變量，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性完成證明．
【詳解】（1）當(dāng)時，，∴．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
∴的極小值為，無極大值．
（2）解法一 ，
∴，∵有兩個極值點，，
∴有兩個變號零點，，即方程有兩個不相等的實根，，
即方程有兩個不相等的實根，．
設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，
∴，則．設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．
∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
不妨設(shè)，則．要證，即證，
∵在上單調(diào)遞增，∴即證，
即證．設(shè)，
則，
∴在上單調(diào)遞增，∴，
∵，∴，即，∴，得證．
解法二 ，∴，
∵有兩個極值點，，∴有兩個變號零點，
即方程有兩個不相等的實根，，
即方程有兩個不相等的實根，，
即方程有兩個不相等的實根，．（關(guān)鍵：化同構(gòu)）
設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，∴，
∴，，則，
則，
由對數(shù)平均不等式得，（對數(shù)平均不等式：已知實數(shù)，，，則）
∴，則，∴，得證．
2．（2023·山西·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同的正實根，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）對不等式參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值可解；
（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其性質(zhì)，結(jié)合圖象可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，并令，可得，最后由作差整理可證.
【詳解】（1）的定義域為，
由，得.
設(shè)，則.
由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而.
故，即的取值范圍是.
（2）證明：由，得，
即，即.
設(shè)，則等價于.
易證在上單調(diào)遞增，則，即.
設(shè)，則.
由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而，且，
當(dāng)x趨于時，趨于0.
方程有兩個不同的正實根，不妨設(shè)，
由圖可知，.
設(shè)
則在上單調(diào)遞增.
因為，所以，即.
設(shè)，則，
即，則.
因為方程有兩個不同的正實根，
所以，作差得.
因為，所以，所以，
則，故.
3．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點時，總有成立，求實數(shù)的值．
【答案】(1)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）求出，由有兩個不等實根，結(jié)合判別式韋達定理得且，所以．不等式中消去得關(guān)于的不等式，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）時，函數(shù)的定義域為
由解得．
當(dāng)時，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增．
（2），則．
根據(jù)題意，得方程有兩個不同的實根，
，即且，所以．
由，可得
又
總有對恒成立．
①當(dāng)時，恒成立，此時；
②當(dāng)時，成立，即
令函數(shù)，則在恒成立
故在單調(diào)遞增，所以．
③當(dāng)時，成立，即
由函數(shù)，則，解得
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減又，當(dāng)時，
所以．
綜上所述，．
【解題技巧】
含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同的變量，處理此類問題的步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；（2）巧妙構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而證明不等式．
與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）．
考點七：導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【典例精析】（多選）（2023·福建寧德·校考二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．
B．若有兩個不相等的實根，，則
C．
D．若，，均為正數(shù)，則
【答案】BCD
【分析】A：代入、直接計算比較大小；B：求的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性，可得當(dāng)有兩個不相等實根時、的范圍，不妨設(shè)，則有，比較的大小關(guān)系，因為，可構(gòu)造，求導(dǎo)求單調(diào)性，計算可得成立，可證；C：用在上單調(diào)遞增，構(gòu)造可證明；D：令，解出，，做差可證明.
【詳解】對于A：，，又，，
所以，所以，則，故A錯誤；
對于B：函數(shù)，定義域為，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則且時，有，所以若有兩個不相等的實根、，有，
不妨設(shè)，有，要證，只需證，且，
又，所以只需證，
令，
則有，
當(dāng)時，，，所以有，
即在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，
即，即，即，故B正確.
對于C：由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，
即，則有，故C正確；
對于D：令，則，，，
，
，故D正確；
故選：BCD.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將原式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
若，則，無極值；
若，由，可得，
若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
此時，函數(shù)有唯一極小值，無極大值；
若，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
此時，函數(shù)有唯一極大值，無極小值；
所以當(dāng)時，函數(shù)無極值；
當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值；
當(dāng)時，函數(shù)有極大值，無極小值；
（2）證明：由，兩邊取對數(shù)可得，即，
當(dāng)時，，，
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
而，時，恒成立，
因此，當(dāng)時，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，
記，，
則 ，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，
于是，而，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即.
2．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性．
(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負可確定的單調(diào)性；
（2）（i）將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，從而得到的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍；
（ii）設(shè)，根據(jù)：，，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，從而得到，由此可證得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則；
令，解得：或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）（i）由得：，
恰有個正實數(shù)根，恰有個正實數(shù)根，
令，則與有兩個不同交點，
，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，
當(dāng)從的右側(cè)無限趨近于時，趨近于；當(dāng)無限趨近于時，的增速遠大于的增速，則趨近于；
則圖象如下圖所示，
當(dāng)時，與有兩個不同交點，
實數(shù)的取值范圍為；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨設(shè)，則，
要證，只需證，
，，，則只需證，
令，則只需證當(dāng)時，恒成立，
令，
，
在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，恒成立，原不等式得證.
3．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求的取值范圍.
(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）參變分離可得在恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，不妨設(shè)，要證，即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時，在恒成立，
令，，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，
，
的取值范圍是．
（2）函數(shù)，．
則，
函數(shù)有兩個極值點，，
有兩個正實數(shù)解方程有兩個正實數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點．
，令，解得，
當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，
函數(shù)的極大值即最大值為．
又時，且當(dāng)時，，又，
．
不妨設(shè)，
要證明，．
令，，．
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
，，即，
因此成立．
【解題技巧】
（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小；
（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；
（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；
法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.
【詳解】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
（2）法一：
構(gòu)建，
則，
若，且，
則，解得，
當(dāng)時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當(dāng)時，，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調(diào)遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問題化為時，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【詳解】（1），則，
所以，故處的切線斜率為；
（2）要證時，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時.
（3）設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，
因為，所以，
則，
所以，故；
綜上，，即.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當(dāng)時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當(dāng)時，則，且，
則，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：
1.當(dāng)時，利用，換元放縮；
2.當(dāng)時，利用，換元放縮.
6．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點，
（i）當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求出可求切線方程；
（2）（i）當(dāng)時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點存在定理可求.
（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.
【詳解】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
（2）（i）當(dāng)時，
因為曲線和有公共點，故有解，
設(shè)，故，故在上有解，
設(shè)，故在上有零點，
而，
若，則恒成立，此時在上無零點，
若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，
而，，故在上無零點，
故，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，，
故在上存在唯一零點，
且時，；時，；
故時，；時，；
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
故，
因為在上有零點，故，故，
而，故即，
設(shè)，則，
故在上為增函數(shù)，
而，故.
（ii）因為曲線和有公共點，
所以有解，其中，
若，則，該式不成立，故.
故，考慮直線，
表示原點與直線上的動點之間的距離，
故，所以，
下證：對任意，總有，
證明：當(dāng)時，有，故成立.
當(dāng)時，即證，
設(shè)，則（不恒為零），
故在上為減函數(shù)，故即成立.
綜上，成立.
下證：當(dāng)時，恒成立，
，則，
故在上為增函數(shù)，故即恒成立.
下證：在上恒成立，即證：，
即證：，即證：，
而，故成立.
故，即成立.
【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.
7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）（ⅰ）由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ） ，，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點滿足的方程進一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.
【詳解】（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（ⅰ）因為過有三條不同的切線，設(shè)切點為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時，同（ⅰ）中討論可得：
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：，
因為，故，
又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當(dāng)時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
【答案】(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域為，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點睛】關(guān)鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時：
，
當(dāng)時，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．
【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.
【分析】（1）利用公式計算可得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.
（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.
【詳解】（1）.
（2）設(shè)，
因為，故，
若，則，故.
，
因為，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
若，因為在為增函數(shù)且，
而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，
故為的一個最小正實根，
若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，
綜上，若，則.
若，則，故.
此時，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
而，故，
又，故在存在一個零點，且.
所以為的一個最小正實根，此時，
故當(dāng)時，.
（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.
一、單選題
1．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】問題可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求參數(shù)問題.根據(jù)底數(shù)分類討論，當(dāng)時不成立；當(dāng)時，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.
【詳解】當(dāng)時，，則，不符合題意；

當(dāng)時，，
恒成立，
即恒成立，
設(shè)，
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，取得最大值，
所以，解得，
故選：C．
2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】等價變形給定的不等式，并令，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再借助導(dǎo)數(shù)求解即得.
【詳解】依題意，
，
令，即，由，得，
令，則原問題等價于存在，使得成立，
求導(dǎo)得，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，又，
則當(dāng)時，，若存在，使得成立，
只需且，解得且，即，
所以的取值范圍為.
故選：D
【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在零點，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，再運用基本不等式即可求解
【詳解】由得，
設(shè)，，
設(shè)，，
由得，由得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因為有零點，則，所以，
故選：D.
4．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)若有3個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】時，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可證得此時有2個實數(shù)解，則時，，在定義區(qū)間內(nèi)有1個實數(shù)解，利用函數(shù)單調(diào)性和最值列不等式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】時，，，
解得，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，
所以方程在和上各有1個實數(shù)解，
時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
依題意，在上有1個實數(shù)解，
則，解得.
實數(shù)的取值范圍為.
故選：B
5．（2023下·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，.若關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由題意可得關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為偶函數(shù)滿足，則，即，
所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，
則關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，如下圖所示：

因為，且，
又因為，所以，要使得不等式在上有且只有個整數(shù)解，
則這五個整數(shù)解分別為、、、、，
所以，，即，
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用不等式的整數(shù)解的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)的圖象，明確整數(shù)解是哪些整數(shù)，再結(jié)合圖形求解.
6．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.
【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，
只需考慮的情況，
設(shè)對應(yīng)的切點為，，，
設(shè)對應(yīng)的切點為，，，
，，，
只需考慮，，其中的情況，
則，
，其中，
；
又，，
，；
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，
，又，，
；
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
即，在上單調(diào)遞減，，
，；
綜上所述：.
故選：C.
二、多選題
7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程有兩個不等的實根，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由已知與有兩個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象確定的范圍，判斷A，要證明只需證明，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性只需證明，故構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論，判斷B，利用比差法比較，判斷C，利用的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明，判斷D.
【詳解】方程，可化為，
因為方程有兩個不等的實根，
所以與有兩個不同的交點，
令，則，
令，可得，
當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
，
當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，
當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，
故，
當(dāng)時，，，
根據(jù)以上信息，可得函數(shù)的大致圖象如下：
，且，故A正確．
因為，
構(gòu)造，
，
在上單調(diào)遞增，
，
，即，
由在單調(diào)遞增
所以，故B正確．
對于C，由，，
所以，
又，所以，則，所以，故C錯誤．
對于D，由，可得，
所以，D正確．
故選：ABD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
8．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）有兩個零點，分別記為，（）；對于，存在使，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，對以上各項逐一判斷，即可求得本題答案.
【詳解】∵由，得：，∴在單調(diào)遞增，∴A錯誤；
∵有兩個零點，即方程有兩個根，令則
令，解得，令，解得
可得在上遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，∴，，∴B正確；
由上可得：，又結(jié)合的單調(diào)性，
，∴，，∴，∴C正確；
由已知，有，而
∴
令，則，設(shè)，
則，當(dāng)時，恒成立，所以在單調(diào)遞增，
∴，∴，∵，∴
∴，∴，∴，
又在單調(diào)遞增，∴，即，∴D正確.
故選：BCD
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
三、填空題
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，當(dāng)時，研究在上的單調(diào)性，進而得到與已知相矛盾，再運用導(dǎo)數(shù)分別研究、時函數(shù)的單調(diào)性，進而可得其最值即可求得結(jié)果.
【詳解】對于任意的，都有，即，
令，
則，且對于任意的，都有.
①當(dāng)時，，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；
②當(dāng)時，令，則，令，得.
當(dāng)時，則，
所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，即，
所以在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，不符合題意；
當(dāng)時，則，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】恒成立問題方法指導(dǎo)：
方法1：分離參數(shù)法求最值
(1)分離變量．構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
(2)恒成立 ；
恒成立 ；
能成立 ；
能成立 .
方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．
10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若存在兩個不等的正實數(shù)，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】對已知等式進行變形，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意進行求解即可.
【詳解】，
構(gòu)造函數(shù)，
所以原問題等價于存在兩個不等的正實數(shù)，，使得，
顯然函數(shù)不是正實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，
，
設(shè)，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，
當(dāng)時，即時，單調(diào)遞增，所以不符合題意；
當(dāng)時，即時，顯然存在，使得，
因此一定存在區(qū)間，使得在上異號，因此函數(shù)在上單調(diào)性不同，
因此一定存在兩個不等的正實數(shù)，，使得成立，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是由構(gòu)造函數(shù).
11．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）若函數(shù)在處的切線與的圖像有三個公共點，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】數(shù)形結(jié)合，函數(shù)過點，當(dāng)切線過點時，切線與函數(shù)的圖象有三個公共點，當(dāng)切線與相切時直線與函數(shù)的圖象只有兩個公共點，計算出兩個臨界情況相應(yīng)的值，即可求得的取值范圍
【詳解】當(dāng)時，，所以切點的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，，所以切線的斜率，
所以切線的方程為：
而，即過點
當(dāng)切線過點時，切線與函數(shù)的圖象有三個公共點，
將代入切線方程得：，得
當(dāng)切線與相切時，切線與數(shù)的圖象只有兩個公點，
設(shè)切線：與在處相切，
由，得，
所以，得，，所以切點坐標(biāo)為
代入切線：，得，
因此在處的切線與的圖像有三個公共點時，的取值范圍為：.
故答案為：.
四、解答題
12．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
【答案】(1)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
(2)證明見解析
【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解出，然后在定義域范圍內(nèi)分析即可.
（2）利用分析法證明，變形要證明的式子，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進行證明.
【詳解】（1）的定義域為，
，
令，得：，
當(dāng)變化時的關(guān)系如下表：
0 1
無意義 0
無意義
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
（2）證明：要證，
只需證：
根據(jù)，只需證：
不妨設(shè)，由得：；
兩邊取指數(shù)，，化簡得：
令：，則，
根據(jù)（1）得在上單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞增（如下圖所示），
由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使且，
則必有，即
由得：.
要證，只需證：，
由于在上單調(diào)遞增，要證：，
只需證：，
又，只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
只需證：，
即證，
令，
只需證：，
，
令，
在上單調(diào)遞減，
所以，
所以
所以在上單調(diào)遞減，所以
所以
所以：.
【點睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，
難度相當(dāng)大，主要考向有以下幾點：
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；
2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；
3、求函數(shù)的極值（最值）；
4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
5、證明不等式；
解決方法：對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，
在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，
對新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.
13．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)若滿足，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線；
(2)若，且，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出曲線在點處的切線方程，再判定該切線方程為的切線即可；
（2）求，設(shè)，建立方程組，得出，為方程的兩根，根據(jù)韋達定理確定，再由基本不等式判定，化簡，構(gòu)造函數(shù)求其單調(diào)性判定值域即可.
【詳解】（1）由已知有，,
曲線在點處的切線方程為：,
即：，將代入即有：,
由得令得：，此時,
可得：曲線在點處的切線方程為：
，將代入化簡，
可得：
故曲線在點處的切線也是曲線的切線．
（2）∵，
∴，令，得：，
∴，為方程的兩根，
∴即：，
∴ ∴，
∴
，
令，則，
令，則，
∴在單調(diào)遞減 ∴
即
【點睛】本題關(guān)鍵在第二問，設(shè)，由導(dǎo)函數(shù)建立方程組結(jié)合韋達定理得出，再求函數(shù)值之和，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合基本不等式求其定義域內(nèi)的單調(diào)性即可證明不等式.
14．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，證明：，且．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）變形為是方程的兩個實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.
【詳解】（1）的定義域為R，
由題意，得，，
當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）證明：由，得，是方程的兩個實數(shù)根，
即是方程的兩個實數(shù)根．
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以．
因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，，所以．
不妨設(shè)，因為，是方程的兩個實數(shù)根，則．
要證，只需證．
因為，，
所以只需證．
因為，
所以只需證．
今，，
則
在恒成立．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時，．
所以，
即成立．
【點睛】極值點偏移問題，通常會構(gòu)造差函數(shù)來進行求解，若等式中含有參數(shù)，則先消去參數(shù).
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2.4導(dǎo)數(shù)及綜合應(yīng)用
【備考指南】 1
【知識導(dǎo)圖】 2
【考點梳理】 4
考點一：導(dǎo)數(shù)證明不等式 4
考點二：導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立 5
考點三：導(dǎo)數(shù)研究方程的根 5
考點四：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì) 6
考點五：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（隱零點） 7
考點六：導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題 8
考點七：導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題 9
【真題在線】 10
【專項突破】 12
考點 考情分析 考頻
導(dǎo)數(shù)的幾何意義 2023年全國甲卷T8 2023年全國乙卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全國甲卷T20 2年5考
導(dǎo)數(shù)與極值、最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年新高考Ⅰ卷T10 2022年全國甲卷T8 2022年全國乙卷T16 2年4考
導(dǎo)數(shù)與證明不等式 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
導(dǎo)數(shù)與恒成立（能成立） 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全國甲卷T21 2023年全國乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
導(dǎo)數(shù)與零點 2023年全國乙卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2022年全國乙卷T21 2年3考
導(dǎo)數(shù)與雙變量問題 2022年全國甲卷T21
預(yù)測：導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用一般情況難度較大，對學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高，建議在二輪復(fù)習(xí)時，加強對學(xué)生思維能力的綜合訓(xùn)練.
考點一：導(dǎo)數(shù)證明不等式
【典例精析】（多選）（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線和曲線在點處的切線互相平行，則下列命題正確的有（ ）
A．有最大值是1 B．有最小值是1
C．有最小值是 D．若，則有最大值為
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).
(1)證明：有且僅有一個極小值點；
(2)設(shè)是的唯一零點，證明：.
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性
(2)若函數(shù)有兩個不相等的零點，求證：．
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性
(2)若，求證：
①函數(shù)在上只有1個零點；
②.
【解題技巧】
利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
考點二：導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立
【典例精析】（多選）（2023上·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，則（ ）
A．函數(shù)在上無極值點
B．函數(shù)在上存在極值點
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值
D．若，則的最大值為
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)判斷是否存在x，使得，若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；
(2)討論的單調(diào)性．
3．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求證：有解.
【解題技巧】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
考點三：導(dǎo)數(shù)研究方程的根
【典例精析】（多選）（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1
C．函數(shù)在點處的切線方程為
D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；
(2)若有兩個不同的極值點，求t的取值范圍．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)若有兩個不相等的實根，且，求證：．
3．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求a的值
(2)若方程恰有2個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍.
【解題技巧】
與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)；
②，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)；
③，構(gòu)造函數(shù)，
，構(gòu)造函數(shù)．
考點四：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)
【典例精析】（多選）（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在兩個極值點，，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，其中．
(1)若有兩個零點，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
2．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若直線與曲線有兩個交點，求a的取值范圍．
3．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測）．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)當(dāng)時，設(shè)，若既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．
【解題技巧】
函數(shù)由極值、極值點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.
考點五：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（隱零點）
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且），則（ ）
A．當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為
B．函數(shù)恒有1個極值點
C．若曲線有兩條過原點的切線，則
D．若有兩個零點，則
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)證明：存在實數(shù)，使得函數(shù)與各有2個零點，若各零點從小到大排列記為，，，，則滿足．
2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設(shè)的兩個零點分別為，證明：；
(3)證明：.
3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論在區(qū)間上的零點個數(shù)；
(3)比較與的大小，并說明理由.
【解題技巧】
方法策略：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題求參的求解策略：
1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉(zhuǎn)化為求解含有變量的表達式對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；
2、構(gòu)造函數(shù)法：轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而得出相應(yīng)的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；
3、圖象法：畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.
考點六：導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
【典例精析】（多選）（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，，則（ ）
A．函數(shù)在上存在唯一極值點
B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是
C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為
D．若，則的最大值為
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；
(2)已知，函數(shù)存在兩個極值點，，證明：．
2．（2023·山西·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個不同的正實根，證明：.
3．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點時，總有成立，求實數(shù)的值．
【解題技巧】
含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及兩個不同的變量，處理此類問題的步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式；（2）巧妙構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而證明不等式．
與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；
③，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）．
考點七：導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題
【典例精析】（多選）（2023·福建寧德·校考二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．
B．若有兩個不相等的實根，，則
C．
D．若，，均為正數(shù)，則
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．
2．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性．
(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
3．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求的取值范圍.
(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：.
【解題技巧】
（1）給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大小；
（2）極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處切線的斜率；
(2)當(dāng)時，證明：；
(3)證明：．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
6．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若和有公共點，
（i）當(dāng)時，求的取值范圍；
（ii）求證：．
7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
12．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．
一、單選題
1．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在零點，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)若有3個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）已知偶函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，.若關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知關(guān)于的方程有兩個不等的實根，且，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）有兩個零點，分別記為，（）；對于，存在使，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
C．
D．
三、填空題
9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是 .
10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若存在兩個不等的正實數(shù)，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
11．（2023·湖北·武漢市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）若函數(shù)在處的切線與的圖像有三個公共點，則的取值范圍 ．
四、解答題
12．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.
13．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．
(1)若滿足，證明：曲線在點處的切線也是曲線的切線；
(2)若，且，證明：．
14．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，證明：，且．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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