資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.1三角函數圖象與性質
【備考指南】 1
【知識導圖】 3
【考點梳理】 8
考點一：三角函數的同角基本關系 8
考點二：三角函數誘導公式 10
考點三：三角函數圖象變換 15
考點四：三角函數圖象 19
考點五：三角函數單調性 24
考點六：三角函數周期性 28
考點七：三角函數對稱性 34
考點八：三角函數奇偶性 38
考點九：三角函數的取值范圍 43
【真題在線】 48
【專項突破】 56
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數的圖象與性質 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
解三角形及應用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全國乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全國甲卷T16 2022年全國乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函數的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數的基本關系 2023年全國甲卷T7
三角函數的誘導公式 2023年全國甲卷T13
預測：三角函數圖象與性質是高考考察的重點、熱點問題，最近幾年全國卷都有所考察.試題難度整體是基礎題、中檔題為主,有時考察的難度也較大.建議在二輪復習時重點做好查缺補漏，全面掌握好基礎知識，進一步拓展學生的思維，從整體上對三角函數所全新的認識.
考點一：三角函數的同角基本關系
【典例精析】（多選）（2023上·江西·高三校聯考階段練習）下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則
D．若銳角滿足，則
【答案】ACD
【分析】利用誘導公式化簡即可判斷A；利用二倍角公式和輔助角公式化簡等式即可判斷B；兩邊平方，結合二倍角公式可判斷C；利用基本關系式求，結合正切的兩角和公式可判斷D.
【詳解】因為，所以，A正確．
因為，所以B錯誤．
將方程兩邊平方，得，解得，C正確．
因為，所以，，
則，D正確．
故選：ACD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用和差角及二倍角的余弦公式，結合齊次式法計算得解.
【詳解】因為，所以
.
故選：D
2．（2023·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將已知等式平方后相加，結合同角的三角函數關系以及兩角和的正弦公式，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
兩式相加得，得，
故選：C
3．（2023·全國·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根據題意利用三角恒等變換、誘導公式及同角三角函數的基本關系運算求解．
【詳解】解法一：由得，
因為，則，得；
解法二：由得，
因為，所以，
得；
故選：A．
二、多選題
4．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．為第二象限角 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先由化簡得到，然后結合可求出，進而可求解.
【詳解】因為，所以有，所以得到，
又，所以，可得且為第一象限角，
故，故A不正確，B正確；
又，故，所以，，故C正確；
由，，知，故D不正確．
故選：BC.
三、填空題
5．（2023上·江西·高二校聯考期中）已知，則的值為 .
【答案】
【分析】利用三角函數的誘導公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函數的基本關系求解.
【詳解】.
故答案為: .
【解題技巧】
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
考點二：三角函數誘導公式
【典例精析】（多選）（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）已知函數的導函數的圖象經過點，記，則（ ）
A．在上單調遞減 B．
C．的圖象在內有5個對稱軸 D．
【答案】ABD
【分析】直接求導得，再根據正余弦函數的單調性、最值和對稱性一一分析即可.
【詳解】，因為的圖象經過點，
所以，所以，
因為，所以當時，，所以，
所以，
對A，，因為，所以，
根據余弦函數的單調性知A正確；
對B，，故B正確；
對C，，因為，所以，
根據余弦函數的對稱性知，當時，符合題意，則有四條對稱軸，故C錯誤；
對D，，故D正確.
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角的終邊經過點，求出角的余弦值，即可求出結果.
【詳解】因為角的終邊經過點，
所以，
所以.
故選：A
2．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照兩角和的余弦公式及誘導公式化簡條件，再利用輔助角公式變形，進一步計算即可.
【詳解】方法一
，
.
故選：C.
方法二
.
令，則，，
.
故選：C.
3．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由，得到，再利用誘導公式和二倍角的正切公式得到求解.
【詳解】解：由，得，
則，
，
.
故選：D
二、多選題
4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學校考一模）關于函數，則下列結論正確的有（ ）
A．是奇函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．在單調遞增
【答案】AC
【分析】利用函數的奇偶性定義、三角函數的周期性以及函數周期的求法判斷AB；再根據周期性研究函數在區間上的最值、以及單調性，判斷CD.
【詳解】由題知，定義域為，
，
所以是奇函數，故A正確；
因
，
所以是的周期，故B錯；
，
當且僅當時，等號成立，
由得，
即，所以，故C正確；
因，
，
則，
所以在上不是單調遞增的，故D錯.
故選：AC
三、填空題
（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）若，則 .
【答案】/
【分析】利用和角的正余弦公式化簡，再利用誘導公式及齊次式求法求解即可.
【詳解】，
則
.
故答案為：
【解題技巧】(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
考點三：三角函數圖象變換
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預測）已知函數，，以下四種變換方式能得到函數的圖象的是（ ）
A．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
B．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
D．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
【答案】BC
【分析】先利用誘導公式將函數變為正弦型三角函數；再利用三角函數圖象間的變換規律即可得出答案.
【詳解】
由三角函數圖象間的變換規律知：
將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象；
將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象．
故選：BC．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】C
【分析】根據三角函數平移規則可知，將向左平移個單位長度即可得到.
【詳解】易知，
故將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象.
故選：C
2．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】寫出平移后函數解析式，然后由圖象關于軸對稱得出的表達式，從而得出結論．
【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度得函數解析式為，它的圖象關于軸對稱，
則，又，則，
故選：B．
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，若在上恰有3個零點，則a的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據圖像確定，根據三角函數平移確定，再確定，根據零點得到，解得答案.
【詳解】的最小正周期為T，由題圖可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以．
將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，
再將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到的圖象，故．
當時，，
因為在上恰有3個零點，所以，得，
故選：C．
二、多選題
（2023·全國·校聯考模擬預測）已知函數(，)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是，先將的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數的圖象，若是偶函數，且最大值為4，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期是 B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞減
【答案】BD
【分析】根據三角函數的性質即可確定函數的表達式為，即可根據代入驗證法判斷BC，根據整體法即可求解D.
【詳解】由已知，A錯誤；所以，則，
所以，
因為是偶函數，所以，，即，，
而，所以，所以，
因為最大值為4，所以，則，所以，
因為，所以為一條對稱軸，B正確；
由于，所以C不正確；
當時，此時單調遞減，D正確，
故選：BD
三、填空題
（2023上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數（）的圖象與的圖象的兩相鄰公共點間的距離為，將的圖象向左平移（）個單位長度得到的圖象，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據題意，得到，求得，得到，再由三角函數的圖象變換，得到，結合三角函數的性質，列出方程，即可求解.
【詳解】由函數的圖象與的圖象的兩相鄰公共點間的距離為，
可得，所以，解得，所以，
又由，其向左平移（）個單位長度得：
，則，
解得，當時，取最小值.
故答案為：.
【解題技巧】
作函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
考點四：三角函數圖象
【典例精析】（多選）（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）已知函數，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在區間上有6個零點
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．若對任意的恒成立，則
【答案】ABD
【分析】根據平移變換的原則即可判斷A；根據正弦函數的性質即可判斷B；根據正弦函數的對稱性即可判斷C；對任意的恒成立，只需，求出的最小值即可判斷D.
【詳解】將圖象上所有的點向右平移個單位長度，
得，故A錯誤；
令，得，所以，
又，所以，
即在區間上有6個零點，故B正確；
因為，
所以直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯誤；
對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
由，得，
所以，所以，故D正確.
故選：ABD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，記方程的最小的兩個正實數解分別為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】結合條件，利用三角函數的圖象與性質，誘導公式即可求解.
【詳解】由于，根據三角函數圖象，在處切線斜率小于0，
所以，為方程的解，
所以，，
由可得，，解得.
故選：D．
2．（2023·浙江杭州·統考一模）已知函數（ω＞0），若f（x）在區間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根據三角函數恒等變換將三角函數化簡成余弦型函數，根據自變量的取值范圍求解出的取值范圍，進而根據已知條件結合三角函數圖像求得的取值范圍
【詳解】函數
，
因為，
所以，
由于函數在區間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，
根據函數的圖像：

所以，整理得：．
故選：D．
3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）函數的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正切函數的周期性及其圖象，應用等面積法求得最小正周期為，結合圖象所過的點求參數，即可得解析式，進而求函數值.
【詳解】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，
設函數的最小正周期為，則，
由題意得，解得，故，得，即，
的圖象過點，即，
∵，則，

∴，解得．
∴
∴.
故選：A
二、多選題
4．（2021上·福建福州·高三福建省福州屏東中學校考開學考試）已知函數的圖像關于直線對稱，則（ ）
A．函數為奇函數
B．函數在上單調遞增
C．函數的圖像向右平移個單位長度得到的函數圖像關于對稱，則的最小值是
D．若方程在上有個不同實根，則的最大值為
【答案】AC
【分析】根據題意得，，再結合三角函數的圖像性質依次分析各選項即可得答案.
【詳解】解：因為函數的圖像關于直線對稱，
所以，，解得，
因為，
所以，即，
所以，對于A選項，函數，是奇函數，故正確；
對于B選項，當時，，由于函數在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，故錯誤；
對于C選項，函數的圖像向右平移個單位長度得到的函數圖像對應的解析式為，
若圖像關于對稱，則，解得，
由于，故的最小值是，故正確；
對于D選項，當時，，
故結合正弦函數的性質可知，若方程在上有個不同實根，不妨設，
則取得最大值時滿足且，
所以，的最大值為，故錯誤.
故選：AC
三、填空題
5．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）若，，則 ．
【答案】
【分析】根據三角恒等變換得，再轉化為關于的方程，解出即可.
【詳解】因為，
所以
因為，
所以，即，
因為，所以，
所以，解得，
故答案為：.
【解題技巧】
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)正弦函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
考點五：三角函數單調性
【典例精析】（多選）（2023·江西景德鎮·統考一模）已知向量，，以下結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】BD
【分析】由向量垂直、平行、數量積、模長的坐標表示列方程或不等式，結合三角恒等變換及正余弦型函數的性質求值或范圍，判斷各項正誤.
【詳解】A：若，則，，則，
所以，錯；
B：若，則，而，對；
C：若，則，故，，則或，
所以或，錯；
D：若，則，可得，，
所以，故，對；
故選：BD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數
B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱
D．在上單調遞減
【答案】B
【分析】根據三角函數的平移變換求出的表達式，然后依次判斷各個選項即可．
【詳解】因為，
所以，
由，得，，則，，又，所以，
所以，．
對于A：，所以不是奇函數，A錯誤；
對于B：當時，，，B正確；
對于C：因為，所以的圖像不關于點對稱，C錯誤；
對于D：當時，，根據函數的圖像與性質可知，在上不單調，D錯誤．
故選：B.
2．（2023·陜西漢中·校聯考模擬預測）已知實數滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對于ABD，舉反例可判斷錯誤，對于C，利用冪函數的單調性，可判斷正確.
【詳解】對于A，取，，可得A錯誤；
對于B，取，，，可得B錯誤；
對于C，根據冪函數的單調性，可得，可得C正確；
對于D，取，，此時，，可得D錯誤；
故選：C
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為，且對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用輔助角公式化簡，利用的最小正周期為得，根據恒成立得到的最小值.
【詳解】由，
所以函數的最小正周期是，
于是函數的最小正周期是，
因此函數的最小正周期為，
所以，則，
因此．由于對任意的恒成立，
所以在處取得最小值，
于是，
即，因為，所以的最小值為．
故選：C
【點睛】關鍵點睛：（1）利用三角函數的圖象與性質得到；（2）根據恒成立得到在處取得最小值．
二、多選題
4．（2023上·山東濰坊·高三統考期中）已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
【答案】AB
【分析】A選項，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項，，故B正確；C選項，整體法判斷函數的單調性；D選項，由得到，求出不等式的解集.
【詳解】A選項，，
由于的定義域為R，且，
故為奇函數，A正確；
B選項，，故的圖象關于直線對稱，B正確；
C選項，時，，其中在上不單調，
故在上不單調，故C錯誤；
D選項，，則，則，
故，D錯誤.
故選：AB
三、填空題
5．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知單位向量，若對任意實數，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
【答案】/60o
【分析】把兩邊平方得到關于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的條件以及兩向量夾角的余弦公式求得結果.
【詳解】，是單位向量，由得：，
依題意，不等式對任意實數恒成立，
則，解得，
而，則，
又，函數在上單調遞減，
因此，
所以向量，的夾角的取值范圍為.則向量的夾角的最小值為.
故答案為：.
【解題技巧】
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點六：三角函數周期性
【典例精析】（多選）（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】選項A，根據得到；B選項，舉出反例；C選項，作差法比較大小；D選項，構造函數，求導得到單調性，從而得到時，，故D錯誤.
【詳解】選項A，由得，∴，故A正確；
選項B，取，，可得，，不滿足，故B錯誤；
選項C，，
∵，所以，故，
∴，故C正確；
選項D，設函數，，則，
當時，，單調遞減，
故時，，即，故，故D錯誤.
故選：AC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為π，且對任意的恒成立，則θ的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡，得到函數的最小周期是，結合題意，求得，得到，再由對任意的恒成立，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】由于，所以函數的最小正周期是，
于是函數的最小周期是，
因此函數的最小正周期為，所以，則，
可得，
由于對任意的恒成立，所以在處取得最小值，
于是，即，
因為，所以θ的最小值為.
故選：C.
2．（2023·河北保定·統考二模）已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．時，關于對稱
B．時，的一個周期為
C．時，在上單調遞增
D．時，的兩個零點為，則
【答案】C
【分析】分別求出函數的解析式，利用函數的對稱性，單調性以及周期性進行判斷即可．
【詳解】當時，，
此時，即是的一個周期，故B正確；
當時，，即關于對稱，故A正確；
當時，，
當，，，此時為減函數，故C錯誤，
由得，
則或，，，
即或，
即或，
則，
則，
則當時，，故D正確.
故選：C．
3．（2023上·內蒙古包頭·高三校考階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則的單調遞減區間為（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根據圖象可得的最小正周期和最小值點，根據余弦型函數的性質分析判斷.
【詳解】設的最小正周期為，
可知，即，
且當時，取到最小值，
由周期性可知：與最近的最大值點為，如圖所示，

所以的單調遞減區間為，.
故選：D.
二、多選題
4．（2023上·河北·高三校聯考階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．的最小正周期為
B．
C．將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱
D．若在區間上單調遞增，則
【答案】AD
【分析】由函數圖像可確定函數最小正周期，判斷A；將代入，求出，判斷B；根據三角函數的圖象的平移變換規律可得平移后圖象的解析式，結合正弦函數性質可判斷C；利用余弦函數的單調性可判斷D.
【詳解】由于，故，A正確，
由于，則，故，
即，
而，故，B錯誤；
由于，
故將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象，
該圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，C錯誤；
當時，，當時，
由于在上單調遞增，在上單調遞減，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故由在區間上單調遞增，得，D正確，
故選：AD
三、填空題
5．（2023·山東煙臺·統考二模）若點與關于x軸對稱，則的一個可能取值為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由對稱的性質列方程求即可.
【詳解】因為與關于x軸對稱，
所以，，
所以，，
所以，
又，
所以，
故答案為：（答案不唯一）.
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點七：三角函數對稱性
【典例精析】（多選）（2023上·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知函數的一個對稱中心為，則（ ）
A．的最小正周期為π
B．
C．直線是函數圖像的一條對稱軸
D．若函數在上單調遞減，則
【答案】AC
【分析】根據的對稱中心求得，根據三角函數的最小正周期、對稱性、單調性確定正確答案.
【詳解】則有，解得，
因為，所以，所以，
則的最小正周期為π，故A正確；
，故B錯誤；
，則直線是圖像的一條對稱軸，故C正確；
，當時，，
若函數在上單調遞減，則有，
解得則，故D錯誤.
故選：AC
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】寫出平移后函數解析式，然后由圖象關于軸對稱得出的表達式，從而得出結論．
【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度得函數解析式為，它的圖象關于軸對稱，
則，又，則，
故選：B．
2．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上的最大值為M，最小值為N，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】求出，換元可得.當的對稱軸恰好為時，有最小值，求出，根據函數的周期性，任取一個滿足的知，代入得出區間，即可得出的值.
【詳解】由題意知，，
令，
因為，所以.
由正弦函數的圖象與性質知，
當的對稱軸恰好為，
即時，取得最小值，
此時.
根據正弦函數的周期性，不妨取， 則.
當時，有最大值為1，所以；
當或時，有最小值為，所以.
所以，.
故選：D．
3．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．在區間上單調遞減
B．的圖象關于直線對稱
C．是奇函數
D．
【答案】C
【分析】由函數圖象的平移變換法則求出的解析式，利用復合函數的單調性即可判斷A的正誤；計算的對稱軸，即可判斷B的正誤；求出的解析式，即可判斷C的正誤；計算的值，即可判斷D的正誤．
【詳解】由題知，，
對于A：因為在區間上單調遞增且值域為，
在區間上先減后增，
所以在區間上先減后增，故A錯誤；
對于B：函數的對稱軸為，即，
所以的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；
對于C：是奇函數，故C正確；
對于D：，故D錯誤．
故選：C.
二、多選題
4．（2023·河北·統考模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象.則下列關于的說法錯誤的是（ ）
A．最小正周期為 B．圖象關于點對稱
C．在區間上單調遞增 D．圖象關于直線對稱
【答案】ACD
【分析】根據函數圖象平移法則，求出函數圖象平移后得到的函數的解析式，再根據正切函數的性質一一判斷即可．
【詳解】函數，的圖象向右平移個單位長度，
得到函數的圖象，
所以函數；
對于A，函數的最小正周期為，選項A錯誤；
對于B，時，，所以的圖象關于點對稱，選項B正確；
對于C，，，在上單調遞減，選項C錯誤；
對于D，正切型函數的圖象不是軸對稱圖形，所以選項D錯誤．
故選：ACD．
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）函數的圖象的對稱中心為
【答案】
【分析】根據的對稱中心為可求解.
【詳解】令，，解得，所以對稱中心為.
故答案為: .
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點八：三角函數奇偶性
【典例精析】（多選）（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知函數（）的圖象與函數的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（ ）
A． B．
C．函數是偶函數 D．在上單調遞增
【答案】AD
【分析】根據函數與的最小正周期相同，求得，經驗證求得，再求出值，再對各個選項逐項驗證.
【詳解】由題意，函數與的最小正周期相同，則，且.
當時，，其一個對稱中心為，
也是的一個對稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；
當時，，其一個對稱中心為，
也是的一個對稱中心，
所以，所以，，
又，所以，
所以，，，有極小值，滿足題意.
，，A項正確，B項不正確；
，不是偶函數，C項不正確；
當時，，函數在上單調遞減，則在上單調遞增，D項正確.
故選：AD
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·四川成都·高三石室中學校考期中）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位后，得到偶函數的圖象，則正實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題圖可知，周期，則，所以，又點在的圖象上，求出，得到函數解析式，利用平移規律得的解析式，根據函數的奇偶性求得到答案．
【詳解】由題圖可知，周期，則，所以，
因為點在的圖象上，所以＝－2，
所以，得，
因為，所以，，
所以，
是偶函數，，
，則當時，正實數取最小值.
故選：C.
2．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）已知函數在內單調遞減，是函數的一條對稱軸，且函數為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦型函數的對稱性、奇偶性、單調性進行求解即可.
【詳解】因為函數在內單調遞減，是函數的一條對稱軸，
所以有，
所以，
因為是奇函數，
所以，由可得：，
而，所以，
當時，，
因為，所以，
即，
當時，，顯然此時函數單調遞減，符合題意，
所以；
當時，，
因為，所以，
即，
當時，，顯然此時函數不是單調遞減函數，不符合題意，
故選：D
3．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預測）已知函數同時滿足性質：①；②當時，，則函數可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，確定函數的奇偶性和在上的單調性，再逐項判斷作答.
【詳解】由，知函數是偶函數，由當時，，知在上單調遞減，
對于A，函數在上單調遞增，A不是；
對于B，指數函數不具奇偶性，B不是；
對于D，當時，在上單調遞增，D不是；
對于C，函數是偶函數，當時，，
而余弦函數在上單調遞減，即在上單調遞減，C是.
故選：C
二、多選題
4．（2023上·山東濰坊·高三統考期中）已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
【答案】AB
【分析】A選項，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項，，故B正確；C選項，整體法判斷函數的單調性；D選項，由得到，求出不等式的解集.
【詳解】A選項，，
由于的定義域為R，且，
故為奇函數，A正確；
B選項，，故的圖象關于直線對稱，B正確；
C選項，時，，其中在上不單調，
故在上不單調，故C錯誤；
D選項，，則，則，
故，D錯誤.
故選：AB
三、填空題
5．（2023·廣西玉林·統考三模）函數，若，則 ．
【答案】3
【分析】根據題意可得，結合計算即可求解.
【詳解】由題得，
∴，
所以．
故答案為：3.
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點九：三角函數的取值范圍
【典例精析】（多選）（2021·廣東汕頭·統考一模）知函數，則下述結論中正確的是（ ）
A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點
B．若在有且僅有個零點，則在上單調遞增
C．若在有且僅有個零點，則的范圍是
D．若的圖象關于對稱，且在單調，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】令，由，可得出，作出函數在區間上的圖象，可判斷A選項正誤；根據已知條件求出的取值范圍，可判斷C選項正誤；利用正弦型函數的單調性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數的對稱性與單調性可判斷D選項的正誤.
【詳解】令，由，可得出，
作出函數在區間上的圖象，如下圖所示：
對于A選項，若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點，A選項正確；
對于C選項，若在有且僅有個零點，則，解得，C選項正確；
對于B選項，若，則，
所以，函數在區間上不單調，B選項錯誤；
對于D選項，若的圖象關于對稱，則，.
，，，.
當時，，當時，，
此時，函數在區間上單調遞減，合乎題意，D選項正確.
故選：ACD.
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022·陜西·統考模擬預測）已知函數在上有且只有5個零點，則實數的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題知在上有且只有5個零點，進而得，再結合正弦函數的圖像可知，解不等式即可得答案.
【詳解】解：因為，
令，即，
所以，在上有且只有5個零點，
因為，所以，
所以，如圖，由正弦函數圖像，要使在上有且只有5個零點，
則，即，
所以實數的范圍是.
故選：C
2．（2021·全國·校聯考三模）函數在內存在最小值但無最大值，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡得，由求得范圍，根據條件與函數圖象即可求解結果．
【詳解】，
因為在內存在最小值但無最大值，
當時，，
故結合圖象可得：，
所以．
故選：A
3．（2021·江西撫州·校考模擬預測）若函數的圖象在區間上只有一個對稱中心，則的取范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可得，即可求出.
【詳解】由題可知，在上只有一個零點，
又，，所以，即.
故選：A.
二、多選題
4．（2022·廣東·校聯考模擬預測）函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．若為偶函數，則的最小正值是
B．若為偶函數，則的最小正值是
C．若為奇函數，則的最小正值是
D．若為奇函數，則的最小正值是
【答案】BC
【分析】根據正弦函數的平移變換可得，根據其為偶函數可得，從而求得 的最小正值，判斷A,B; 根據其為奇函數可得，從而求得 的最小正值，判斷C,D.
【詳解】由題意得，，
若為偶函數，則 ,
故，所以當 時，的最小正值是，
故A錯誤，B正確；
當為奇函數時，，
故，故當 時，的最小正值是，
故C正確，D錯誤，
故選：BC
三、填空題
5．（2023·貴州黔西·校考一模）已知函數，下述四個結論：
①若，且在有且僅有5個零點，則在有且僅有3個極大值點；
②若，且在有且僅有4個零點，則在有且僅有2個極大值點；
③若，且在有且僅有5個零點，則在上單調遞增；
④若，且在有且僅有2個零點和3個極值點，則的范圍是．
其中所有正確結論的編號是 ．
【答案】①③
【分析】對①②可以通過作圖判別，對于③令，根據題意得到不等式，解出范圍，當時，即可.對于④令，根據題意得到不等式，解出范圍即可.
【詳解】對于①，若，則，在有且僅有5個零點，如圖，
其圖象的右端點的橫坐標在上，此時在有且僅有3個極大值點，故①正確；
對于②，若，則，在有且僅有4個零點，如圖，
其圖象的右端點的橫坐標在上，則在有2個或3個極大值點，故②不正確；
對于③，若，令，且,
在上有且僅有5個零點，在上有且僅有5個零點，
，當時，，
又，,
在上單調遞增.
在上單調遞增，故③正確.
對于④，若，令,且，
因為在有且僅有2個零點和3個極值點，
在上有且僅有2個零點和3個極值點，
，故④錯誤.
故答案為：①③.
【解題技巧】
求較為復雜的三角函數的單調區間時，首先化簡成形式，再求的單調區間，只需把看作一個整體代入的相應單調區間內即可，注意要先把化為正數．
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內角和定理可得的值.
【詳解】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
2．（2023·全國·統考高考真題）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函數平移的性質求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數為.
故選：C.
3．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
4．（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區間單調遞增，
所以，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
5．（2022·天津·統考高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三角函數的圖象與性質，以及變換法則即可判斷各說法的真假．
【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．
故選：A．
6．（2022·浙江·統考高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據三角函數圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．
故選：D.
7．（2022·全國·統考高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數的性質得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
8．（2022·全國·統考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
9．（2021·北京·統考高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
【答案】D
【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.
【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，
又，
所以當時，取最大值.
故選：D.
10．（2021·全國·統考高考真題）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：從函數的圖象出發，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；
解法二：從函數出發，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.
【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，
根據已知得到了函數的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
二、多選題
11．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【分析】根據三角函數的性質逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當時，，由正弦函數圖象知在上是單調遞減；
對B，當時，，由正弦函數圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數的唯一極值點；
對C，當時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數在點處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
三、填空題
12．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為 ．
【答案】2
【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數或驗證數值可得.
【詳解】由圖可知，即，所以；
由五點法可得，即；
所以.
因為，；
所以由可得或；
因為，所以，
方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數為2.
方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2.
故答案為：2.
【點睛】關鍵點睛：根據圖象求解函數的解析式是本題求解的關鍵，根據周期求解，根據特殊點求解.
一、單選題
1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）設函數，若函數與的圖象關于直線對稱，則當時，的最大值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根據對稱可得，進而根據整體方法求解最值即可.
【詳解】在的圖象上任取一點，它關于的對稱點為.
故點在的圖象上，從而.
當時，，由在上單調遞減可知：
在區間上的最大值為，
故選：B.
2．（2023·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】D
【分析】化簡函數的解析式，再根據函數的平移變換法可得函數的變換情況.
【詳解】由已知，
設將函數向左平移個單位，得，
所以，解得，
即將函數向左平移個單位長度可得，
故選：D.
3．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角的終邊經過點，求出角的余弦值，即可求出結果.
【詳解】因為角的終邊經過點，
所以，
所以.
故選：A
4．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為，且對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用輔助角公式化簡，利用的最小正周期為得，根據恒成立得到的最小值.
【詳解】由，
所以函數的最小正周期是，
于是函數的最小正周期是，
因此函數的最小正周期為，
所以，則，
因此．由于對任意的恒成立，
所以在處取得最小值，
于是，
即，因為，所以的最小值為．
故選：C
【點睛】關鍵點睛：（1）利用三角函數的圖象與性質得到；（2）根據恒成立得到在處取得最小值．
5．（2023·全國·模擬預測）設函數.若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式和三角函數值域可得，再由可得，即可求出的最小值為.
【詳解】因為，
所以.
因為，所以，
故，.
所以，
解得，
故，其最小值為.
故選：A.
6．（2023·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將已知等式平方后相加，結合同角的三角函數關系以及兩角和的正弦公式，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
兩式相加得，得，
故選：C
二、多選題
7．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，以下四種變換方式能得到函數的圖象的是（ ）
A．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
B．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
D．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
【答案】BC
【分析】先利用誘導公式將函數變為正弦型三角函數；再利用三角函數圖象間的變換規律即可得出答案.
【詳解】
由三角函數圖象間的變換規律知：
將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象；
將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象．
故選：BC．
8．（2023·廣東·統考二模）已知函數，則下列關于函數的說法，正確的是（ ）
A．為奇函數
B．的最小正周期為
C．的最大值為2
D．在處的切線方程為
【答案】AD
【分析】利用可對A項判斷；利用周期函數定義可得可對B項判斷；由的周期為，分情況討論出的最大值即可對C項判斷；求出的導數，從而可對D項判斷.
【詳解】對于A項：
所以為奇函數，故A項正確；
對于B項：
，所以的最小正周期不是，故B項錯誤；
對于C項：由B項知，取，時，，且在區間上單調遞增，，
同理可得：當時，，，
當時，，，
所以的最大值為，故C項錯誤.
對于D項：，由C項知：時，，所以，
所以，
所以可得在處的切線方程為：.故D項正確.
故選：AD.
三、填空題
9．（2023·全國·模擬預測）已知定義域為R的奇函數滿足，當時，，則當函數在區間上有4個零點時，a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】先根據題意得出函數的特點：定義域為R的奇函數，周期為8，且圖象關于直線對稱；再將函數零點問題轉化為兩函數圖象交點問題；最后數形結合求解即可.
【詳解】函數是定義域為R的奇函數
又函數滿足，即.
，且函數圖象關于直線對稱.
則，
所以函數的一個周期為8.
綜上可知：函數是定義域為R的奇函數，周期為8，且圖象關于直線對稱.
因為當時，，所以可作出函數在上的大致圖象如圖所示：
因為函數在區間上的零點個數即曲線與直線在區間上的交點個數，
所以數形結合可知，當函數在區間上有4個零點時，a的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
10．（2023·全國·模擬預測）已知函數滿足恒成立，，且在區間上有5個零點，則 .
【答案】
【分析】由可知，由此可求得的值；根據函數在區間零點的個數，結合正弦函數的圖象可知的取值范圍；由可知函數的對稱軸，得出,再結合的取值范圍即可得出的值.
【詳解】由題意，
所以，得，
因為，所以，所以；
因為在區間上有5個零點，
所以，
解得；
因為，
所以函數的圖象關于直線對稱，
所以，得，
所以.
故答案為：.
11．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上的最大值為，最小值為，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】先得到的解析式，然后利用整體思想及正弦函數的圖象得到當取得最小值時的表達式，最后取特殊值即可得解．
【詳解】由題意知，，令，則當時，，
由正弦函數的圖象知，當的圖象關于直線對稱時，取得最小值，
所以當取得最小值時，，
即．不妨取，
則，
所以．
故答案為：
四、解答題
12．（2023·全國·模擬預測）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據及得到，根據半角公式求出，結合同角三角函數關系得到；
（2）先求出，從而求出，利用湊角法求出的值，得到答案.
【詳解】（1）因為，所以.
又，所以，故.
因為，
所以，
則.
（2）由已知條件，得.
又，所以.
由，得.
所以
.
因為，，所以，所以.
13．（2023上·福建福州·高三校聯考期中）已知函數的最小值周期為.
(1)求的值與的單調遞增區間；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)，單調遞增區間為
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數的周期公式可求出的值，再利用正弦型函數的單調性可求出函數的增區間；
（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數的基本關系求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.
【詳解】（1）解：
，
因為函數的最小正周期為，且。所以，解得，
所以，令，
得，所以的單調遞增區間為.
（2）解：由（1）知，則，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以
.
14．（2023·四川瀘州·統考一模）已知函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)將函數圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；
（2）由（1）可得，即可求出，再根據計算可得.
【詳解】（1）因為
，
所以的最小正周期.
（2）將函數圖象向右平移個單位長度得到，
則，所以，
因為，所以，所以，
所以
.
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3.1三角函數圖象與性質
【備考指南】 1
【知識導圖】
【考點梳理】
考點一：三角函數的同角基本關系
考點二：三角函數誘導公式
考點三：三角函數圖象變換
考點四：三角函數圖象
考點五：三角函數單調性
考點六：三角函數周期性
考點七：三角函數對稱性
考點八：三角函數奇偶性
考點九：三角函數的取值范圍
【真題在線】
【專項突破】
考點 考情分析 考頻
三角恒等變換 2023年新高考Ⅰ卷T8 2023年新高考Ⅱ卷T7 2022年新高考Ⅱ卷T6 2021年新高考Ⅰ卷T6 2021年全國甲卷T9 3年5考
三角函數的圖象與性質 2023年新高考Ⅰ卷T15 2023年新高考Ⅱ卷T16 2023年全國乙卷T6 2022年新高考Ⅰ卷T6 2022年新高考Ⅱ卷T9 2022年全國甲卷T11 2022年全國乙卷T15 2021年新高考Ⅰ卷T4 2021年全國甲卷T16 3年9考
解三角形及應用 2023年新高考Ⅰ卷T17 2023年新高考Ⅱ卷T17 2023年全國乙卷T18 2022年新高考Ⅰ卷T18 2022年新高考Ⅱ卷T18 2022年全國甲卷T16 2022年全國乙卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T19 2021年新高考Ⅱ卷T18 3年9考
三角函數的圖象變換與解析式 2023年全國甲卷T10 2021年全國乙卷T7 2年2考
同角三角函數的基本關系 2023年全國甲卷T7
三角函數的誘導公式 2023年全國甲卷T13
預測：三角函數圖象與性質是高考考察的重點、熱點問題，最近幾年全國卷都有所考察.試題難度整體是基礎題、中檔題為主,有時考察的難度也較大.建議在二輪復習時重點做好查缺補漏，全面掌握好基礎知識，進一步拓展學生的思維，從整體上對三角函數所全新的認識.
考點一：三角函數的同角基本關系
【典例精析】（多選）（2023上·江西·高三校聯考階段練習）下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則
D．若銳角滿足，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）若，且，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、多選題
4．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．為第二象限角 B．
C． D．
三、填空題
5．（2023上·江西·高二校聯考期中）已知，則的值為 .
【解題技巧】
1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化.
(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切.
2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
考點二：三角函數誘導公式
【典例精析】（多選）（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）已知函數的導函數的圖象經過點，記，則（ ）
A．在上單調遞減 B．
C．的圖象在內有5個對稱軸 D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學校考一模）關于函數，則下列結論正確的有（ ）
A．是奇函數 B．的最小正周期為
C．的最大值為 D．在單調遞增
三、填空題
（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）若，則 .
【解題技巧】(1)誘導公式的兩個應用
①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.
②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.
(2)含2π整數倍的誘導公式的應用
由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
考點三：三角函數圖象變換
【典例精析】（多選）（2023·全國·模擬預測）已知函數，，以下四種變換方式能得到函數的圖象的是（ ）
A．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
B．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
D．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
2．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，若在上恰有3個零點，則a的取值范圍是（ ）

A． B．
C． D．
二、多選題
（2023·全國·校聯考模擬預測）已知函數(，)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是，先將的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數的圖象，若是偶函數，且最大值為4，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期是 B．的圖象關于直線對稱
C．的圖象關于點對稱 D．在上單調遞減
三、填空題
（2023上·河南·高三校聯考階段練習）已知函數（）的圖象與的圖象的兩相鄰公共點間的距離為，將的圖象向左平移（）個單位長度得到的圖象，則的最小值為 .
【解題技巧】
作函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：
(1)五點法作圖，用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；
(2)圖象的變換法，由函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
考點四：三角函數圖象
【典例精析】（多選）（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）已知函數，將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．在區間上有6個零點
C．直線是圖象的一條對稱軸
D．若對任意的恒成立，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）已知函數，記方程的最小的兩個正實數解分別為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江杭州·統考一模）已知函數（ω＞0），若f（x）在區間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）函數的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
4．（2021上·福建福州·高三福建省福州屏東中學校考開學考試）已知函數的圖像關于直線對稱，則（ ）
A．函數為奇函數
B．函數在上單調遞增
C．函數的圖像向右平移個單位長度得到的函數圖像關于對稱，則的最小值是
D．若方程在上有個不同實根，則的最大值為
三、填空題
5．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）若，，則 ．
【解題技巧】
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
(1)正弦函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
考點五：三角函數單調性
【典例精析】（多選）（2023·江西景德鎮·統考一模）已知向量，，以下結論正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．為奇函數
B．當時，的值域是
C．的圖象關于點對稱
D．在上單調遞減
2．（2023·陜西漢中·校聯考模擬預測）已知實數滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為，且對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023上·山東濰坊·高三統考期中）已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
三、填空題
5．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知單位向量，若對任意實數，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
【解題技巧】
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點六：三角函數周期性
【典例精析】（多選）（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為π，且對任意的恒成立，則θ的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·統考二模）已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．時，關于對稱
B．時，的一個周期為
C．時，在上單調遞增
D．時，的兩個零點為，則
3．（2023上·內蒙古包頭·高三校考階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則的單調遞減區間為（ ）

A．， B．，
C．， D．，
二、多選題
4．（2023上·河北·高三校聯考階段練習）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．的最小正周期為
B．
C．將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱
D．若在區間上單調遞增，則
三、填空題
5．（2023·山東煙臺·統考二模）若點與關于x軸對稱，則的一個可能取值為 ．
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點七：三角函數對稱性
【典例精析】（多選）（2023上·河北保定·高三定州市第二中學校考階段練習）已知函數的一個對稱中心為，則（ ）
A．的最小正周期為π
B．
C．直線是函數圖像的一條對稱軸
D．若函數在上單調遞減，則
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的可能值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上的最大值為M，最小值為N，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．在區間上單調遞減
B．的圖象關于直線對稱
C．是奇函數
D．
二、多選題
4．（2023·河北·統考模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象.則下列關于的說法錯誤的是（ ）
A．最小正周期為 B．圖象關于點對稱
C．在區間上單調遞增 D．圖象關于直線對稱
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）函數的圖象的對稱中心為
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點八：三角函數奇偶性
【典例精析】（多選）（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知函數（）的圖象與函數的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（ ）
A． B．
C．函數是偶函數 D．在上單調遞增
【變式訓練】
一、單選題
1．（2023上·四川成都·高三石室中學校考期中）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位后，得到偶函數的圖象，則正實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）已知函數在內單調遞減，是函數的一條對稱軸，且函數為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預測）已知函數同時滿足性質：①；②當時，，則函數可能為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023上·山東濰坊·高三統考期中）已知函數，把的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則（ ）
A．是奇函數
B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞增
D．不等式的解集為
三、填空題
5．（2023·廣西玉林·統考三模）函數，若，則 ．
【解題技巧】
正弦、余弦、正切函數的圖象與性質(下表中k∈Z)
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
考點九：三角函數的取值范圍
【典例精析】（多選）（2021·廣東汕頭·統考一模）知函數，則下述結論中正確的是（ ）
A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點
B．若在有且僅有個零點，則在上單調遞增
C．若在有且僅有個零點，則的范圍是
D．若的圖象關于對稱，且在單調，則的最大值為
【變式訓練】
一、單選題
1．（2022·陜西·統考模擬預測）已知函數在上有且只有5個零點，則實數的范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·校聯考三模）函數在內存在最小值但無最大值，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江西撫州·校考模擬預測）若函數的圖象在區間上只有一個對稱中心，則的取范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2022·廣東·校聯考模擬預測）函數的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．若為偶函數，則的最小正值是
B．若為偶函數，則的最小正值是
C．若為奇函數，則的最小正值是
D．若為奇函數，則的最小正值是
三、填空題
5．（2023·貴州黔西·校考一模）已知函數，下述四個結論：
①若，且在有且僅有5個零點，則在有且僅有3個極大值點；
②若，且在有且僅有4個零點，則在有且僅有2個極大值點；
③若，且在有且僅有5個零點，則在上單調遞增；
④若，且在有且僅有2個零點和3個極值點，則的范圍是．
其中所有正確結論的編號是 ．
【解題技巧】
求較為復雜的三角函數的單調區間時，首先化簡成形式，再求的單調區間，只需把看作一個整體代入的相應單調區間內即可，注意要先把化為正數．
一、單選題
1．（2023·全國·統考高考真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·統考高考真題）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全國·統考高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津·統考高考真題）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·統考高考真題）為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
7．（2022·全國·統考高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·統考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·北京·統考高考真題）函數是
A．奇函數，且最大值為2 B．偶函數，且最大值為2
C．奇函數，且最大值為 D．偶函數，且最大值為
10．（2021·全國·統考高考真題）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
11．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
12．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為 ．
一、單選題
1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）設函數，若函數與的圖象關于直線對稱，則當時，的最大值為（ ）
A． B． C． D．0
2．（2023·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
3．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若函數的最小正周期為，且對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·模擬預測）設函數.若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023·全國·模擬預測）已知函數，，以下四種變換方式能得到函數的圖象的是（ ）
A．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
B．將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向左平移個單位長度
C．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
D．將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的
8．（2023·廣東·統考二模）已知函數，則下列關于函數的說法，正確的是（ ）
A．為奇函數
B．的最小正周期為
C．的最大值為2
D．在處的切線方程為
三、填空題
9．（2023·全國·模擬預測）已知定義域為R的奇函數滿足，當時，，則當函數在區間上有4個零點時，a的取值范圍為 .
10．（2023·全國·模擬預測）已知函數滿足恒成立，，且在區間上有5個零點，則 .
11．（2023·全國·模擬預測）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，若在上的最大值為，最小值為，則的最小值為 ．
四、解答題
12．（2023·全國·模擬預測）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
13．（2023上·福建福州·高三校聯考期中）已知函數的最小值周期為.
(1)求的值與的單調遞增區間；
(2)若且，求的值.
14．（2023·四川瀘州·統考一模）已知函數．
(1)求函數的最小正周期；
(2)將函數圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若，，求的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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