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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
浙教版2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)七年級上冊第6章圖形的初步知識
6.9直線的相交（2）
【知識重點】
1.垂線：當兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個是直角，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.
2.垂線的性質(zhì)：(1)在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線.
(2)連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.
3.點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
【經(jīng)典例題】
【例1】在下列圖形中，線段的長表示點P到直線的距離的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】下列四個說法：①兩點確定一條直線；②過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離，其中正確的說法的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】如圖，直線AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1與∠2的關(guān)系是（　　）
A．互余 B．對頂角 C．互補 D．相等
【例4】如圖，點P為直線m外一點，點P到直線m上的三點A、B、C的距離分別為PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，則點P到直線m的距離為（　　）
A．3cm B．小于3cm C．不大于3cm D．以上結(jié)論都不對
【例5】如圖，要把水渠中的水引到C點，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說明理由．
【例6】如圖，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度數(shù).
【例7】已知，如圖直線 與 相交于點O， ，過點O作射線 ， ， .
（1）求 度數(shù)；
（2）求 的度數(shù)；
（3）直接寫出圖中所有與 互補的角.
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
1．下列生活實例中，應(yīng)用到的數(shù)學(xué)原理解釋錯誤的一項是（　　）
A．在兩個村莊之間修一條最短的公路，原理是：兩點之間線段最短
B．從一條河向一個村莊引一條最短的水渠，原理是：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．把一根木條固定到墻上需要兩個釘子，原理是：兩點確定一條直線
D．從一個貨站向一條高速公路修一條最短的路，原理是：連結(jié)直線外一點與已知直線上各點的所有線段中，垂線段最短
2．如圖，點P在直線外，，，則線段的值可能為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（　　）
A．A B．B C．C D．D
4．下列四個生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩枚釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③體育課上，老師測量某同學(xué)的跳遠成績；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（　　）
A．①②③ B．①② C．②④ D．①③④
5．如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論：①線段AP是點A到直線PC的距離；②線段BP的長是點P到直線l的距離；③PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長是點P到直線l的距離，其中，正確的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
6．如圖，0M⊥NP，ON⊥NP，所以O(shè)N與OM重合，理由是（　　）
A．兩點確定一條直線 B．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．過一點只能作一直線 D．垂線段最短
7．以下兩條直線互相垂直的是（　　）
①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角；②兩條直線相交所成的四個角相等；
③兩條直線相交，有一組鄰補角相等；④兩條直線相交，對頂角互補．
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為點O．若∠BOE=40°6'，則∠AOC的度數(shù)為　 　
9．如圖，在公園綠化時，需要把管道l中的水引到A，B兩處．工人師傅設(shè)計了一種又快又節(jié)省材料的方案如下：
畫法：如圖，
⑴連接AB；
⑵過點A畫線段直線l于點C，所以線段AB和線段AC即為所求．
請回答：工人師傅的畫圖依據(jù)是　 　．
10．已知直線 與直線 相交于點 ， ，垂足為 ．若 ，則 的度數(shù)為　 　．(單位用度表示)
11．兩條直線相交所構(gòu)成的四個角，其中：①有三個角都相等；②有一對對頂角相等；③有一個角是直角；④有一對鄰補角相等，能判定這兩條直線垂直的有　 　．
12．如圖，已知線段AB和線段外一點C，按下列要求畫出圖形．
( 1 )畫射線AC、直線BC，取AB的中點D，連結(jié)CD．
( 2 )在直線BC上找一點E，使線段DE的長最短．
13．如圖，已知直線AB與CD相交于點0，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分線
（1）若∠AOC=25°，求∠BOD和∠COE的度數(shù)．
（2）若∠AOC=a，求∠EOM的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)
【培優(yōu)訓(xùn)練】
14．如圖，點A是直線l外一點，過點A作于點B．在直線l上取一點C，連接，使，點P在線段上，連接，若，則線段的長不可能是（　　）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
15．在同一平面內(nèi)，已知線段AB的長為10厘米，點A，B到直線l的距離分別為6厘米和4厘米，則符合條件的直線l的條數(shù)為（　　）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條
16．在 中，C，D分別為邊 ， 上的點（不與頂點O重合）.對于任意銳角 ，下面三個結(jié)論：①點C和點D有無數(shù)個；②連接 ，存在 是直角；③點C到邊 的距離不超過線段 的長.所有正確結(jié)論的序號是　 　.
17．如圖，點 在直線 上，點 在直線 上，點 到直線 的距離為 ，點 到直線 的距離為 ，線段 的長度為 ，通過測量等方法可以判斷在 ， ， 三個數(shù)據(jù)中，最大的是　 　．
18．如圖，在平面內(nèi)，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2，的距離，則稱（p，q）為點M的“距離坐標”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標”是（3,2）的點共有　 　個．
19．已知直線上兩點B，C及直線外一點A(如圖)，按要求解答下列問題：
（1）畫出射線CA、線段AB；過點C畫CD⊥AB，垂足為點D．
（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說明理由．
（3）在以上的圖中，互余的角為　 　，互補的角為　 　(各寫出一對即可)
20．如圖，直線AB與CD相交于點O，OM⊥AB于點O.
（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠BOD的度數(shù)；
（2）如圖2，若，且平分，求的度數(shù).
21．平面內(nèi)有任意一點P和∠1，按要求解答下列問題：
（1）當點P在∠1外部時，如圖1，過點P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分別為A，B，量一量∠APB和∠1的度數(shù)，用數(shù)學(xué)式子表達它們之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）當點P在∠1內(nèi)部時，如圖2，以點P為頂點作∠APB，使∠APB的兩邊分別和∠1的兩邊垂直，垂足分別為A，B，量一量∠APB和∠1的度數(shù)，用數(shù)學(xué)式子表達∠APB和∠1的數(shù)量關(guān)系．
（3）由上述情形，用文字語言敘述結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角　 　
（4）若∠1=50°，∠P的兩邊和∠1的兩邊垂直，則∠P的度數(shù)為　 　
22．如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線PQ、MN的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線PQ、MN上，將△AOB繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°<α<180°） ．
（1）如圖2，若α=26°，則∠BOP=　 　，∠AOM+∠BOQ= 　 　．
（2）若射線OC是∠BOM的角平分線，且∠POC=β°
①若△AOB旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，∠BON的度數(shù)為多少？（用含β的代數(shù)式表示）
②△AOB在旋轉(zhuǎn)過程中，若∠AOC=2∠AOM，求此時β的值．
23．如圖（1）， 點 為直線 上一點，過點 作射線 ， 將一直角的直角頂點放在點 處，即 反向延長射線 ，得到射線 .
（1）當 的位置如圖（1）所示時，使 ，若 ，求 的度數(shù).
（2）當 的位置如圖（2）所示時，使一邊 在 的內(nèi)部，且恰好平分 ，
問：射線 的反向延長線 是否平分 請說明理由：注意：不能用問題 中的條件
（3）當 的位置如圖 所示時，射線 在 的內(nèi)部，若 .試探究 與 之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明，直接寫出結(jié)論.
【直擊中考】
24．如圖，設(shè)點P是直線 外一點，PQ⊥ ，垂足為點Q，點T是直線 上的一個動點，連結(jié)PT，則（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
25．如圖，在線段 、 、 、 中，長度最小的是（　　）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
26．如圖，點A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，則點P到直線l的距離是　 　cm.
27．如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中作銳角，使點C在格點上；
（2）在圖2中的線段上作點Q，使最短．
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浙教版2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)七年級上冊第6章圖形的初步知識（解析版）
6.9直線的相交（2）
【知識重點】
1.垂線：當兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個是直角，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.
2.垂線的性質(zhì)：(1)在同一平面內(nèi)，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線.
(2)連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.
3.點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
【經(jīng)典例題】
【例1】在下列圖形中，線段的長表示點P到直線的距離的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為A選項中PQ垂直于MN，選項B、C、D中PQ都不垂直于MN，所以線段PQ的長表示點P到直線MN的距離的是A選項.
故答案為：A.
【例2】下列四個說法：①兩點確定一條直線；②過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線；③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離，其中正確的說法的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①兩點確定一條直線，故①正確；
②同一平面內(nèi)，過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線，故②不正確；
③連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，故③正確
④從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故④不正確，
故答案為：B.
【例3】如圖，直線AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1與∠2的關(guān)系是（　　）
A．互余 B．對頂角 C．互補 D．相等
【答案】A
【解析】∵EO⊥AB于O，∴∠AOE=90°，∴∠1+∠2=90°，
∴∠1與∠2互余，
故選：A．
【例4】如圖，點P為直線m外一點，點P到直線m上的三點A、B、C的距離分別為PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，則點P到直線m的距離為（　　）
A．3cm B．小于3cm
C．不大于3cm D．以上結(jié)論都不對
【答案】C
【解析】由圖可知，PC長度為3cm，是最小的，
則點P到直線m的距離小于或等于3cm，即不大于3cm．
故選C．
【例5】如圖，要把水渠中的水引到C點，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說明理由．
【答案】解：如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，
在D處開溝，則溝最短．
因為直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短．
【例6】如圖，直線AB、CD相交于點O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，證明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度數(shù).
【答案】（1）證明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）解：∵∠1＝ ∠BOC，
∴∠BOM＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°
【例7】已知，如圖直線 與 相交于點O， ，過點O作射線 ， ， .
（1）求 度數(shù)；
（2）求 的度數(shù)；
（3）直接寫出圖中所有與 互補的角.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ =60°；
（2）解：∵ =60°，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
∴與 互補的角為： 、 、 .
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
1．下列生活實例中，應(yīng)用到的數(shù)學(xué)原理解釋錯誤的一項是（　　）
A．在兩個村莊之間修一條最短的公路，原理是：兩點之間線段最短
B．從一條河向一個村莊引一條最短的水渠，原理是：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．把一根木條固定到墻上需要兩個釘子，原理是：兩點確定一條直線
D．從一個貨站向一條高速公路修一條最短的路，原理是：連結(jié)直線外一點與已知直線上各點的所有線段中，垂線段最短
【答案】B
【解析】A、在兩個村莊之間修一條最短的公路，原理是：兩點之間線段最短，故A不符合題意；
B、從一條河向一個村莊引一條最短的水渠，原理是：連結(jié)直線外一點與已知直線上各點的所有線段中，垂線段最短，故B符合題意；
C、把一根木條固定到墻上需要兩個釘子，原理是：兩點確定一條直線，故C不符合題意；
D、從一個貨站向一條高速公路修一條最短的路，原理是：連結(jié)直線外一點與已知直線上各點的所有線段中，垂線段最短，故D不符合題意.
故答案為：B.
2．如圖，點P在直線外，，，則線段的值可能為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴于點B，
∴，
∴可能，
故答案為：D．
3．下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【解析】A、CD與AB不垂直，故A不符合題意；
B、CD沒有經(jīng)過點P，故B不符合題意；
C、CD經(jīng)過點P，且CD⊥AB， 故C符合題意；
D、CD與AB不垂直，故D不符合題意.
故答案為：C.
4．下列四個生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①用兩枚釘子就可以把木條固定在墻上；②植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③體育課上，老師測量某同學(xué)的跳遠成績；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象有（　　）
A．①②③ B．①② C．②④ D．①③④
【答案】B
【解析】①②現(xiàn)象可以用兩點可以確定一條直線來解釋；
③現(xiàn)象可以用垂線段最短來解釋；
④現(xiàn)象可以用兩點之間，線段最短來解釋．
故答案為：B．
5．如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論：①線段AP是點A到直線PC的距離；②線段BP的長是點P到直線l的距離；③PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長是點P到直線l的距離，其中，正確的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】①線段AP是點A到直線PC的距離，錯誤；
②線段BP的長是點P到直線l的距離，正確；
③PA，PB，PC三條線段中，PB最短，正確；
④線段PC的長是點P到直線l的距離，錯誤．
故選A．
6．如圖，0M⊥NP，ON⊥NP，所以O(shè)N與OM重合，理由是（　　）
A．兩點確定一條直線 B．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．過一點只能作一直線 D．垂線段最短
【答案】B
【解析】如果OM⊥NP，ON⊥NP，所以直線ON與OM重合，
其理由是：經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
故選：B．
7．以下兩條直線互相垂直的是（　　）
①兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角；
②兩條直線相交所成的四個角相等；
③兩條直線相交，有一組鄰補角相等；
④兩條直線相交，對頂角互補．
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，是定義，能判斷；
②兩條直線相交所成的四個角相等，則四個角都是直角，能判斷；
③兩條直線相交所成的四個角中有一組相鄰的角相等，根據(jù)鄰補角的定義能求出這兩個角都是直角，能判斷；
④兩條直線相交所成的四個角中有一組對頂角的和為180°，根據(jù)對頂角相等求出這兩個角都是直角，能判斷．
所以，四個都能判斷兩條直線互相垂直．
故選D．
8．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD，垂足為點O．若∠BOE=40°6'，則∠AOC的度數(shù)為　 　
【答案】49°54'
【解析】 解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC= 90°．
∵∠BOE=40°6'，
∴∠AOC= 180°- 90°-40°6' =49°54'．
故答案為：49°54'．
9．如圖，在公園綠化時，需要把管道l中的水引到A，B兩處．工人師傅設(shè)計了一種又快又節(jié)省材料的方案如下：
畫法：如圖，
⑴連接AB；
⑵過點A畫線段直線l于點C，所以線段AB和線段AC即為所求．
請回答：工人師傅的畫圖依據(jù)是　 　．
【答案】兩點之間，線段最短；垂線段最短
【解析】由于兩點之間距離最短，故連接AB，
由于垂線段最短可知，過點A作AC⊥直線l于點C，此時AC最短，
故答案為：兩點之間，線段最短；垂線段最短．
10．已知直線 與直線 相交于點 ， ，垂足為 ．若 ，則 的度數(shù)為　 　．(單位用度表示)
【答案】64.8°
【解析】由題意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案為：64.8°．
11．兩條直線相交所構(gòu)成的四個角，其中：①有三個角都相等；②有一對對頂角相等；③有一個角是直角；④有一對鄰補角相等，能判定這兩條直線垂直的有　 　．
【答案】①③④
【解析】①如圖，
若∠AOC=∠COB=∠BOD，
∵∠AOD=∠COB，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，
∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此選項能判定這兩條直線垂直；
②∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠COB，但不能說明有角為90°，
所以此選項不能判定這兩條直線垂直；
③若∠AOC=90°，∴AB⊥CD，
所以此選項能判定這兩條直線垂直；
④若∠AOC=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
所以此選項能判定這兩條直線垂直；
故能判定這兩條直線垂直的有：①③④；
故答案為：①③④．
12．如圖，已知線段AB和線段外一點C，按下列要求畫出圖形．
( 1 )畫射線AC、直線BC，取AB的中點D，連結(jié)CD．
( 2 )在直線BC上找一點E，使線段DE的長最短．
【答案】解：(1) 如圖，射線AC、直線BC、線段CD為所作．
(2)如圖，線段DE為所作．
13．如圖，已知直線AB與CD相交于點0，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分線
（1）若∠AOC=25°，求∠BOD和∠COE的度數(shù)．
（2）若∠AOC=a，求∠EOM的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)
【答案】（1）解： ∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠AOC=25°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=90°-25°=65°，∠BOD=∠AOC=25°，
（2）解： ∵∠AOC=α，
∴∠BOD=∠AOC=α，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB=90°-α，
又∵OM平分∠BOF，
∴∠BOM=∠BOF=（90°-α）=45°-α，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOM=∠BOE-∠BOM，
=90°-（45°-α），
=45°+α.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
14．如圖，點A是直線l外一點，過點A作于點B．在直線l上取一點C，連接，使，點P在線段上，連接，若，則線段的長不可能是（　　）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
【答案】D
【解析】∵過點A作于點B．在直線l上取一點C，連接，使，點P在線段上，連接，
又∵，∴，∴，
∴不可能是5.5，故D符合題意．
故答案為：D．
15．在同一平面內(nèi)，已知線段AB的長為10厘米，點A，B到直線l的距離分別為6厘米和4厘米，則符合條件的直線l的條數(shù)為（　　）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條
【答案】B
【解析】①如圖1
，
在線段AB的兩旁可分別畫一條滿足條件的直線；
②作線段AB的垂線，將線段AB分成6cm，4cm兩部分．
故選：B．
16．在 中，C，D分別為邊 ， 上的點（不與頂點O重合）.對于任意銳角 ，下面三個結(jié)論：①點C和點D有無數(shù)個；②連接 ，存在 是直角；③點C到邊 的距離不超過線段 的長.所有正確結(jié)論的序號是　 　.
【答案】①②③
【解析】①如圖所示：C、D分別為 的邊OA、OB上的點，
∵OA、OB為射線，
∴這樣的點有無數(shù)個，
故結(jié)論①正確；
如圖所示：連接CD，∠ODC的大小不確定，但過點C有且只有一條直線與OB垂直，
∴當CD⊥OB時，∠ODC一定是直角，
故結(jié)論②正確；
如圖所示：CD可看作是點C到射線OB上任意一點的連線，
∵直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短，
∴點C到邊OB的距離一定小于等于CD的長，
故結(jié)論③正確.
故答案為：①、②、③.
17．如圖，點 在直線 上，點 在直線 上，點 到直線 的距離為 ，點 到直線 的距離為 ，線段 的長度為 ，通過測量等方法可以判斷在 ， ， 三個數(shù)據(jù)中，最大的是　 　．
【答案】
【解析】過點A作AD垂直于 垂足為D，過點B作BH垂直于 垂足為H，連接AB，
由題意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根據(jù)點到直線垂線段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
18．如圖，在平面內(nèi)，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1，l2，的距離，則稱（p，q）為點M的“距離坐標”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標”是（3,2）的點共有　 　個．
【答案】4
【解析】因為兩條直線相交有四個角，因此每一個角內(nèi)就有一個到直線l1，l2的距離分別是3，2的點，即距離坐標是（3，2）的點，因而共有4個，
故答案為4．
19．已知直線上兩點B，C及直線外一點A(如圖)，按要求解答下列問題：
（1）畫出射線CA、線段AB；過點C畫CD⊥AB，垂足為點D．
（2）比較線段CD和線段CA的大小，并說明理由．
（3）在以上的圖中，互余的角為　 　，互補的角為　 　(各寫出一對即可)
【答案】（1）解：如圖，射線CA、線段AB及線段CD就是所求的圖形；
（2）解：CA>CD，理由如下：
∵CD⊥AD，
∴CA>CD；
（3）∠DAC，∠DCA（或∠DBC，∠DCB）；∠ADC，∠BDC．
【解析】（3）∵∠DAC+∠DCA= 90°，
∴∠DAC與∠DCA互余． (答案不唯一，也可以寫∠DBC和∠DCB)
∵∠ADC+∠BDC=90°+ 90°= 180°，
∴∠ADC與∠BDC互補．
故答案為：∠DAC，∠DCA（或∠DBC，∠DCB）；∠ADC，∠BDC．
20．如圖，直線AB與CD相交于點O，OM⊥AB于點O.
（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠BOD的度數(shù)；
（2）如圖2，若，且平分，求的度數(shù).
【答案】（1）解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∵OC平分∠AOM，
∴∠AOC＝45°，
∴∠BOD=∠AOC＝45°。
（2）解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∵OM平分∠NOC，
∴∠COM＝∠NOM，
∴∠AOC＝∠BON＝∠BOD，
∵∠BOC＋∠AOC＝180°，∠BOC＝4∠NOB，
∴∠NOB＝36°，
∴∠MON＝90° ∠NOB＝90° 36°＝54°
21．平面內(nèi)有任意一點P和∠1，按要求解答下列問題：
（1）當點P在∠1外部時，如圖1，過點P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分別為A，B，量一量∠APB和∠1的度數(shù)，用數(shù)學(xué)式子表達它們之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）當點P在∠1內(nèi)部時，如圖2，以點P為頂點作∠APB，使∠APB的兩邊分別和∠1的兩邊垂直，垂足分別為A，B，量一量∠APB和∠1的度數(shù)，用數(shù)學(xué)式子表達∠APB和∠1的數(shù)量關(guān)系．
（3）由上述情形，用文字語言敘述結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角　 　
（4）若∠1=50°，∠P的兩邊和∠1的兩邊垂直，則∠P的度數(shù)為　 　
【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互補
（4）50°或130°
【解析】（1）如圖，∠APB=∠1，
故答案為：∠APB=∠1；
（2）如圖，∠APB+∠1=180°，
故答案為：∠APB+∠1=180°；
（3） 結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論得：
如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直，那么這兩個角相等或互補，
故答案為：相等或互補；
（4）結(jié)合（3）的結(jié)論得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案為：50°或130°.
22．如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線PQ、MN的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線PQ、MN上，將△AOB繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°<α<180°） ．
（1）如圖2，若α=26°，則∠BOP=　 　，∠AOM+∠BOQ= 　 　．
（2）若射線OC是∠BOM的角平分線，且∠POC=β°
①若△AOB旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，∠BON的度數(shù)為多少？（用含β的代數(shù)式表示）
②△AOB在旋轉(zhuǎn)過程中，若∠AOC=2∠AOM，求此時β的值．
【答案】（1）64°；180°
（2）①∵∠MOP=90°，∠POC=β°，
∴∠MOC=90°-β°，
∵OC是∠BOM的角平分線，
∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°，
∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°；
②如圖，當OB旋轉(zhuǎn)到OP的左側(cè)時，
∵OC是∠BOM的角平分線，
∴∠COB=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°，
②如圖，當OB旋轉(zhuǎn)到OP的右側(cè)時，
設(shè)∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是∠BOM的角平分線，
∴∠COB=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，
綜上，β的值為60°或36°.
【解析】（1）∵∠MOP=90°，α=26°，
∴∠BOP=90°-26°=64°，
∵∠AOB=∠MOQ=90°，
∴∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，
∴∠AOM+∠BOQ=90°-∠BOM+90°+∠BOM=180°，
故答案為：64°；180°；
23．如圖（1）， 點 為直線 上一點，過點 作射線 ， 將一直角的直角頂點放在點 處，即 反向延長射線 ，得到射線 .
（1）當 的位置如圖（1）所示時，使 ，若 ，求 的度數(shù).
（2）當 的位置如圖（2）所示時，使一邊 在 的內(nèi)部，且恰好平分 ，
問：射線 的反向延長線 是否平分 請說明理由：注意：不能用問題 中的條件
（3）當 的位置如圖 所示時，射線 在 的內(nèi)部，若 .試探究 與 之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明，直接寫出結(jié)論.
【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（對頂角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【直擊中考】
24．如圖，設(shè)點P是直線 外一點，PQ⊥ ，垂足為點Q，點T是直線 上的一個動點，連結(jié)PT，則（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【答案】C
【解析】根據(jù)點 是直線 外一點， ，垂足為點 ，
是垂線段，即連接直線外的點 與直線上各點的所有線段中距離最短，
當點 與點 重合時有 ，
綜上所述： ，
故答案為：C.
25．如圖，在線段 、 、 、 中，長度最小的是（　　）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】B
【解析】由直線外一點到直線上所有點的連線中，垂線段最短，可知答案為B.
故答案為：B.
26．如圖，點A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，則點P到直線l的距離是　 　cm.
【答案】5
【解析】∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距離是垂線段PB的長度5cm，
故答案為：5．
27．如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．
（1）在圖1中作銳角，使點C在格點上；
（2）在圖2中的線段上作點Q，使最短．
【答案】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；
（2）解：如圖，即為所求作的點；
【解析】（1）先找出點K，它滿足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如圖所示的點C，滿足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是銳角三角形；
（2）根據(jù)垂線段最短，需要滿足PQ⊥AB，如圖，根據(jù)正方形的對角線互相垂直，找到點Q的位置即可。
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