資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學七年級上冊第6章圖形的初步知識（解析版）
6.9直線的相交（1）
【知識重點】
1. 兩條直線相交:如果兩條直線只有一個公共點，就說這兩條直線相交.該公共點叫做這兩條直線的交點.
2. 對頂角:頂點相同且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角叫對頂角.
3.對頂角的性質：對頂角相等.
【經典例題】
【例1】如圖，∠1和∠2是對頂角的圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據對頂角的定義，一個角的兩條邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，這兩個角是對頂角，
觀察圖形，只有圖D中的∠1和∠2是對頂角，
故答案為：D.
【例2】如圖，直線 、 交于點 ，則下列結論中一定成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直線 AC 、DE 交于點 B ，∴ ， ， ，
故A、C錯誤，不符合題意；B正確，符合題意；
無法確定∠ABD與∠DBC的數量關系，故D錯誤，不符合題意.
故答案為：B.
【例3】如果同一平面內有三條直線，那么它們交點個數是（　　）個.
A．3個 B．1或3個 C．1或2或3個 D．0或1或2或3個
【答案】D
【解析】
② ③ ④
①如圖，三條直線全都平行，此時交點個數為0個
②如圖，三條直線中，有兩條直線平行，第三條直線交這兩條直線，此時交點個數為2個
③如圖，三條直線兩兩相交，當組成一個三角形時，此時交點個數為3個
④如圖，三條直線兩兩相交，交點個數為1個
故答案為：D.
【例4】如圖，直線EF分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點，圖中有　 　對對頂角，分別是　 　
【答案】4；∠OCE與∠ACD，∠ACE與∠OCD，∠CDO與∠BDF，∠CDB與∠ODF
【解析】∵EF和AO相交于點C，
∴對頂角為∠ACE與∠OCD，∠OCE與∠ACD.
∵EF與OB相交于點D，
∴對頂角為：∠CDO與∠BDF，∠CDB與∠ODF.
∴對頂角有4對.
故答案案為：4；∠OCE與∠ACD，∠ACE與∠OCD，∠CDO與∠BDF，∠CDB與∠ODF.
【例5】如圖，直線AB，CD和EF相交于點O．
（1）寫出∠AOC，∠BOF的對頂角．
（2）如果∠AOC=70°，∠BOF=20，求∠BOC和∠DOE的度數．
【答案】（1）∠ AOC的對頂角為∠BOD，∠BOF的對頂角為∠AOE．
（2）∵∠AOC=70°，∠AOC+∠BOC= 180° ，
∴∠BOC= 110°．
∵∠BOF= 20°，
∴∠COF=∠BOC-∠BOF= 90°，
∴∠DOE=∠COF= 90°．
【解析】（1）∵CD與AB相交于點O，
∴∠ AOC的對頂角為∠BOD，
∵AB與EF相交于點O，
∴∠BOF的對頂角為∠AOE．
【例6】 如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的對頂角是　 　，∠BOC的鄰補角是　 　
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度數．
【答案】（1）∠ BOC；∠ AOC，∠BOD
（2）解：∵∠DOF ：∠FOB=1 ： 7，∠AOD= 20° ，
∴∠DOF= ∠BOD= ×(180°- 20°)= 20°．
∴∠BOF=140°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE= ∠BOF= ×140°=70°，
∴∠EOC=∠BOE+∠BOC=70°+20°=90°．
【解析】（1）∵AB和CD相交于點O，
∴∠AOD的對頂角是∠ BOC，
∴∠BOC的鄰補角是∠ AOC，∠BOD.
【基礎訓練】
1．下列選項中，∠1和∠2是對頂角的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、和是互余，不符合題意；B、和不是對頂角，不符合題意；
C、和不是對頂角，不符合題意；D、和是對頂角，符合題意.
故答案為：D.
2．下列各圖形中，有對頂角的是（　?。?br/>A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】∵B中有兩條直線相交，
∴B中有對頂角.
故答案為：B.
3．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，則∠1=（　?。?br/>A．27° B．36° C．81° D．72°
【答案】A
【解析】∵∠BOD=108° ，∴∠AOC=108°，
∵∠2=3∠1，∠2+∠1=108°，∴3∠1+∠1=108°，∴∠1=27°.
故答案為：A.
4．如圖，三條直線l1，l2，l3相交于一點，則∠1＋∠2＋∠3＝（　?。?br/>A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【解析】如圖，
∵∠2與∠4是對頂角，
∴∠2=∠4，
∵∠1＋∠4＋∠3＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
故答案為：C.
5．為了測量一座古塔外墻底部的底角∠AOB的度數，李瀟同學設計了如下測量方案：分別作AO，BO的延長線OD，OC，量出∠COD的度數，從而得到∠AOB的度數．這個測量方案的依據是　 　
【答案】對頂角相等
【解析】∵作AO，BO的延長線OD，OC，量出∠COD的度數 ，
∴∠COD和∠AOB屬于對頂角，
∵對頂角相等，
∴測量方案為：對頂角相等.
6．若∠1的對頂角是∠2，∠2的鄰補角是∠3，且∠3是54°，則∠1＝　 　．
【答案】126°
【解析】∵∠3是54° ， ∠2的鄰補角是∠3 ，
∴∠2=180°-54°=126°，
∵∠1的對頂角是∠2，
∴∠1=126°.
故答案為：126°.
7．如圖，直線AB，CD交于點O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，則∠COE等于　 　度．
【答案】56
【解析】∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案為：56
8．如圖，直線與相交于點，且，的度數為　 ?。?br/>【答案】150°
【解析】，，
，
．
故答案為：150°.
9．如圖，已知直線 和 相交于點O， 平分 ， ，試求 的度數．
【答案】解：因為 ，
所以 ，
因為 和 是鄰補角，
所以 ，
即 ，
解得
因為 和 是對頂角，
所以 ，
因為 平分 ，
所以 ．
10．如圖，已知直線 ， 相交于點 ， 與 互余．
（1）若 ，求 的度數；
（2）若 ，求 的度數．
【答案】（1）解：因為 與 是對頂角，
所以 ，
因為 與 互余，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因為 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，
，
又 ，
，
所以 ．
【培優訓練】
11．如圖，直線AB、CD相交于點O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，則下列結論中，錯誤的是（　　）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于75°30′
【答案】D
【解析】根據 ，得∠AOE＝∠BOE＝90°，根據OF平分∠AOE可得：∠2=45°，故A正確，不符合題意；
根據對頂角的性質可得∠1=∠3，故B正確，不符合題意；
根據補角的性質可得：∠AOD+∠3=∠AOD+∠1=180°；故C正確，不符合題意；
∠1的余角為：90°－15°30′=74°30′.故D錯誤，符合題意；
故答案為：D.
12．如圖，直線 與 相交于點 與 互余， ，則 的度數是（　?。?br/>A．55° B．45° C．35° D．65°
【答案】A
【解析】∵ ，
，
∴ ，
∵ 與
互余，
∴ ，
∴ .
故答案為：A.
13．平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數最少是m個，最多是n個，則m+n的值為（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【解析】平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數最少是1個，即m＝1，
平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數最多是1+2+3+4+5+6＝21（個），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案為：C．
14．若兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(7x- 80)°和(100-2x)°，則x=　 　
【答案】20或32
【解析】根據題意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
15．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，∠α與∠β一定相等的圖形有　 　(填序號)
【答案】①③
【解析】①∵∠α與∠β是對頂角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α與∠β是同一個角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α與∠β一定相等的圖形有①③.
故答案為：①③.
16．在同一平面中，兩條直線相交有一個交點，三條直線兩兩相交最多有3個交點，四條直線兩兩相交最多有6個交點……由此猜想，當相交直線的條數為n時，最多可有的交點數m與直線條數n之間的關系式為：m=　 　.（用含n的代數式填空）
【答案】
【解析】∵3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點．
而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
∴可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=
個交點．即
故答案為： ．
17．如圖
（ 1 ）兩條直線相交于一點有2組不同的對頂角；
（ 2 ）三條直線相交于一點有6組不同的對頂角；
（ 3 ）四條直線相交于一點有12組不同的對頂角；
（ 4 ）n條直線相交于同一點有　 　組不同對頂角．（如圖所示）
【答案】n（n-1）
【解析】觀察圖形可知，n條直線相交于同一點有（1+2+…+n-1）×2= ×2=n（n-1）組不同對頂角．故答案為：n（n-1）．
18．如圖，直線MD，CN相交于點O，OA是∠MOC內的一條射線，OB是∠NOD內的一條射線，∠MON=70°．
（1）若∠BOD=∠COD，求∠BON的度數．
（2）若∠AOD=2∠BOD，∠BOC=3∠AOC，求∠BON的度數．
【答案】（1）解：∵∠MON=70°，
∴∠COD=∠MON=70°，
∴∠BOD= ∠COD= ×70°=35°，
∴∠BON= 180°-∠_MON-∠BOD= 180°-70°- 35°= 75°．
（2）設∠AOC=x° ，則∠BOC=3x°，
∵∠COD=∠MON=70°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD= 3x°- 70°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=x°+70°．
∵∠AOD=2∠BOD，
∴x+70= = 2(3x一70)，
解得x=42，
∴∠BOD=3x°- 70°=3×42°- 70°=56°，
∴∠BON= 180°-∠MON-∠BOD= 180°-70°-56°= 54°．
19．如圖1，已知射線OB在∠AOC內，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”.
（1）如圖2，已知點O是直線AD上一點，射線OB、OC在直線AD同側，且射線OC平分∠BOD.試說明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”；
（2）如圖3，已知直線AB、CD相交于點O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數；
（3）如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數是否為定值，若為定值，求出定值的度數；若不為定值，請說明理由.
【答案】（1）證明：OC平分∠BOD
射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”
（2）解：射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，
（3）解：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，
射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，
∴
∴
∴
∴
20．在下列各圖中，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°
（1）如圖1，三角板一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，則∠BOC的度數　 　°，∠CON的度數為　 　°；
（2）如圖2，三角板一邊OM恰好在∠BOC的角平分線OE上，另一邊ON在直線AB的下方，此時∠BON的度數為　 ??；
（3）在圖2中，延長線段NO得到射線OD，如圖3，則AOD的度數為　 　°；∠DOC與∠BON的數量關系是∠DOC 　 　∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】（1）120；150
（2）30°
（3）30；＝
【解析】（1）解：∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°，
故答案為120；150；
（2）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠MOB=，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°，
故答案為30°；
（3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°，
∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠DOC=∠BON．
故答案為＝．
【直擊中考】
21．如圖，直線 相交于點 ；若 ，則 的度數是（　?。?br/>A．30° B．40° C．60° D．150°
【答案】A
【解析】∵直線AB，CD交于點O，
∴∠1=∠2=30°.
故答案為：A.
22．一副三角板如圖所示擺放，則 與 的數量關系為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ∵ ；
∴ ；
∵ ， ；
∴
故答案為：B
23．如圖，兩直線交于點O，若∠1+∠2=76°，則∠1=　 　度．
【答案】38
【解析】∵兩直線交于點O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案為：38．
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6.9直線的相交（1）
【知識重點】
1. 兩條直線相交:如果兩條直線只有一個公共點，就說這兩條直線相交.該公共點叫做這兩條直線的交點.
2. 對頂角:頂點相同且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角叫對頂角.
3.對頂角的性質：對頂角相等.
【經典例題】
【例1】如圖，∠1和∠2是對頂角的圖形是（　　）
A． B． C． D．
【例2】如圖，直線 、 交于點 ，則下列結論中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【例3】如果同一平面內有三條直線，那么它們交點個數是（　?。﹤€.
A．3個 B．1或3個 C．1或2或3個 D．0或1或2或3個
【例4】如圖，直線EF分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點，圖中有　 　對對頂角，分別是　 　
【例5】如圖，直線AB，CD和EF相交于點O．
（1）寫出∠AOC，∠BOF的對頂角．
（2）如果∠AOC=70°，∠BOF=20，求∠BOC和∠DOE的度數．
【例6】如圖，直線AB與CD相交于點O，射線OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的對頂角是　 　，∠BOC的鄰補角是　 　
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度數．
【基礎訓練】
1．下列選項中，∠1和∠2是對頂角的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各圖形中，有對頂角的是（　?。?br/>A．A B．B C．C D．D
3．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，則∠1=（　?。?br/>A．27° B．36° C．81° D．72°
4．如圖，三條直線l1，l2，l3相交于一點，則∠1＋∠2＋∠3＝（　?。?br/>A．90° B．120° C．180° D．360°
5．為了測量一座古塔外墻底部的底角∠AOB的度數，李瀟同學設計了如下測量方案：分別作AO，BO的延長線OD，OC，量出∠COD的度數，從而得到∠AOB的度數．這個測量方案的依據是　 　
6．若∠1的對頂角是∠2，∠2的鄰補角是∠3，且∠3是54°，則∠1＝　 　．
7．如圖，直線AB，CD交于點O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，則∠COE等于　 　度．
8．如圖，直線與相交于點，且，的度數為　 　．
9．如圖，已知直線 和 相交于點O， 平分 ， ，試求 的度數．
10．如圖，已知直線 ， 相交于點 ， 與 互余．
（1）若 ，求 的度數；
（2）若 ，求 的度數．
【培優訓練】
11．如圖，直線AB、CD相交于點O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，則下列結論中，錯誤的是（　　）
A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于75°30′
12．如圖，直線 與 相交于點 與 互余， ，則 的度數是（　?。?br/>A．55° B．45° C．35° D．65°
13．平面內兩兩相交的7條直線，其交點個數最少是m個，最多是n個，則m+n的值為（　?。?br/>A．18 B．20 C．22 D．24
14．若兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(7x- 80)°和(100-2x)°，則x=　 　
15．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，∠α與∠β一定相等的圖形有　 　(填序號)
16．在同一平面中，兩條直線相交有一個交點，三條直線兩兩相交最多有3個交點，四條直線兩兩相交最多有6個交點……由此猜想，當相交直線的條數為n時，最多可有的交點數m與直線條數n之間的關系式為：m=　 　.（用含n的代數式填空）
17．如圖
（ 1 ）兩條直線相交于一點有2組不同的對頂角；
（ 2 ）三條直線相交于一點有6組不同的對頂角；
（ 3 ）四條直線相交于一點有12組不同的對頂角；
（ 4 ）n條直線相交于同一點有　 　組不同對頂角．（如圖所示）
18．如圖，直線MD，CN相交于點O，OA是∠MOC內的一條射線，OB是∠NOD內的一條射線，∠MON=70°．
（1）若∠BOD=∠COD，求∠BON的度數．
（2）若∠AOD=2∠BOD，∠BOC=3∠AOC，求∠BON的度數．
19．如圖1，已知射線OB在∠AOC內，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”.
（1）如圖2，已知點O是直線AD上一點，射線OB、OC在直線AD同側，且射線OC平分∠BOD.試說明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”；
（2）如圖3，已知直線AB、CD相交于點O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數；
（3）如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數是否為定值，若為定值，求出定值的度數；若不為定值，請說明理由.
20．在下列各圖中，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°
（1）如圖1，三角板一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，則∠BOC的度數　 　°，∠CON的度數為　 　°；
（2）如圖2，三角板一邊OM恰好在∠BOC的角平分線OE上，另一邊ON在直線AB的下方，此時∠BON的度數為　 　；
（3）在圖2中，延長線段NO得到射線OD，如圖3，則AOD的度數為　 　°；∠DOC與∠BON的數量關系是∠DOC 　 　∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【直擊中考】
21．如圖，直線 相交于點 ；若 ，則 的度數是（　?。?br/>A．30° B．40° C．60° D．150°
22．一副三角板如圖所示擺放，則 與 的數量關系為（　?。?br/>A． B．
C． D．
23．如圖，兩直線交于點O，若∠1+∠2=76°，則∠1=　 　度．
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