資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學八年級上冊第5章一次函數（解析版）
5.4一次函數的圖像（1）
【知識重點】
一、函數的圖像：
把一個函數的自變量x的值與函數y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做這個函數的圖象．
二、描點法畫函數圖形的一般步驟：
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）.
三、一次函數y=kx＋b(k、b為常數， k≠0)的圖象的畫法：
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.
一般情況下：
(1)畫正比例函數y=kx（k≠0）的圖象時，只要描出點(0,0)，(1,k)即可；
(2)畫一次函數y=kx＋b(k、b為常數， k≠0)的圖象時只要描出點(0，b），.即描出直線與坐標軸的交點坐標即可.
四、一次函數y=kx＋b中，k、b的取值決定直線的位置：
b>0 b<0 b=0
k>0 經過第一、二、三象限 經過第一、三、四象限 經過第一、三象限
k<0 經過第一、二、四象限 經過第二、三、四象限 經過第二、四象限
【經典例題】
【例1】下列各點在一次函數的圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把代入得，不在圖象上，A選項不符合題意；
把代入得，不在圖象上，B選項不符合題意；
把代入得，不在圖象上，C選項不符合題意；
把代入得，在圖象上，D選項符合題意；
故答案為：D．
【例2】一次函數y=x+2的圖象與y軸的交點坐標為（　　）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【答案】A
【解析】當x=0時，y=2。故一次函數圖象與y軸的交點坐標為：（0，2）。
故答案為：A。
【例3】已知點在函數的圖象上，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
把（m，5）代入y=-2x+1得，5=-2m+1，∴m=-2
故答案為：C.
【例4】在平面直角坐標系中，已知函數 的圖象過點 ，則該函數的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函數 的圖象過點 ，
∴ ，∴k=1，
∴該函數的解析式是y=x－1，
∴該直線與y軸交于點（0，﹣1），且過點（2，1）.
故答案為：D.
【例5】若直線 與 的交點在x軸上，那么 等于 ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【解析】令 ，則 ，
解得 ，
，解得 ，
兩直線交點在x軸上， ，
．
故答案為：D．
【例6】若一次函數y=2x+b與坐標軸圍成的三角形面積為9，則這個一次函數的解析式為　 　．
【答案】y=2x+6或y=2x-6
【解析】令x=0，則y=b
∴一次函數y=2x+b與y軸的交點是（0，b）
令y=0，則x=
∴一次函數y=2x+b與x軸的交點是（，0）
∵ 一次函數y=2x+b與坐標軸圍成的三角形面積為9
∴ S==9
解得b=
則這個一次函數的解析式為y=2x+6或y=2x-6
故答案為： y=2x+6或y=2x-6 .
【例7】在下面的平面直角坐標系中畫出一次函數的圖象，并判斷點是否在該函數的圖象上．
【答案】解：當時，；
當時，，
∴該圖象經過點和點．
一次函數在平面直角坐標系中的圖象如圖．
當時，．
∴點不在該函數圖象上．
【例8】（1）在同一平面直角坐標系內用列表、描兩點畫直線，畫出一次函數 和 的圖象．
（2）利用圖象求：
方程 的解；
（3）方程組 的解；
（4）不等式 的解集．
【答案】（1）解：列表：
　 0 1
-1 2
0 2
描點作圖如圖所示：
從圖形觀察可知兩直線交與點(1，2)，
（2）解：由圖象可知，直線 與 交點的橫坐標為1，
則方程 的解為 ；
（3）解：由圖象可知，直線 與 交點的坐標為(1，2)，
則方程組 即 的解為 ；
（4）解：由圖象知，當 時，函數 的圖象在函數 的圖象上方，
則不等式 的解集為 ．
【例9】如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，2），點B（﹣4，0），直線AB交y軸于點C．
（1）求直線AB的表達式和點C的坐標；
（2）在直線OA上有一點P，使得△BCP的面積為4，求點P的坐標．
【答案】（1）解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，
把A（2，2），B（﹣4，0）分別代入得，解得，
∴直線AB的解析式為y＝x+；
當x＝0時，y＝x+＝
∴C點坐標為（0，）；
（2）解：易得直線OA的解析式為y＝x，
作PQ∥y軸交直線AB于Q，如圖，
設P（t，t），則Q（t，t+），
∵△BCP的面積為4，
∴×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，
∴t＝﹣1或t＝5，
∴P點坐標為（﹣1，﹣1）或（5，5）．
【基礎訓練】
1．下列各點一定在函數的圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、當時，，不符合題意；
B、當時，，符合題意；
C、當時，，不符合題意；
D、當時，，不符合題意；
故答案為B.
2．一次函數與x軸的交點坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將代入得，解得
即一次函數與軸的交點坐標為，
故答案為：D.
3．若一次函數 的圖像與 軸分別交于 兩點，則 的面積為（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】A
【解析】根據題意，
∵ ，
令 ，則 ；令 ，則 ，
∴點A為（ ，0），點B為（0， ），
∴OA=2，OB=4，
∴ 的面積為： ；
故答案為：A．
4．已知等腰三角形周長為40，則腰長y關于底邊長x的函數圖象是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 等腰三角形的周長為40，其中腰長為y，底邊長為x，
∵ x+2y=40，
∴ y= ，
∵ 20<2y<40，
∴ 自變量x的取值范圍是0故答案為：D．
5．若一次函數經過點，則　 　 ．
【答案】-5
6．已知一次函數y＝﹣3x＋6，完成下列問題．
（1）在如下的平面直角坐標系中畫出函數圖象并求出與x軸的交點坐標．
（2）根據圖像回答：當x　 　時，y＞3
【答案】（1）解：當 時， ；當 時， ；
∴點A（0，6），點B（2，0），連接后函數圖象如圖所示；
函數圖象與x軸的交點坐標為點B（2，0）；
（2）＜1
【解析】（2）根據圖象可得：當 時， ，結合圖象可得：
當 時， ，
故答案為：＜1.
7．在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與y軸交于點B．求點的坐標．
【答案】解：將代入得，，則
將代入得，，則
8．已知，一次函數 的圖象與 軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）畫出該函數圖象；
（3）求AB的長．
【答案】（1）解：令y＝ =0，則x＝6；令x＝0，則y＝3；
∴點A坐標為（6，0）；點B坐標為（0，3）
（2）函數y＝ 的圖象如下：
（3）∵點A坐標為（6，0）；點B坐標為（0，3）
∴AO=6，OB=3
∴AB= ．
【培優訓練】
9．如圖，在平面直角坐標系中，點 在第一象限，若點 關于 軸的對稱點 在直線 上，則 的值為（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵點A（3，m），
∴點A關于x軸的對稱點B（3， m），
∵B在直線y＝ x＋1上，
∴ m＝ 3＋1＝ 2，
∴m＝2，
故答案為：C．
10．一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，O為坐標原點，則在△OAB內部(包括邊界)，縱坐標、橫坐標都是整數的點共有（　　）
A．90個 B．92個 C．104個 D．106個
【答案】D
【解析】當x＝0時，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
當y＝0時，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0時，y＝﹣15，共有16個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝1時，y1﹣15＝﹣13，共有14個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
同理x＝2時，y＝﹣12，共有13個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝3時，y＝﹣11，共有12個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝4時，y＝﹣10，共有11個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝5時，y＝﹣8，有9個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝6時，y＝﹣7，有8個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝7時，y＝﹣6，有7個縱坐標、橫坐標都是整數的點
x＝8時，y＝﹣5，共有6個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝9時，y＝﹣3，共有4個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝10時，y＝﹣2，共有3個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝11時，y＝﹣1，共有2個縱坐標、橫坐標都是整數的點，
x＝12時，y＝0，共有1個即A點，縱坐標、橫坐標都是整數的點．在△OAB內部（包括邊界），縱坐標、橫坐標都是整數的點有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106個．
故答案為：D．
11．已知一次函數y=ax—4與y=bx＋2圖象在x軸上相交于同一點，則的值是（　　）
A．4 B．-2 C． D．-
【答案】B
【解析】將y=0分別代入y=ax-4和y=bx＋2，
可得：ax-4=0，bx+2=0，
∴x=，
∵一次函數y=ax-4與y=bx＋2圖象在x軸上相交于同一點，
∴，
∴，
故答案為：D.
12．若一次函數y=ax+3（a＞0）的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，則一次函數的表達式為　 　
【答案】y=x+3
【解析】將x=0代入y=ax+3，可得y=3，
∴一次函數與y軸的交點坐標為（0，3），
將y=0代入y=ax+3，可得x=，
∴一次函數與x軸的交點坐標為（，0），
∵一次函數的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，
∴，
解得：a=，
∴一次函數的解析式為 y=x+3
故答案為： y=x+3 .
13．若關于x的方程有且只有一個解，則a的取值范圍為　 　.
【答案】a＜-1或a＞1
【解析】設，，
當時，，當時，，
直線經過點，
如圖，畫出，的圖像，
由圖像知，當時，與只有一個交點，
故若關于x的方程有且只有一個解，則a的取值范圍為a＜-1或a＞1.
故答案為：a＜-1或a＞1.
14．在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，若平分交y軸于點D，則點D的坐標為　 　.
【答案】
【解析】對于，當時，；當時，
∴
在中，；
在x軸的負半軸上取點C，使，連接，如圖
∵平分
∴
又
∴
∴
設點D的坐標為，
∴
又
在中，
∵，
∴，
解得，
∴點D的坐標為.
故答案為：.
15．直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，點C是x軸上一點，若將沿折疊，使點A恰好落在y軸上，則點C的坐標為　 　．
【答案】或
【解析】直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，
當時，，當時，，
點A的坐標為，點B坐標為，
點C是x軸上一點，將沿折疊，使點A恰好落在y軸上，
當點C在x軸正半軸時，畫出圖如圖所示，
設，則有，，，
，，解得：，點C的坐標為；
當點C在x軸負半軸時，畫出圖如圖所示，
設，則有，，，
，
，
解得：，
點C的坐標為，
綜上所述：點C的坐標為：或．
16．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，將直線AB繞點B順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，求直線BC的函數表達式．
【答案】解：∵一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，
∴當x=0時，y=－3，當y=0時，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
過點A作AF⊥AB交BC于F，過點F作FE⊥x軸于E．
則∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
設直線BC為y＝kx－3，把點F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直線BC的函數表達式為．
17．定義：一次函數和一次函數為“逆反函數”，如和為“逆反函數”.
（1）點在的“逆反函數”圖象上，則a=　 　；
（2） 圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，求點B的坐標；
（3）若和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，求b的值.
【答案】（1）-2
（2）解：∵，
∴的“逆反函數”為，
∵圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，
∴，
解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函數”為，
∴兩函數與y軸的交點分別為，，
由，解得：，
∴兩函數的交點為，
∵和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，
∴，
∴或.
【解析】（1）∵，
∴的“逆反函數”為，
∵點在的“逆反函數”圖象上，
∴，
∴，
故答案為：；
18．如圖1，平面直角坐標系中，直線y=kx+b與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B，與直線y=2x交于點C（a，4）．
（1）求點C的坐標及直線AB的表達式；
（2）如圖2，在x軸上有一點E，過點E作直線 ⊥x軸，交直線y=2x于點F，交直線y=kx+b于點G，若GF的長為3．求點E的坐標；
（3）在y軸上是否存在一點F，使以O、C、F為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】（1）解：∵點C在直線y=2x上，把（a，4）代入得：
2a=4解得a=2，
∴C(2，4)
將點A（6，0）點C（2，4）代入直線y=kx+b得：
解得
∴直線AB的表達式為：y=-x+6
（2）解：根據題意，設點E的坐標為（m，0）
∵點E、F、G三點在同一直線上，且點F在直線y=2x上，點G在直線y=-x+6上
∴F(m，2m)，G(m，-m+6)
又∵
∴ 即
則有 或
解得：m=3或m=1
故E(3，0)或（1，0）
（3）存在．
【解析】（3）根據題意： 為等腰三角形，點F在y軸上，如下圖，則有：
當OC=OF時
根據勾股定理的OC= ，故 (0， )，
當CF=OC時
根據等腰三角形三線合一，可知底邊O 上的高過點C，且平分底邊，故 (0，8)
當FC=FO時，
由FD是OC的線段垂直平分線，則 ，
過點C作 軸于P，連接 ，設 ，
則
，
解得 ，
所以
【直擊中考】
19．下列各點在函數圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A、當x=-1時，y=-3，A不符合題意；
B、當x=0時，y=-1，B不符合題意；
C、當x=1時，y=1，C不符合題意；
D、當x=2時，y=3，故在函數圖象上，D符合題意；
故答案為：D
20．一次函數的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵一次函數的解析式為，
∴k=1>0，b=1>0，
∴一次函數的圖象經過第一、二、三象限，
∴一次函數的圖象不經過第四象限，
故答案為：D.
21．如圖，直線分別與x軸，y軸交于點A，B，將△OAB繞著點A順時針旋轉得到△CAD，則點B的對應點D的坐標是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【答案】C
【解析】y=x+3，令x=0，得y=3；令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，3），
∴OA=2，OB=3.
由旋轉的性質可得AC=OA=2，CD=OB=3，
∴OD=OA+CD=2+3=5，
∴D（3，2）.
故答案為：C.
22．已知一次函數的圖象經過點和，則　 　．
【答案】-6
【解析】∵一次函數y=kx+b經過點（1，3），
∴k+b=3，
∵一次函數y=kx+b經過點（-1，2），
∴-k+b=2，即k-b=-2，
∴（k+b）（k-b）=3×（-2）=-6，
∴k2-b2=-6.
故答案為：-6.
23．如圖，直線（k為常數，）與x，y軸分別交于點A，B，則的值是　 　．
【答案】1
【解析】將x=0代入得，y=-2k+3，
∴B（0，-2k+3），
∴OB=-2k+3，
將y=0代入得，
∴A（，0），
∴OA=
∴，
故答案為：1
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
1 / 1中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學八年級上冊第5章一次函數
5.4一次函數的圖像（1）
【知識重點】
一、函數的圖像：
把一個函數的自變量x的值與函數y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做這個函數的圖象．
二、描點法畫函數圖形的一般步驟：
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）.
三、一次函數y=kx＋b(k、b為常數， k≠0)的圖象的畫法：
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.
一般情況下：
(1)畫正比例函數y=kx（k≠0）的圖象時，只要描出點(0,0)，(1,k)即可；
(2)畫一次函數y=kx＋b(k、b為常數， k≠0)的圖象時只要描出點(0，b），.即描出直線與坐標軸的交點坐標即可.
四、一次函數y=kx＋b中，k、b的取值決定直線的位置：
b>0 b<0 b=0
k>0 經過第一、二、三象限 經過第一、三、四象限 經過第一、三象限
k<0 經過第一、二、四象限 經過第二、三、四象限 經過第二、四象限
【經典例題】
【例1】下列各點在一次函數的圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】一次函數y=x+2的圖象與y軸的交點坐標為（　　）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【例3】已知點在函數的圖象上，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【例4】在平面直角坐標系中，已知函數 的圖象過點 ，則該函數的圖象可能是（　　）
A． B． C． D．
【例5】若直線 與 的交點在x軸上，那么 等于 ）
A．4 B．-4 C． D．
【例6】若一次函數y=2x+b與坐標軸圍成的三角形面積為9，則這個一次函數的解析式為　 　．
【例7】在下面的平面直角坐標系中畫出一次函數的圖象，并判斷點是否在該函數的圖象上．
【例8】（1）在同一平面直角坐標系內用列表、描兩點畫直線，畫出一次函數 和 的圖象．
（2）利用圖象求：
方程 的解；
（3）方程組 的解；
（4）不等式 的解集．
32．如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，2），點B（﹣4，0），直線AB交y軸于點C．
（1）求直線AB的表達式和點C的坐標；
（2）在直線OA上有一點P，使得△BCP的面積為4，求點P的坐標．
【基礎訓練】
1．下列各點一定在函數的圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
2．一次函數與x軸的交點坐標為（　　）
A． B． C． D．
3．若一次函數 的圖像與 軸分別交于 兩點，則 的面積為（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
4．已知等腰三角形周長為40，則腰長y關于底邊長x的函數圖象是
A． B． C． D．
5．若一次函數經過點，則　 　 ．
6．已知一次函數y＝﹣3x＋6，完成下列問題．
（1）在如下的平面直角坐標系中畫出函數圖象并求出與x軸的交點坐標．
（2）根據圖像回答：當x　 　時，y＞3
7．在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與y軸交于點B．求點的坐標．
8．已知，一次函數 的圖象與 軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）畫出該函數圖象；
（3）求AB的長．
【培優訓練】
9．如圖，在平面直角坐標系中，點 在第一象限，若點 關于 軸的對稱點 在直線 上，則 的值為（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
10．一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，O為坐標原點，則在△OAB內部(包括邊界)，縱坐標、橫坐標都是整數的點共有（　　）
A．90個 B．92個 C．104個 D．106個
11．已知一次函數y=ax—4與y=bx＋2圖象在x軸上相交于同一點，則的值是（　　）
A．4 B．-2 C． D．-
12．若一次函數y=ax+3（a＞0）的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，則一次函數的表達式為　 　
13．若關于x的方程有且只有一個解，則a的取值范圍為　 　.
14．在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，若平分交y軸于點D，則點D的坐標為　 　.
15．直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，點C是x軸上一點，若將沿折疊，使點A恰好落在y軸上，則點C的坐標為　 　．
16．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=2x－3的圖象分別交x軸，y軸于點A、B，將直線AB繞點B順時針方向旋轉45°，交x軸于點C，求直線BC的函數表達式．
17．定義：一次函數和一次函數為“逆反函數”，如和為“逆反函數”.
（1）點在的“逆反函數”圖象上，則a=　 　；
（2） 圖象上一點又是它的“逆反函數”圖象上的點，求點B的坐標；
（3）若和它的“逆反函數”與y軸圍成的三角形面積為3，求b的值.
18．如圖1，平面直角坐標系中，直線y=kx+b與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B，與直線y=2x交于點C（a，4）．
（1）求點C的坐標及直線AB的表達式；
（2）如圖2，在x軸上有一點E，過點E作直線 ⊥x軸，交直線y=2x于點F，交直線y=kx+b于點G，若GF的長為3．求點E的坐標；
（3）在y軸上是否存在一點F，使以O、C、F為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，說明理由．
【直擊中考】
19．下列各點在函數圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
20．一次函數的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．如圖，直線分別與x軸，y軸交于點A，B，將△OAB繞著點A順時針旋轉得到△CAD，則點B的對應點D的坐標是（　　）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
22．已知一次函數的圖象經過點和，則　 　．
23．如圖，直線（k為常數，）與x，y軸分別交于點A，B，則的值是　 　．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
1 / 1

展開更多......

收起↑