資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學八年級上冊第5章一次函數（解析版）
5.5一次函數的簡單應用（1）
【知識重點】
一、根據所給的條件求一次函數的表達式：
由兩個條件求出一些簡單的一次函數的表達式.
二、實際問題的一次函數的應用；
利用一次函數的圖象分析、解決簡單的實際問題.
三、實際問題情境中的數學思想：
1.函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.
2.數形結合思想：由函數圖象解答問題的方法為“數形結合”，即在圖象上由相應點（形的特征）得出對應坐標（數的表示），達到由數表示形，有形反映數，構成“數”與“形”的統一.
3.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題得以解決.
確定兩個變量是否構成一次函數關系的一種常用方法是利用圖象去獲得經驗公式,這種方法的基本步驟是:
(1)通過實驗、測量獲得數量足夠多的兩個變量的對應值.
(2)建立合適的直角坐標系,在坐標系中,以各對應值為坐標描點,并用描點法畫出函數圖象，
(3)觀察圖象特征,判定函數的類型.這樣獲得的函數表達式有時是近似的.
【經典例題】
【例1】如圖，秤是我國傳統的計重工具，方便了人們的生活，可以用秤砣到秤紐的水平距離，來得出秤鉤上所掛物體的重量．稱重時，若秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為x（厘米）時，秤鉤所掛物重為y（斤），則y是x的一次函數．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 0.50 2.25 3.25 3.50
（1）求y與x之間的函數關系式．
（2）求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為14厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？
（3）求當秤鉤所掛物重為4.50斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是多少厘米？
【答案】（1）解：依題意，設y與之間的函數關系式為（），
把，，，代入，
可得，
解得，
∴y與x之間的函數關系式是.
（2）解：當時，
，
∴秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為14厘米時，秤鉤所掛物重是4斤.
（3）解：當時，
，
解得，
∴當秤鉤所掛物重為4.50斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是16厘米.
【例2】小嘉同學想要挑戰“自制彈簧測力計”項目，為此他需要了解彈簧在彈性限度內的彈簧長度與拉力的關系，再根據實驗數據制作彈簧測力計.經過測量，他得到了5組拉力讀數（N）與彈簧長度（cm）（）之間的數據，如下表所示：
（N） 1 2 3 4 5
（cm） 3.6 5.2 6.8 8.4 10
（1）請在上圖的直角坐標系中描出各點，能否用你學過的函數模型來刻畫這兩個變量之間的關系？若能，試求出關于的函數表達式；
（2）當彈簧長度為7.6cm時，物體拉力是多少？
【答案】（1）解：描點如下，
能用一次函數模型來刻畫這兩個變量之間的關系，
設y與x之間的函數解析式為y=kx+b，
∵點（1，3.6），（5，10）在此函數圖象上，
∴
解之：
∴y關于x的函數表達式為y=1.6x+2
（2）當y=7.6時，1.6x+2=7.6
解之：x=3.5
答： 當彈簧長度為7.6cm時，物體拉力是 3.5N
【例3】在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境．
已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校，陳列館離學校．李華從學校出發，勻速騎行到達書店；在書店停留后，勻速騎行到達陳列館；在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校；回學校途中，勻速騎行后減速，繼續勻速騎行回到學校．給出的圖象反映了這個過程中李華離學校的距離與離開學校的時間之間的對應關系．
請根據相關信息，解答下列問題：
（1）填表：
離開學校的時間 1 3
離學校的距離 2 __ 12 12 __
（2）填空：
①書店到陳列館的距離為　 　；
②李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為　 　；
③當李華離學校的距離為時，他離開學校的時間為　 　．
【答案】（1）10|20
（2）8；28；或
【解析】（1）如圖，
當0≤x≤0.6時，設OA為：y=kx，
由圖得：A（0.6，12），
∴0.6k=12，即k=20，
∴OA為：y=20x，
當x=0.5時，y=20×0.5=10；
由圖得：當1.5≤x≤4.5時，y=20，
∴當x=3時，y=20.
故答案為：10；20.
（2）①∵已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校12km，陳列館離學校20km，
∴書店到陳列館的距離為20-12=8km.
故答案為：8
② 如（1）圖，李華從陳列館回學校途中，減速前騎行的圖象為DE段，
由圖得D（4.5，20），E（5，6），
∴這段騎行的路程：20-6=14km，時間為：5-4.5=0.5h，
∴李華從陳列館回學校途中，減速前騎行的速度為：14÷0.5=28km/h.
故答案為：28.
③當李華從學校到書店過程中距離學校4km時，
由（1）可知，y=20x，
當y=4時，20x=4，
解得：x=；
當李華從圖書館返回學校過程中距離學校4km時即EF段，如（1）圖，
設EF為y=mx+n，由圖得E（5，6），E（5.5，0），
∴，解得：，
∴EF為y=-12x+66，
當y=4時，-12x+66=4，
解得：x=.
故答案為： 或 .
【基礎訓練】
1．在探究“水沸騰時溫度變化特點”的實驗中，下表記錄了實驗中溫度和時間變化的數據.
時間/分鐘 0 5 10 15 20 25
溫度/℃ 10 25 40 55 70 85
若溫度的變化是均勻的，則18分鐘時的溫度是（　　）
A．62℃ B．64℃ C．66℃ D．68℃
【答案】B
【解析】根據圖表可得：溫度與時間的關系符合一次函數關系式，
設溫度T與時間x的函數關系式為： ，將 ， ，代入解析式可得：
，
解得： ，
∴溫度T與時間x的函數關系式為： ，將其他點代入均符合此函數關系式，
當 時，
，
故答案為：B.
2．某品牌鞋子的長度ycm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系．若22碼鞋子的長度為16cm，44碼鞋子的長度為27cm，則38碼鞋子的長度為（　　）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】B
【解析】設 ，分別將 和 代入可得：
，
解得 ，
∴ ，
當 時， ，
故答案為：B．
3．一蓄水池中有水，打開排水閥門開始放水后水池的水量與放水時間有如下關系：
放水時間/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列說法錯誤的是（　　）
A．蓄水池每分鐘放水
B．放水18分鐘后，水池中水量為
C．蓄水池一共可以放水25分鐘
D．放水12分鐘后，水池中水量為
【答案】D
【解析】設蓄水量為y立方米，時間為t分，
則可得，
蓄水池每分鐘放水，故A不符合題意；
放水18分鐘后，水池中水量為，故B不符合題意；
蓄水池一共可以放水25分鐘，故C不符合題意；
放水12分鐘后，水池中水量為，故D符合題意；
故答案為：D．
4．彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y (cm)與所掛的物體的質量x(kg)之間有下面的關系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列說法錯誤的是（　　）
A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量
B．彈簧不掛重物時的長度為0 cm
C．物體質量每增加1 kg，彈簧長度y增加0.5 cm
D．所掛物體質量為7 kg時，彈簧長度為13.5 cm
【答案】B
【解析】A.y隨x的增加而增加，x是自變量，y是因變量，故A選項不符合題意；
B. 彈簧不掛重物時的長度為10cm，故B選項符合題意；
C. 物體質量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm，故C選項不符合題意；
D. 由C知，y=10+0.5x，則當x=7時，y=13.5，即所掛物體質量為7kg時，彈簧長度為13.5cm，故D選項不符合題意；
故答案為：B.
5．端午節三天假期的某一天，小明全家上午8時自駕小汽車從家里出發，到某著名旅游景點游玩．該小汽車離家的距離S（千米）與時間t（小時）的關系如圖所示．根據圖象提供的有關信息，下列說法中錯誤的是（　　）
A．景點離小明家180千米 B．小明到家的時間為17點
C．返程的速度為60千米每小時 D．10點至14點，汽車勻速行駛
【答案】D
【解析】當t=0時，S=180，
∴景點離小明家180千米，
故A不符合題意；
當10點至14點，汽車停止運動，
故D符合題意；
設返回的解析式為y=kx+b，
根據題意，得
，
解得，
∴解析式為y=-60x+1020，
∴返程的速度為60千米每小時，
故C不符合題意；
當y=0時，-60x=1020，
解得x=17，
故B不符合題意；
故答案為：D．
6．某種氣體的體積y (L)與氣體的溫度x (C)對應值如下表．若要使氣體的體積至少為106升，則氣體的溫度不低于　 　℃．
x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 ……
y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 ……
【答案】20
【解析】由題意得：y與x的函數關系式為y=100+0.3x，
將y=106代入得x=20，
所以要使氣體的體積至少為106升，則氣體的溫度不低于20攝氏度.
故答案為：20.
7．某長途汽車客運公司規定旅客可免費攜帶一定質量的行李.當行李的質量超過規定時，需付的行李費y（元）與行李質量 之間滿足一次函數關系，部分對應值如下表：
… 30 40 50 …
y（元） … 4 6 8 …
則旅客最多可免費攜帶行李的質量是　 　kg.
【答案】10
【解析】∵y是x的一次函數，
∴設y=kx+b（k≠0）
將x=30，y=4；x=40，y=6分別代入y=kx+b，得
，
解得： ，
∴函數表達式為y=0.2x-2，
當y=0時，0=0.2x-2，解得x=10，
∴旅客最多可免費攜帶行李的質量是10kg，
故答案為：10.
8．小明騎車回家過程中，騎行的路程s與時間t的關系如圖所示.則經15分鐘后小明離家的路程為　 　.
【答案】1.5千米
【解析】看圖象可知，
∵全程是3.5千米，15分鐘時行走的路程=2千米，
∴經15分鐘后小明離家的路程為：3.5-2=1.5千米.
故答案為：1.5千米.
9．市場上甲種商品的采購價為60元/件，乙種商品的采購價為100元/件，某商店需要采購甲、乙兩種商品共15件，且乙種商品的件數不少于甲種商品件數的2倍．設購買甲種商品 件（ >0），購買兩種商品共花費 元．
（1）求出 與 的函數關系式（寫出自變量 的取值范圍）；
（2）試利用函數的性質說明，當采購多少件甲種商品時，所需要的費用最少？
【答案】（1）解：y=60x+100（15-x）=-40x+1500，
∵
∴0 x≤5，
即y=-40x+1500 （0 x≤5）
（2）解：∵k=-40＜0，
∴y隨x的增大而減小．即當x取最大值5時，y最小；
此時y=-40×5+1500=1300，
∴當采購5件甲種商品時，所需要的費用最少
10．為慶祝商都正式營業，商都推出了兩種購物方案．方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優惠，方案二：如交納300元會費成為該商都會員，則所有商品價格可獲九折優惠．
（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關于x的函數解析式；
（2）若某人計劃在商都購買價格為5880元的電視機一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？
【答案】（1）解：方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300
（2）解：當x=5880時，
方案一：y=0.95x=5586（元），
方案二：y=0.9x+300=5592（元），
5586＜5592
所以選擇方案一更省錢
11．某次大型活動，組委會啟用無人機航拍活動過程，在操控無人機時應根據現場狀況調節高度，已知無人機在上升和下降過程中速度相同，設無人機的飛行高度為y（米），操控無人機的時間為x（分），y與x之間的函數圖象如圖所示.
（1）無人機的速度為　 　米/分；
（2）求線段BC所表示的y與x之間函數表達式；
（3）無人機在50米上空持續飛行時間為　 　分．（直接填結果）
【答案】（1）20
（2）解：由速度為20米/分，得C（6，60），設線段BC的表達式y=kx+b（k≠0），
由B（5，40）C（6，60）得， ， 解得： ，
∴線段BC的表達式為：y=20x－60；
（3）4
【解析】（1）由圖象得出無人機從60米的空中下落到地面需3分鐘即可求出無人機的速度。
（2）由速度為20米/分，得C（6，60），設線段BC的表達式y=kx+b（k≠0），將B，C兩點的坐標代入求出線段BC所表示的y與x之間函數表達式。
（3）由C（6，60），D（9，60）即可求出無人機在50米上空持續飛行的時間。
12．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每個定價3元，羽毛球拍每副定價50元．現兩家商店都搞促銷活動：甲店每買一副球拍贈2個羽毛球；乙店按九折優惠．某班級需購球拍4副，羽毛球個．
（1）若在甲店購買付款元，在乙店購買付款元分別寫出、與的函數關系式；
（2）買10個羽毛球時，在哪家商店購買合算？
【答案】（1）解：由題意可得，
，
，
即 ，
（2）解：當x=10時，
， ，
∵
∴買10個羽毛球時，在甲家商店購買合算．
【培優訓練】
13．漏刻是我國古代的一種計時工具，據史書記載，西周時期就已經出現了漏刻，這是中國古代人民對函數思想的創造性應用，小明同學依據漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發現水位h(cm)是時間t(min)的一次函數，如下表是小明記錄的部分數據，其中有一個h的值記錄不符合題意，請排除后利用正確的數據確定當時間t為8時，對應的高度h為（　　）
t（min） …… 0 1 2 3 ……
h（cm） …… 0.7 1.2 1.5 1.9 ……
A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7
【答案】C
【解析】由表格數據可知：，不符合題意，
設水位與時間的一次函數關系式為，
代入表中數據得，
解得：，
水位與時間的一次函數關系式為．
把代入到中，得
，
故答案為：C．
14．早上8點，媽媽把小明送到游泳館訓練，之后馬上回家準備午飯，燒好飯后去游泳館等小明訓練結束接其回家，媽媽兩次從游泳館回家的駕車速度相同，在家做飯和在游泳館等小明的時間也相同.8點開始，媽媽離家的距離y關于時間x的函數圖象如圖所示，則媽媽從家出發去游泳館等小明的路途中間的時刻（即圖象中CD中點G所在的時刻）為（）
A．9點 B．9點10分 C．9點20分 D．9點30分
【答案】B
【解析】如圖：
根據媽媽兩次從游泳館回家的駕車速度相同，即所用時間相同，在家做飯和在游泳館等小明的時間也相同，而點G是CD的中點，
則媽媽從家出發去游泳館等小明的路途中間的時刻為：8+，即9點10分.
故答案為：B.
15．元旦期間，李華到市體育館進行體有鍛煉，鍛煉一段時間后返回家中， 如圖反映了這個過程中，李華離家的距離S（km）與時間t（h）之間的對應關系，根據圖象，下列說法中：①體育館與李華家之間的距離是6km；②李華在體育館鍛煉了2h；③李華從體育館返回家中的平均速度是km/h；④李華離家4k m時的時間是h或h．其中正確的說法是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】由題意，體育館和李華家之間的距離為6km，所以說法①符合題意；
李華在體育館鍛煉了：（h），所以說法②符合題意；
李華從體育館返回家中的平均速度為：km/h，所以說法③不符合題意；
設李華離家4km時的時間為xh，則有：或，
解得： 或，即李華離家4k m時的時間是h或h，所以說法④符合題意．
所以正確的說法有：①②④．
故答案為：D
16．甲、乙兩人騎車分別從A、B兩地同時出發，沿同一路線勻速騎行，兩人先相向而行，甲到達B地后停留20min 再以原速返回A地，當兩人到達A地后停止騎行.設甲出發x min后距離A地的路程為y km.圖中的折線表示甲在整個騎行過程中y與x的函數關系.在整個騎行過程中，兩人只相遇了1次，乙的騎行速度（單位：km/min）可能是（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】D
【解析】由函數圖象知，A、B兩地的距離為25km，甲往返的時間為50+50+20=120（min），
∵兩人到達A地后停止騎行，且在整個騎行過程中，兩人只相遇了1次，
∴乙的騎行的速度至少為25÷120= （km/min），
∵＞0.2，＜0.25，
∴乙的騎行速度可能是0.25km/min，
故答案為：D.
17．某地出租車計費方法如圖所示，其中x（單位：km）表示行駛里程，y（單位：元）表示車費．若某乘客一次乘出租車的里程為5km，則這位乘客需支付的費用為　 　元．
【答案】9.5
【解析】由圖象得：出租車的起步價是5元；
設當x＞2時，y與x的函數關系式為y＝kx＋b（k≠0），
由函數圖象，得： ，
解得： ，
故當x＞2時，y與x的函數關系式為：y＝1.5x＋2；
∴當x＝5時，y＝9.5，
即這位乘客需支付的費用為9.5元．
故答案為：9.5．
18．小亮從學校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離S（米）與時間t（分鐘）的函數關系，根據圖象提供的信息，給出以下結論：①他在前12分鐘的平均速度是70米/分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為 　 　．
【答案】①④
【解析】由圖象知，前12分中的平均速度為：（1800 960）÷12＝70（米/分），
故①符合題意；
由圖象知，小亮第19分中又返回學校，分別求出小亮故②不符合題意；
小亮在返回學校時的速度為：（1800 960）÷（19 12）＝840÷7＝120（米/分），
∴第15分離家距離：960＋（15 12）×120＝1320，
從21分到41分小亮的速度為：1800÷（41 21）＝1800÷20＝90（米/分），
∴第24分離家距離：1800 （24 21）×90＝1800 270＝1530（米），
∵1320≠1530，
故③不符合題意；
小亮在33分離家距離：1800 （33 21）×90＝1800 1080＝720（米），
故④符合題意，
故答案為：①④．
19．小張騎車從圖書館回家，中途在文具店買筆耽誤了1分鐘，然后繼續騎車回家.若小張騎車的速度始終不變，從出發開始計時，小張離家的距離 （單位：米）與時間 （單位：分鐘）的對應關系如圖所示，則文具店與小張家的距離為　 　.
【答案】900m
【解析】由圖象及題意可得小張騎車從圖書館到家所需時間為5分鐘，則有：
.
故答案為：900m.
20．星期天，小明上午8：00從家里出發，騎車到圖書館去借書，再騎車回到家.他離家的距離y（千米）與時間t（分鐘）的關系如圖所示，則上午8：45小明離家的距離是　 　千米.
【答案】1.5
【解析】設當40≤t≤60時，距離y（千米）與時間t（分鐘）的函數關系為y=kt+b.
∵圖象經過（40，2）（60，0），
∴ ，解得： ，
∴y與t的函數關系式為y=﹣ ，
當t=45時，y=﹣ ×45+6=1.5.
故答案為：1.5.
21．我市為創建“國家級森林城市”，政府決定對江邊一處廢棄荒地進行綠化，要求栽植甲、乙兩種不同的樹苗共6000棵，且甲種樹苗不得多于乙種樹苗．某承包商以26萬元的報價中標承包了這項工程．根據調查及相關資料表明：移栽一棵樹苗的平均費用為8元，甲、乙兩種樹苗的購買價及成活率如表：
品種 購買價（元/棵） 成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
設購買甲種樹苗x棵，承包商獲得的利潤為y元．請根據以上信息解答下列問題：
（1）設y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）承包商要獲得不低于中標價16%的利潤，應如何選購樹苗？
（3）政府與承包商的合同要求，栽植這批樹苗的成活率必須不低于93%，否則承包商出資補栽；若成貨率達到94%以上（含94%），則政府另給予工程款總額6%的獎勵，該承包商應如何選購樹苗才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】（1）解：y＝260000－[20x＋32（6000－x）＋8×6000]＝12x＋20000
自變量的取值范圍是：0＜x≤3000
（2）解：由題意，得12x＋20000≥260000×16%，解得：x≥1800，
∴1800≤x≤3000，
購買甲種樹苗不少于1800棵且不多于3000棵；
（3）解：①若成活率不低于93%且低于94%時，由題意得：解得1200＜x≤2400在y＝12x＋20000中，∵12＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x＝2400時，y最大＝48800，
②若成活率達到94%以上（含94%），則0.9x＋0.95（6000－x）≥0.94×6000，解得：x≤1200，
由題意得y＝12x＋20000＋260000×6%＝12x＋35600，∵12＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x＝1200時，y最大值＝5000，綜上所述，50000＞48800∴購買甲種樹苗1200棵，一種樹苗4800棵，可獲得最大利潤，最大利潤是50000元．
22．《九章算術》中記載，浮箭漏（圖①）出現于漢武帝時期，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內裝有箭尺，水勻速地從供水查流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數計算時間，某學校STEAM小組仿制了一套浮箭漏，并從函數角度進行了如下實驗探究：
（實驗觀察）實驗小組通過觀察，每2小時記錄次箭尺讀數，得到下表：
供水時間x（小時） 0 2 4 6 8
箭尺讀數y（厘米） 6 18 30 42 54
（探索發現）
（1）建立平面直角坐標系，如圖②，橫軸表示供水時間x．縱軸表示箭尺讀數y，描出以表格中數據為坐標的各點．
（2）觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數表達式，如果不在同一條直線上，說明理由．
（結論應用）應用上述發現的規律估算：
（3）供水時間達到12小時時，箭尺的讀數為多少厘米？
（4）如果本次實驗記錄的開始時間是上午8：00，那么當箭尺讀數為90厘米時是幾點鐘？（箭尺最大讀數為100厘米）
【答案】（1）解：將表格中各點在直角坐標系中描出來如下圖所示：
（2）分析表格中數據發現，供水時間每增加2小時，箭尺讀數增加12cm，觀察(1)中直角坐標系點的特點，發現它們位于同一直線上，
設直線解析式為 ，代入點(0，6)和點(2，18)，
得到 ，解得 ，
∴直線的表達式為： ；
（3）當供水時間達到12小時時，即 時，代入 中，
解得 cm，
∴此時箭尺的讀數為 ；
（4）當箭尺讀數為90厘米時，即 時，代入 中，
解得 (小時)，
∴經過14小時后箭尺讀數為90厘米，
∵實驗記錄的開始時間是上午8：00，
∴箭尺讀數為90厘米時對應的時間為8+14=22，即對應當天晚上的22：00．
【直擊中考】
23．下表中記錄了一次試驗中時間和溫度的數據.
時間/分鐘 0 5 10 15 20 25
溫度/℃ 10 25 40 55 70 85
若溫度的變化是均勻的，則14分鐘時的溫度是　 　℃.
【答案】52
【解析】設時間為t分鐘，此時的溫度為T，
由表格中的數據可得，
每5分鐘，升高15℃，故規律是每過1分鐘，溫度升高3℃，
函數關系式是T=3t+10；
則第14分鐘時，即t=14時，T=3 14+10=52℃，
故答案為：52.
24．如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成.小文購買時，售貨員演示通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調節扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為 ，單層部分的長度為 .經測量，得到下表中數據.
雙層部分長度 2 8 14 20
單層部分長度 148 136 124 112
（1）根據表中數據規律，求出y與x的函數關系式；
（2）按小文的身高和習慣，背帶的長度調為 時為最佳背帶長.請計算此時雙層部分的長度；
（3）設背帶長度為 ，求L的取值范圍.
【答案】（1）解：根據觀察y與x是一次函數的關系，所以設
依題意，得
解得， ；
∴y與x的函數關系式：
（2）解：設背帶長度是
則
當 時，
解得，
（3）解：∵ ，∴
解得， 又
∴
∴
即
25．某食用油的沸點溫度遠高于水的沸點溫度．小聰想用刻度不超過的溫度計測算出這種食用油沸點的溫度．在老師的指導下，他在鍋中倒入一些這種食用油均勻加熱，并每隔測量一次鍋中油溫，得到的數據記錄如下：
時間t/s 0 10 20 30 40
油溫y/ 10 30 50 70 90
（1）小聰在直角坐標系中描出了表中數據對應的點．經老師介紹，在這種食用油達到沸點前，鍋中油溫y（單位：）與加熱的時間t（單位：s）符合初中學習過的某種函數關系，填空：可能是　 　函數關系（請選填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根據以上判斷，求y關于t的函數解析式；
（3）當加熱時，油沸騰了，請推算沸點的溫度．
【答案】（1）一次
（2）解：設這個一次函數的解析式為，
當時，；當時，，
，
解得，
∴y關于t的函數解析式為；
（3）解：當時，
答：當加熱時，油沸騰了，推算沸點的溫度為．
【解析】（1）根據表格中兩個變量對應值變化的規律可知，時間每增加10s，油溫上升20℃，故鍋中油溫y與加熱時間t可能是一次函數關系.
故答案為：一次.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
1 / 1中小學教育資源及組卷應用平臺
浙教版2023-2024學年數學八年級上冊第5章一次函數
5.5一次函數的簡單應用（1）
【知識重點】
一、根據所給的條件求一次函數的表達式：
由兩個條件求出一些簡單的一次函數的表達式.
二、實際問題的一次函數的應用；
利用一次函數的圖象分析、解決簡單的實際問題.
三、實際問題情境中的數學思想：
1.函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.
2.數形結合思想：由函數圖象解答問題的方法為“數形結合”，即在圖象上由相應點（形的特征）得出對應坐標（數的表示），達到由數表示形，有形反映數，構成“數”與“形”的統一.
3.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）使問題得以解決.
確定兩個變量是否構成一次函數關系的一種常用方法是利用圖象去獲得經驗公式,這種方法的基本步驟是:
(1)通過實驗、測量獲得數量足夠多的兩個變量的對應值.
(2)建立合適的直角坐標系,在坐標系中,以各對應值為坐標描點,并用描點法畫出函數圖象，
(3)觀察圖象特征,判定函數的類型.這樣獲得的函數表達式有時是近似的.
【經典例題】
【例1】如圖，秤是我國傳統的計重工具，方便了人們的生活，可以用秤砣到秤紐的水平距離，來得出秤鉤上所掛物體的重量．稱重時，若秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為x（厘米）時，秤鉤所掛物重為y（斤），則y是x的一次函數．下表中為若干次稱重時所記錄的一些數據．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 0.50 2.25 3.25 3.50
（1）求y與x之間的函數關系式．
（2）求秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為14厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？
（3）求當秤鉤所掛物重為4.50斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離是多少厘米？
【例2】小嘉同學想要挑戰“自制彈簧測力計”項目，為此他需要了解彈簧在彈性限度內的彈簧長度與拉力的關系，再根據實驗數據制作彈簧測力計.經過測量，他得到了5組拉力讀數（N）與彈簧長度（cm）（）之間的數據，如下表所示：
（N） 1 2 3 4 5
（cm） 3.6 5.2 6.8 8.4 10
（1）請在上圖的直角坐標系中描出各點，能否用你學過的函數模型來刻畫這兩個變量之間的關系？若能，試求出關于的函數表達式；
（2）當彈簧長度為7.6cm時，物體拉力是多少？
【例3】在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境．
已知學校、書店、陳列館依次在同一條直線上，書店離學校，陳列館離學校．李華從學校出發，勻速騎行到達書店；在書店停留后，勻速騎行到達陳列館；在陳列館參觀學習一段時間，然后回學校；回學校途中，勻速騎行后減速，繼續勻速騎行回到學校．給出的圖象反映了這個過程中李華離學校的距離與離開學校的時間之間的對應關系．
請根據相關信息，解答下列問題：
（1）填表：
離開學校的時間 1 3
離學校的距離 2 __ 12 12 __
（2）填空：
①書店到陳列館的距離為　 　；
②李華從陳列館回學校途中，減速前的騎行速度為　 　；
③當李華離學校的距離為時，他離開學校的時間為　 　．
【基礎訓練】
1．在探究“水沸騰時溫度變化特點”的實驗中，下表記錄了實驗中溫度和時間變化的數據.
時間/分鐘 0 5 10 15 20 25
溫度/℃ 10 25 40 55 70 85
若溫度的變化是均勻的，則18分鐘時的溫度是（　　）
A．62℃ B．64℃ C．66℃ D．68℃
2．某品牌鞋子的長度ycm與鞋子的“碼”數x之間滿足一次函數關系．若22碼鞋子的長度為16cm，44碼鞋子的長度為27cm，則38碼鞋子的長度為（　　）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
3．一蓄水池中有水，打開排水閥門開始放水后水池的水量與放水時間有如下關系：
放水時間/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列說法錯誤的是（　　）
A．蓄水池每分鐘放水 B．放水18分鐘后，水池中水量為
C．蓄水池一共可以放水25分鐘 D．放水12分鐘后，水池中水量為
4．彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y (cm)與所掛的物體的質量x(kg)之間有下面的關系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列說法錯誤的是（　　）
A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量
B．彈簧不掛重物時的長度為0 cm
C．物體質量每增加1 kg，彈簧長度y增加0.5 cm
D．所掛物體質量為7 kg時，彈簧長度為13.5 cm
5．端午節三天假期的某一天，小明全家上午8時自駕小汽車從家里出發，到某著名旅游景點游玩．該小汽車離家的距離S（千米）與時間t（小時）的關系如圖所示．根據圖象提供的有關信息，下列說法中錯誤的是（　　）
A．景點離小明家180千米 B．小明到家的時間為17點
C．返程的速度為60千米每小時 D．10點至14點，汽車勻速行駛
6．某種氣體的體積y (L)與氣體的溫度x (C)對應值如下表．若要使氣體的體積至少為106升，則氣體的溫度不低于　 　℃．
x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 ……
y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 ……
7．某長途汽車客運公司規定旅客可免費攜帶一定質量的行李.當行李的質量超過規定時，需付的行李費y（元）與行李質量 之間滿足一次函數關系，部分對應值如下表：
… 30 40 50 …
y（元） … 4 6 8 …
則旅客最多可免費攜帶行李的質量是　 　kg.
8．小明騎車回家過程中，騎行的路程s與時間t的關系如圖所示.則經15分鐘后小明離家的路程為　 　.
9．市場上甲種商品的采購價為60元/件，乙種商品的采購價為100元/件，某商店需要采購甲、乙兩種商品共15件，且乙種商品的件數不少于甲種商品件數的2倍．設購買甲種商品 件（ >0），購買兩種商品共花費 元．
（1）求出 與 的函數關系式（寫出自變量 的取值范圍）；
（2）試利用函數的性質說明，當采購多少件甲種商品時，所需要的費用最少？
10．為慶祝商都正式營業，商都推出了兩種購物方案．方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優惠，方案二：如交納300元會費成為該商都會員，則所有商品價格可獲九折優惠．
（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關于x的函數解析式；
（2）若某人計劃在商都購買價格為5880元的電視機一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？
11．某次大型活動，組委會啟用無人機航拍活動過程，在操控無人機時應根據現場狀況調節高度，已知無人機在上升和下降過程中速度相同，設無人機的飛行高度為y（米），操控無人機的時間為x（分），y與x之間的函數圖象如圖所示.
（1）無人機的速度為　 　米/分；
（2）求線段BC所表示的y與x之間函數表達式；
（3）無人機在50米上空持續飛行時間為　 　分．（直接填結果）
12．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每個定價3元，羽毛球拍每副定價50元．現兩家商店都搞促銷活動：甲店每買一副球拍贈2個羽毛球；乙店按九折優惠．某班級需購球拍4副，羽毛球個．
（1）若在甲店購買付款元，在乙店購買付款元分別寫出、與的函數關系式；
（2）買10個羽毛球時，在哪家商店購買合算？
【培優訓練】
13．漏刻是我國古代的一種計時工具，據史書記載，西周時期就已經出現了漏刻，這是中國古代人民對函數思想的創造性應用，小明同學依據漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發現水位h(cm)是時間t(min)的一次函數，如下表是小明記錄的部分數據，其中有一個h的值記錄不符合題意，請排除后利用正確的數據確定當時間t為8時，對應的高度h為（　　）
t（min） …… 0 1 2 3 ……
h（cm） …… 0.7 1.2 1.5 1.9 ……
A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7
14．早上8點，媽媽把小明送到游泳館訓練，之后馬上回家準備午飯，燒好飯后去游泳館等小明訓練結束接其回家，媽媽兩次從游泳館回家的駕車速度相同，在家做飯和在游泳館等小明的時間也相同.8點開始，媽媽離家的距離y關于時間x的函數圖象如圖所示，則媽媽從家出發去游泳館等小明的路途中間的時刻（即圖象中CD中點G所在的時刻）為（）
A．9點 B．9點10分 C．9點20分 D．9點30分
15．元旦期間，李華到市體育館進行體有鍛煉，鍛煉一段時間后返回家中， 如圖反映了這個過程中，李華離家的距離S（km）與時間t（h）之間的對應關系，根據圖象，下列說法中：①體育館與李華家之間的距離是6km；②李華在體育館鍛煉了2h；③李華從體育館返回家中的平均速度是km/h；④李華離家4k m時的時間是h或h．其中正確的說法是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
16．甲、乙兩人騎車分別從A、B兩地同時出發，沿同一路線勻速騎行，兩人先相向而行，甲到達B地后停留20min 再以原速返回A地，當兩人到達A地后停止騎行.設甲出發x min后距離A地的路程為y km.圖中的折線表示甲在整個騎行過程中y與x的函數關系.在整個騎行過程中，兩人只相遇了1次，乙的騎行速度（單位：km/min）可能是（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
17．某地出租車計費方法如圖所示，其中x（單位：km）表示行駛里程，y（單位：元）表示車費．若某乘客一次乘出租車的里程為5km，則這位乘客需支付的費用為　 　元．
18．小亮從學校步行回家，圖中的折線反映了小亮離家的距離S（米）與時間t（分鐘）的函數關系，根據圖象提供的信息，給出以下結論：①他在前12分鐘的平均速度是70米/分鐘；②他在第19分鐘到家；③他在第15分鐘離家的距離和第24分鐘離家的距離相等；④他在第33分鐘離家的距離是720米．其中正確的序號為 　 　．
19．小張騎車從圖書館回家，中途在文具店買筆耽誤了1分鐘，然后繼續騎車回家.若小張騎車的速度始終不變，從出發開始計時，小張離家的距離 （單位：米）與時間 （單位：分鐘）的對應關系如圖所示，則文具店與小張家的距離為　 　.
20．星期天，小明上午8：00從家里出發，騎車到圖書館去借書，再騎車回到家.他離家的距離y（千米）與時間t（分鐘）的關系如圖所示，則上午8：45小明離家的距離是　 　千米.
21．我市為創建“國家級森林城市”，政府決定對江邊一處廢棄荒地進行綠化，要求栽植甲、乙兩種不同的樹苗共6000棵，且甲種樹苗不得多于乙種樹苗．某承包商以26萬元的報價中標承包了這項工程．根據調查及相關資料表明：移栽一棵樹苗的平均費用為8元，甲、乙兩種樹苗的購買價及成活率如表：
品種 購買價（元/棵） 成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
設購買甲種樹苗x棵，承包商獲得的利潤為y元．請根據以上信息解答下列問題：
（1）設y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）承包商要獲得不低于中標價16%的利潤，應如何選購樹苗？
（3）政府與承包商的合同要求，栽植這批樹苗的成活率必須不低于93%，否則承包商出資補栽；若成貨率達到94%以上（含94%），則政府另給予工程款總額6%的獎勵，該承包商應如何選購樹苗才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
22．《九章算術》中記載，浮箭漏（圖①）出現于漢武帝時期，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內裝有箭尺，水勻速地從供水查流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數計算時間，某學校STEAM小組仿制了一套浮箭漏，并從函數角度進行了如下實驗探究：
（實驗觀察）實驗小組通過觀察，每2小時記錄次箭尺讀數，得到下表：
供水時間x（小時） 0 2 4 6 8
箭尺讀數y（厘米） 6 18 30 42 54
（探索發現）
（1）建立平面直角坐標系，如圖②，橫軸表示供水時間x．縱軸表示箭尺讀數y，描出以表格中數據為坐標的各點．
（2）觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數表達式，如果不在同一條直線上，說明理由．
（結論應用）應用上述發現的規律估算：
（3）供水時間達到12小時時，箭尺的讀數為多少厘米？
（4）如果本次實驗記錄的開始時間是上午8：00，那么當箭尺讀數為90厘米時是幾點鐘？（箭尺最大讀數為100厘米）
【直擊中考】
23．下表中記錄了一次試驗中時間和溫度的數據.
時間/分鐘 0 5 10 15 20 25
溫度/℃ 10 25 40 55 70 85
若溫度的變化是均勻的，則14分鐘時的溫度是　 　℃.
24．如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調節扣構成.小文購買時，售貨員演示通過調節扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調節扣所占長度忽略不計）加長或縮短，設雙層部分的長度為 ，單層部分的長度為 .經測量，得到下表中數據.
雙層部分長度 2 8 14 20
單層部分長度 148 136 124 112
（1）根據表中數據規律，求出y與x的函數關系式；
（2）按小文的身高和習慣，背帶的長度調為 時為最佳背帶長.請計算此時雙層部分的長度；
（3）設背帶長度為 ，求L的取值范圍.
25．某食用油的沸點溫度遠高于水的沸點溫度．小聰想用刻度不超過的溫度計測算出這種食用油沸點的溫度．在老師的指導下，他在鍋中倒入一些這種食用油均勻加熱，并每隔測量一次鍋中油溫，得到的數據記錄如下：
時間t/s 0 10 20 30 40
油溫y/ 10 30 50 70 90
（1）小聰在直角坐標系中描出了表中數據對應的點．經老師介紹，在這種食用油達到沸點前，鍋中油溫y（單位：）與加熱的時間t（單位：s）符合初中學習過的某種函數關系，填空：可能是　 　函數關系（請選填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根據以上判斷，求y關于t的函數解析式；
（3）當加熱時，油沸騰了，請推算沸點的溫度．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
1 / 1

展開更多......

收起↑