資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題強化（4）水平面內的圓周運動
學習目標 核心素養
掌握圓錐擺模型 2、掌握圓錐斗、圓碗、圓盤模型 1、物理觀念：知道向心力是效果力。 2、科學思維：控制變量法研究向心力的大小與哪些因素有關；掌握向心力的表達式，并能用來進行計算。 3、科學探究：通過受力分析去分析水平圓周運動
知識點1 圓錐擺模型
1．結構特點：一根質量和伸長可以不計的輕細線，上端固定，下端系一個可以視為質點的擺球在水平面內做勻速圓周運動，細繩所掠過的路徑為圓錐表面。
2．受力特點：擺球質量為，只受兩個力即豎直向下的重力和沿擺線方向的拉力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力與擺球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．運動特點：擺長為，擺線與豎直方向的夾角為的圓錐擺，擺球做圓周運動的圓心是O，圓周運動的軌道半徑是
向心力
擺線的拉力
【討論】：
(1)當擺長一定，擺球在同一地點、不同高度的水平面內分別做勻速圓周運動時，據可知，若角速度越大，則越大，擺線拉力也越大，向心加速度也越大，線速度 =也越大。
結論是：同一圓錐擺，在同一地點，若越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，轉動的越快，運動的也越快，。
(2)當為定值時（為擺球的軌道面到懸點的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質量相等、擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內做勻速圓周運動，則擺線拉力，向心力，向心加速度，角速度，線速度。
結論是：在同一地點，擺球的質量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉動的快慢相等，但角大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運動得快。
5.多繩圓錐擺問題
隨角速度增大，兩繩的拉力如何變化？
（2023 浙江開學）某燃脂呼啦圈如圖甲所示，在圈外有一個用桿相連的重力錘，小明不小心將桿弄斷了，換了一根細繩綁住重力錘。當細繩與豎直方向的夾角為53°，計數器顯示1min內轉了40圈，運動過程中腰帶可看作不動，重力錘繞人體在水平面內做勻速圓周運動，其簡化圖如圖乙所示。已知重力錘的質量m＝0.4kg，繩長L＝0.45m，取π2＝10，則以下說法正確的是（　　）
A．若細繩不慎斷裂，重力錘將做斜拋運動
B．若增大轉速，腰帶受到的合力變大
C．重力錘勻速轉動的加速度大小約為7.5m/s2
D．細繩懸掛點到腰帶中心的距離為0.39m
（多選）（2023春 騰沖市校級期末）如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球一定受a繩的拉力作用
B．小球所受a繩的拉力隨角速度的增大而增大
C．當角速度ω時，b繩將出現彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
（多選）（2023 官渡區校級開學）如圖所示，用一根長為l的輕繩一端系一質量為m的小球（可視為質點），另一端固定在光滑固定的圓錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角α＝37°，小球繞著錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g，sin37°＝0.6。則（　　）
A．小球恰好離開錐面時的角速度為
B．若小球的角速度，小球對錐面的壓力為零
C．若小球的角速度，繩子的拉力大小為
D．若小球的角速度，繩子的拉力F隨著角速度ω變化的函數關系式為F＝mlω2
知識點2 圓錐斗、圓碗模型
一．圓錐斗
1.結構特點：內壁為圓錐的錐面，光滑，軸線垂直于水平面且固定不動，可視為質點的小球緊貼著內壁在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動。
2.受力特點：小球質量為，受兩個力即豎直向下的重力和垂直內壁沿斜向上方向的支持力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示
3.運動特點：軸線與圓錐的母線夾角，小球的軌道面距地面高度，圓周軌道的圓心是O，軌道半徑是, 則有
向心力.
支持力.
由此得，，。
結論是：在同一地點，同一錐形斗內在不同高度的水平面內做勻速圓周運動的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，則轉動的越慢，而運動的越快。
二．圓碗
受力分析運動分析 正交分解x軸指向心 列方程求解 規律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2023 天心區校級開學）雜技演員騎著摩托車沿著光滑的內壁進行“飛車走壁”表演，演員和摩托車的總質量為m，演員騎著摩托車（視為質點）在不同平面做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．演員騎著摩托車經過C處的角速度大于D處的角速度
B．演員騎著摩托車經過C處的角速度小于D處的角速度
C．演員騎著摩托車經過C處受到的側壁彈力小于D處受到的彈力
D．演員騎著摩托車經過C處受到的側壁彈力等于D處受到的彈力
（多選）（2023春 阿拉善左旗校級期末）如圖所示，質量不等的甲、乙兩個小球，在光滑玻璃漏斗內壁做水平面內的勻速圓周運動，甲在乙的上方。則下列說法正確的是（　　）
A．小球受到三個力
B．兩個小球單位時間走過的路程不同
C．兩個小球單位時間轉過的角度相同
D．兩個小球向心加速度的大小相同
（2023春 廣州期中）如圖所示，一根原長為L的輕彈簧套在一長為3L的光滑直桿AB上，其下端固定在桿的A端，質量為m的小球也套在桿上且與彈簧的上端相連。小球和桿一起繞經過桿A端的豎直軸OO′勻速轉動，且桿與水平面間始終保持θ＝37°角。已知桿處于靜止狀態時彈簧長度為0.5L，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：彈簧為原長時，彈簧的勁度系數k和小球的角速度ω0。
知識點3 圓盤模型
f靜=mω2r ω臨= 與質量無關 輕繩出現拉力臨界ω1=; AB離心的臨界： 隔離A:T=μmAg；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 隔離A:μmAg-T=mAω22rA；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 隔離A:T-μmAg=mAω22rA；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 整體：AB滑動ω臨2=（） ①μA≥μB, ω臨1= ①ωmin=
②μA<μB, ω臨2= ②ωmax=
（2023 江都區校級開學）如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B，mA＝4kg，mB＝1kg，它們分居在圓心兩側，與圓心距離為rA＝0.1m，rB＝0.2m，中間用細線相連，A、B與盤間的動摩擦因數均為μ＝0.2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉軸非常緩慢地加速轉動，g＝10m/s2，以下正確的是（　　）
A．A的摩擦力先達到最大
B．當，繩子出現張力
C．當，AB兩物體出現相對滑動
D．當，AB兩物體出現相對滑動
（2023 山東模擬）如圖所示，可視為質點、質量為M的物塊用長為L的細繩拴接放在轉盤上，細繩的另一端固定在通過轉盤軸心的豎直桿上，細繩剛好伸直且與豎直方向的夾角為α。已知物塊與轉盤之間的動摩擦因數為μ，且μ＜tanα，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現讓整個裝置由靜止開始緩慢的加速轉動起來。則下列說法正確的是（　　）
A．整個過程中，細繩的拉力不可能為零
B．從開始轉動到細繩對物塊剛有作用力的過程，轉盤對物塊所做的功為
C．當轉盤的轉速為時，物塊剛好與轉盤分離
D．從開始轉動到物塊剛好與轉盤分離的過程中，轉盤對物塊所做的功為
（2023春 太康縣校級期中）如圖所示，質量均為m的小物塊A、B分別置于正方形水平薄板abcd邊緣上的a、e兩點，e為ab邊中點，薄板繞過中心的豎直軸轉動。已知薄板邊長為l，A與B、板與B間的動摩擦因數為μ，A與板間的動摩擦因數為μ。若兩小物塊均可視為質點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．若A、B均與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
B．若A、B均與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
C．將B疊放在a處的A上，若A、B均能與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
D．將B疊放在a處的A上，若A、B均能與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
（多選）（2023春 鄭州期中）如圖所示，一根細線下端拴一個金屬小球P，細線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔（小孔是光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面內做勻速圓周運動（圓錐擺）．現使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動（圖中P′位置），兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是（　　）
A．Q受到桌面的支持力變大
B．Q受到桌面的靜摩擦力變大
C．小球P運動的周期變大
D．小球P運動的角速度變大
（多選）（2023春 太原期中）智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛，如圖甲，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖乙所示。可視為質點的配重質量為m＝0.5kg，繩長為l＝0.5m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2m，水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿做水平勻速圓周運動。若繩子與豎直方向夾角θ＝37°，運動過程中腰帶可看成不動，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列說法正確的是（　　）
A．配重做勻速圓周運動的半徑為0.6m
B．配重的線速度大小為m/s
C．細繩對配重的拉力大小為6.25N
D．若細繩不慎斷裂，配重將做自由落體運動
（多選）（2022秋 龍巖期末）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內做圓錐擺運動。如圖甲所示，其中小球A、B在同一水平面內做圓錐擺運動（連接B球的繩較長）；如圖乙所示，小球C、D在不同水平面內做圓錐擺運動，但是連接小球C、D的繩與豎直方向之間的夾角相同（連接D球的繩較長），則下列說法正確的是（　　）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B線速度大小相同
C．小球C、D線速度大小相同
D．小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等
（2022秋 和田縣校級期中）如圖所示，一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和小球B緊貼圓錐筒內壁分別在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法中正確的是（　　）
A．A球的線速度必定大于B球的線速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球運動的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球對筒壁的壓力必定大于B球對筒壁的壓力
（多選）（2022春 郴州期末）一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定，有質量相同的小球A和B沿著筒的內壁在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，A的運動半徑較大，則（　　）
A．A球的角速度必大于B球的角速度
B．A球的線速度必大于B球的線速度
C．A球的運動周期必大于B球的運動周期
D．A球對筒壁的壓力必等于B球對筒壁的壓力
（多選）（2023春 張家界期末）如圖所示，A、B兩個相同的茶杯放在餐桌上的自動轉盤上，O為轉盤圓心，B、O間距大于A、O間距，B杯中裝滿水，A杯是空杯，轉盤在電動機的帶動下勻速轉動，A、B兩杯與轉盤始終保持相對靜止，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是（　　）
A．A受到的摩擦力比B的大
B．B受到的摩擦力比A的大
C．增大轉動的角速度，B一定先滑動
D．增大轉動的角速度，A有可能先滑動
（多選）（2023春 駐馬店期末）如圖所示，一質量為m的小球用兩根輕繩AC、BC系著，繩的A、B端分別系于豎直長細桿頂端的A點和B點，A、B兩點相距L，AC繩長為2L，且不可伸長，BC繩為彈性繩，原長為，桿的下端固定在位于地面上的水平轉盤中心。現讓桿隨水平轉盤繞豎直中心軸勻速轉動，此時AC繩擺開一定角度，小球隨同在水平面內做勻速圓周運動。不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列分析正確的是（　　）
A．若此時BC繩處于拉伸狀態，則桿轉動的角速度為
B．若此時AC繩的拉力FAC＝2mg，則BC繩的拉力剛好為0
C．若此時從小球處突然剪斷BC繩，則AC繩與桿的夾角將變小
D．若細桿轉動的角速度為，則小球的速度大小應為
（2023春 碑林區校級期末）如圖所示，一半徑為R＝0.5m的水平轉盤可以繞著豎直軸OO'轉動，水平轉盤中心O處有一個光滑小孔，用一根長為L＝1m的細線穿過小孔將質量分別為mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物塊B連接。現讓小球和水平轉盤各以一定的角速度在水平面內轉動起來，小物塊B與水平轉盤間的動摩擦因數μ＝0.3，且始終處于水平轉盤的邊緣處與轉盤相對靜止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，細線與豎直方向的夾角θ；
（2）在滿足（1）中的條件下，通過計算給出水平轉盤角速度ωB的取值范圍，并在圖中畫出f﹣ω2圖像（假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且規定沿半徑指向圓心為正方向）；
（3）在水平轉盤角速度ωB為（2）中的最大值的情況下，當小球A和小物塊B轉動至兩者速度方向相反時，由于某種原因細線突然斷裂，經過多長時間A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的數據：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
（2023春 房山區期中）如圖所示，餐桌中心是一個可以勻速轉動、半徑R為1米的圓盤。圓盤與餐桌在同一水平面內且兩者之間的間隙可忽略不計。放置在圓盤邊緣的質量為m＝0.1kg的物體與圓盤之間的動摩擦因數為μ1＝0.4，與餐桌之間的動摩擦因數μ2＝0.2，餐桌高h＝0.8米。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g取m/s2。
（1）為使物體不滑到餐桌上，求圓盤的角速度的最大值ω；
（2）緩慢增大圓盤的角速度，物體將從圓盤上滑出。
a、為使物體不滑落到地面，求餐桌半徑的最小值R1；
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，求物體離開圓盤后水平方向總位移x。
（2023春 鄭州期中）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合，轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO'之間的夾角θ為60°。已知重力加速度大小為g。
（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω0；
（2）若陶罐以角速度轉動，小物塊仍相對陶罐靜止，求小物塊此時所受的摩擦力的大小及方向？
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專題強化（4）水平面內的圓周運動
學習目標 核心素養
掌握圓錐擺模型 2、掌握圓錐斗、圓碗、圓盤模型 1、物理觀念：知道向心力是效果力。 2、科學思維：控制變量法研究向心力的大小與哪些因素有關；掌握向心力的表達式，并能用來進行計算。 3、科學探究：通過受力分析去分析水平圓周運動
知識點1 圓錐擺模型
1．結構特點：一根質量和伸長可以不計的輕細線，上端固定，下端系一個可以視為質點的擺球在水平面內做勻速圓周運動，細繩所掠過的路徑為圓錐表面。
2．受力特點：擺球質量為，只受兩個力即豎直向下的重力和沿擺線方向的拉力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力與擺球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．運動特點：擺長為，擺線與豎直方向的夾角為的圓錐擺，擺球做圓周運動的圓心是O，圓周運動的軌道半徑是
向心力
擺線的拉力
【討論】：
(1)當擺長一定，擺球在同一地點、不同高度的水平面內分別做勻速圓周運動時，據可知，若角速度越大，則越大，擺線拉力也越大，向心加速度也越大，線速度 =也越大。
結論是：同一圓錐擺，在同一地點，若越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，轉動的越快，運動的也越快，。
(2)當為定值時（為擺球的軌道面到懸點的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質量相等、擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內做勻速圓周運動，則擺線拉力，向心力，向心加速度，角速度，線速度。
結論是：在同一地點，擺球的質量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉動的快慢相等，但角大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運動得快。
5.多繩圓錐擺問題
隨角速度增大，兩繩的拉力如何變化？
（2023 浙江開學）某燃脂呼啦圈如圖甲所示，在圈外有一個用桿相連的重力錘，小明不小心將桿弄斷了，換了一根細繩綁住重力錘。當細繩與豎直方向的夾角為53°，計數器顯示1min內轉了40圈，運動過程中腰帶可看作不動，重力錘繞人體在水平面內做勻速圓周運動，其簡化圖如圖乙所示。已知重力錘的質量m＝0.4kg，繩長L＝0.45m，取π2＝10，則以下說法正確的是（　　）
A．若細繩不慎斷裂，重力錘將做斜拋運動
B．若增大轉速，腰帶受到的合力變大
C．重力錘勻速轉動的加速度大小約為7.5m/s2
D．細繩懸掛點到腰帶中心的距離為0.39m
【解答】解：A．若細繩不慎斷裂，重力錘拋出是的速度水平，將做平拋運動，故A錯誤；
B．若增大轉速，腰帶始終不動，受力是平衡的，故合力為零，故B錯誤；
C．對小球受力分析得，合力提供小球向心力，則水平方向：mgtan53°＝ma
解得：agtan53°＝10m/s2m/s2，故C錯誤；
D．小球需要的向心加速度：a＝rω2＝rπ2n2
代入數據得：
解得：r＝0.39m，故D正確。
故選：D。
（多選）（2023春 騰沖市校級期末）如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球一定受a繩的拉力作用
B．小球所受a繩的拉力隨角速度的增大而增大
C．當角速度ω時，b繩將出現彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
【解答】解：A．對小球受力分析，在豎直方向有：mg＝Tasinθ，可知小球一定受a繩的拉力作用，故A正確；
B．b繩繃緊，a繩豎直方向的分力不變，則小球所受a繩的拉力隨角速度的增大保持不變，故B錯誤；
C．當b繩剛要繃緊出現彈力時，水平方向根據牛頓第二定律：
聯立解得：ω
即當角速度：ω時，則b繩將出現彈力，故C正確；
D．由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯誤。
故選：AC。
（多選）（2023 官渡區校級開學）如圖所示，用一根長為l的輕繩一端系一質量為m的小球（可視為質點），另一端固定在光滑固定的圓錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角α＝37°，小球繞著錐體的軸線在水平面內做勻速圓周運動，重力加速度為g，sin37°＝0.6。則（　　）
A．小球恰好離開錐面時的角速度為
B．若小球的角速度，小球對錐面的壓力為零
C．若小球的角速度，繩子的拉力大小為
D．若小球的角速度，繩子的拉力F隨著角速度ω變化的函數關系式為F＝mlω2
【解答】解：A．若小球剛好離開圓錐面，由重力和支持力的合力提供向心力，則有：，可得，故A錯誤；
BC．若小球的角速度
則小球對斜面有壓力，
豎直方向：
水平方向：
繩子的拉力大小為，故B錯誤，C正確；
D．若小球的角速度，小球離開圓錐面，有
解得，故D正確。
故選：CD。
知識點2 圓錐斗、圓碗模型
一．圓錐斗
1.結構特點：內壁為圓錐的錐面，光滑，軸線垂直于水平面且固定不動，可視為質點的小球緊貼著內壁在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動。
2.受力特點：小球質量為，受兩個力即豎直向下的重力和垂直內壁沿斜向上方向的支持力。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示
3.運動特點：軸線與圓錐的母線夾角，小球的軌道面距地面高度，圓周軌道的圓心是O，軌道半徑是, 則有
向心力.
支持力.
由此得，，。
結論是：在同一地點，同一錐形斗內在不同高度的水平面內做勻速圓周運動的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，則轉動的越慢，而運動的越快。
二．圓碗
受力分析運動分析 正交分解x軸指向心 列方程求解 規律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2023 天心區校級開學）雜技演員騎著摩托車沿著光滑的內壁進行“飛車走壁”表演，演員和摩托車的總質量為m，演員騎著摩托車（視為質點）在不同平面做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（　　）
A．演員騎著摩托車經過C處的角速度大于D處的角速度
B．演員騎著摩托車經過C處的角速度小于D處的角速度
C．演員騎著摩托車經過C處受到的側壁彈力小于D處受到的彈力
D．演員騎著摩托車經過C處受到的側壁彈力等于D處受到的彈力
【解答】解：設球的半徑為R，對演員和摩托車受力分析，如下圖所示：
重力和彈力的合力提供向心力，則有：mgtanθ＝mω2Rsinθ
代入數據可得：
演員和摩托車所受的彈力
C處球的半徑與過O點的豎直線間的夾角比D處的大，即θC＞θD，則cosθC＜cosθD，所以ωC＞ωD，FNC＞FND，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（多選）（2023春 阿拉善左旗校級期末）如圖所示，質量不等的甲、乙兩個小球，在光滑玻璃漏斗內壁做水平面內的勻速圓周運動，甲在乙的上方。則下列說法正確的是（　　）
A．小球受到三個力
B．兩個小球單位時間走過的路程不同
C．兩個小球單位時間轉過的角度相同
D．兩個小球向心加速度的大小相同
【解答】解：A、對小球受力分析，小球只受重力和支持力，由合力提供向心力，如圖所示，故A錯誤；
B、由牛頓第二定律得：m，得v，θ相同，兩球的軌道半徑不等，則線速度大小不等，甲的軌道半徑大，則甲的線速度大，甲球在單位時間走過的路程長，故B正確；
C、由牛頓第二定律得：mω2r，得ω，θ相同，甲的軌道半徑大，則甲的角速度小，甲球在單位時間轉過的角度小，故C錯誤；
D、由牛頓第二定律得：ma，得a，θ相同，兩個小球向心加速度的大小相同，故D正確。
故選：BD。
（2023春 廣州期中）如圖所示，一根原長為L的輕彈簧套在一長為3L的光滑直桿AB上，其下端固定在桿的A端，質量為m的小球也套在桿上且與彈簧的上端相連。小球和桿一起繞經過桿A端的豎直軸OO′勻速轉動，且桿與水平面間始終保持θ＝37°角。已知桿處于靜止狀態時彈簧長度為0.5L，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：彈簧為原長時，彈簧的勁度系數k和小球的角速度ω0。
【解答】解：對靜止時的小球進行受力分析，小球受到自身重力，桿的支持力，以及彈簧沿桿向上的彈力，將重力正交分解，可得到沿桿方向的平衡關系式：
mgsin37°＝F彈＝kΔx＝0.5kL，得到勁度系數k；
彈簧原長時，小球只受重力與支持力，合力指向水平方向的圓心，其受力分析示意圖如下：
則向心力為F＝mgtan37°＝0.75mg，對小球列圓周運動的牛頓第二定律：0.75mg＝mω2r，其中r＝Lcos37°＝0.6L，將其代入求得：ω0。
知識點3 圓盤模型
f靜=mω2r ω臨= 與質量無關 輕繩出現拉力臨界ω1=; AB離心的臨界： 隔離A:T=μmAg；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 隔離A:μmAg-T=mAω22rA；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 隔離A:T-μmAg=mAω22rA；隔離B:T+μmBg=mBω22rB； 整體：AB滑動ω臨2=（） ①μA≥μB, ω臨1= ①ωmin=
②μA<μB, ω臨2= ②ωmax=
（2023 江都區校級開學）如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B，mA＝4kg，mB＝1kg，它們分居在圓心兩側，與圓心距離為rA＝0.1m，rB＝0.2m，中間用細線相連，A、B與盤間的動摩擦因數均為μ＝0.2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉軸非常緩慢地加速轉動，g＝10m/s2，以下正確的是（　　）
A．A的摩擦力先達到最大
B．當，繩子出現張力
C．當，AB兩物體出現相對滑動
D．當，AB兩物體出現相對滑動
【解答】解：A．若A達到最大靜摩擦力時的臨界角速度滿足：
代入數據解得
同理可得B達到最大靜摩擦力時的臨界角速度為：
代入數據解得
則當圓盤轉動的速度逐漸變大時，B先達到臨界角速度值，則B的摩擦力先達到最大，故A錯誤；
B．當B的摩擦力達到最大時，轉速再增加時，繩子出現張力，即當時，繩子出現張力，故B錯誤；
CD．A與B的角速度相等，A的質量是B的4倍而A做圓周運動的半徑是B的，根據F＝mω2r可知A需要的向心力大，所以當AB兩物體出現相對滑動時A背離圓心運動，B向著圓心運動，此時B受靜摩擦力方向背離圓心，A受靜摩擦力方向指向圓心，則對A：
對B：
解得，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 山東模擬）如圖所示，可視為質點、質量為M的物塊用長為L的細繩拴接放在轉盤上，細繩的另一端固定在通過轉盤軸心的豎直桿上，細繩剛好伸直且與豎直方向的夾角為α。已知物塊與轉盤之間的動摩擦因數為μ，且μ＜tanα，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，現讓整個裝置由靜止開始緩慢的加速轉動起來。則下列說法正確的是（　　）
A．整個過程中，細繩的拉力不可能為零
B．從開始轉動到細繩對物塊剛有作用力的過程，轉盤對物塊所做的功為
C．當轉盤的轉速為時，物塊剛好與轉盤分離
D．從開始轉動到物塊剛好與轉盤分離的過程中，轉盤對物塊所做的功為
【解答】解：AB、轉盤剛開始轉動，細繩未繃緊，細繩的拉力為零，此時由靜摩摖力提供向心力，設轉動到某一角速度ω1時，靜摩擦力達到最大值，根據牛頓第二定律有：
此時物塊線速度大小為：v1＝Lω1sinα
從開始運動到細繩中將要出現拉力過程中，設轉盤對物塊做的功為W，對物塊由動能定理，可得
聯立解得，故A錯誤，B正確；
C、當轉盤對物塊支持力恰好為零時，豎直方向由平衡條件有：Mg＝Tcosα
水平方向由牛頓第二定律有：
聯立解得：
此時轉盤的轉速大小為n2，即，故C錯誤；
D、物塊剛好與轉盤分離時，物塊的線速度大小為v2＝Lω2sinα
從開始運動到轉盤對物塊的支持力剛好為零過程上，設轉盤對物塊做的功為W2，對物塊由動能定理，可得
聯立解得，故D錯誤。
故選：B。
（2023春 太康縣校級期中）如圖所示，質量均為m的小物塊A、B分別置于正方形水平薄板abcd邊緣上的a、e兩點，e為ab邊中點，薄板繞過中心的豎直軸轉動。已知薄板邊長為l，A與B、板與B間的動摩擦因數為μ，A與板間的動摩擦因數為μ。若兩小物塊均可視為質點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．若A、B均與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
B．若A、B均與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
C．將B疊放在a處的A上，若A、B均能與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
D．將B疊放在a處的A上，若A、B均能與板相對靜止，薄板轉動的最大角速度為
【解答】解：AB、若A與板相對靜止，此時薄板轉動的最大角速度ω1滿足：fAmμmg＝mω12 l，解得：ω1；
若B與板相對靜止，此時薄板轉動的最大角速度ω2滿足：fBm＝μmg＝mω22 ，解得：ω2ω1。
若A、B均與板相對靜止，則薄板轉動的最大角速度為，故AB錯誤；
CD、將B疊放在a處的A上，若B能與板相對靜止，此時薄板轉動的最大角速度ω1′滿足：μmg＝mω1′2 l，解得ω1′；
若A、B整體能與板相對靜止，此時薄板轉動的最大角速度ω2′滿足：μ 2mg＝2mω2′2 l，解得：ω2′ω1′，故此時薄板轉動的最大角速度為，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（多選）（2023春 鄭州期中）如圖所示，一根細線下端拴一個金屬小球P，細線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔（小孔是光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面內做勻速圓周運動（圓錐擺）．現使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動（圖中P′位置），兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是（　　）
A．Q受到桌面的支持力變大
B．Q受到桌面的靜摩擦力變大
C．小球P運動的周期變大
D．小球P運動的角速度變大
【解答】解：A、金屬塊Q保持在桌面上靜止，根據平衡條件得知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不變。故A錯誤。
B、C、D設細線與豎直方向的夾角為θ，細線的拉力大小為T，細線的長度為L．P球做勻速圓周運動時，由重力和細線的拉力的合力提供向心力，如圖：
則有：T，
mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω，周期T
使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動時，θ增大，cosθ減小，則
得到細線拉力T增大，角速度增大，周期T減小。對Q球，由平衡條件得知，Q受到桌面的靜摩擦力變大。故BD正確，C錯誤。
故選：BD。
（多選）（2023春 太原期中）智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛，如圖甲，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖乙所示。可視為質點的配重質量為m＝0.5kg，繩長為l＝0.5m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2m，水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿做水平勻速圓周運動。若繩子與豎直方向夾角θ＝37°，運動過程中腰帶可看成不動，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列說法正確的是（　　）
A．配重做勻速圓周運動的半徑為0.6m
B．配重的線速度大小為m/s
C．細繩對配重的拉力大小為6.25N
D．若細繩不慎斷裂，配重將做自由落體運動
【解答】解：A、已知懸掛點P到腰帶中心點O的距離為r＝0.2m，則配重做勻速圓周運動的半徑為R＝r+lsinθ＝0.2m+0.5×sin37°m＝0.5m
B、配重隨短桿做水平勻速圓周運動，受力如圖所示，由牛頓第二定律得：mgtan37°＝m，解得vm/s，故B正確；
C、細繩對配重的拉力大小為TN＝6.25N，故C正確；
D、若細繩不慎斷裂，由于慣性，配重具有水平速度，所以配重將做平拋運動，故D錯誤。
故選：BC。
（多選）（2022秋 龍巖期末）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內做圓錐擺運動。如圖甲所示，其中小球A、B在同一水平面內做圓錐擺運動（連接B球的繩較長）；如圖乙所示，小球C、D在不同水平面內做圓錐擺運動，但是連接小球C、D的繩與豎直方向之間的夾角相同（連接D球的繩較長），則下列說法正確的是（　　）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B線速度大小相同
C．小球C、D線速度大小相同
D．小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等
【解答】解：AB、對題圖甲，A、B兩小球分析，設繩與豎直方向的夾角為θ，繩長為l，小球的質量為m，小球A、B與懸點間的豎直高度為h，如圖所示。小球在水平面內做勻速圓周運動，由合外力提供向心力，則由牛頓第二定律有
mgtanθ＝mω2lsinθ
解得：ω，因為小球A、B與懸點間的豎直高度h相同，所以小球A、B的角速度相同。小球A、B的軌跡半徑r不同，由v＝rω可知，小球A、B的線速度大小不同，故A正確，B錯誤；
C、對C、D兩小球分析，設繩與豎直方向的夾角為α，小球的質量為m，繩長為L，同理可知ω
線速度大小為v＝ωr，r＝Lsinα，可得v
小球C、D的繩與豎直方向之間的夾角相同，繩長不同，因此小球C、D線速度大小不同，故C錯誤；
D、對C、D兩小球分析，設繩上的拉力為T，豎直方向有：Tcosα＝mg，則T，可知小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等，故D正確。
故選：AD。
（2022秋 和田縣校級期中）如圖所示，一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和小球B緊貼圓錐筒內壁分別在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法中正確的是（　　）
A．A球的線速度必定大于B球的線速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球運動的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球對筒壁的壓力必定大于B球對筒壁的壓力
【解答】解：A、對小球受力分析，小球受到重力和支持力，它們的合力提供向心力，如圖
根據牛頓第二定律，有：
F＝mgtanθ＝mma
解得：v。
由于A球的轉動半徑較大，A線速度較大。故A正確。
B、ω，由于A球的轉動半徑較大，則A的角速度較小。故B錯誤。
C、根據F＝mgtanθ＝ma得：a＝gtanθ
兩球的向心力相等，向心加速度相等。故C錯誤。
D、由上分析可知，筒對小球的支持力N，與軌道半徑無關，則由牛頓第三定律得知，小球對筒的壓力也與半徑無關，即有球A對筒壁的壓力等于球B對筒壁的壓力。故D錯誤。
故選：A。
（多選）（2022春 郴州期末）一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定，有質量相同的小球A和B沿著筒的內壁在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，A的運動半徑較大，則（　　）
A．A球的角速度必大于B球的角速度
B．A球的線速度必大于B球的線速度
C．A球的運動周期必大于B球的運動周期
D．A球對筒壁的壓力必等于B球對筒壁的壓力
【解答】解：A、如右圖所示，小球A和B緊貼著內壁分別在水平面內做勻速圓周運動。
由于A和B的質量相同，小球A和B在兩處的合力沿水平方向，設圓錐形筒的軸線與筒壁之間的夾角為θ，則小球受到的合力：
可知兩個小球受到的合力是相同的，由于合力提供向心力，即：Fn＝F合，則它們做圓周運動時的向心力是相同的。
由公式Fn＝mω2r，由于球A運動的半徑大于B球的半徑，F和m相同時，半徑大的A角速度小，所以球A的角速度小于球B的角速度，故A錯誤；
B、由向心力的計算公式 Fn＝m，由于球A運動的半徑大于B球的半徑，半徑大的A線速度大，故B正確；
C、由Fn＝m知，半徑較大的A的周期大，故C正確。
D、根據力圖可知N，可知筒壁對A球的支持力等于筒壁對B球的支持力，則球A對筒壁的壓力等于球B對筒壁的壓力，故D正確。
故選：BCD。
（多選）（2023春 張家界期末）如圖所示，A、B兩個相同的茶杯放在餐桌上的自動轉盤上，O為轉盤圓心，B、O間距大于A、O間距，B杯中裝滿水，A杯是空杯，轉盤在電動機的帶動下勻速轉動，A、B兩杯與轉盤始終保持相對靜止，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是（　　）
A．A受到的摩擦力比B的大
B．B受到的摩擦力比A的大
C．增大轉動的角速度，B一定先滑動
D．增大轉動的角速度，A有可能先滑動
【解答】解：AB．茶杯隨轉盤轉時，兩物體角速度相同，由靜摩擦力提供向心力，則有
f＝mω2r
由于
mB＞mA
rB＞rA
則B受到的摩擦力比A的大，故A錯誤，B正確；
CD．設茶杯發生滑動的臨界角速度為ω0，則有
得
由此可知，增大轉動的角速度，B一定先滑動，故C正確，D錯誤。
故選：BC。
（多選）（2023春 駐馬店期末）如圖所示，一質量為m的小球用兩根輕繩AC、BC系著，繩的A、B端分別系于豎直長細桿頂端的A點和B點，A、B兩點相距L，AC繩長為2L，且不可伸長，BC繩為彈性繩，原長為，桿的下端固定在位于地面上的水平轉盤中心。現讓桿隨水平轉盤繞豎直中心軸勻速轉動，此時AC繩擺開一定角度，小球隨同在水平面內做勻速圓周運動。不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列分析正確的是（　　）
A．若此時BC繩處于拉伸狀態，則桿轉動的角速度為
B．若此時AC繩的拉力FAC＝2mg，則BC繩的拉力剛好為0
C．若此時從小球處突然剪斷BC繩，則AC繩與桿的夾角將變小
D．若細桿轉動的角速度為，則小球的速度大小應為
【解答】解：AB、當BC伸直且剛好處于原長時，根據幾何關系可得此時BC處于水平方向，∠BAC＝60°，根據牛頓第二定律得
解得此時角速度為：
此時AC繩的拉力為：
所以若此時BC繩處于拉伸狀態，則桿轉動的角速度應滿足，若此時AC繩的拉力FAC＝2mg，則BC繩的拉力剛好為0，故A錯誤，B正確；
C、若此時BC處于拉伸狀態，從小球處突然剪斷BC繩，則AC繩與桿的夾角將變大；若此時BC處于原長，從小球處突然剪斷BC繩，則AC繩與桿的夾角將不變，故C錯誤；
D、若細桿轉動的角速度為，則BC不能伸直，由牛頓第二定律得：
mgtanθ＝mω2（2Lsinθ）
解得：
小球的速度大小應為：v＝ω 2Lsinθ，解得：，故D正確。
故選：BD。
（2023春 碑林區校級期末）如圖所示，一半徑為R＝0.5m的水平轉盤可以繞著豎直軸OO'轉動，水平轉盤中心O處有一個光滑小孔，用一根長為L＝1m的細線穿過小孔將質量分別為mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物塊B連接。現讓小球和水平轉盤各以一定的角速度在水平面內轉動起來，小物塊B與水平轉盤間的動摩擦因數μ＝0.3，且始終處于水平轉盤的邊緣處與轉盤相對靜止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，細線與豎直方向的夾角θ；
（2）在滿足（1）中的條件下，通過計算給出水平轉盤角速度ωB的取值范圍，并在圖中畫出f﹣ω2圖像（假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且規定沿半徑指向圓心為正方向）；
（3）在水平轉盤角速度ωB為（2）中的最大值的情況下，當小球A和小物塊B轉動至兩者速度方向相反時，由于某種原因細線突然斷裂，經過多長時間A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的數據：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
【解答】解：（1）對小球A受力分析如下圖所示，并將拉力與重力合成，合力水平：
根據合力提供向心力有：mgtanθ＝mω2rA，rA＝（L﹣R）sinθ，將ω、g、L、R代入得，cosθ，則θ＝37°；
（2）在滿足（1）中的條件下，即繩的拉力F大小不變，根據對小球A的分析，F；
對B物體受力分析，拉力和摩擦力的合力提供向心力，由于水平轉盤中心O處的小孔光滑，拉力也等于F，當水平轉盤角速度取最小ωB1時，B物體有向內運動的趨勢，則摩擦力沿半徑向外并且靜摩擦力達到最大值，有：F，將F、μ、R代入解得ωB1＝2rad/s；
當水平轉盤角速度取最大ωB2時，B物體有向外運動的趨勢，則摩擦力沿半徑向內并且靜摩擦力達到最大值，有：F，將F、μ、R代入解得ωB2＝4rad/s；
所以ωB的取值范圍是2rad/s≤ωB≤4rad/s；
規定沿半徑指向圓心為正方向，則向心力表達式為F+f，則f＝﹣F（﹣2.5+0.25ω2）N，根據這個函數表達式以及角速度的極值畫出出f﹣ω2圖像如下圖所示：
（3）由于某種原因細線突然斷裂，小球A和小物塊B做平拋運動，小球A的初速度vA＝ωrA＝5×0.5×sin37°m/s＝1.5m/s
小物塊B的初速度vB＝RωB2＝0.5×4m/s＝2m/s，設經過t時間A的速度與水平方向成角度為α，這時B的速度與豎直方向成角度也為α，這時A和B的速度相互垂直，有tanα，代入數據解得t。
（2023春 房山區期中）如圖所示，餐桌中心是一個可以勻速轉動、半徑R為1米的圓盤。圓盤與餐桌在同一水平面內且兩者之間的間隙可忽略不計。放置在圓盤邊緣的質量為m＝0.1kg的物體與圓盤之間的動摩擦因數為μ1＝0.4，與餐桌之間的動摩擦因數μ2＝0.2，餐桌高h＝0.8米。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g取m/s2。
（1）為使物體不滑到餐桌上，求圓盤的角速度的最大值ω；
（2）緩慢增大圓盤的角速度，物體將從圓盤上滑出。
a、為使物體不滑落到地面，求餐桌半徑的最小值R1；
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，求物體離開圓盤后水平方向總位移x。
【解答】解：（1）為使物體不從圓盤上滑出，則μ1mg≥mω2R
解得：ω≤2rad/s
所以為使物體不滑到餐桌上，圓盤的角速度的最大值ω為2rad/s。
（2）a、設物體恰好從圓盤上滑出時的速度為v1，由（1）可知物體恰好從圓盤上滑出時圓盤的角速度為2rad/s，則
v1＝ωR＝2×1m/s＝2m/s
物體恰好不滑落到地面，滑到餐桌邊緣速度減到0，有
μ2mg＝ma
2ax1
聯立解得物體滑過的位移：x1＝1m
餐桌最小半徑R1mm
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，物體在餐桌上滑行的距離為
x2m＝0.75m
根據勻變速直線運動規律可得：
2（﹣μ2g）x2
解得物體離開桌邊的水平速度：v2＝1m/s
設物體離開桌面平拋運動的時間t2，則h
解得：t2＝0.4s
平拋運動的水平位移大小為x3＝v2t2＝1×0.4m＝0.4m
物體離開圓盤后水平方向總位移為
x＝x2+x3＝0.75m+0.4m＝1.15m
（2023春 鄭州期中）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO'重合，轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO'之間的夾角θ為60°。已知重力加速度大小為g。
（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω0；
（2）若陶罐以角速度轉動，小物塊仍相對陶罐靜止，求小物塊此時所受的摩擦力的大小及方向？
【解答】解：（1）如圖1所示，當小物塊受到的摩擦力為零，由支持力和重力的合力提供向心力，則有：
解得：
（2）陶罐以角速度轉動時，ω＜ω0，小物塊受力如圖2所示，
重力和支持力的合力大于所需的向心力
所以摩擦力方向沿罐壁切線向上與水平方向夾角成60°。
由牛頓第二定律得
水平方向，有：FN′sinθ﹣fcosθ＝mω2Rsinθ
豎直方向，有：mg＝FN′cosθ+fsinθ
聯立兩式解得：
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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