資源簡介

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5.2 運動的合成和分解
學習目標 核心素養
1.理解合運動、分運動的概念，掌握運動的合成與分解的方法． 2．能利用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題和關聯速度問題. 1、物理觀念：運動的合成和分解的概念。 2、科學思維：合成與分解的思想，數學推導蠟塊軌跡方程。 3、科學探究：觀察分析蠟塊的運動，探究兩個勻速直線運動的合運動的性質。 4、科學態度與責任：應用合成與分解思想分析生活中的曲線運動。
知識點1 一個平面運動的實例——觀察蠟塊的運動
1．建立坐標系
研究蠟塊在平面內的運動，可以選擇建立平面直角坐標系．
如圖1所示，以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標系．
圖1
2．蠟塊運動的位置：以vx表示玻璃管向右勻速移動的速度，以vy表示蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度，則在某時刻t，蠟塊的位置P的坐標：x＝vxt，y＝vyt.
3．蠟塊運動的軌跡：在x、y的表達式中消去t，得到y＝x，可見此式代表的是一條過原點的直線，即蠟塊的運動軌跡是直線．
4．蠟塊運動的速度：大小v＝，方向滿足tan θ＝.
（2023春 荔灣區校級期中）如圖（a）所示，在一段封閉的玻璃管內注滿清水，水中放一個紅蠟做成的小圓柱體并塞緊管口，如圖（b）所示，將玻璃管倒置，蠟塊會沿玻璃管勻速上升，如圖（c）所示，在蠟塊上升的同時將玻璃管從靜止開始水平向右勻加速移動，則該過程中蠟塊相對地面的運動軌跡大致為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意可知紅蠟塊在豎直向上做勻速直線運動，豎直方向的加速度為零，合力為零；
而紅蠟塊在水平向右做初速度為零的勻加速直線運動，水平方向具有向右的加速度和合力；
所以紅蠟塊的合初速度沿豎直方向，合力方向水平向右，根據曲線運動的條件可知蠟塊的合運動為勻變速曲線運動，其速度方向與水平方向的夾角的正切值為
由上式可知θ隨t的增大而逐漸減小，而蠟塊速度方向沿軌跡切線方向，所以紅蠟塊實際運動的軌跡可能是C。
故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（2023春 晉城期末）如圖甲所示，課堂上老師把黑板寫得滿滿當當，值日生需在課間擦黑板，若以黑板下邊沿為x軸、左邊沿為y軸建立直角坐標系，黑板擦在黑板上留下的痕跡如圖乙所示，關于黑板擦的運動和受力情況，下列說法正確的是（　?。?br/>A．若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則可能沿y軸正方向做勻加速直線運動
B．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻速直線運動
C．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻加速直線運動
D．若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則受到黑板的摩擦力指向軌跡凹側
【解答】解：A．若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，沿y軸正方向做勻加速直線運動，則受到的合外力沿y軸正方向，運動軌跡向上彎曲，故A錯誤；
B．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，沿x軸正方向做勻速直線運動，則運動軌跡為直線，故B錯誤；
C．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，沿x軸正方向做勻加速直線運動，則受到的合外力沿x軸正方向，運動軌跡向右彎曲，故C正確；
D．根據摩擦力的特點可知，黑板擦受到黑板的滑動摩擦力方向與運動方向相反，故D錯誤。
故選：C。
（2023春 九江期末）在一端封閉的玻璃管內注滿清水，水中放一個紅蠟塊A，將玻璃管的開口端用橡膠塞塞緊。把玻璃管倒置，蠟塊沿玻璃管勻速上升。在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速運動，觀察蠟塊做（　?。?br/>A．勻速直線運動 B．圓周運動
C．勻變速曲線運動 D．勻加速直線運動
【解答】解：蠟塊A沿玻璃管勻速上升，同時沿水平方向向右勻速運動，兩個方向的加速度均為零，即合加速度仍為零，所以蠟塊做勻速直線運動；故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
知識點2 運動的合成與分解
1．合運動與分運動
如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動(選填“合運動”或“分運動”)，同時參與的幾個運動就是分運動．
2．運動的合成與分解：由分運動求合運動的過程，叫作運動的合成；由合運動求分運動的過程，叫作運動的分解．
3．運動的合成與分解遵從矢量運算法則．
4．分析兩個互成角度的直線運動的合運動的性質時，應先求出合運動的合初速度v0和合加速度a，然后進行判斷．
5．曲、直判斷：
加速度(或合力)與速度方向
6．是否為勻變速運動的判斷：
加速度(或合力)
[深度思考]　互成角度的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動的軌跡向哪個方向彎曲？
答案　軌跡在合初速度v0與合加速度a之間，且向合加速度一側彎曲．
不在一條直線上的兩個直線運動的合運動的幾種可能情況
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動 一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線，為勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動
（2023春 甘肅期末）如圖所示，勻速直線上升的熱氣球（可視為質點）突然受到方向水平向左、大小恒定的風力F，則（　?。?br/>A．熱氣球將做曲線運動
B．熱氣球在相同時間內的速度變化量將越來越大
C．熱氣球將在豎直方向做減速運動
D．熱氣球的速度將先增大后減小
【解答】解：AC．熱氣球豎直方向受到的合外力為零，做勻速運動，水平方向受到恒力作用做勻加速運動，則合運動為曲線運動，故A正確，C錯誤；
B．熱氣球水平方向受到恒力作用，加速度恒定不變，根據Δv＝aΔt可知，在相同時間內的速度變化量不變，故B錯誤；
D．熱氣球的豎直速度不變，水平速度增加，則速度將不斷變大，故D錯誤。
故選：A。
（2023春 湖南期中）如圖甲所示，近年來無人機已越來越頻繁應用在物流配送場景，包括應急救援、冷鏈、物資運送。某次配送物資無人機在飛行過程中，水平方向速度vx及豎直方向vy與飛行時間t的關系圖像如圖乙、圖丙所示。關于該無人機運動，下列說法正確的是（　?。?br/>A．在0～2s內，無人機做勻變速曲線運動
B．在第2s末，無人機運動到最高點
C．在第4s末，無人機的速度大小為7m/s
D．在2 6s內，無人機做勻變速曲線運動
【解答】解：A．根據圖像可知，在0 2s時間內，無人機在水平方向與豎直方向上均做初速度為0的勻加速直線運動，則合運動為初速度為零的勻加速直線運動，故A錯誤；
B．根據圖像可知，0 6s時間內，無人機豎直方向速度一直為正值，可知在第2s末無人機運動沒有運動到最高點，故B錯誤；
CD．根據圖像可知2 6s時間內，無人機在水平方向做vx＝4m/s的勻速直線運動，豎直方向上做勻減速直線運動，通過圖像可知第4s末，速度為vy＝3m/s，合速度為，可知無人機做勻變速曲線運動，故C錯誤，D正確；
故選：D。
（2023春 伊州區校級期末）路燈維修車如圖所示，車上帶有豎直自動升降梯。若一段時間內，車勻加速向左沿直線運動的同時梯子勻速上升，則關于這段時間內站在梯子上的工人的描述正確的是（　　）
A．工人一定做勻變速運動
B．工人的運動軌跡是直線
C．工人一定做勻速運動
D．工人的運動軌跡與車的運動無關
【解答】解：ACD．工人的實際運動由水平和豎直兩個分運動共同決定，且豎直方向上做勻速直線運動，水平方向上做勻加速直線運動，故工人具有恒定加速度，則一定做勻變速運動，且工人的運動軌跡與車的運動有關，故A正確，CD錯誤；
B．由題意可知，工人的速度斜向左上方，加速度向左，則工人的運動軌跡時曲線，故B錯誤；
故選：A。
（多選）（2023 日照開學）質量m＝1kg的物體在光滑水平面上運動，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy隨時間變化的圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是（　?。?br/>A．物體的初速度大小為3m/s
B．物體所受的合力大小為0.5N
C．0～8s內物體做勻加速直線運動
D．0～8s內物體的位移大小為
【解答】解：A.由題圖可知vx0＝3m/s，vy0＝0，所以物體的初速度大小為
v0m/s＝3m/s，故A正確；
BC.物體在x方向的加速度ax＝0，在y方向的加速度
aym/s2＝0.5m/s2
故加速度為
am/s2＝0.5m/s2
0～8s內物體做勻加速直線運動，故C正確；
根據牛頓第二定律得
F合＝ma＝1×0.5N＝0.5N，故B正確；
D.t1＝8s時，x1＝vx0t1＝3m/s×8s＝24m，
y1ay0.5×82m＝16m
所以0～8s內物體的位移大小
s1m＝12m，故D錯誤。
故選：ABC。
知識點3 小船渡河問題
1．小船參與的兩個分運動
(1)船對地的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同．
(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行．
2．兩類最值問題
(1)渡河時間最短問題
由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖甲可知，t短＝，此時船渡河的位移x＝，位移方向滿足tan θ＝.
(2)渡河位移最短問題
情況一：v水＜v船
最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如圖乙所示．
情況二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖丙所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短．由圖可知sin α＝，最短航程為x＝＝d.此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2023春 烏魯木齊期末）一小船在靜水中的速度為5m/s，它在一條河寬為120m、水流速度為3m/s的河流中渡河。下列說法正確的是（　?。?br/>A．小船不能到達正對岸
B．若以最短位移渡河，小船相對河岸的速度為8m/s
C．若以最短時間渡河，小船船頭應垂直于河岸
D．若以最短時間渡河，小船渡河的位移大小為160m
【解答】解：A、小船在靜水中的速度大于水流速度，則小船能到達正對岸，故A錯誤；
B、若以最短位移渡河，小船的合速度方向垂直于河岸，如圖
則小船相對河岸的速度為v合m/s＝4m/s
故B錯誤；
CD、若小船以最短時間渡河，則小船船頭應垂直于河岸，如圖
小船渡河時間為ts＝24s
合速度為v合′m/sm/s
渡河位移為x＝v合′t＝24m
故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2023春 衢州期末）如圖所示，小船以速度大小為v（船在靜水中的速度）、方向與上游河岸成θ角從O處過河，經過一段時間，正好到達正對岸的O'處。現要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸O'處，在水流速度不變的情況下，可采取的方法是（　　）
A．α1＝θ、v1＞v B．α2＜θ、v2＞v
C．α3＞θ、v3＜v D．α4＞θ、v4＞v
【解答】解：由題意可知，航線恰好垂直于河岸，要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸O'處，則合速度增大，方向始終垂直河岸。小船在靜水中的速度增大，與上游河岸的夾角θ增大，如圖所示：
故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2023春 南充期末）一段兩岸平直、河寬為L的河流，河水均勻流動的速率為v1，船在靜水中的速率為v2，則（　　）
A．若船頭垂直河岸渡河，其渡河位移最小為L
B．若v1＜v2，則船不可能垂直于河岸渡河
C．若v1＜v2，則船渡河的最小位移為L
D．若v1＞v2，則船渡河的最短時間為
【解答】解：A．若船頭垂直河岸渡河，其合速度方向沿為斜向下游的方向，其渡河軌跡為向下游的直線，因此位移一定大于L，故A錯誤；
BC．若v1＜v2，則船速可以分解為沿河上游方向大小為v1的分速度，另一個方向為垂直河岸的速度，在沿河方向水速和船的分速度相互抵消，因此船可以垂直于河岸過河，其位移最小為L，故B錯誤，C正確；
D．無論水速快還是船速快，船渡河的最短時間為，故D錯誤。
故選：C。
（2023春 香坊區校級月考）如圖所示，一條寬為d＝120m的足夠長河流，水流速度恒為v1＝3m/s，一艘小船從A點出發向對岸駛去，已知小船在靜水中的速度v2＝5m/s，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）小船渡河的最短時間，及最短時間渡河沿河岸方向位移。
（2）小船渡河的最短航程及船頭的朝向。
【解答】解：（1）當小船的船頭垂直河岸行駛時，則小船渡河時間最短，
所以最短時間為s＝24s，則最短時間渡河沿河岸方向位移s1＝v1t＝3×24m＝72m。
（2）因為v2＞v1，所以小船能垂直過河，假設當船頭朝向上游且與河岸所成夾角為θ時，則小船渡河航程最短，如圖所示：
由幾何關系可知，，解得θ＝53°，即船頭朝向上游與河岸成53°角時，小船航程最短，則最短航程為s＝d＝120m。
知識點4 關聯速度問題
1．“關聯”速度問題：指物體斜著拉繩(桿)或繩(桿)斜著拉物體時，兩端所連接物體的速度關系問題．
2．“關聯”速度的分解規律
(1)分解依據
①物體的實際運動是合運動．
②由于繩(桿)不可伸長，所以繩(桿)兩端所連物體的速度沿著繩(桿)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：將物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個分量．
(3)常見的速度分解情形如下：
（2023春 宿州期中）如圖所示，汽車在岸上用輕繩拉船，若汽車行進速度大小為v，拉船的繩與水平方向夾角為，則此時船的速度大小為（　?。?br/>A．v B． C． D．2v
【解答】解：設船的速度為v1，把船的速度分解為沿著繩子方向的速度和垂直于繩子方向的速度，如圖
其中沿著繩子方向的分速度等于汽車的行進速度，由幾何關系可得
解得
故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023春 張家界期末）建筑工人用如圖所示裝置將建筑材料提升到高處，工人在高處平臺上向右做勻速直線運動（運動過程中手握繩的高度不變），當手牽引的繩與水平方向的夾角為θ＝53°時，重物上升的速度大小為1m/s，則當θ＝37°時，重物上升的速度大小為（　?。?br/>A． B． C． D．
【解答】解：設人運動的速度大小為v，根據重物上升的速度為與人沿繩方向的分速度相等，由圖可知
v1＝vcosθ 當 θ＝53°時，v1＝1m/s，解得v
當θ＝37°時，重物上升的速度為.故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2023春 天津期中）生活中人們通常利用定滑輪來升降物體。如圖所示，一根輕質不可伸長的細繩繞過光滑的定滑輪，繩的一端系著質量為m的重物A，繩的另一端由人握著向左以速度v勻速移動，經過圖示位置時繩與水平方向的夾角為α，下列說法正確的是（　?。?br/>A．重物勻加速上升
B．重物以速度v勻速上升
C．繩對重物的拉力始終小于它的重力
D．經過圖示位置α＝60°時人與重物的速度大小之比為2：1
【解答】解：AB、將人的速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向，如圖
人沿繩方向的分速度大小等于重物A上升的分速度大小，則有vA＝vcosα
隨人運動過程中，v不變，α減小，cosα增大，則重物的速度增大，即重物做加速運動，但不是勻加速運動，故AB錯誤；
C、重物做加速運動，則繩上的拉力大于重力，故C錯誤；
D、α＝60°時，人與重物的速度大小之比為v：vA＝v：vcos60°＝2：1
故D正確。
故選：D。
（2022秋 零陵區校級期末）《綜合國力“十三五”國家科技創新規劃》提出，要加強“深空”“深海”“深地”“深藍”領域的戰略高科技部署，其中“深海”領域主要是深海探測和研究。如圖所示是上海交通大學某科研小組在某次深海探測結束后，利用牽引汽車將某探測器M從海面起吊上岸的過程簡化圖，不計滑輪摩擦和繩子質量，牽引汽車以速度v向左勻速運動，當牽引汽車端繩子與水平方向的夾角為θ時，探測器M的速率為（　　）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．
【解答】解：將汽車的速度按沿繩方向和垂直繩子方向進行分解，如圖
汽車沿繩子方向的速度的大小等于M的速度的大小，根據平行四邊形定則得，v∥＝vcosθ
探測器M上升的速率即為v∥，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023 讓胡路區校級開學）一艘小船要從河的此岸駛向對岸，假設河岸是平直的，河水流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，現要求小船行駛的路程最短，則小船船頭指向（　?。?br/>A．與河岸成一定角度，斜向上游
B．與河岸成一定角度，斜向下游
C．與河岸垂直，指向對岸
D．與河岸平行，指向上游
【解答】解：小船的實際運動的速度是小船在靜水中的速度與水流速度的合速度，小船實際運動方向沿小船的合速度方向；將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，小船垂直于河岸方向的分速度使小船到對岸，沿河岸的分速度與河水速度的合速度使小船沿河岸方向運動；要求小船行駛的路程最短，則小船船頭與河岸成一定角度，斜向上游，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2022秋 泗陽縣校級期末）小船在靜水中的速度為4m/s，它在一條寬為160m，水流速度為3m/s的河中渡河，下列說法正確的是（　?。?br/>A．小船不能到達正對岸
B．渡河的最短時間為32s
C．以最短位移渡河，小船的渡河時間為40s
D．以最短時間渡河，小船的渡河位移為200m
【解答】解：A、小船在靜水中的速度大于水流速度，可知小船的合速度方向可以垂直于河岸，則小船能到達正對岸，故A錯誤；
BD、當船頭垂直于河岸時，渡河時間最短，最短時間tmins＝40s
合速度大小為
小船的渡河位移為s＝v合tmin＝5×40m＝200m
故B錯誤，D正確；
C、小船以最短位移渡河時，合速度方向垂直于河岸，合速度大小為
則小船的渡河時間為
故C錯誤；
故選：D。
（2023春 四川期末）一游泳健兒以恒定的速度渡河，河水的流速離岸邊越遠，速度越大，則游泳者垂直河岸方向移動相等距離所需的時間將（　?。?br/>A．不變 B．減小
C．增大 D．先增大后減小
【解答】解：游泳者垂直河岸方向移動的時間與水速無關，只與游泳者垂直河岸的速度有關，根據：
游泳者以恒定的速度渡河，所以沿河岸方向移動相等距離x所需的時間不變，故BCD錯誤，A正確。
故選：A。
（2023春 巴楚縣期末）某渡船在橫渡閩江時從江岸邊的P位置出發，保持船頭方向始終與對岸垂直，已知船在靜水中的速度大小恒定，江水的流速不變。該渡船渡江的軌跡可能是圖中的（　?。?br/>A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：船在渡江的過程中同時參與了沿著江水方向的勻速直線運動以及垂直于對岸的勻速直線運動兩個分運動，而兩個勻速直線運動的合運動是勻速直線運動，所以運動軌跡是圖中的③，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023春 河池期末）運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，如小船過河、騎馬射箭等問題。關于運動的合成與分解，下列說法正確的是（　?。?br/>A．兩個直線運動的合運動不一定是直線運動
B．合運動的速度和加速度一定大于每個分運動的速度和加速度
C．兩個不在同一條直線上初速度為零的勻加速直線運動的合運動可能不是直線運動
D．當靜水船速和河水的流速一定，小船要到河的對岸，只要調整好船頭的方向，就可以使小船渡河的位移等于河寬
【解答】解：A．兩個直線運動的合運動不一定是直線運動，可以是勻變速曲線運動，比如平拋運動，故A正確；
B．根據平行四邊形定則，合速度不一定大于分速度，合加速度不一定大于分加速度，故B錯誤；
C．兩個不在同一條直線上的初速度為零的勻加速直線運動，則加速度為兩個方向的合加速度，由于靜止，初速度為零，故合運動做勻加速直線運動，故C錯誤；
D．當靜水船速小于水流速，根據速度合成規律，合速度不可能垂直于河岸，即渡河的位移不可能等于河寬，故D錯誤。
故選：A。
（2023春 蚌埠期末）在無風的天氣中，雨滴在空中豎直勻速下落，人打傘以一定的速度水平向右勻速運動。如果希望雨垂直打在傘的上表面上（傘面視為平面，傘面可以自動調整方向，傘柄始終處于豎直方向）而少淋雨，下列圖中大致正確的打傘方式是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解答】解：由題意可知，雨滴勻速豎直下落，則雨相對于地面的速度v雨地向下，人打傘勻速向右急行，即傘相對于地面的速度v傘地向右，則地面相對于傘的速度v地傘向左，根據矢量的合成可知v雨傘＝v雨地+v地傘
結合平行四邊形定則，可知雨滴相對雨傘的速度方向斜向左下，則如果希望雨垂直打在傘的上表面上，雨傘傘面應該像圖A一樣傾斜。
故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2023春 礦區校級期中）如圖是輪渡的簡化圖。已知船在靜水中的速度為v1，水流速度為9m/s。當船從A處過河時，船頭與上游河岸的夾角θ＝53°，一段時間后，船正好到達正對岸B處。若河寬為450m，船在靜水中的速度大小不變，水流的速度不變，則（　　）
A．v1＝5.4m/s
B．船渡河的時間為37.5s
C．若改變船的航行方向，船最短的渡河時間為25s
D．若增大船頭與上游河岸的夾角θ，則小船將到達河對岸B的上游
【解答】解：A．將船的速度與水流速度合成，如圖：
有cosθ
代入數據解得船的速度v1＝15m/s，故A錯誤；
B．此時船渡河的時間為ts＝37.5s，故B正確；
C．當船頭垂直于河岸時，最短渡河時間為tmins＝30s，故C錯誤；
D．若增大船頭與上游河岸的夾角θ，根據平行四邊形定則，可知，船的合速度方向指向河對岸B的下方，即若增大船頭與上游河岸的夾角θ，則小船將到達河對岸B的下游，故D錯誤。
故選：B。
（2023春 順義區期末）通常情況下，實際的拋體都是在介質中運動的。由于介質對運動物體的阻礙作用，物體會損耗部分機械能。已知在空氣中運動的物體所受阻力方向與運動方向相反，大小隨速度的增大而增大。假定空氣中一彈丸從地面拋射出去，初速度為v0方向與水平地面夾角為θ，如圖所示。彈丸落地時，速度大小為v，方向與水平地面夾角為α，落地點與拋出點在同一水平面。彈丸從拋出到落地的過程中，下列說法正確的是（　?。?br/>A．彈丸的加速度先減小后增大
B．彈丸上升的時間小于下降的時間
C．彈丸在最高點時的加速度是重力加速度
D．彈丸落地時與水平地面的夾角α小于拋出時與水平地面的夾角θ
【解答】解：B.彈丸運動如圖所示，
設阻力方向與水平方向的夾角為β，豎直方向初速度為v0y＝v0sinθ，從開始到最高點加速度 ，從最高點到落點加速度 ，可知上升過程豎直方向上加速度更大，則上升時間要小，故B正確；
A.彈丸的加速度一直在減小，故A錯誤；
C.最高點時，阻力f與重力mg垂直，加速度為，故C錯誤；
D.如圖所示，
虛線是沒有阻力作用時的拋物線，而存在空氣阻力時，球在豎直和水平方向上都會做減速運動，實際球的軌跡為實線所示，彈丸落地時與水平方向的夾角α大于拋出時與水平方向的夾射角θ，故D錯誤。
故選：B。
（2023春 濟南期末）如圖所示，某趣味物理實驗中，在水平桌面上從桌子的一個角A向B發射一個乒乓球。一同學在桌邊試著用一支吹管將球由B處吹進球門C，AB垂直于BC，該同學將吹管對準C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（　?。?br/>A．將球門沿直線BC適當靠近B
B．將球門沿直線BC適當遠離B
C．將球門垂直于直線BC向右平移適當距離
D．將吹管沿直線AB向右平移適當距離，垂直AB方向吹氣
【解答】解：原方案中，吹管吹氣只改變了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不變，所以單純沿BC方向吹氣而施加力的作用不能使球落入球門中。如果將球門垂直于直線BC向右平移適當距離，根據運動的合成與分解的知識可知，球可能落入球門中，只有C可行，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023春 包河區校級期末）小明和小華兩位同學玩游戲，他們找來一張白紙、一支鉛筆、一把直尺，固定白紙后，小明用鉛筆沿直尺（且直尺平行于ab）向右勻速運動，而小華同時將直尺沿ca方向向上先做加速運動后做減速運動，請你判斷鉛筆在白紙上留下的痕跡可能是（　?。?br/>A．B． C． D．
【解答】解：由題意可知，對鉛筆的運動進行分解，鉛筆的運動可分為水平方向和豎直方向上的兩個分運動，即鉛筆在水平分向上向右做勻速直線運動，同時在豎直方向上先加速運動后做減速運動。由此可知，鉛筆的合運動為曲線運動，且鉛筆受到的合力方向先豎直向上后豎直向下，根據曲線運動合力方向指向曲線運動軌跡的凹側，可知鉛筆在白紙上留下的痕跡可能是先下凹后上凸，故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2023春 順義區校級月考）運動合成和分解是研究曲線運動的重要思想方法，請你結合這一思想和所學過的知識研究下面問題。
在一光滑水平面上建立xOy平面坐標系，一質量為m＝2kg的質點某時刻在水平面上從坐標原點開始運動，在接下來的一段時間內沿x方向和y方向的x﹣t圖像和vy﹣t圖像分別如圖1、圖2所示。
（1）求質點所受的合力F；
（2）求質點2s末距坐標原點的距離；（結果可以帶根號）
（3）寫出質點的y﹣x的軌跡方程，并在圖3上大致畫出2s內質點的運動軌跡圖。
【解答】解：（1）由圖像可知，沿x正方向做勻速直線運動，速度為
沿y正方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度為
所以，質點所受的合力
方向沿y正方向。
（2）2s末，沿x方向，根據圖1可知x1＝8m
沿y方向，根據圖2可知
所以，質點2s末距坐標原點的距離
（3）由題意可知x＝vxt，
聯立可得，質點的y﹣x的軌跡方程為
2s內質點的運動軌跡圖如圖所示
（2022秋 江西月考）風洞是研究空氣動力學的實驗設備。如圖，兩水平面（虛線）之間的距離為H，其間為風洞的區域，物體進入該區間會受到水平方向的恒力，自該區域下邊界的O點將質量為m的小球以一定的初速度豎直上拋，從M點離開風洞區域，小球再次從N點返回風洞區域后做直線運動，落在風洞區域的下邊界P處，NP與水平方向的夾角為45°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求：
（1）風洞區域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球運動過程中離風洞下邊界OP的最大高度；
（3）OP的距離。
【解答】解：（1）小球再次從N點返回風洞區域后做直線運動，合力方向與速度方向在同一條直線上，受力情況如圖所示；
根據平行四邊形定則和幾何知識知：，
可得：F＝mg。
（2）最高點的小球的速度沿水平方向，設該速度為v，則小球在M、N點的水平方向速度也為v，設小球在M、N點豎直方向的速度為vy，在O點的初速度為v0。
由O到M的時間為t，水平方向有：vt＝gt，
在P點，水平方向有：，
在豎直方向上，小球在從O點到P點做上拋運動，豎直方向上速度相等，此時速度方向與水平方向夾角為45°，可得v0＝2v，
由N到P小球做直線運動，設在N點豎直方向速度為，則有：，
可得：，
設最高點為Q點，則在豎直方向上，由Q到N，，
由N到P有：，可得t1＝t，
在豎直方向上有：，，
可得；
小球運動過程中離風洞下邊界OP的最大高度h1HH
（3）水平方向由O到M有：，由M到N有：x2＝2vt，由N到P有：，
由（2）可知v0＝2v，，
聯立可得x＝x1+x2+x3。
解得：xH。
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5.2 運動的合成和分解
學習目標 核心素養
1.理解合運動、分運動的概念，掌握運動的合成與分解的方法． 2．能利用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題和關聯速度問題. 1、物理觀念：運動的合成和分解的概念。 2、科學思維：合成與分解的思想，數學推導蠟塊軌跡方程。 3、科學探究：觀察分析蠟塊的運動，探究兩個勻速直線運動的合運動的性質。 4、科學態度與責任：應用合成與分解思想分析生活中的曲線運動。
知識點1 一個平面運動的實例——觀察蠟塊的運動
1．建立坐標系
研究蠟塊在平面內的運動，可以選擇建立平面直角坐標系．
如圖1所示，以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標系．
圖1
2．蠟塊運動的位置：以vx表示玻璃管向右勻速移動的速度，以vy表示蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度，則在某時刻t，蠟塊的位置P的坐標：x＝vxt，y＝vyt.
3．蠟塊運動的軌跡：在x、y的表達式中消去t，得到y＝x，可見此式代表的是一條過原點的直線，即蠟塊的運動軌跡是直線．
4．蠟塊運動的速度：大小v＝，方向滿足tan θ＝.
（2023春 荔灣區校級期中）如圖（a）所示，在一段封閉的玻璃管內注滿清水，水中放一個紅蠟做成的小圓柱體并塞緊管口，如圖（b）所示，將玻璃管倒置，蠟塊會沿玻璃管勻速上升，如圖（c）所示，在蠟塊上升的同時將玻璃管從靜止開始水平向右勻加速移動，則該過程中蠟塊相對地面的運動軌跡大致為（　?。?br/>A． B．
C． D．
（2023春 晉城期末）如圖甲所示，課堂上老師把黑板寫得滿滿當當，值日生需在課間擦黑板，若以黑板下邊沿為x軸、左邊沿為y軸建立直角坐標系，黑板擦在黑板上留下的痕跡如圖乙所示，關于黑板擦的運動和受力情況，下列說法正確的是（　?。?br/>A．若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則可能沿y軸正方向做勻加速直線運動
B．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻速直線運動
C．若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻加速直線運動
D．若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則受到黑板的摩擦力指向軌跡凹側
（2023春 九江期末）在一端封閉的玻璃管內注滿清水，水中放一個紅蠟塊A，將玻璃管的開口端用橡膠塞塞緊。把玻璃管倒置，蠟塊沿玻璃管勻速上升。在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速運動，觀察蠟塊做（　　）
A．勻速直線運動 B．圓周運動
C．勻變速曲線運動 D．勻加速直線運動
知識點2 運動的合成與分解
1．合運動與分運動
如果物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動(選填“合運動”或“分運動”)，同時參與的幾個運動就是分運動．
2．運動的合成與分解：由分運動求合運動的過程，叫作運動的合成；由合運動求分運動的過程，叫作運動的分解．
3．運動的合成與分解遵從矢量運算法則．
4．分析兩個互成角度的直線運動的合運動的性質時，應先求出合運動的合初速度v0和合加速度a，然后進行判斷．
5．曲、直判斷：
加速度(或合力)與速度方向
6．是否為勻變速運動的判斷：
加速度(或合力)
[深度思考]　互成角度的一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動的軌跡向哪個方向彎曲？
（2023春 甘肅期末）如圖所示，勻速直線上升的熱氣球（可視為質點）突然受到方向水平向左、大小恒定的風力F，則（　　）
A．熱氣球將做曲線運動
B．熱氣球在相同時間內的速度變化量將越來越大
C．熱氣球將在豎直方向做減速運動
D．熱氣球的速度將先增大后減小
（2023春 湖南期中）如圖甲所示，近年來無人機已越來越頻繁應用在物流配送場景，包括應急救援、冷鏈、物資運送。某次配送物資無人機在飛行過程中，水平方向速度vx及豎直方向vy與飛行時間t的關系圖像如圖乙、圖丙所示。關于該無人機運動，下列說法正確的是（　?。?br/>A．在0～2s內，無人機做勻變速曲線運動
B．在第2s末，無人機運動到最高點
C．在第4s末，無人機的速度大小為7m/s
D．在2 6s內，無人機做勻變速曲線運動
（2023春 伊州區校級期末）路燈維修車如圖所示，車上帶有豎直自動升降梯。若一段時間內，車勻加速向左沿直線運動的同時梯子勻速上升，則關于這段時間內站在梯子上的工人的描述正確的是（　　）
A．工人一定做勻變速運動
B．工人的運動軌跡是直線
C．工人一定做勻速運動
D．工人的運動軌跡與車的運動無關
（多選）（2023 日照開學）質量m＝1kg的物體在光滑水平面上運動，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy隨時間變化的圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是（　?。?br/>A．物體的初速度大小為3m/s
B．物體所受的合力大小為0.5N
C．0～8s內物體做勻加速直線運動
D．0～8s內物體的位移大小為
知識點3 小船渡河問題
1．小船參與的兩個分運動
(1)船對地的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同．
(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行．
2．兩類最值問題
(1)渡河時間最短問題
由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖甲可知，t短＝，此時船渡河的位移x＝，位移方向滿足tan θ＝.
(2)渡河位移最短問題
情況一：v水＜v船
最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如圖乙所示．
情況二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖丙所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短．由圖可知sin α＝，最短航程為x＝＝d.此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2023春 烏魯木齊期末）一小船在靜水中的速度為5m/s，它在一條河寬為120m、水流速度為3m/s的河流中渡河。下列說法正確的是（　　）
A．小船不能到達正對岸
B．若以最短位移渡河，小船相對河岸的速度為8m/s
C．若以最短時間渡河，小船船頭應垂直于河岸
D．若以最短時間渡河，小船渡河的位移大小為160m
（2023春 衢州期末）如圖所示，小船以速度大小為v（船在靜水中的速度）、方向與上游河岸成θ角從O處過河，經過一段時間，正好到達正對岸的O'處?，F要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸O'處，在水流速度不變的情況下，可采取的方法是（　?。?br/>A．α1＝θ、v1＞v B．α2＜θ、v2＞v
C．α3＞θ、v3＜v D．α4＞θ、v4＞v
（2023春 南充期末）一段兩岸平直、河寬為L的河流，河水均勻流動的速率為v1，船在靜水中的速率為v2，則（　　）
A．若船頭垂直河岸渡河，其渡河位移最小為L
B．若v1＜v2，則船不可能垂直于河岸渡河
C．若v1＜v2，則船渡河的最小位移為L
D．若v1＞v2，則船渡河的最短時間為
（2023春 香坊區校級月考）如圖所示，一條寬為d＝120m的足夠長河流，水流速度恒為v1＝3m/s，一艘小船從A點出發向對岸駛去，已知小船在靜水中的速度v2＝5m/s，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）小船渡河的最短時間，及最短時間渡河沿河岸方向位移。
（2）小船渡河的最短航程及船頭的朝向。
知識點4 關聯速度問題
1．“關聯”速度問題：指物體斜著拉繩(桿)或繩(桿)斜著拉物體時，兩端所連接物體的速度關系問題．
2．“關聯”速度的分解規律
(1)分解依據
①物體的實際運動是合運動．
②由于繩(桿)不可伸長，所以繩(桿)兩端所連物體的速度沿著繩(桿)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：將物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個分量．
(3)常見的速度分解情形如下：
（2023春 宿州期中）如圖所示，汽車在岸上用輕繩拉船，若汽車行進速度大小為v，拉船的繩與水平方向夾角為，則此時船的速度大小為（　　）
A．v B． C． D．2v
（2023春 張家界期末）建筑工人用如圖所示裝置將建筑材料提升到高處，工人在高處平臺上向右做勻速直線運動（運動過程中手握繩的高度不變），當手牽引的繩與水平方向的夾角為θ＝53°時，重物上升的速度大小為1m/s，則當θ＝37°時，重物上升的速度大小為（　?。?br/>A． B． C． D．
（2023春 天津期中）生活中人們通常利用定滑輪來升降物體。如圖所示，一根輕質不可伸長的細繩繞過光滑的定滑輪，繩的一端系著質量為m的重物A，繩的另一端由人握著向左以速度v勻速移動，經過圖示位置時繩與水平方向的夾角為α，下列說法正確的是（　?。?br/>A．重物勻加速上升
B．重物以速度v勻速上升
C．繩對重物的拉力始終小于它的重力
D．經過圖示位置α＝60°時人與重物的速度大小之比為2：1
（2022秋 零陵區校級期末）《綜合國力“十三五”國家科技創新規劃》提出，要加強“深空”“深?！薄吧畹亍薄吧钏{”領域的戰略高科技部署，其中“深海”領域主要是深海探測和研究。如圖所示是上海交通大學某科研小組在某次深海探測結束后，利用牽引汽車將某探測器M從海面起吊上岸的過程簡化圖，不計滑輪摩擦和繩子質量，牽引汽車以速度v向左勻速運動，當牽引汽車端繩子與水平方向的夾角為θ時，探測器M的速率為（　　）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．
（2023 讓胡路區校級開學）一艘小船要從河的此岸駛向對岸，假設河岸是平直的，河水流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，現要求小船行駛的路程最短，則小船船頭指向（　?。?br/>A．與河岸成一定角度，斜向上游
B．與河岸成一定角度，斜向下游
C．與河岸垂直，指向對岸
D．與河岸平行，指向上游
（2022秋 泗陽縣校級期末）小船在靜水中的速度為4m/s，它在一條寬為160m，水流速度為3m/s的河中渡河，下列說法正確的是（　　）
A．小船不能到達正對岸
B．渡河的最短時間為32s
C．以最短位移渡河，小船的渡河時間為40s
D．以最短時間渡河，小船的渡河位移為200m
（2023春 四川期末）一游泳健兒以恒定的速度渡河，河水的流速離岸邊越遠，速度越大，則游泳者垂直河岸方向移動相等距離所需的時間將（　　）
A．不變 B．減小
C．增大 D．先增大后減小
（2023春 巴楚縣期末）某渡船在橫渡閩江時從江岸邊的P位置出發，保持船頭方向始終與對岸垂直，已知船在靜水中的速度大小恒定，江水的流速不變。該渡船渡江的軌跡可能是圖中的（　?。?br/>A．① B．② C．③ D．④
（2023春 河池期末）運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，如小船過河、騎馬射箭等問題。關于運動的合成與分解，下列說法正確的是（　　）
A．兩個直線運動的合運動不一定是直線運動
B．合運動的速度和加速度一定大于每個分運動的速度和加速度
C．兩個不在同一條直線上初速度為零的勻加速直線運動的合運動可能不是直線運動
D．當靜水船速和河水的流速一定，小船要到河的對岸，只要調整好船頭的方向，就可以使小船渡河的位移等于河寬
（2023春 蚌埠期末）在無風的天氣中，雨滴在空中豎直勻速下落，人打傘以一定的速度水平向右勻速運動。如果希望雨垂直打在傘的上表面上（傘面視為平面，傘面可以自動調整方向，傘柄始終處于豎直方向）而少淋雨，下列圖中大致正確的打傘方式是（　?。?br/>A． B．
C． D．
（2023春 礦區校級期中）如圖是輪渡的簡化圖。已知船在靜水中的速度為v1，水流速度為9m/s。當船從A處過河時，船頭與上游河岸的夾角θ＝53°，一段時間后，船正好到達正對岸B處。若河寬為450m，船在靜水中的速度大小不變，水流的速度不變，則（　　）
A．v1＝5.4m/s
B．船渡河的時間為37.5s
C．若改變船的航行方向，船最短的渡河時間為25s
D．若增大船頭與上游河岸的夾角θ，則小船將到達河對岸B的上游
（2023春 順義區期末）通常情況下，實際的拋體都是在介質中運動的。由于介質對運動物體的阻礙作用，物體會損耗部分機械能。已知在空氣中運動的物體所受阻力方向與運動方向相反，大小隨速度的增大而增大。假定空氣中一彈丸從地面拋射出去，初速度為v0方向與水平地面夾角為θ，如圖所示。彈丸落地時，速度大小為v，方向與水平地面夾角為α，落地點與拋出點在同一水平面。彈丸從拋出到落地的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．彈丸的加速度先減小后增大
B．彈丸上升的時間小于下降的時間
C．彈丸在最高點時的加速度是重力加速度
D．彈丸落地時與水平地面的夾角α小于拋出時與水平地面的夾角θ
（2023春 濟南期末）如圖所示，某趣味物理實驗中，在水平桌面上從桌子的一個角A向B發射一個乒乓球。一同學在桌邊試著用一支吹管將球由B處吹進球門C，AB垂直于BC，該同學將吹管對準C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（　　）
A．將球門沿直線BC適當靠近B
B．將球門沿直線BC適當遠離B
C．將球門垂直于直線BC向右平移適當距離
D．將吹管沿直線AB向右平移適當距離，垂直AB方向吹氣
（2023春 包河區校級期末）小明和小華兩位同學玩游戲，他們找來一張白紙、一支鉛筆、一把直尺，固定白紙后，小明用鉛筆沿直尺（且直尺平行于ab）向右勻速運動，而小華同時將直尺沿ca方向向上先做加速運動后做減速運動，請你判斷鉛筆在白紙上留下的痕跡可能是（　?。?br/>A．B． C． D．
（2023春 順義區校級月考）運動合成和分解是研究曲線運動的重要思想方法，請你結合這一思想和所學過的知識研究下面問題。
在一光滑水平面上建立xOy平面坐標系，一質量為m＝2kg的質點某時刻在水平面上從坐標原點開始運動，在接下來的一段時間內沿x方向和y方向的x﹣t圖像和vy﹣t圖像分別如圖1、圖2所示。
（1）求質點所受的合力F；
（2）求質點2s末距坐標原點的距離；（結果可以帶根號）
（3）寫出質點的y﹣x的軌跡方程，并在圖3上大致畫出2s內質點的運動軌跡圖。
（2022秋 江西月考）風洞是研究空氣動力學的實驗設備。如圖，兩水平面（虛線）之間的距離為H，其間為風洞的區域，物體進入該區間會受到水平方向的恒力，自該區域下邊界的O點將質量為m的小球以一定的初速度豎直上拋，從M點離開風洞區域，小球再次從N點返回風洞區域后做直線運動，落在風洞區域的下邊界P處，NP與水平方向的夾角為45°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。求：
（1）風洞區域小球受到水平方向恒力的大??；
（2）小球運動過程中離風洞下邊界OP的最大高度；
（3）OP的距離。
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