資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
7.3 萬有引力理論的成就
學習目標 核心素養
1.了解萬有引力定律在天文學上的應用． 2．會用萬有引力定律計算天體的質量和密度． 3．掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動知識分析具體問題的方法. 1、物理觀念：萬有引力定律的應用。 2、科學思維：萬有引力定律與圓周運動的綜合應用。 3、科學探究：計算中心天體的質量和密度。 4、科學態度與責任：預言哈雷彗星回歸、發現海王星等未知天體。
知識點1 “稱量”地球的質量
1．思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉的影響，物體的重力等于地球對物體的引力．
2．關系式：mg＝G.
3．結果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質量．
4．推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計算出該星球的質量．
知識點2 計算天體的質量
1．思路：質量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力．
2．關系式：＝mr.
3．結論：m太＝，只要知道引力常量G、行星繞太陽運動的周期T和軌道半徑r就可以計算出太陽的質量．
4．推廣：若已知衛星繞行星運動的周期和衛星與行星之間的距離，可計算出行星的質量．
知識點3 發現未知天體、預言哈雷彗星回歸
海王星的發現：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星——海王星．
英國天文學家哈雷預言哈雷彗星的回歸周期約為76年．
（2023春 興化市校級期末）木星是繞太陽公轉的行星之一，而木星的周圍又有衛星繞木星公轉.如果要通過觀測求得木星的質量，需要測量的量可以有（已知萬有引力常量G）（　　）
A．木星繞太陽公轉的周期和軌道半徑
B．木星繞太陽公轉的周期和環繞速度
C．衛星繞木星公轉的周期和木星的半徑
D．衛星繞木星公轉的周期和軌道半徑
【解答】解：A、根據萬有引力提供圓周運動的向心力，可得：Gm（）2r，
可得中心天體的質量：M
可知根據木星繞太陽公轉的周期和軌道半徑可以計算太陽的質量，不能計算木星的質量，故A錯誤；
B、根據Gm，得M，可知根據木星繞太陽公轉的周期和環繞速度可以求出太陽的質量，不能計算木星的質量，故B錯誤；
C、已知木星的半徑但不知道衛星軌道半徑就不能求出衛星的向心力，故不能求出中心天體木星的質量，故C錯誤；
D、已知衛星繞木星公轉的周期T和軌道半徑r，根據：，已知T和r可以求出木星的質量M，故D正確。
故選：D。
（2023春 滄州期末）科學家卡文迪什在1789年測量出了引力常量，進而計算出了地球的質量，被譽為第一個稱量地球質量的人。已知引力常量為G，現在要測量地球的質量，還須知道（　　）
A．地球半徑和衛星繞地球的運行速度
B．地球密度和衛星繞地球的運行速度
C．地球半徑和地球表面的重力加速度
D．地球上某高度處的重力加速度
【解答】解：A．若知道地球半徑和衛星繞地球的運行速度，則有：，但衛星到地面的高度h未知，則無法求出地球的質量，故A錯誤；
B．若知道地球密度和衛星繞地球的運行速度，根據萬有引力提供向心力可得：
根據質量與密度的關系可得：
但衛星到地面的高度h未知，則無法求出地球的質量，故B錯誤；
C．若知道地球半徑和地球表面的重力加速度，根據萬有引力和重力的關系可得：
則：，故C正確；
D．若知道地球上某高度處的重力加速度，則有：，但R+h未知，則無法求出地球的質量，故D錯誤。
故選：C。
（2023春 香坊區校級期末）2022年11月30日5時42分，神舟十五號載人飛船自主快速交會對接于天和核心艙前向端口，中國空間站首次形成“三艙三船”組合體，達到當前設計的最大構型。中國空間站在離地面h＝400km高度的圓軌道，做周期為T＝90分鐘的圓周運動，地球半徑為R＝6400km，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述資料不能估算出（　　）
A．地球的質量 B．地球的平均密度
C．空間站的質量 D．地球表面的重力加速度
【解答】解：根據題意可知中國空間站軌道半徑：r＝400km+6400km＝6.8×106m，周期為T＝90分鐘＝5400s；地球半徑為R＝6400km＝6.4×106m，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。
AB、衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，則有：mr，解得M；
根據密度計算公式可得：ρ，其中V，解得：，所以根據題干數據可求地球的質量和密度，故AB不符合題意；
C、衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，則有：mr，計算時空間站的質量約去，不可求，故C符合題意；
D、根據萬有引力和重力的關系可得：mg，解得：g，由于地球質量M可求，根據題干數據可求地球表面的重力加速度g，故D選項不符合題意。
本題選不能估算的量，故選：C。
（2023 沙河口區校級模擬）拉格朗日點指的是在太空中類似于“地一月”或“日一地”的天體系統中的某些特殊位置，在該位置處的第三個相對小得多（質量可忽略不計）的物體靠兩個天體的引力的矢量和提供其轉動所需要的向心力，進而使得該物體與該天體系統處于相對靜止狀態，即具有相同的角速度。如圖所示是地一月天體系統，在月球外側的地月連線上存在一個拉格朗日點，發射一顆質量為m的人造衛星至該點跟著月球一起轉動，距離月球的距離為s。已知地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，地月球心之間的距離為r，月球的公轉周期為T，則由以上數據可以算出（　　）
A．地球的密度為
B．在拉格朗日點的衛星的線速度比月球的線速度小
C．在拉格朗日點的衛星的向心加速度比月球的向心加速度小
D．月球對該衛星的引力為
【解答】解：A、月球繞地球公轉時，有，地球的密度為，解得地球的密度為：，故A錯誤；
BC、因為于拉格日點的衛星與月球具有相同的角速度，由v＝ωr，a＝ω2r知，位于拉格朗日點的衛星的線速度和向心加速度均比月球的大，故BC錯誤；
D、位于拉格朗日點的衛星的向心力由地球和月球共同提供，故有
GF月＝m（r+s）
在地球表面上，不考慮地球自轉的影響，有Gm′g
聯立解得月球對該衛星的引力為：F月，故D正確。
故選：D。
（2023春 來賓期末）2022年11月29日23時08分，搭載“神舟十五號”載人飛船的“長征二號”運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射，三名航天員順利進駐中國空間站，與“神舟十四號”航天員乘組首次實現“太空會師”，對我國空間站建造具有里程碑意義。已知空間站的離地高度為h，空間站的運行周期為T，地球自轉周期為T0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，則（　　）
A．地球的質量為
B．地球的質量為
C．地球的密度為
D．地球的密度為
【解答】解：AD．對地球上的物體進行分析，地球對其的萬有引力不等于地球上物體的向心力，即：
所以：
又因為：
所以地球密度為：，故AD錯誤；
B．對地球上的物體進行分析，地球對其的萬有引力幾乎等于重力：
解得地球的質量為：，故B錯誤；
C．對空間站進行受力分析，地球對其的萬有引力提供向心力，則有：
可得地球的質量為：
根據質量和密度的關系可得：
所以地球密度為：，故C正確。
故選：C。
（2023 沙坪壩區校級模擬）在電影《流浪地球2》中地球最后成為“比鄰星”的一顆行星。在地球飛向“比鄰星”的過程中，科學家分別測出距“比鄰星”表面高為2h、h時的引力加速度大小為a和。若認為“比鄰星”是密度均勻的球體，引力常量G已知，由此可求出“比鄰星”的密度為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設“比鄰星”的半徑為R，質量為M，根據牛頓第二定律可得：
ma
m a
聯立解得：R＝h，M
根據密度的計算公式ρ，其中V
代入數據解得：ρ，故B正確、ACD錯誤。
故選：B。
（2023春 浙江期中）火星有“火衛1”和“火衛2”兩顆衛星，是美國天文學家霍爾在1877年8月火星大沖時發現的。其中“火衛1”的軌道離地高度為h，繞火星運行的周期為T，火星半徑為R。引力常量為G，忽略自轉影響的條件下，則火星的質量為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：“火衛1”繞火星做勻速圓周運動，其軌道半徑r＝R+h，根據萬有引力提供向心力得
Gmr
聯立解得火星的質量M，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2023 渭南一模）天文學上常利用環繞星的運動了解中心星的一些特點，隨著夢天實驗艙的發射成功，我國的空間站已搭建完成，若知道我國空間站距地面的高度為h，每經過T時間繞地球轉一圈，地球半徑為R，萬有引力常量為G，則可求出地球的密度ρ為（　　）
A．ρ（）3 B．ρ（）3
C．ρ（）3 D．ρ（）3
【解答】解：根據萬有引力提供向心力，有
地球密度，其中
聯立解得，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 鐵東區校級二模）2022年6月5日上午10時44分07秒在酒泉衛星發射中心成功發射神舟十四號載人飛船.若神舟十四號飛船距離地面高度為h，地球半徑為R，地球北極位置的重力加速度為g，引力常量為G，神舟十四飛船軌道可按照正圓軌道計算。則下列說法正確的是（　　）
A．由于地球自轉的影響，無法求出地球的質量
B．神舟十四號飛船的質量不知道，所以神舟十四號飛船繞地球飛行的周期無法求出
C．神舟十四號飛船受地球的吸引力，但不受重力
D．神舟十四號飛船的線速度的大小為
【解答】解：A、地球北極位置的重力加速度為g，則有：mg，解得地球的質量：M，故A錯誤；
B、根據萬有引力提供向心力，則有：m（R+h），又有mg，聯立解得神舟十四號飛船繞地球飛行的周期：T，故B錯誤；
C、神舟十四號飛船受地球的吸引力，該吸引力即為神舟十四號受到的重力，故C錯誤；
D、由萬有引力提供向心力有：m，又有mg，解得：v，故D正確。
故選：D。
（2023 漢壽縣校級開學）2019年11月28日，我國在太原衛星發射中心用長征四號丙運載火箭，成功將高分十二號衛星發射升空。已知衛星在距地面高h處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，由此可知（　　）
A．地球質量為
B．衛星運動周期T＝2π
C．衛星的加速度a＝g
D．衛星在軌運行的速度v
【解答】解：A、萬有引力提供向心力，在地球表面萬有引力等于重力，則有mg
解得：M，故A錯誤；
B、萬有引力提供電子科技大學號衛星繞地球運動的向心力：m（R+h）
解得：T＝2π，故B正確；
C、萬有引力提供電子科技大學號衛星繞地球運動的向心力ma
解得：a，故C錯誤；
D、萬有引力提供電子科技大學號衛星繞地球運動的向心力：m
解得：v，故D錯誤；
故選：B。
（2022秋 嘉定區期末）人造衛星繞地球做勻速圓周運動，其速率的平方（v2）與環繞半徑的倒數的關系如圖所示，圖中b為圖線縱坐標的最大值，圖線的斜率為k，引力常量為G，則地球的質量和半徑分別為（　　）
A．kG kb B． C． kb D．kG
【解答】解：衛星繞行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有：Gm，得：v2＝GM ，設行星的半徑為R，由圖知，當r＝R時，v2＝b，GM＝k，解得：R。
由上知，GM＝k，得行星的質量為：M，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（多選）（2023春 萬安縣校級期末）某宇宙飛船繞地球做圓周運動的周期為T，由于地球遮擋，宇航員發現有時間會經歷“日全食”過程，如圖所示，已知地球的半徑為R，引力常量為G，地球自轉周期為T0，太陽光可看作平行光，下列說法正確的是（　　）
A．宇宙飛船離地球表面的高度為2R
B．地球的平均密度為
C．一天內飛船經歷“日全食”的次數為
D．宇宙飛船的運行速度為
【解答】解：A、由幾何關系，飛船每次“日全食”過程的時間內飛船轉過α角，所需的時間為t T，
由于宇航員發現有T時間會經歷“日全食”過程，則：，所以：α
設宇宙飛船離地球表面的高度h，由幾何關系可得：sin可得：h＝R，故A錯誤；
B、宇宙飛船的軌道半徑r＝R+h＝2R；根據萬有引力提供向心力，則有：mr，解得M。根據密度計算公式可得：ρ，其中V
聯立解得地球的平均密度為，故B錯誤；
C、地球自轉一圈時間為T0，飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，得一天內飛船經歷“日全食”的次數為N，故C正確；
D、宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，宇宙飛船的運行速度為：v，故D正確。
故選：CD。
（多選）（2023春 蕉城區校級期末）2022年4月16日，長征四號丙運載火箭在太原衛星發射中心升空，將世界首顆具備二氧化碳激光探測能力的衛星——大氣環境監測衛星送入預定軌道，發射任務取得圓滿成功。如圖，大氣環境監測衛星繞地球運動可視為勻速圓周運動，運行周期為T。已知地球的半徑為R，地球相對該衛星的張角為θ，引力常量為G，下列說法正確的是（　　）
A．大氣環境監測衛星不處于平衡狀態
B．大氣環境監測衛星運動過程中機械能保持不變
C．大氣環境監測衛星的軌道半徑為Rsinθ
D．地球的平均密度為
【解答】解：A、大氣環境監測衛星繞地球運動可視為勻速圓周運動，是變速運動，故大氣環境監測衛星處于不平衡狀態，故A正確；
B、大氣環境監測衛星繞地球運動做勻速圓周運動時，動能和勢能都不變，機械能守恒，故B正確；
C、由幾何關系可知大氣環境監測衛星的軌道半徑為：，故C錯誤；
D、由萬有引力提供向心力：
而地球的質量可表示為：
聯立可得地球的平均密度為：，故D錯誤。
故選：AB。
（多選）（2023春 濮陽期末）2020年11月24日，嫦娥月球探測器由長征五號運載火箭成功發射升空，并進入環月軌道飛行。假設嫦娥探測器環繞月球飛行時，距月球表面高度為h，繞月球做勻速圓周運動（不計周圍其他天體的影響），測出其飛行周期為T，已知引力常量G和月球半徑R，則下列說法正確的是（　　）
A．嫦娥探測器繞月球飛行的線速度大小等于
B．月球的質量等于
C．月球表面的重力加速度大小等于
D．嫦娥探測器繞月球飛行的向心加速度大小等于
【解答】解：A．嫦娥探測器繞月球飛行的飛行周期為T，故線速度大小為：，故A正確；
B．嫦娥探測器繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力可得：，解得月球質量為：，故B正確；
C．對于月球表面質量為m的物體，根據萬有引力和重力的關系可得：，結合，可得月球表面的重力加速度大小：，故C錯誤；
D．嫦娥探測器繞月球飛行的向心加速度大小為：，故D錯誤。
故選：AB。
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7.3 萬有引力理論的成就
學習目標 核心素養
1.了解萬有引力定律在天文學上的應用． 2．會用萬有引力定律計算天體的質量和密度． 3．掌握綜合運用萬有引力定律和圓周運動知識分析具體問題的方法. 1、物理觀念：萬有引力定律的應用。 2、科學思維：萬有引力定律與圓周運動的綜合應用。 3、科學探究：計算中心天體的質量和密度。 4、科學態度與責任：預言哈雷彗星回歸、發現海王星等未知天體。
知識點1 “稱量”地球的質量
1．思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉的影響，物體的重力等于地球對物體的引力．
2．關系式：mg＝G.
3．結果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質量．
4．推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，可計算出該星球的質量．
知識點2 計算天體的質量
1．思路：質量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力．
2．關系式：＝mr.
3．結論：m太＝，只要知道引力常量G、行星繞太陽運動的周期T和軌道半徑r就可以計算出太陽的質量．
4．推廣：若已知衛星繞行星運動的周期和衛星與行星之間的距離，可計算出行星的質量．
知識點3 發現未知天體、預言哈雷彗星回歸
海王星的發現：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道.1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星——海王星．
英國天文學家哈雷預言哈雷彗星的回歸周期約為76年．
（2023春 興化市校級期末）木星是繞太陽公轉的行星之一，而木星的周圍又有衛星繞木星公轉.如果要通過觀測求得木星的質量，需要測量的量可以有（已知萬有引力常量G）（　　）
A．木星繞太陽公轉的周期和軌道半徑
B．木星繞太陽公轉的周期和環繞速度
C．衛星繞木星公轉的周期和木星的半徑
D．衛星繞木星公轉的周期和軌道半徑
（2023春 滄州期末）科學家卡文迪什在1789年測量出了引力常量，進而計算出了地球的質量，被譽為第一個稱量地球質量的人。已知引力常量為G，現在要測量地球的質量，還須知道（　　）
A．地球半徑和衛星繞地球的運行速度
B．地球密度和衛星繞地球的運行速度
C．地球半徑和地球表面的重力加速度
D．地球上某高度處的重力加速度
（2023春 香坊區校級期末）2022年11月30日5時42分，神舟十五號載人飛船自主快速交會對接于天和核心艙前向端口，中國空間站首次形成“三艙三船”組合體，達到當前設計的最大構型。中國空間站在離地面h＝400km高度的圓軌道，做周期為T＝90分鐘的圓周運動，地球半徑為R＝6400km，引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述資料不能估算出（　　）
A．地球的質量 B．地球的平均密度
C．空間站的質量 D．地球表面的重力加速度
（2023 沙河口區校級模擬）拉格朗日點指的是在太空中類似于“地一月”或“日一地”的天體系統中的某些特殊位置，在該位置處的第三個相對小得多（質量可忽略不計）的物體靠兩個天體的引力的矢量和提供其轉動所需要的向心力，進而使得該物體與該天體系統處于相對靜止狀態，即具有相同的角速度。如圖所示是地一月天體系統，在月球外側的地月連線上存在一個拉格朗日點，發射一顆質量為m的人造衛星至該點跟著月球一起轉動，距離月球的距離為s。已知地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，地月球心之間的距離為r，月球的公轉周期為T，則由以上數據可以算出（　　）
A．地球的密度為
B．在拉格朗日點的衛星的線速度比月球的線速度小
C．在拉格朗日點的衛星的向心加速度比月球的向心加速度小
D．月球對該衛星的引力為
（2023春 來賓期末）2022年11月29日23時08分，搭載“神舟十五號”載人飛船的“長征二號”運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射，三名航天員順利進駐中國空間站，與“神舟十四號”航天員乘組首次實現“太空會師”，對我國空間站建造具有里程碑意義。已知空間站的離地高度為h，空間站的運行周期為T，地球自轉周期為T0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，則（　　）
A．地球的質量為
B．地球的質量為
C．地球的密度為
D．地球的密度為
（2023 沙坪壩區校級模擬）在電影《流浪地球2》中地球最后成為“比鄰星”的一顆行星。在地球飛向“比鄰星”的過程中，科學家分別測出距“比鄰星”表面高為2h、h時的引力加速度大小為a和。若認為“比鄰星”是密度均勻的球體，引力常量G已知，由此可求出“比鄰星”的密度為（　　）
A． B． C． D．
（2023春 浙江期中）火星有“火衛1”和“火衛2”兩顆衛星，是美國天文學家霍爾在1877年8月火星大沖時發現的。其中“火衛1”的軌道離地高度為h，繞火星運行的周期為T，火星半徑為R。引力常量為G，忽略自轉影響的條件下，則火星的質量為（　　）
A． B．
C． D．
（2023 渭南一模）天文學上常利用環繞星的運動了解中心星的一些特點，隨著夢天實驗艙的發射成功，我國的空間站已搭建完成，若知道我國空間站距地面的高度為h，每經過T時間繞地球轉一圈，地球半徑為R，萬有引力常量為G，則可求出地球的密度ρ為（　　）
A．ρ（）3 B．ρ（）3
C．ρ（）3 D．ρ（）3
（2023 鐵東區校級二模）2022年6月5日上午10時44分07秒在酒泉衛星發射中心成功發射神舟十四號載人飛船.若神舟十四號飛船距離地面高度為h，地球半徑為R，地球北極位置的重力加速度為g，引力常量為G，神舟十四飛船軌道可按照正圓軌道計算。則下列說法正確的是（　　）
A．由于地球自轉的影響，無法求出地球的質量
B．神舟十四號飛船的質量不知道，所以神舟十四號飛船繞地球飛行的周期無法求出
C．神舟十四號飛船受地球的吸引力，但不受重力
D．神舟十四號飛船的線速度的大小為
（2023 漢壽縣校級開學）2019年11月28日，我國在太原衛星發射中心用長征四號丙運載火箭，成功將高分十二號衛星發射升空。已知衛星在距地面高h處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，由此可知（　　）
A．地球質量為
B．衛星運動周期T＝2π
C．衛星的加速度a＝g
D．衛星在軌運行的速度v
（2022秋 嘉定區期末）人造衛星繞地球做勻速圓周運動，其速率的平方（v2）與環繞半徑的倒數的關系如圖所示，圖中b為圖線縱坐標的最大值，圖線的斜率為k，引力常量為G，則地球的質量和半徑分別為（　　）
A．kG kb B． C． kb D．kG
（多選）（2023春 萬安縣校級期末）某宇宙飛船繞地球做圓周運動的周期為T，由于地球遮擋，宇航員發現有時間會經歷“日全食”過程，如圖所示，已知地球的半徑為R，引力常量為G，地球自轉周期為T0，太陽光可看作平行光，下列說法正確的是（　　）
A．宇宙飛船離地球表面的高度為2R
B．地球的平均密度為
C．一天內飛船經歷“日全食”的次數為
D．宇宙飛船的運行速度為
（多選）（2023春 蕉城區校級期末）2022年4月16日，長征四號丙運載火箭在太原衛星發射中心升空，將世界首顆具備二氧化碳激光探測能力的衛星——大氣環境監測衛星送入預定軌道，發射任務取得圓滿成功。如圖，大氣環境監測衛星繞地球運動可視為勻速圓周運動，運行周期為T。已知地球的半徑為R，地球相對該衛星的張角為θ，引力常量為G，下列說法正確的是（　　）
A．大氣環境監測衛星不處于平衡狀態
B．大氣環境監測衛星運動過程中機械能保持不變
C．大氣環境監測衛星的軌道半徑為Rsinθ
D．地球的平均密度為
（多選）（2023春 濮陽期末）2020年11月24日，嫦娥月球探測器由長征五號運載火箭成功發射升空，并進入環月軌道飛行。假設嫦娥探測器環繞月球飛行時，距月球表面高度為h，繞月球做勻速圓周運動（不計周圍其他天體的影響），測出其飛行周期為T，已知引力常量G和月球半徑R，則下列說法正確的是（　　）
A．嫦娥探測器繞月球飛行的線速度大小等于
B．月球的質量等于
C．月球表面的重力加速度大小等于
D．嫦娥探測器繞月球飛行的向心加速度大小等于
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